河南省郑州市2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题(含答案)
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【解析版】2019河南省郑州市高三第二次质量预测数学理科试卷
2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷【试卷综述】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。
客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。
整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。
试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。
考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。
【题文】第I卷【题文】一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．【题文】1、设i是虚数单位，复数21izi=+，则｜z｜＝A.1B. 2C.3D. 2【知识点】复数代数形式的乘除运算L1【答案】【解析】B 解析：复数z====1+i，则|z|=．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【题文】2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x∈Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝A. { 0，1，3，4}B.｛1，2，3｝C.｛0，4｝D. { 0｝【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案】【解析】C 解析：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．【思路点拨】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【题文】3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值mn＝A.1B.13 C.29 D.38全品网【知识点】茎叶图．I2【答案】【解析】D 解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可.【题文】4．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 3种B. 6种C. 9种D.18种【知识点】计数原理的应用．J1【答案】【解析】C 解析：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.【题文】5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g' (x）是g(x)的导函数，则g'（3）＝A. －1B. 0C. 2D. 4【知识点】利用导数研究函数的单调性．B11【答案】【解析】B 解析：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．【思路点拨】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．【题文】6.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny =>x+y= 或x=y，其中真命题是A. p1，p3B. p2，p3C.p1，p4D. p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案】【解析】D 解析：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．【思路点拨】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．【题文】7.若实数x、y 满足，且x=2x+y的最小值为4，则实数b的值为A.1B. 2C. 52 D. 3【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】D 解析：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z 的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D【思路点拨】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．【题文】8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8πB. 16πC. 32πD. 64π【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【思路点拨】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【题文】 9.已知函数f （x ）＝23,63,x x a x x x a +>⎧⎨++≤⎩，函数g(x) = f (x ）一2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1) 【知识点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．B9【答案】【解析】A 解析：∵f （x ）=，∴g （x ）=f （x ）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；若函数g （x ）=f （x ）﹣2x 恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a ＜3实数a 的取值范围是[﹣1，3）．故选：A ．【思路点拨】化简g （x ）=f （x ）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；从而可得，从而解得．【题文】10.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin （B 十A ）＋sin （B －A ）＝3sin2A ，且7,3c C π==，则△ABC 的面积是【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．C5 C8【答案】【解析】D 解析：在△ABC 中，3C π=,22,233B A B A A ππ∴=--=-,()()sin sin 2sin 2B A B A A ++-=,2sin sin 22sin 23C A Aπ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,33sin 2sin 62A C π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭,1sin 262A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得6A π=或2π,当6A π=时,2B π=,7tan 3c C a a ===,解得213a =, 所以11217372236ABCSac ==⨯⨯=;当2A π=,6B π=,同理可得334ABCS=;故选D.【思路点拨】依题意，可求得223B A A π-=-，利用两角差的正弦可求得1sin 262A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可求得6A π=或2π,分类讨论即可求得△ABC 的面积．【题文】11.如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A1DE.若M 为线段A1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A.｜BM ｜是定值 B ．点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A1 CD.存在某个位置，使MB//平面A1DE 【知识点】平面与平面之间的位置关系．G3 【答案】【解析】C 解析：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA1，BF ∥DE ，∴平面MBF ∥平面A1DE ，∴MB ∥平面A1DE ，故D 正确由∠A1DE=∠MNB ，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos ∠MNB ，所以MB 是定值，故A 正确． ∵B 是定点，∴M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故B 正确， ∵A1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直， ∴存在某个位置，使DE ⊥A1C 不正确．故选：C ．【思路点拨】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB 为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．【题文】12.已知双曲线()22221x ya ba b-=>0,>0的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、75B、43C、2D、103【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】A 解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．【题文】第II卷【题文】本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题．考生根据要求作答．【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量AB在AC方向上的投影为．【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】2解析：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【思路点拨】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【题文】14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案】【解析】)161,0(±解析：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=﹣4，则，即2p=，，焦点坐标为) 161,0(±．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：)161,0(±．故答案为：)161,0(±．【思路点拨】由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=﹣4求得抛物线的焦点坐标．【题文】15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】212--解析：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos =；n=2，n≥2019？，否，s=+cos =；n=3，n≥2019？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2019？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2019？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2019？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2019？，否，s=0+cos =；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2019=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=212--．故答案为：212--．【思路点拨】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos +cos +cos +cos +…+cos的值，由此求出结果即可.【题文】16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x[0,)2π∈满足f'(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】(2) (3) (4) 解析：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=＞0，∴x ∈[0，），g （x ）=是单调递增，且是偶函数，∴g （﹣）=g （），g （﹣）=g （），∵g （）＜g （），∴，即f （＞f （），（1）化简得出f （﹣）=f （）＜f （），所以（1）不正确． （2）化简f （﹣）＞f （﹣），得出f （）＞f （），所以（2）正确．又根据g （x ）单调性可知：g （）＞g （0），∴＞，∴f （0）＜f （），∵偶函数y=f （x ）∴即f （0）＜f （﹣），所以（3）正确．∵根据g （x ）单调性可知g （）＞g （），∴，f （）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）【思路点拨】运用g′（x ）=＞0，构造函数g （x ）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f （＞f （），可以分析（1），（2），根据单调性得出g （）＞g （0），g （）＞g （），判断（3）（4）．【题文】三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a 成等比数列．（I ）求na 的通项公式，（II ）设11n n n b a a +=，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案】【解析】(Ⅰ)213-=n a n ;（Ⅱ）232n n T n =+. 解析：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ，因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+， )101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d 所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分 所以213-=n a n . ……… 6分 （Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分所以41111112().32558313232n nT n n n =-+-++-=-++. ……… 12分【思路点拨】（Ⅰ）由题意知11324)25(a a a =+，从而可得公差32d =，所以213-=n a n ；（Ⅱ）将4(31)(32)n b n n =-+列项为411()33132n n --+，求和即得Tn 的值．【题文】 18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900. （I ）求证:A1B ⊥AC1（II ）已知点E 是AB 的中点，BC=AC ，求直线EC1与平面平ABB1A1所成的角的正弦值。
河南省郑州市2019年中考数学二模试卷及答案(word解析版)
．
考点 ： 因式分解 -运用公式法．
分析： 直接运用平方差公式进行因式分解． 解答： 解： x2﹣ 4y2=（x+2y ）（x ﹣ 2y）． 点评： 本题考查了平方差公式分解因式， 熟记公式结构是解题的关键．
平方差公式： a2﹣b2=（ a+b）（ a﹣ b）．
4．（ 2 分）（ 2019?邵阳）函数 y=
考点 ： 正比例函数的性质． 分析： 根据正比例函数的性质可知． 解答： 解：因为正比例函数 y=3x 中， k=3＞ 0，
故此函数为增函数，即 y 随 x 的增大而增大． 故填：增大． 点评： 本题考查的是正比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知以下知识： 正比例函数 y=kx 中： 当 k＞ 0 时，图象位于一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 当 k＜ 0 时，图象位于二、四象限， y 随 x 的增大而减小．
解答： 解：根据单项式系数、次数的定义，数字因式﹣
为单项式的系数，字母指数和为 2+1=3 ，故系数是
3． 点评： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
单项式中， 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
3．（ 2 分）（ 2004?盐城）因式分解：
x2﹣
2
4y =
（ x+2y ）（ x﹣ 2y）
∴它们的周长比是 2： 3． 点评： 本题考查对相似三角形性质的理解．
（ 1）相似三角形周长的比等于相似比； （ 2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （ 3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6．（ 2 分）（ 2004?盐城）在正比例函数 y=3x 中， y 随 x 的增大而 增大 （填 “增大 ”或 “减小 ”）．
河南省郑州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(Word版)
河南省郑州市2019届高三第二次模拟考试理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150 分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数2b ii＋＋为纯虚数，则实数b 等于 A ．3 B ．12－C ．13D ．－1 2．已知全集U ＝R ，A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}，B ＝{y ｜y ＝4x －2}，则A ∩（C R B ）＝ A ．（－1，0） B ．[0，1）C ．（0，1）D ．（－1，0]3．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f （x ）＝2019x 2018＋2018x 2017＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f （x 0）的值，在M 处应填的执行语句是 A ．n ＝2018－i B ．n ＝2019－i C ．n ＝i ＋1 D ．n ＝i ＋24．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （－2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为(附：X ～N （μ，σ2）)， 则P （μ－σ＜X ≤μ＋σ）＝0．6827， P （μ－2σ＜X ≤μ＋2σ）＝0．9545．） A ．906 B ．2718 C ．1359 D ．3413 5．将函数f （x ）＝2sinx 的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g （x ）的图象，下面四个结论正确的是 A ．函数g （x ）在[π，2π]上的最大值为1 B ．将函数g （x ）的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点（3π，0）是函数g （x ）图象的一个对称中心 D ．函数g （x ）在区间[0，23π ]上为增函数 6．设变量x ，y 满足约束条件1y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≤2，＋≥1，－≤，则目标函数313x y ＋z ＝（） 的最大值为A ．1113（） B ． 313（） C ．3 D ．4 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则 CP BP ⋅uu r uu r的最小值为 A ．12－B ．0C ．4D ．－18．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体三视图，则此几何体的外接球的体积为 A ．4552π B ．13552πC ．1805πD ．905π9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，y ＝[x]称为高斯函数．例如：[－2．1]＝－3，[3．1]＝3，已知函数12312x x f x ＋＋（）＝＋，则函数y ＝[f （x ）]的值域为A ．（12，3） B ．（0，2] C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 10．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P 使1221sin 2sin F aF c∠PF ＝∠PF ，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．31731722e －＋＜＜B ．372e ＋2＜＜ C ．3172e ＋1＜＜D ．3172e ＋2＜＜ 11．在△ABC 中，已知AB ＝23 ，BC ＝26，∠ABC ＝45°，D 是边AC 上的一点，将△ABC 沿BD 折叠，得到三棱锥A －BCD ，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M在线段BC 上，设BM ＝x ，则x 的取值范围是A ．（0，23）B ．（3，6）C ．（6，23）D ．（ 23，26） 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T （5，0），则 S △AOB ＝A ． 22B ．3C ．6D ．36第Ⅱ卷（主观题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．已知等比数列{n a }为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为__________． 14．已知cos （α－3π ）＋cos α＝435，则cos （6π－α）＝__________．15．二项式（ax ＋36）6的展开式中x 5的系数为3，则0a xdx ⎰＝__________．16．已知函数f （x ）＝ae x －12x 2－b ，（a ，b ∈R ），若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且212xx ≥， 实数a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{n a }中，a 1＝1，n a ＞0，前n 项和为n S ，若n a ＝n S ＋n 1S － （n ∈N *，且n ≥2）．（Ⅰ） 数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）记n c ＝n a ·2n a，求数列{n c }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，平面 ABEF ⊥平面ABC ，2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°， AF ∥BE ．（Ⅰ）求证：BC ⊥BF ；（Ⅱ）求二面角F －CE －B 的正弦值． 19．（本小题满分12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生 甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99．9％把握认为选历史是否与性别有关?（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ＝⎧⎨⎩0，2名男生选考方案不同1，2名男生选考方案相同 ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）与直线l 0：y ＝x ＋22相切，点A 为圆C 1上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，且动点满足OM AM ON ＋＝uuu r uuu r uuu r，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝14－，求｜OT ｜取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（x2＋x）ln 1x－ax，g（x）＝23x3＋（1－a）x2－2ax＋b，a，b∈R．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）恒成立，求b－2a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l 的参数方程为22222x ty t⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋，＝（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求｜PM｜·｜PN｜的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）＝｜ax+l｜＋｜x－a｜（a＞0），g（x）＝x2－x．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：BDBCD CAACD CA 一、填空题：13.16； 14.;5415.;32 16.ln 2(0,].2三、解答题： 17.解：（1）在数列中，①∵②且，∴①式÷②式得：，∴数列以111==a S 为首项，公差为1的等差数列，∴.n S ,n )1n (1S 2n n =∴=-+=……3分当时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ， 当时，11=a ，也满足上式，∴数列的通项公式为12-=n a n . ……6分（2）由（1）知，122)12(12-⋅-=∴-=n n n n c n a ，， 则12532)12(252321-⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n T ①12127532)12(2)32(2523214+-⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ②①-②得，12221212532)12(41)21(8222)12()222(223+-+-----+=--++++=-n n n n n n n T122)235(310+-+-=n n .9102)5n 6(T 1n 2n +-=∴+……12分18.解：（1）证明：等腰直角中 90=∠B ，即，又，，，， 又，. ……4分（2）由（1）知,ABEF BC 平面⊥故建立如图所示空间直角坐标系，设，则由已知可得，，，，，，)0,2,0(=BC ，设平面的一个法向量为，则有⇒令，则，即.设平面BCE 的一个法向量),,(111z y x m =，则有11111113,0,0203200z x y y z y x BC m EC m ==∴⎪⎩⎪⎨⎧==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙，令)1,0,3(,31==m x 则， 设二面角B CE F --的平面角为θ，则515sin ,510102253cos =∴=⨯+=∙=θθnm n m ， 所以二面角B CE F --的的正弦值为515. ……12分 19.解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有39284060363628=⨯⨯人．……2分（Ⅱ）选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生 16 4 20 总计201636由列联表可得，828.1089.1010010891620162011163616201620)161244(362222>==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， 所以有99.9%把握认为选历史与性别有关. ……6分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治． 由已知得的取值为0,1．）（或107)0(107)1(1)0(,103)1(21612121414181821622222428=++====-===+++==C C C C C C C P P P C C C C C P ξξξξ所以的分布列为 所以10310311070)(=⨯+⨯=ξE ． ……12分 20.解：（1）设动点，由于轴于点又圆与直线22:0+=x y l 即022=+-y x 相切，ξ0 1P1071032222==∴r ，∴圆4:221=+y x C由题意，ON AM OM =+，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-∴=--+y y xx y y x x x x y y x x y x 2022)0,(),(),(0000000，即， 又点为圆上一动点，4422=+∴y x所以曲线的方程为1422=+y x . ……5分 （2）当PQ 的斜率不存在时，设直线OP 的方程为：x y 21=， 不妨取点)22,2(P ，则)22,2(-Q ，)0,2(T ，2=∴OT . 当PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为：m kx y +=，()()2211,,,y x Q y x P由⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y 可得()044841222=-+++m kmx x k ， 22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+∴.∵1214k k =-，∴042121=+x x y y . ()()()()0441324444144222222212122121=++--=++++=+++∴m km k m m x x km x x k x x m kx m kx化简得：21,412222≥∴+=m k m . ()()()016141644144642222222>=-+=-+-=∆m m k m k m k ，设()00,y x T ，则m k k km x x x 241422210-=+-=+=，mm kx y 2100=+=. )2,2143241422222022⎢⎣⎡∈-=+=+=∴m m m k y x OT ，⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∈∴222，OT .综上，OT 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22． ……12分 21.解：（1）函数定义域为(,).-∞+∞2()22(1)2(22)(),g x x a x a x x a '=+--=+- 由()01,,g x x x a '=⇒=-=或①当1a <- 时，(,),()0,()(,)(,1),()0,()(,1)(1,),()0,()(1,)x a g x g x a x a g x g x a x g x g x '∈-∞>-∞'∈-<-'∈-+∞>-+∞在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.②当1a =-时，(,),()0,()(,)x g x g x '∈-∞+∞≥-∞+∞在上为增函数，③当1a >-时，(,1),()0,()(,1)(1,),()0,()(,1)(,),()0,()(,)x g x g x x a g x g x a x a g x g x a '∈-∞->-∞-'∈-<-'∈+∞>+∞在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.……5分（2）()()f x g x ≤⇔ ()()0g x f x -≥ ，设()()()F x g x f x =-则 )1(l n 12)1(221)(ln 12)(22a x x x a x a x xx x x x x F -+++=--+++++='）（）（， 因为()0,x ∈+∞，令()'0F x =，得ln +10x x a +-=. 设()ln +1h x x x a =+-，由于()h x 在()0,+∞上单递增， 当0x →时， ()h x →-∞；当x →+∞时， ()h x →+∞， 所以存在唯一()00,x ∈+∞，使得()00h x =，即00l +1n a x x =+ . 当00x x <<时， ()'0F x <，所以()F x 在()00,x 上单调递减； 当0x x >时， ()'0F x >，所以()F x 在()0,x +∞上单调递增. 当()0,x ∈+∞时，()()()()23200000m i n2l n 13F x F x x x xxax =+=++--+ ()()()23200000000002ln ln ln 13x x x x x x x x x x b =+++---+++ 3200013x x x b =---+.因为()()f x g x ≤恒成立， 所以()32000min 103F x x x x b =---+≥，即 3200013b x x x ≥++. 32320000000112222ln 33b a x x x a x x x x -≥++-=---+ . 设()()32000012ln ,0,32x x x x x x ϕ=+-∈--+∞，则()()()23221322+22'21x x x x x x x x x x x xϕ-++--=+--==当01x <<时， ()'0x ϕ<，所以()x ϕ在()0,1上单调递减； 当1x >时， ()'0x ϕ>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 当()0,x ∈+∞时， ()()min '12x ϕϕ==-. 所以当01x =，即3200000171+ln 2,33a x x b x x x =+==++=时，()min 523b a -=- (12)分22.解（1）已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，P 的坐标为()2,0-， 将直线l 的参数方程22222x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的标准方程221124x y +=联立， 得2240t t --=，则12||||||4PA PB t t ⋅==. ----------------5分(2)由曲线C 的标准方程为221124x y +=，可设曲线C 上的动点(23cos ,2sin )A θθ，则以A 为顶点的内接矩形周长为4(23cos 2sin )16sin()3πθθθ+=+，02πθ<<.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当6πθ=时等号成立.------------10分23.解（1）当1a =时，1x ≤- ()2,1,112,11,2,1,x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩当1x ≤-，22, 1.x x x x -≥-≤-当11x -<<，22,12x x x x -≥≤-≥或，舍去.当1x ≥，22, 3.x x x x -≥≥综上，原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或 . ----------------5分（2）()1(1)1,,11(1)1,,(1)1,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ⎧-+-+≤-⎪⎪⎪=++-=-++-<<⎨⎪++-≥⎪⎪⎩当01a <≤时，2min ()()12,1f x f a a a ==+≥=； 当1a >时，min 11()()2,1f x f a a a a=-=+≥>；综上，[1,)a ∈+∞ . ----------------10分。
河南郑州2019高三下第二次质量预测试卷-数学(理)
河南郑州2019高三下第二次质量预测试卷－数学（理）数学(理）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上旳文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出旳四个选项中，只有一个符合题目要求。
1.复数z1=3+i，z2=1—I则z=旳共轭复数在复平面内旳对应点位于（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.若—，,则角θ旳终边所在旳直线为( ）A。
7x+24y=0B. 7x—24y=0C。
24x+7y=0D。
24x-7y=03_在数列{a n}中,a n+1=ca n（c;为非零常数），前n项和为S n= 3n+k,则实数k为（）A.—1B。
0C。
1D。
24。
设a,β分别为两个不同旳平面,直线la，则“l丄β”是“a丄β成立旳( ）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件5。
若，则a,b，c旳大小关系为( )A。
c>b〉aB。
b〉c〉aC. a〉b〉cD. b>a〉c6。
已知函数f（x）旳导函数为，且满足，则 =（ )A. 1B. —1C。
–e-1D。
-e7。
一个锥体旳主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体旳俯视图旳是（）8。
在二项式旳展开式中，前三项旳系数成等差数列，把展开式中所有旳项重新排成一列,有理项都互不相邻旳概率为（）A。
B. C.D。
9。
如图所示,F1 F2是双曲线（a〉0,b>0）旳两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF1｜为半径旳圆与该双曲线左支旳两个交点分别为A，B，且ΔF2AB是等边三角形，则双曲线旳离心率为（）A。
B。
C。
D。
10.函数f(x）=ax m（1-x）2在区间[0，1］上旳图象如图所示,则m旳值可能是（）A。
1B.2C。
3D.411。
设f（x）是定义在R上旳增函数，且对于任意旳工都有f(2-x）+f（x）=0恒成立。
2019年河南省郑州第二次质量预测理科数学(学大解析版)
2019年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学 题1】学大教育铁路局校区 鲁孟洁 若复数2b i i++为纯虚数，则实数b 等于 A. 3 B. 12- C. 13 D. 1- 【答案】B 【解析】()(2i)2122(2)(2)55b i b i b b i i i i ++-+-==+++-,因为该复数为纯虚数，所以210b +=,即12b =-,故选项B 正确. 2.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学 题2】学大教育铁路局校区 鲁孟洁 已知全集{}{}22,A ln(1),B 4x U R x y x y y -===-==,则()R A C B =A. ()1,0-B. [)0,1C. ()0,1D. (]1,0-【答案】D 【解析】{}A 11x x =-<<{}B 0y y =>,故C R B={}0y y ≤, 故()R A C B =(]1,0-.3.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学 题3】学大教育铁路局校区 鲁孟洁南宋数学家秦九韶在（数学九章）中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知20192018()2019201821f x x x x =++++，程序框图设计的是求0()f x 的值，在M 处应填的执行语句是A. 2018n i =-B. 2019n i =-C. 1n i =+D. 2n i =+【答案】B【解析】由题意知正整数n 的值为多项式的系数，所以M 处应填入的执行语句是“2019n i =- ”，故选项B 正确。
4.【2019年3月河南省郑州市二模理科数学 题4】学大教育铁路局校区 鲁孟洁在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布~(2,4)X N -的密度曲线）的点的个数的估计值为(附：2(,)X N μσ)，则P()0.6827X μσμσ-<≤+=,P(22)0.9545X μσμσ-<≤+=)A. 906B. 2718C. 1359D. 3413【答案】C【解析】由于曲线C 为正态分布~(2,4)X N -的密度曲线，2,2μσ=-=，故()()()022220P X P X P X <≤=-<≤--<≤()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+=()10.95450.68272-=0.1359，在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10000*0.1359=1359个点，故选项C 正确。
河南省郑州市2019年高三第二次质量检测理科数学(解析版)
设 CBD ，则 A1BD ABD 45 ，显然 CBD A1BD ，所以 0 22.5 ，
BE 2 3 cos(45 )
BE A1B cos(45 ) 2
3 cos(45 ), BM
cos
cos
6(1 tan ) ，
2 tan 22.5
由 tan 45
1 ，解得 tan 22.5 2 1 ，因为 0 22.5 ，所以 0 tan 2 1，
径，即 2R
(3
2)2 (3
2)2 32 3
3 5,R
5 ，外接球的体积V 4 R3 45
5
．
2
3
2
A
B
D
C
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设 x R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y [x] 称为高斯函数．例如：[2.1] 3 ，
．
13．答案：16
解析：设 {an } 的公比为
q
，则
a2 S3
a1q 2 a1(1 q
q2)
7
，所以
2q2
5q
2
0
，解得
q
2
或
q
1 2
，又
因为{an}是单调递增数列，所以 q 2 ， a5 a2q3 16 ．
43
14．已知 cos
3
cos
5
，则
cos
6
．
4
14．答案：
5
2x 3
[3.1] 3 ，已知函数 f (x)
，则函数 y [ f (x)]的值域为（
）
1 2x1
2019年河南省郑州市中考数学二模试卷 解析版
2019年河南省郑州市中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．（3分）如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（）℃．时间天气温度00：00晴朗﹣2℃01：00晴朗0℃02：00晴朗3℃03：00局部多云2℃A．2B．3C．4D．52．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2C．（﹣a3）2＝a6D．（ab3）2＝ab64．（3分）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D＝60°，∠ABC＝20°，则∠1的度数为（）A．25°B．40°C．50°D．80°5．（3分）某校八年级“我的中国梦”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成续各不相，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的统计量是（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P 运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，分别交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF若BD＝8，AF＝5，CD＝4，则下列说法中正确的是（）A．DF平分∠ADC B．AF＝3CF C．DA＝DB D．BE＝109．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2019的坐标是（）A．（0，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，0）D．（0，3）10．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．5B．C．8D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝．12．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．13．（3分）若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是．14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．三、解答题（共75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的根．17．（9分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件，某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长自己参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数；（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C两点．BC与AM的延长线交于点D．（1）求证：DM＝AM；（2）填空①当CM＝时，四边形AOCM是正方形．②当CM＝时，△CDM为等边三角形．19．（9分）如图：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象分别交于点A、C，点A的横坐标为﹣3，与x轴交于点E（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABCD的面积．20．（9分）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）21．（10分）郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵A原价销售以八折销售B原价销售以九折销售（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，P A＝，则：①线段PB＝，PC＝；②直接写出P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足，直接写出的值：．23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，0）．一条抛物线经过O，A，B三点，直线AB的表达式为，且与抛物线的对称轴交于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，求出面积S取得最大值时点P的坐标；（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF，在平移过程中，以A，D，Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．2019年河南省郑州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．（3分）如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（）℃．时间天气温度00：00晴朗﹣2℃01：00晴朗0℃02：00晴朗3℃03：00局部多云2℃A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可．【解答】解：3﹣（﹣2）＝5（℃）．故选：D．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．2．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【解答】解：该几何体的左视图如选项B所示，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．3．（3分）下列运算正确的是（）A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2C．（﹣a3）2＝a6D．（ab3）2＝ab6【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝﹣6a5，不符合题意；B、原式＝﹣3a3，不符合题意；C、原式＝a6，符合题意；D、原式＝a2b6，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D＝60°，∠ABC＝20°，则∠1的度数为（）A．25°B．40°C．50°D．80°【分析】利用平行线的性质求出∠EDF，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可．【解答】解：∵∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝70°，∵EF∥AB，∴∠DFE＝∠ABD＝70°，∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝50°，∴∠1＝∠DEF＝50°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（3分）某校八年级“我的中国梦”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成续各不相，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的统计量是（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．故选：C．【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P 运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP 和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（4﹣t）×t＝，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为cm2．故选：B．【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+3≤5，得：x≤1，解不等式﹣3x＜9，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，分别交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF若BD＝8，AF＝5，CD＝4，则下列说法中正确的是（）A．DF平分∠ADC B．AF＝3CF C．DA＝DB D．BE＝10【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE ∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝5，∴AE＝DE＝DF＝AF＝5，∵DE∥AC，∴，∵BD＝8，AE＝5，CD＝4，∴BE＝10，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，得出四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．9．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2019的坐标是（）A．（0，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，0）D．（0，3）【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可．【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2019÷6＝336……3，即点P2019的坐标是（0，3），故选：D．【点评】本题是生活中的轴对称现象，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律．10．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．5B．C．8D．2【分析】根据图1和图2得当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；当S＝15时，点P到达点D处，即可求解．【解答】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，∵AC＝AD，∴DE＝CE＝CD，当S＝15时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝（2AB）•BC＝3×BC＝15，则BC＝5，由勾股定理得AD＝AC＝，故选：B．【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝5．【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．【解答】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x，所以S大正方形＝25x2，S小正方形＝x2，S阴影＝24x2，则针尖落在阴影区域的概率为＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．13．（3分）若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1．【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当k＝0时，通过解一元一次方程可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可求出k的取值范围．综上即可得出结论．【解答】解：当k＝0时，解方程﹣3x﹣＝0得：x＝﹣，∴k＝0符合题意；当k≠0时，△＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣）≥0，解得：k≥﹣1且k≠0．综上所述，实数k的取值范围为k≥﹣1．故答案为：k≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况考虑是解题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是π﹣2．【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH＝S四，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．边形DMCN【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝2，四边形DMCN是正方形，DM＝．则扇形FDE的面积是：＝π．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝2．则阴影部分的面积是：π﹣2．故答案为：π﹣2．【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH＝S四边形DMCN是关键．15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为1或11．【分析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF＝CE，即可求解；【解答】解：如图1：将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵AB＝6，AD＝3，AE＝2，∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3，∴EC＝5，∴6﹣DF＝5，∴DF＝1；如图2：由折叠∠FEA'＝∠FEA，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；故答案为1或11；【点评】本题考查矩形的性质，图形的折叠；根据动点的情况分析出旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上是解题的关键．三、解答题（共75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的根．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由x2﹣2x＝0可以求得x 的值，再将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝＝，由x2﹣2x＝0，得x1＝0，x2＝2，当x＝2时，原分式无意义，当x＝0时，原式＝＝﹣1．【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．17．（9分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件，某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长自己参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数；（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各类别人数之和等于总人数求出B的人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）在这次抽样调查中，调查的学生总人数为80÷40%＝200（人），故答案为：200；（2）B类别人数为200﹣（80+60+20）＝40，补全图形如下：扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝72°；（3）估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数为600×＝60（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C两点．BC与AM的延长线交于点D．（1）求证：DM＝AM；（2）填空①当CM＝3时，四边形AOCM是正方形．②当CM＝时，△CDM为等边三角形．【分析】（1）根据切线的性质得：MA⊥OA，MC⊥OC，证明△MAO≌△MAO（HL），得MC＝MA，根据等边对等角得：∠2＝∠B，由等角的余角相等可得结论；（2）①直接可得CM＝OA＝3；②先根据等边三角形定义可得：DM＝CM，∠D＝60°，证明Rt△OCM≌△OAM（HL），得CM＝AM＝DM，可得结论．【解答】解：（1）如图1，连接OM，∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，∴MA⊥OA，MC⊥OC，在Rt△MAO和Rt△MCO中，MO＝MO，AO＝CO，∴△MAO≌△MCO（HL），∴MC＝MA，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，又∵∠DCM+∠OCB＝90°，∠D+∠B＝90°，∴∠DCM＝∠D，∴DM＝MC，∴DM＝MA；（2）①如图2，当CM＝OA＝3时，四边形AOCM是正方形；∵AO＝CO＝AM＝CM＝3，∴四边形AOCM是菱形，又∵∠DAB＝90°，∴四边形AOCM是正方形；②连接OM，如图3，∵△DCM是等边三角形，∴CM＝DM，∠D＝60°，∵∠DAB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵AB＝6，∴tan∠B＝tan30°＝＝，∴AD＝2，设CM＝x，∵OC＝OA，OM＝OM，∴Rt△OCM≌△OAM（HL），∴CM＝AM＝DM，∴CM＝AD＝；故答案为：①3；②．【点评】本题主要考查切线的性质及直角、等边三角形的性质、直角三角形特殊的全等判定、圆周角定理、三角函数的应用、正方形的判定等知识，难度适中，掌握圆周角定理和直角三角形特殊的全等判定是解题的关键．19．（9分）如图：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象分别交于点A、C，点A的横坐标为﹣3，与x轴交于点E（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由△ABE的面积是2可得出点A的坐标，由点A、E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）联立方程出点C的坐标，进而可得出BD、CD的长度，再利用S四边形ABCD＝S△ABD+S即可求出四边形ABCD的面积．△BCD【解答】解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A的横坐标为﹣3，∴OB＝3．∵点E（﹣1，0），∴BE＝2，∵S△ABE＝AB•BE＝2，∴AB＝2，∴A（﹣3，2），∵点A在反比例函数的图象上，∴a＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的解析式为y＝﹣．将A（﹣3，2）、E（﹣1，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）解得或，∴C（2，﹣3），∵CD⊥x轴于点D，∴OD＝2，CD＝3，∴BD＝5，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝BD•AB+BD•CD＝×5×2+×5×3＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是求出点A、C点的坐标．20．（9分）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）【分析】在直角△DEF中，根据三角函数的定义得到EF＝DE＝米．在直角△AEF中根据三角函数的定义得到AE＝EF•tan∠AFE≈×11.4＝24.78（米）．于是得到结论．【解答】解：由题意，可得∠FED＝45°．在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°，∴DE＝DF＝1.5米，EF＝DE＝米．∵∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°．在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝40°+45°＝85°，∴AE＝EF•tan∠AFE≈×11.4＝24.78（米）．在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，∴AB＝AE•sin∠AEB≈24.78×≈17（米）．故旗杆AB的高度约为17米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．21．（10分）郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵A原价销售以八折销售B原价销售以九折销售（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“B种树木的数量不多于A种树木的三分之一”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：，解得，即A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则（100﹣a），解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y＝0.8×150a+100（100﹣a），即y＝20a+10000．∵k＝20＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y最小．即当a＝75时，y最小值＝20×75+10000＝11500（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，P A＝，则：①线段PB＝4，PC＝2；②直接写出P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足，直接写出的值：．【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算；（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∴PB＝AB﹣P A＝6﹣2＝4，作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝HB＝AB＝3，CH＝AB＝3，∴PH＝AH﹣AP＝，∴PC＝＝2，故答案为：4；2；②P A2+PB2＝PQ2，理由如下：如图①，连接QB，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ，∴P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，∴P A2+PB2＝PQ2，故答案为：P A2+PB2＝PQ2；（2）如图②，连接BQ，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ，∴P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，∴P A2+PB2＝PQ2；（3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，＝＝；当点P在线段BA的延长线上时，设BC＝2x，则AB＝2x，∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，∴AH＝CH＝AB＝x，∵，∴AB＝4P A，∴P A＝AB＝x∴PH＝P A+AH＝x，由勾股定理得，PC＝＝x，∴＝＝．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A。
河南省郑州市2019届高三第二次质量预测数学(理)试卷
2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。
【1】若复数ii b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21-（C ）31 （D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （ ）（A ）)01(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）]01(，-【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：X ⁓),(2σμN ，则68.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。
）（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ） （A ）11)31( （B ）3)31( （C ）3 （D ）4【7】在ABC ∆Rt 中， 90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（ ）（A ）21- （B ）0 （C ）4 （D ）1-【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）（A ）2545π （B ）25135π （C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。
河南省六市2019年高三第二次联合调研检测数学(理)试卷(有答案)
2019年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ∈Z }，集合B ＝{y ｜y ＝2x ，x ∈Z }，则集合A ∩B 等于A ．{1，2}B ．（1，2）C ．{（1，2）}D ．2．若复数z 满足（3－4i ）z ＝｜3－4i ｜，则z 的虚部为A ．－4B ．45C ．4D ．－453．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学 生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1－2400编号，按编号顺序平均分 成30组（1－80号，81－160号，…，2321－2400号），若第3组与第4组抽出的号码 之和为432，则第6组抽到的号码是A ．416B ．432C ．448D ．4644．若等差数列{n a }的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最 小值时n 的值等于A ．7B ．6C ．5D ．45．设P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点PA ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的的中点，｜AB ｜＝AC ｜＝6，AE ＝12ED ，则AE ·EB 等于A ．－14B ．－9C ．9D ．147．设变量x ，y 满足不等式组001x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－4≤－3＋3≤，≥则z ＝｜x －y －4｜的最大值为A ．53B ．72C ．133D ．6 8．函数22xx x f x －2－3（）＝的大致图象为9．设实数a ，b ，c 分别满足a ＝125－，b1nb ＝1，3c 3＋c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c10．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左焦点，A 、B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A．2 B ．12 C ．13 D ．1411．已知数列{n a }中，1a ＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有m n a ＋＝m a ＋n a ＋mn ，则201911i i a ∑＝ ＝A ．20192020B ．20182019C ．20181010D ．2019101012．已知函数f （x ）＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0（k ＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，则（x 1－x 2）tan （x 2－2x 3）＝A ．－2B ．－12C ．0D ．1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan （x ＋4）＝2，x 是第三象限角，则cosx ＝_________．14．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率）_________．15．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为直线l ，过点M （5，l 的垂线，垂足为H ，则∠FMH 的角平分线所在的直线斜率是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测数学理试题
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测理科数学一、选择题:本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求. 1. 已知命题p: ∀32,80,x x >-> 那么⌝p 是A. ∀32,80x x ≤-≤ B. ∃32,80x x ≤-≤ C. ∀32,80x x >-≤ D. ∃32,80x x >-≤ 2. 若复数z 满足(2)12i z i -=+，则z 的虚部为 A.55B.55iC. 1D. i3. 阅读右边的程序框图， 则输出的S 为A. 6B. 10C. 14D. 30 4. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是A. 0ab =B. 0a b +=C. 220a b += D. a b = 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 112 B. 80 C. 72D. 646. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l ⊥α, α⊥β, 则l ∥β; ②若l ∥α, α∥β, 则l ∥β; ③若l ⊥α, α∥β, 则l ⊥β; ④若l ∥α, α⊥β, 则l ⊥β. 其中正确命题的个数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）45 6 7 8 9 销量y （件） 908483807568由表中数据，求得线性回归方程为ˆ4yx a =-+.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左OBP A C下方的概率为A. 16B. 13C. 12D. 238. 将函数y =()f x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22sin y x =，则函数()f x 的表达式可以是A. 2sin xB. 2cos xC. cos2xD. sin 2x9. 设实数,x y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1, 则22x y +的取值范围是A. [1,2]B. [1,4]C. [ 2 ,2]D. [2,4]10.如图，F 1，F 2是双曲线2221(0)24x y a a -=>的左、右焦点，过 F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ,若∆ABF 2为等边三角形，则∆BF 1F 2的面积为A. 8B. 8 2C. 8 3D. 16 11. 如图所示，点A 、B 、C 是圆O 上一点，线段OC 与线段AB 交于圆 内一点P, 若→OC =m →OA +2m →OB ，→AP =λ→AB ，则λ=A. 56B. 45 C. 34 D. 2312. 在平面斜坐标系xoy 中，x 轴方向水平向右，y 轴指向左上方，且∠xoy=2π3. 平面上任一点P 关于斜坐标是这样定义的：若→OP =12xe ye +（其中向量12,e e 分别为x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(,)x y .那么以O 为顶点，F(1,0)为焦点，x 轴为对称轴的抛物线方程为 A. 231680y x y -+= B. 231680y x y ++= C. 231680y x y --=D. 231680y x y +-=二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 若sin(π3-α)= 14，则cos(π6+α)=14. 我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2019是“北斗数”），则“北斗数”中千位为2的共有 个 .15. 已知1a >, 且函数xy a =与函数log x a y =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为_______.16.已知,x y ∈(-12 ,12 ), m ∈R 且m ≠0, 若22ln tan 2,212tan ln 2,11tan x x m xy y m y y-⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-+-⎪⎩ 则y x =_______.三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知正项数列{}n a , 若对于任意正整数p 、q 均有2p qp q a a +⋅= 成立.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若,n n b na = 求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分）正∆ABC 的边长为2， CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将∆ABC 沿CD 翻成直二面角A -DC -B （如图（2））.在图（2）中：（Ⅰ）求证：AB ∥平面DEF ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE?证明你的结论； （Ⅲ）求二面角E -DF -C 的余弦值.19. (本小题满分12分）为了迎接2019年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次B A取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖.活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．20. (本小题满分12分）已知平面上的动点(,)R x y 及两定点A(-2,0)，B(2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2=- 34, 设动点R 的轨迹为曲线C. (I)求曲线C 的方程；(II)四边形MNPQ 的四个顶点均在曲线上，且MQ ∥NP,MQ ⊥x 轴，若直线MN 和直线QP 交于点S(4,0).问：四边形MNPQ 两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.(本小题满分12分）已知函数()xf x xe -=.(I)求函数()f x 的单调区间和极值；(II)当01x <<时()()kf x f x>，求实数k 的取值范围.请考生从22、23、24三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并用铅笔在对应方框中涂黑.22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F. (I ）证明: A E F M 、、、四点共圆； (II)若MF=4BF=4，求线段BC 的长.23. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线l :sin()4πρθ-=(I)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(II)求直线l 与圆O 的公共点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤< .24. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲已知函数()|2|5f x x a x =-+. （Ⅰ）求不等式()51f x x >+的解集；（Ⅱ）若不等式()f x ≤0的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值.理科数学 参考答案一、 选择题BADC CABD BCDA 二、 填空题13．1;4 14．21; 15．(,);e e 16．1.2-三、解答题17．解（Ⅰ）由已知，令p q n == 可得22n n n a a ⋅= ，------2分因为0n a > ，所以2n n a = ．------5分（Ⅱ）2n n n b na n ==⋅ ，------6分 1231122232(1)22,n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ① 23412122232(1)22,n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ②由①-②得：1231122222,n n n S n +-=⋅++++-⋅------8分即：12(12)2.12n n n S n +--=-⋅-------10分 整理可得：1(1)2 2.n n S n +=-⋅+------12分18． 解（Ⅰ）如图(2):在ABC ∆中,由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF //AB ，又⊄AB 平面DEF ,⊂EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ------4分 （Ⅱ）以点D 为坐标原点,以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系． 则3113(0,0,1),(100(0,3,0),(0,,),(,,0),2222A B C E F ，，）, (1,0,1),(1,3,0),AB BC =-=-3113(0,,),(,,0).2222DE DF == 设BP BC λ= ，则(1,3,1)AP AB BP λλ=+=--， –---7分注意到11033AP DE AP DE BP BC λ⊥⇔⋅=⇔=⇔=， ∴在线段BC 上存在点P ,使AP ⊥DE ． ------9分（Ⅲ）平面CDF 的法向量(0,0,1)DA =，设平面EDF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取(3,3,3)n =- ，----10分721||||cos =⋅⋅>=⋅<n DA n DA n DA ，所以二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721． ---12分 19．解（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是226(),nC P A C = ------3分由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n =------5分（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3， -----6分23261(1).5C P C η===------7分 2211233332222264641(2)5C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=，------9分3(3)1(1)(2)P P P ηηη==-=-==，则η 的分布列为： ------11分所以113121235555E η=⨯+⨯+⨯= ．------12分20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-， 则3224y y x x ⋅=-+-，--------2分整理得,曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠．-----------5分 （Ⅱ）设MP 与x 轴交于(,0)D t ，则直线MP 的方程为(0)x my t m =+≠， 记1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，由223412,x y x my t ⎧+=⎨=+⎩消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分所以2248(34)0m t ∆=+->，且1,2262(34)mt y m -±=+，故12221226,34312,34mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩------------9分 由M N S 、、三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--， 所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，----10分所以222(312)6(4)034m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =， 所以直线MP 过定点(1,0)D ，同理可得直线NQ 也过定点(1,0)D ，即四边形MNPQ 两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1,0)．--------12分21．解（Ⅰ）由题知()(1)()R x f x x e x -'=-∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，----3分所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，其极大值为1(1)f e=，无极小值．-----------5分（Ⅱ）由题知01x <<， 当0k ≤时，因为01kx x≤<<，由⑴知函数在(,1)-∞单调递增，所以()()kf x f x>，符合题意；-------7分当01k <<时，取x k =，可得()(1)f k f >，这与函数在(,1)-∞单调递增不符；9分当1k ≥时，因为11k x x≥>，由⑴知函数()f x 在(1,)+∞单调递减， 所以1()()k f f x x ≤，即只需证1()()f x f x>，即证11xx xe e x -->，即1ln ln x x x x ->--，12ln 0x x x -+>，令1()2ln (01)h x x x x x=-+<<，则222221(1)()0x x x h x x x-+--'==-<对01x <<恒成立， 所以()h x 为(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，所以()()kf x f x>，符合题意．-------11分综上：(,0][1,)k ∈-∞+∞为所求．------------12分 22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ︒∠= ， 又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ︒∠=∠=，因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆， 所以BF BM BE BA ⋅=⋅ ，------6分 在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅ ，------8分又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，5BC =．---10分 23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分直线2:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分 （Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得220,10x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得0,1x y =⎧⎨=⎩，------6分即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分将（0,1）转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即为所求．------10分24．解 （Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，即21x a ->或21x a -<-，------2分 解得：12a x -<或12a x +>，所以，不等式()51f x x >+的解集为11{|}22a a x x x -+<>或 ．------4分 （Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，即52,25x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩ ，化简得,37a x ax ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩．------6分 若0a < ，则原不等式的解集为{|}7ax x ≤={|1}x x ≤-，此时，7a =- ；-----8分若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3ax x ≤-={|1}x x ≤-，此时，3a = ．综上所述，7a =- 或3a = ．------10分。