大学物理刚体的定轴转动汇总
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2.6 大学物理 刚体的定轴转动详解
分析：
解:滑轮具有一定的转动惯量。 转动中受阻力矩，两边的张力不 再相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m
1
T1 T
1
T2 T
2
a m
1
a
m G
2 1
a G
2
m
2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
分析： 飞轮制动 角加速度
正压力FN
力矩平衡
摩擦力矩
制动力F
分析： 飞轮制动
正压力FN
角加速度
摩擦力矩
l1
l2
F
力矩平衡
制动力F
解： 摩擦力矩是恒力矩，飞 轮做匀角加速度转动
0
t 2 n T
l1
FN
FN
l2
F f
F
由转动定律：M=Jβ 闸瓦对轮的摩擦力矩 M F f R FN R
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1：
物体 m2： 滑轮 m：
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
大学物理刚体的定轴转动归纳
A 角速度从小到大，角加速度从大到小
B 角速度从小到大，角加速度从小到大
C 角速度从大到小，角加速度从大到小
D 角速度从大到小，角加速度从小到大
提交
单选题 1分
关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ［］
只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴 A 的位置无关
取决于刚体的质量和质量的空间分布，与 B 轴的位置无关
提交
单选题 1分 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（）
A 刚体不受外力矩的作用 B 刚体所受合外力矩为零 C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
提交
单选题 1分 跳水运动员在空中绕通过自身的轴转动，开始时 身体展开，转动惯量为J0，角速度为 ω，然后她 将身体迅速蜷紧，这时她转动的角速度将（）
刚体的定轴转动
转动定律
• 掌握 M J 的应用
• M：定轴转动刚体的合外力矩 • J：转动惯量（物理意义及性质） • α：角加速度（与切向××加××速×度的关系：a=Rα） • 1、如何计算合外力矩M？ • M=力×力臂 • 力臂：转动中心到力作用线的垂直距离
单选题 1分 如图，一细长匀质杆，质量为m，长为L，绕定轴 o点转动，从竖直方向转到任意位置，其夹角为θ， 则重力矩为（）
A 增大 B 减小 C 不变 D 可能增大也可能减小
提交
主观题 10分
一轻绳绕过一定滑轮，轴间无摩擦，滑轮视为匀 质圆盘，绳的一端悬有质量为m的物体，如图所 示。设滑轮质量为M，半径为R，转动惯量 J。绳 与滑轮之间无相对滑动。试求1）物体m的加速度 大小；2）定滑轮的角加速度 解：这道题按照前面所讲解的，用“对号入座” 方法列方程求解。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
B 角速度从小到大，角加速度从小到大
C 角速度从大到小，角加速度从大到小
D 角速度从大到小，角加速度从小到大
提交
单选题 1分
关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ［］
只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴 A 的位置无关
取决于刚体的质量和质量的空间分布，与 B 轴的位置无关
提交
单选题 1分 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（）
A 刚体不受外力矩的作用 B 刚体所受合外力矩为零 C 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 D 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
提交
单选题 1分 跳水运动员在空中绕通过自身的轴转动，开始时 身体展开，转动惯量为J0，角速度为 ω，然后她 将身体迅速蜷紧，这时她转动的角速度将（）
刚体的定轴转动
转动定律
• 掌握 M J 的应用
• M：定轴转动刚体的合外力矩 • J：转动惯量（物理意义及性质） • α：角加速度（与切向××加××速×度的关系：a=Rα） • 1、如何计算合外力矩M？ • M=力×力臂 • 力臂：转动中心到力作用线的垂直距离
单选题 1分 如图，一细长匀质杆，质量为m，长为L，绕定轴 o点转动，从竖直方向转到任意位置，其夹角为θ， 则重力矩为（）
A 增大 B 减小 C 不变 D 可能增大也可能减小
提交
主观题 10分
一轻绳绕过一定滑轮，轴间无摩擦，滑轮视为匀 质圆盘，绳的一端悬有质量为m的物体，如图所 示。设滑轮质量为M，半径为R，转动惯量 J。绳 与滑轮之间无相对滑动。试求1）物体m的加速度 大小；2）定滑轮的角加速度 解：这道题按照前面所讲解的，用“对号入座” 方法列方程求解。
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
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动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 棒 O
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dM l cosgdm gl cosdl 17
dm dl
gdm
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
14
平行轴定理
例3-3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量, JA表示 相对通过棒端的轴的转动惯量.两轴平行,相距L/2.可见:
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行,相距为
d,刚体对其转动惯量为J,则有：J＝JC＋md2.这个结论
dm dl
dJ R2dm R2dl
圆环对该轴的转动惯量为
J dJ 2R R2dl 2 R3 mR2 0 12
(2) 均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.
圆盘质量面密度为
m
R2
dS 2 rdr dm dS 2 r dr
由第(1)问的计算可知，它对中心垂直轴Z的元转动 惯量为
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
2
转动：对点、对轴
转轴
定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。
A• •
•A •
既平动又转动：质心的 平动加绕质心的转动
3
3.1.2 定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便。
dr
rP
F
20
3.3.2 转动动能
1 2
mivi 2
1 2
miri 2 2
Ek
i
(1 2
miri 2 2 )
1 2
(
miri 2 ) 2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
与角速度平方乘积的一半。
比较：
Ek
1 2
J 2
Ek
1 2
mv 2
21
3.3.3 刚体定轴转动的动能定理
解：取如图坐标，dm=dx
A
B
L
X
A
C
L/2
B
L/2
X
J A r 2dm L x2dx mL2 / 3
0
JC r 2dm
L
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
2
11
例3-3 求质量为m、半径为R的均匀细圆环和均匀圆 盘的转动惯量。轴与圆面垂直并通过圆心。
解 (1) 均匀圆环对 中心垂直轴的转动 惯量.
4
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r
v
5
3.2.1 力矩 对固定点的力矩 力矩大小等于此力和力臂的乘积.
M Fr sin
M rF
M
O
r
F
力矩为零时:
力为零或力的作用线与矢径共线(sin=0).
2
1 mgL cosd
Jd
02
0
1 mgL sin 1 J 2
2
2
mgL sin 3g sin
J
L
19
J 1 mL2 3
3.3.1 力矩的功
dW F dr F ds F rd Md 式中 F F cos
M F r
W Md
力矩做功是力做功的角量表达式.
Z
O d
l
M＝ dM
L
0 gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
2
2
代入转动定律，可得
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
2L
3
18
dm dl
gdm
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgL cosd Jd
称为平行轴定理.
15
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
16
3.2.4 转动定律应用举例
例3-5 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
刚体定轴转动的转动定律
M
J
与
F
ma
地位相当
m反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性.
9
3.2.3 转动惯量 对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r2dm
其中r是质量元到转轴的距离。 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这 一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
10
例3-2 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。
6
对转轴的力矩
(1) Z
(2)
Mz
Or d
P
F
转动平面
Mz r F
Mz rF sin
Z
F
f1
O
f2
rP
转动平面
7
3.2.2 转动定律
Fi fi miai
Fi sini fi sini miai
将切向分量式两边同乘以 变换得
ri
,
Z
fi
ri
i i
mi
Fi
Firi sini firi sini miri2
dJ r 2dm 2 r3dr
整个圆盘的转动惯量为
J dJ 2 R r3dr 1 R4 1 mR2
0
2
2
13
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
与转动惯量有关的因素：
•刚体的质量 •质量的分布 •转轴的位置
实质与转动惯量有关的只有 前两个因素。形状即质量分布， 与转轴的位置结合决定转轴到 每个质元的矢径。
第3章 刚体的转动
3-1 刚体运动的描述 3-2 刚体的定轴转动定律 转动惯量 3-3 刚体定轴转动的功和能 3-4 角动量定理 角动量守恒定律 3-5 碰撞 3-6 刚体的进动
1
刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体. 各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
3.1.1 平动和转动
平动：用质心运动讨论
M J d J J d d J d
dt
d dt d
Firi sini firi sini (miri2 )
i
i
i
合外力矩M
M J
0
J
M J J (miri2 )
i
8
J (miri2 )
i
刚体绕定轴Z的转动惯 量(moment of inertia)
M J M J
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 棒 O
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dM l cosgdm gl cosdl 17
dm dl
gdm
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
14
平行轴定理
例3-3中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量, JA表示 相对通过棒端的轴的转动惯量.两轴平行,相距L/2.可见:
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行,相距为
d,刚体对其转动惯量为J,则有：J＝JC＋md2.这个结论
dm dl
dJ R2dm R2dl
圆环对该轴的转动惯量为
J dJ 2R R2dl 2 R3 mR2 0 12
(2) 均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.
圆盘质量面密度为
m
R2
dS 2 rdr dm dS 2 r dr
由第(1)问的计算可知，它对中心垂直轴Z的元转动 惯量为
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
2
转动：对点、对轴
转轴
定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。
A• •
•A •
既平动又转动：质心的 平动加绕质心的转动
3
3.1.2 定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便。
dr
rP
F
20
3.3.2 转动动能
1 2
mivi 2
1 2
miri 2 2
Ek
i
(1 2
miri 2 2 )
1 2
(
miri 2 ) 2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
与角速度平方乘积的一半。
比较：
Ek
1 2
J 2
Ek
1 2
mv 2
21
3.3.3 刚体定轴转动的动能定理
解：取如图坐标，dm=dx
A
B
L
X
A
C
L/2
B
L/2
X
J A r 2dm L x2dx mL2 / 3
0
JC r 2dm
L
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
2
11
例3-3 求质量为m、半径为R的均匀细圆环和均匀圆 盘的转动惯量。轴与圆面垂直并通过圆心。
解 (1) 均匀圆环对 中心垂直轴的转动 惯量.
4
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r
v
5
3.2.1 力矩 对固定点的力矩 力矩大小等于此力和力臂的乘积.
M Fr sin
M rF
M
O
r
F
力矩为零时:
力为零或力的作用线与矢径共线(sin=0).
2
1 mgL cosd
Jd
02
0
1 mgL sin 1 J 2
2
2
mgL sin 3g sin
J
L
19
J 1 mL2 3
3.3.1 力矩的功
dW F dr F ds F rd Md 式中 F F cos
M F r
W Md
力矩做功是力做功的角量表达式.
Z
O d
l
M＝ dM
L
0 gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
2
2
代入转动定律，可得
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
2L
3
18
dm dl
gdm
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgL cosd Jd
称为平行轴定理.
15
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
16
3.2.4 转动定律应用举例
例3-5 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
刚体定轴转动的转动定律
M
J
与
F
ma
地位相当
m反映质点的平动惯性, J反映刚体的转动惯性.
9
3.2.3 转动惯量 对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r2dm
其中r是质量元到转轴的距离。 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这 一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
10
例3-2 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。
6
对转轴的力矩
(1) Z
(2)
Mz
Or d
P
F
转动平面
Mz r F
Mz rF sin
Z
F
f1
O
f2
rP
转动平面
7
3.2.2 转动定律
Fi fi miai
Fi sini fi sini miai
将切向分量式两边同乘以 变换得
ri
,
Z
fi
ri
i i
mi
Fi
Firi sini firi sini miri2
dJ r 2dm 2 r3dr
整个圆盘的转动惯量为
J dJ 2 R r3dr 1 R4 1 mR2
0
2
2
13
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
与转动惯量有关的因素：
•刚体的质量 •质量的分布 •转轴的位置
实质与转动惯量有关的只有 前两个因素。形状即质量分布， 与转轴的位置结合决定转轴到 每个质元的矢径。
第3章 刚体的转动
3-1 刚体运动的描述 3-2 刚体的定轴转动定律 转动惯量 3-3 刚体定轴转动的功和能 3-4 角动量定理 角动量守恒定律 3-5 碰撞 3-6 刚体的进动
1
刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体. 各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
3.1.1 平动和转动
平动：用质心运动讨论
M J d J J d d J d
dt
d dt d
Firi sini firi sini (miri2 )
i
i
i
合外力矩M
M J
0
J
M J J (miri2 )
i
8
J (miri2 )
i
刚体绕定轴Z的转动惯 量(moment of inertia)
M J M J
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。