向量组的等价及向量组的秩
向量组的秩
2 2 0 0
1 0 → 0 0
1 2 0 − 10 1 1 2 0 6 0 → 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 − 16 1 2 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0
1 −1 0 1 → 0 0 0 0 24 1 0 0 4 0 1 → 0 0 1 − 10 0 0 0 0 0
4 1 −1 2 2 0 3 1 → 0 3 1 14 0 0 −1 0 2 4 1 −1 0 − 4 0 −1 → 0 0 1 2 0 0 0 0
α4=(－1,3,2,1)T, α5=(－2,6,4,1)T
1 −1 0 −1 − 2 6 −1 2 1 3 解：(α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 ) = 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 1 −1 0 −1 − 2 1 −1 0 0 1 1 2 4 0 1 1 → → 0 0 0 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 0 0 0 −1 − 2 2 4 0 0 3 5
0 − 1 1 − 1 1 2 0 1 → 0 0 0 3 0 0 0 0
0 − 1 1 2 0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
∴ α 3 = α1 + α 2 + 0 ⋅ α 4
例：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该 极大无关组表示其他向量： α1=(1,－1,0,0)T,α2=(－1,2, 1,－1)T,α3=(0,1,1,－1)T,
28 0 4 1 − 10 0 0 0
线性代数第三章3-3
事实上，α1 ,α2 线性无关是毫无疑问的，此外
α1 = 1⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 α 2 = 0 ⋅ α1 + 1⋅ α 2 α3 = 2 ⋅ α1 + 1⋅ α 2
即 α1 ,α2 , α3 中的任一个都可由α1 ,α2 线性表示， 所以 α1 ,α2 就是 α1 ,α2 , α3 的一个极大线性无 关组。
也线性相关； 2）如果 β 1 , β 2 , L , β m 线性无关，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 1 , α 2 ,L , α m
也线性无关。
证 1）设 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关，则存在一组 不全为零的数k1,k2,…,km，使得
k1α1 + k2α 2 + L + kmα m = 0
即
a11k1 + a12 k2 + L + a1m km = 0 LLLLLLLLLLLL ar1k1 + ar 2 k2 + L + arm km = 0 LLLLLLLLLLLL an1k1 + an 2 k2 + L + anm km = 0
β 1 , β 2 , L , β t 线性表示， 所以可设
α
j
=
∑1 k ij β i ( j = 1,2,L, s ) i=
t
即
α1 = k11β1 + k21β 2 + L + kt1β t α 2 = k12 β1 + k22 β 2 + L + kt 2 β t α s = k1s β1 + k2 s β 2 + L + kts β t
第四章3 向量组的秩1
a 证明向量组 1 , a2
b1 , 与 b2 , b3
等价.
证明 记 a , a , B b , b , b ，根 A 1 2 1 2 3 据定理 1的推论，只要证 R A R B R A, B , 为此 A, B 把矩阵 化成阶梯形式：
1 1 A, B 1 1 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 2 2 1 0 1 1 r 0 4 0 2 1 1 1 1 1 0 2 3 3 3 3 1 2 0 0 6
1 2 即 b3 b1 b2 , 3 3 8 7 1 b5 b1 b2 b4 , 9 18 6 而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向 量组之间的线性关系，因此，对应地有 1 2 a3 a1 a2 , 3 3 8 7 1 a5 a1 a2 a4 . 9 18 6
容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式， 故
R B 2 R B R A, B 2, 又 R R 于是知 B 2 . 因此A R B R A, B , a b1 , 从而向量组 1 , a2 与 b2 , b3 等价.
1 r 0 0 0
一个最大无关组，称数 r 为向量组 A 的秩．
（2）向量组 A 中的任意 r 1 个向量均线性相关，
定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称
为该向量组的秩． 例1 只含零向量的向量组没有最大无关组，
规定它的秩为零．
例2
n 维向量的全体组成的集合记作 R 则 n 维单位坐标向量 e1 , e2 ,, en
无关向量组（简称最大无关组）．
定理2
设有向量组 A :
a1 , a2 ,, as ;
第三节 向量组的秩
A B.
5
向量组的等价是向量组之间的一种关系， 易知，这种关系具有如下三条性质： ⑴ 反身性
AA
⑵ 对称性 若 A B, 则 B A ⑶ 传递性 若A B, B C , 则 A C .
(因为线性表出具有传递性) 为了讨论向量组的任意两个极大线性无关 组之间的关系，我们先讨论向量组与它的极大 线性无关组之间的关系。
中线性无关的向量的个数至多是r，任意r+1个 向量都线性相关。
15
, s 线性无关 ⑵ 向量组 1， 2， 秩 1， 2， , s s . , s 线性相关 ⑶ 向量组 1， 2， 秩 1， 2， , s s .
定理3： 设有两个 n 维向量组 A : 1， 2， , s; B : 1， 2， , t ; 若 A 可由B 线性表出, 则 秩 1， 2， , s 秩 1， 2， , t .
, ir 向量组都线性相关, 则称部分组 i1， i2，
, s 的一个极大线性无关组． 是向量组 1， 2，
2
说明： ⑴ 全由零向量组成的向量组没有极大线性 无关组．
⑵ 任意含有非零向量的向量组，必有极大
线性无关组． ⑶ 线性无关的向量组的极大线性无关组是 其本身． ⑷ 向量组的极大线性无关组不一定唯一。
16
i 1 , i 2 , ..., ir 为向量组A的极大线性无关组， i 1 , i 2 , ..., ip 为向量组B的极大线性无关组，
则 i 1 , i 2 , ..., ir 可由 i 1 , i 2 , ..., ip 线性表出，
, s 秩 1， 2， , t . 且r p,即秩 1， 2，
5 1 1 3 5 1 1 3 A 0 4 4 4 0 1 1 1 1 2 4 1 法 ⑴将向量组的向量作为列构成一个矩阵A，
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
第三章 第二讲 向量组的秩
反之，若 k1 1 + k2 2 + + kn n 0 ，即 k1 k1 k k2 2 2， ， n B 0 1， 1 kn kn 又由 A P B 知
1 1 ..... 0 1 0 0 0 0
A的列秩 r ( A) 3,
1, 2, 4 为向量组的一个极大线性无关组。
12
例3 求列向量组 α1, α2 , α3 , α4 , α5 的一个极大无关组, 并把其余
向量用该极大无关组线性表示出来。
解：先将矩阵A化作行阶梯型
1 0 A 2 1 1 2 0 1
0 1 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0
4 1 1 3 2 1 3
5 0 1 1 2 1 3
即
4 1 3 2 3 , 5 0 1 2 3
15
练习：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该极大线性无 关组表示其他向量 T T T 1 (1, 1, 0, 0), 2 (1, 2, 1, 1), 3 (0, 1, 1, 1),
(2) α3 α1 α2 , α 4 α1 α 2 , α1 , α2 , α3及α1 , α2 , α4都线性相关
α1, α2 分量不对应成比例，故 α1, α2线性无关，
α1 , α2为极大无关组
α1 , α 4与 其实，
α2 , α4 也都是极大无关组
（1）非零向量组一定有极大无关组； 由上例可知， （2）一个向量组的极大无关组一般是不唯一的； （3）极大无关组包含的向量的个数一样.
7
综上知，行初等变换不改变矩阵列向量组的线性相关性. 类似可得，列初等变换不改变矩阵行向量组的线性相关性.
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
3-2 向量组的秩和最大无关组
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
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向量组的等价及向量组的秩
一 基本概念
1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈L ，若有
（1）12,,,r αααL 线性无关；
（2）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示。
那么，则称12,,,r αααL 是T 的一个极大无关组。
称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。
T 的秩数记为()R T 。
2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s αααL 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββL 。
如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。
3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。
A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。
二 主要结论
1 简化行阶梯形矩阵的性质
（1）主列构成的向量组线性无关；
（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。
（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。
2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。
3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。
4 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。
那么，如果s t >，则向量组12,,,s αααL 必线性相关。
等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。
那么，如果向量组12,,,s αααL 线性无关，则必有s t ≤。
推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。
即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。
推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。
推论3：等价的向量组的秩数相等。
5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。
6 设A 为n 阶方阵，则下述条件等价：
（1）A 为可逆矩阵：
（2） 0A ≠；
（3）()R A n =：
（5）行秩A =列秩A =n
（6）A 的列向量组线性无关；
（7）A 的行向量组线性无关；
例 题
一 计算题
1 求向量组1102112112,,,,2311101133-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。
2 已知向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭与12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有
相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值。
二 单项选择题
1设n 维向量组（Ⅰ）：123,,ααα与向量组（Ⅱ）：1234,,,αααα的秩均为3，向量组（Ⅲ）：
1235,,,αααα的秩为4，则向量组12354,,,ααααα-的秩为
（A ） 2， （B ） 3， （C ） 4， （D ） 5。
2设12,,,s αααL 与12,,,t βββL 是两个n 维向量组，且秩12(,,,)s αααL =秩12(,,,)t r βββ=L ，则
（A ） 两个向量组等价；
（B ） 秩1212(,,,,,,,)s t r αααβββ=L L ；
（C ） 当12,,,s αααL 可由12,,,t βββL 线性表示时，12,,,t βββL 也可由12,,,s αααL 线性表示；
（D ） 当s t =时，两个向量组等价。
三 证明题
1设T 是一个向量组，12,,,r T ααα∈L ，且12,,,r αααL 线性无关，证明下述两条件等价：
（1）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示；
（2）T 中任何1r +向量都线性相关。
2 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈L ，证明若12,,,r αααL 线性无关，则12,,,r αααL 为T 的一个极大无关组。
3 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈L ，证明若T 中任何向量都可由12,,,r
αααL 线性表示，则12,,,r αααL 为T 的一个极大无关组。
4设向量12(1)s s αααα=+++>L ，而11βαα=-，22,,βαα=-L s s βαα=-，证明：秩12(,,,)s αααL =秩12(,,,)s βββL ；
5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。
但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。
6 设111121230012A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
，B 为33⨯矩阵，且0AB =，证明B 的列向量组线性相关。
作 业
1设向量组12,,,s αααL 的秩为r ，其中 1,0s r >>，则
（A ） 必有r s <；
（B ） 向量组12,,,s αααL 中任意个数小于r 的部分向量组必线性相关；
（C ） 向量组12,,,s αααL 中任意r 个向量必线性无关；
（D ） 向量组12,,,s αααL 中任意r +1个向量必线性相关。
2 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。
则下列结论正确的是
（A ） 当s t >时向量组12,,,s αααL 线性相关；
（B ） 当s t <时向量组12,,,s αααL 线性相关；
（C ） 当s t >时向量组12,,,t βββL 线性相关；
（D ） 当s t <时向量组12,,,t βββL 线性相关。
3设A 为m n ⨯矩阵，且()R A m =，则
（A ） A 的行向量组与列向量组都线性无关；
（B ） A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；
（C ） 当m n ≠时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；
（D ） 当m n ≠时，A 的行向量组与列向量组都线性无关。
4 求向量组1122220112,,,,1302421123⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。
5 设有向量组123411321326,,,15110312p p αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1）p 为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量41610α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
用1234,,,αααα线性表示；
（2）p 为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。
6 设T 是一个向量组，12,,,m T ααα∈L ，若T 中任何向量都可由12,,,r αααL 唯一线性表示，证明12,,,r αααL 为T 的一个极大无关组。
7 设n 维向量组（Ⅰ）：12,,,s αααL ，的秩为1r ，向量组（Ⅱ）：12,,,t βββL 的秩为2r ，向量组（Ⅲ）：12,,,s αααL ，12,,,t βββL 的秩为3r ，证明下列结论：
（1）若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则2r =3r ；
（2）若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则1r =3r ；
（3）若2r =3r ，则12r r ≤；
（4）若1r =3r ，则21r r ≤。
8 设向量组12,,,m αααL 的秩为r ，证明向量组12,,,,m αααβL 的秩仍为r 的充分必要条件是β可由12,,,m αααL 线性表示。