课时作业18：习题课 函数的概念与性质

习题课 函数的概念与性质
基础过关
1.函数f (x )＝1
x 在[1，＋∞)上( ) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值
解析 结合函数f (x )＝1
x 在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值.
答案 A
2.已知f (x )是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A.f (－0.5)<f (0)<f (1) B.f (－1)<f (－0.5)<f (0) C.f (0)<f (－0.5)<f (－1) D.f (－1)<f (0)<f (－0.5)
解析 ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)，又∵f (x )在区间[0，1]上是增函数，
∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－0.5)<f (－1). 答案 C
3.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f (1
3)的x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <2
3，故选A. 答案 A
4.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________. 解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －m 42
＋3－m 28，
由题意得m
4＝2，∴m ＝8，则f (x )＝2x 2－8x ＋3， ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案 －3 5.已知函数f (x )＝
ax ＋1
x ＋2
在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________. 解析 设任意x 2>x 1>－2，则f (x 2)－f (x 1)＝
ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝（2a －1）（x 2－x 1）
（x 2＋2）（x 1＋2）
.因为f (x )在(－2，＋∞)内单调递减，所以（2a －1）（x 2－x 1）
（x 2＋2）（x 1＋2）<0.因为(x 2＋2)(x 1
＋2)>0，
x 2－x 1>0，所以2a －1<0，所以a <1
2. 答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12
6.如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式.
解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝1
2×4x ＝2x ；
当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝1
2×4×4＝8；
当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝1
2×4×(12－x )＝24－2x .
综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，
8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.
7.求函数f (x )＝－x 2＋2x －3在区间[2a －1，2]上的最小值的最大值. 解 f (x )＝－(x －1)2－2；f (2)＝－3，f (0)＝－3；
∴当2a －1≤0，即a ≤1
2时，f (x )min ＝f (2a －1)＝－4a 2＋8a －6； 当0<2a －1<2即12<a <3
2时，f (x )min ＝f (2)＝－3； 不妨记f (x )的最小值为g (a )， 则g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a 2
＋8a －6⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ≤12，－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<a <32.
∵a ≤12时，－4a 2＋8a －6单调递增，∴a ≤12时，g (a )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝－3，
∴g (a )的最大值为－3，即f (x )在[2a －1，2]上的最小值的最大值为－3.
能力提升
8.f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1，2}，则A ∩B 一定是( ) A.∅ B.∅或{1} C.{1}
D.∅
解析 由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合.无论含有几个元素，总有A ∩B ＝∅或{1}，故选B. 答案 B
9.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )>0
的解集为( )
A.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >12
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <12或－12<x <0
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <12或x <－12
D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |－12<x <0或x >12 解析 ∵函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝0，
且在区间(－∞，0)上单调递减.∴当－12<x <0时，f (x )<0，此时xf (x )>0；当0<x <1
2时，f (x )>0，此时xf (x )>0. 综上xf (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0<x <12或－1
2<x <0. 答案 B
10.已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________. 解析 由g (1)＝1，且g (x )＝f (x )＋2， ∴f (1)＝g (1)－2＝－1.又y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝1，从而g (－1)＝f (－1)＋2＝3. 答案 3
11.已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________.
解析 ∵x ＋y ＝1，x ≥0，y ≥0，∴y ＝1－x ，x ∈[0，1]，∴x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1.对称轴为x ＝12，故x ＝12时，有最小值为1
2，x ＝0或x ＝1时有最大值为1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，1.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1
12.设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围.
解 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，∴不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |).
又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数.∴⎩⎨⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，
解得－1≤m <1
2.故实数m 的
取值范围为⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－1，12.
创新突破
13.设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.
(1)求证：f (x )是奇函数；
(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值与最小值. (1)证明 令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.
(2)解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，
于是f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＜0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在R 上是减函数，从而f (x )在[－3，3]上单调递减，
∴f (x )的最小值为f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝3f (1)＝－6， 最大值为f (－3)＝－f (3)＝6.。