向量组的秩向量空间简介
4向量组的秩
i a1i a2i L ami T (i 1,2,L , n)
T
i a1i a2i L ami am1,i (i 1, 2,L , n) 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.
7
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义
a11
矩阵
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
,
M
am1
am1
L
amn
Ａ的列向量组的秩称为列秩.
Ａ的行向量组的秩称为行秩.
8
定理3.11 A为m n矩阵,r(A) r的充分必要条件是：A
的行秩、列秩都为 r.
9
证 必要性.设A = (a1,a2 ,L ,am )，r( A) = r,并设r阶子式 Dr ¹ 0. 由Dr 0知所在的r列线性无关；
r 1 , 2 , s r1，2， n 由定理3.11知 rAB rA
类似，有 rAB rB
故，rAB minrA,rB.
17
五、向量空间的基与维数
定义 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1,2 ,L ,r 若满足：
① 1,2 ,L ,r 线性无关； ② j V , j ,1,2,L ,r 线性相关. 则称1,2 ,L ,r 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 记作：dimＶ.
Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，
且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.
18
注意： 零空间的维数是0.
向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
第11讲向量组的秩与向量空间
4 例 .在R 中取定一组基a1,a2 , a3，再取一个新基 b1, b2 , b3，记A = (a1,a2 ,a3 )，B = (b1, b2 ,b3 )，求用 a1,a2 ,a3表示b1,b2 , b3的表示式(基变换公式)，并 求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标 变换公式). Q 解： (a1, a2 , a3 ) = (e1, e2 ,e3 )A ， ∴(e1,e2 , e3 ) = (a1, a2 , a3 )A−1， 又(b1, b2 ,b3 ) = (e1,e2 , e3 )B ∴(b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )A−1B ( 即基变换公式为： b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )P 其中P = A−1B.
1.定义：在向量空间V 1.定义：在向量空间 中，如果存在 n 个元素 定义 a1,a2,…,an满足： 满足： 1)a1,a2,…,an线性无关； 线性无关； 2)V 中任一元素 a 总可由 1,a2,…,an线性表示， 总可由a 线性表示， 那么， 就称为向量空间V 的一个基， 那么， a1,a2,…,an就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间V 的维数. 基中元素的个数 n 称为向量空间 的维数 维向量空间， 维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记 作Vn。
3
设向量x在旧基和新基中的坐标分别是： (y1, y2 , y3 )T，(x1, x2 , x3 )T，即有 y1 x1 x = (a1, a2 ,a3 ) y2 ，x = (b1, b2 ,b3 ) x2 y x 3 3 y1 x1 y1 x1 故:A y2 = B x2 ⇒ y2 = A−1B x2 y x y x 3 3 3 3 y1 x1 y2 = P x2 即 y x 3 3
线性代数课件--09向量组的秩与向量空间-精选文档
三、最大无关组的等价定义
1. 结论的引入 问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？ : , , , : , 设向量组 A 1 2 m 0 i, i, i是向量组 A 的最大无关组， 显然，向量组 A 0 能由向量组 A 线性表示： 0 0 1 0 0 i 1 i 1 i i 1 m s s s s
1 2 r
1 2 r
1 2
另一方面，因为向量组 A 0是向量组 A 的最大无关 组，所以向量组 A 中任意 r 1 个向量都线性相关， 特别地，对于A 中任一向量 j ，向量组 , 能 由 , , j, i, i, i 线性相关，因此 j i i, i 线性表示，即向量组 A 能由向量组 A 0 线性表示. 所以向量组与其最大无关组等价. 9
1 2 r
(A ,所以 A 中存在 根据最大无关的定义，知 R 0)r 0 r 阶非零子式，即矩阵 A 中含有r 阶非零子式. 另一方面，如果 A 中有r 1阶子式 Dr 1不为零，则 , 矩阵 A 中Dr 1 所在的 r 1 列 j, j, j 线性无 , , , ) r 1 关（因为矩阵 ( ）. j j j 1 2 r 1 的秩为 , 这与 的列向量组的最大无关组矛 i, i , i是 A 盾. 因此 R (A )r. 即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.
第 主要内容 向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及 九 等价定义； 讲 向 量 组 的 秩 与 向 量 空 间
向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩 和最大无关组的求法； 向量空间的概念，向量空间的基和维数、子 空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.
理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概 念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用 矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组. 知道向量空间、向量空间的基和维数、子空 间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在 基中的坐标.
线性代数4-2 向量组的秩
第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。
定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。
向量空间的结构
杨建新
第三节 向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第 三 章 维 向 量 空 间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节 向量空间的结构
， 结论 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr 所在的r列即是列向量组的一个 极大无关组，
第 三 章 维 向 量 空 间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个 极大无关组 .
如阶梯形矩阵 说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为 在基 1 , 2 , , n
设 下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足 （1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关； （2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个 数r称为 向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解， 即(b,, br ) x 0有非零解， 这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
2-2 向量组的秩
β1 =α1 −α3, β2 =α1 −α2, β3 = −α1 +α2 +α3
所 这 个 量 等 . 以 两 向 组 价
定理 向量组都与其极大线 性无关组等价。 性无关组等价。它的任何 两个极大线性无关组等价。 两个极大线性无关组等价。
证明 此时无声 胜有声
定理 两个等价的线性无关向量组 所含向量个数相等。 所含向量个数相等。 证明 尽在不言中
不具有唯一性。
例1
解
例2
求 α 1 = (1,2,3,4,−3) ， α 2 = (1,2,0,−5,1) ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 3 = ( 2,4,−3,−19,6) ， α 4 = (3,6,−3,−24,7 )
的一个极大线性无关组。 的一个极大线性无关组。
解
α 1 ， α 2 是一个极大线性无关组。 是一个极大线性无关组。
二、向量组 的等价、 的等价、秩
同一向量组的 两个极大线性无关 组所含向量个数有 什么关系？ 什么关系？ 回忆： 回忆：方程组中利用线 性组合定义的等价。 性组合定义的等价。
定义 (Ⅰ): α1, α2, …, α r , (Ⅱ): β1, β 2, …, Ⅰ Ⅱ βs ,若组 Ⅰ) 中每一个向量都可由 Ⅱ)中的 若组(Ⅰ 中每一个向量都可由(Ⅱ 中的 若组 向量线性表出，则称组(Ⅰ 可由 可由(Ⅱ 线性表 向量线性表出，则称组 Ⅰ)可由 Ⅱ)线性表 若组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 可以互相线性表出 可以互相线性表出， 出.若组 Ⅰ)与组 Ⅱ)可以互相线性表出， 若组 称组(Ⅰ 与组 与组(Ⅱ 等价 等价. 称组 Ⅰ)与组 Ⅱ)等价
《向量组的秩》课件
在数学、物理中的应用
向量组的秩在数学和物理领域有着广泛的应用，例如解决线性方程组、矩阵分析、以及空间 几何等问题。
向量组的秩的发展趋势
随着数学和科学的不断发展，向量组的秩的研究也在不断深化，新的应用和问题不断产生。
向量组的秩
向量组的秩是线性代数中一个重要的概念，它涉及了向量组的定义、线性相 关和线性无关、以及秩的计算方法。本课件将带你领略向量组的奥秘和应用。
向量组的定义和基本性质
向量组的概念
向量组是由一组向量构成的集合，它可以用于描 述多个有关联的量。
向量组的线性相关和线性无关
向量组中的向量可能具有相关性，也可能是线性 无关的，这取决于线性方程组的解的个数。
2
等价向量组的秩相等
对于等价向量组，它们的秩是相等的。而等价向量组是通过初等行变换相互转化而得到的。
3
初等行变换与秩的关系
通过初等行变换可以改变矩阵的行，而秩受到这些变换的影响。
4
矩阵的秩和向量组的秩
矩阵的秩和矩阵所表示的向量组的秩是相等的，它们之间有着密切的联系。
线性方程组和矩阵的应用
齐次线性方程组的解 的性质
向量组的线性表示
向量组可以通过线性组合表示其他向量，例如向 量a和向量b的线性组合为ka+lb。
向量组的极大线性无关组和秩的定义
一个向量组的极大线性无关组是该向量组的最大 线性无关集合。向量组的秩是极大线性无关组的 向量个数。
秩的性质和计算方法
1
秩的基本性质
秩满足一系列性质，例如当线性方程组有唯一解时，其秩等于方程组中的未知数个数。
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定理1 若一向量组的秩为r,则该向量组中的任意
r+1个向量都线性相关.
推论 若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个
线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定理2 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m
线性表示，则 R{1, 2 , , s } R{1,2 , ,m }.
推论 等价的向量组的秩相同. 定理3 对任意向量组 1,2 , ,m，有
R{1,2 , ,m } R(1,2 , ,m ).
注：矩阵A的秩等于它的列（行）向量组的秩.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例1.设 1 (1,0,1,2)T ,2 (0,1,1,2)T ,3 (1,1,0, k)T , 4 (1,2, k,6)T ,5 (1,1,2,4)T，求向量组1,2 ,3 ,4 ,5
注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是 不同的.
§3 向量组的秩、向量空间简介
基变换
（1）定义6 设V是一个向量空间，1,2 , ,m;1, 2 , , m
为V中的两个基，设
1 a111 a212 am1m
2 a121 a222
am1 am2
a1m
a2m
amm
为由基 1,2 , ,m到基 1, 2 , , m 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m
的基变换公式．
§3 向量组的秩、向量空间简介
（2）性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基1,2 , ,m到基1, 2 , , m过渡矩阵为A,
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间： V1 {( x1, x2 , , xn1,0)T xi R, i 1, 2, , n 1} V2 {( x1, x2 , , xn1,1)T xi R, i 1, 2, , n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量 空间 , V ,k,l, k l V .
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV.
规定：零向量空间没有基，维数定义为0.
判别.设 1,2 , ,m是V中m个向量,则 1,2 , ,m
是V的一个基的充要条件是
i) 1,2 , ,m 线性无关； ii) V中任意向量都可由 1,2 , ,m 线性表示.
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1,2 , ,m ) R{1,2, ,m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
则由基1, 2 , , m到基1,2 , ,m 过渡矩阵为A-1.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1,2 , ,m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为 k11 k22 kmm (1,2 ,
k1
,m
)
k2
km
称数组 k1, k2 , , km 为向量 在基 1,2 , ,m 下坐标.
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 *二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1,2, ,m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1,2, ,m }.
am2m
①
m
a1m1
a2 m 2
ammm
即，
§3 向量组的秩、向量空间简介
a11 a12
a1m
(1,2,
, m ) (1,2,
,
m
)
a21
a22
am1 am2
a2m
amm
②
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间．
例5. 若向量组 1, 2 , , s 可由 1,2 , ,m 线性 表示，则 L(1, 2 , , s )是 L(1,2 , ,m )的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其 余向量.
例2.设向量组 1, 2 , , m 可由 1,2 , ,m 线性表示，
j a1 , m), A=(aij ).证明 1）若矩阵A不可逆，则向量组1, 2 , , m 线性相关. 2）若1,2 , ,m 线性无关，则 1, 2 , , m线性无关
的充要条件是矩阵A可逆.
§3 向量组的秩、向量空间简介
二、向量空间简介
1.基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若
, V ,k , 有 ，k V ,
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 定义2. 设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量 的加法和数乘两种运算封闭，则称V是一个向量空间.
例4.设 1,2 , ,m 是n维向量组，则集合 V { k11 k22 kmm，k1, k2 , , km R} 是一个向量空间，称为由 1,2, ,m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间.