向量组的秩
向量组 的秩
0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n
4.3向量组的秩
的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.
1 2 1 0 3 4 1 2 r A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3 1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0 x 2 2 x 3 3 x4 0
把上式记作x c11 c2 2
S能由向量组1 , 2线性表示， 1 , 2的四个分量不成比例， 又
因此根据最大无关组的等价定义知 所以1 , 2线性无关． 1 , 2是S的最大线性无关组，从而Rs =2.
例10 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明向量组A与向量组B等价.
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无
关组的列向量用最大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 2 1 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 2 1
因此Dr 所在的r列是A的列向量的一个最大无关组, 所以列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
向量组a1 , a2 , , am的秩也记作R(a1 , a2 , , am )
从上面证明中可看出：若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式,则
Dr 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，
行阶梯形矩阵有3个非零行，R( A) 3，故列向量的最 大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1,2,4列，
1 1 2 1 1 1 1 r 0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0
向量组的秩
第四节向量组的秩定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。
定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。
等价向量组的性质：(1) 反身性：任一向量组和它自身等价。
(2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。
(3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。
定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s<t ，则向量组(B)线性相关。
证明：由已知可得：s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = （1） 若存在一组数t K K K ,,,21 ，使得02211=+++t t K K K βββ （2） 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。
把(1)式代入(2)式得：)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα （3）整理后得)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα （4）因为s<t ，故齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111t st s s tt t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a （5）有非零解。
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
向量组的秩
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
3
（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1
向量组的秩
−1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
三、向量组的秩与矩阵的秩的 关系
a11 a12 a 21 a 22 定义 9 矩阵 A = L L a m 1 am 1 量组成的向量组的秩， 量组成的向量组的秩， 称为矩阵 的列秩， 的列秩，记为 c ( A ). a1 n L a2n 的行向 L L L a mn A 的行秩，记为 的行秩， L
组等价知， 证 由A组与B组等价知， A组可由 B组线性表 示，利用定理 2可知r ≤ s;同理可得 r ≥ s .从而r = s .
推论1 两个线性无关的等价向 量组必含有 推论1 相同个数的向量。 相同个数的向量。 大线性无关组， 推论 2 一个向量组若有两个极 大线性无关组， 相等。 则它们所含向量的个数 相等。
第三节 向量组的秩
返回Байду номын сангаас
k1a 11 k 2 a21 kr ar 1 0, k1a12 k 2a22 kr ar 2 0, k1a1 s k 2 a2 s kr ars 0.
以上述 r 个数 k1 ,k2 , ,kr 作线性组合
又 Ar 线性无关, 由定理五知 r s.
同理可得 s r.
故
r s.
17
证毕.
返回
注意: 秩相等的向量组未必等价.
例如: A : 1 (1,0,0), 2 (0,1,0).
A的秩=2. B : 1 (0,1,0), 2 (0,0,1). B的秩=2.
1可由1 , 2线性表示,
则称A为T 的一个最大无关组. 例1. 向量组 T : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 试求T 的一个最大无关组, 其中
1 (1,1,1), 2 (0,2,4), 3 (1,1,5), 4 ( 2,0,6), 5 ( 3,1,7).
4
返回
证明: 反证法. 若 r > s . A可由B线性表示, 即 1 a11 1 a12 2 a1 s s , 2 a21 1 a22 2 a2 s s , r ar 1 1 ar 2 2 ars s . (1)式的系数构成 r 个 s 维向量
但 2不能由1 , 2线性表示.
A与B不等价.
18
返回
思考题 1.已知两向量组
s1 : 1 , 2 m ; s2 : 1 , 2 t
有相同的秩,且 s1能被s2表示 证明：两向量组等价 ２．已知某向量组的秩为r,证明任意r个线性无关的部份向量组都为 该向量组的一个最大线性无关组．
4.3向量组的秩
向量组的秩向量组秩的定义向量组秩的求法及相关结论向量组秩的定义满足12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.A R =r 在中选取个向量A r (1) 向量组无关;012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A1230ααα，+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零.2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23,αα注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所含向量个数最多的线性无关的子组之一.2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．证：线性相关，12,,,,r αααα向量组是向量组的部分组，0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα部分组，且满足推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，设向量组是向量组的一个012:,,,r A αααA (1) 向量组线性无关；012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.A 0A证：于是有设是中任意个向量，121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e1234124123422023 0570x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的通解是，试求全体解向量构成的向量组的秩．S解2R .S =1122c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈，线性无关,12ξξ,12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通解是向量组秩的求法及相关结论11121314342122232431323334a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1234,,,αααα=T1T 2T 3βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭回顾，的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.T T T 123,,βββA定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于证它的行向量组的秩.设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，+1r (1)n r ⨯+r+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.r 也等于它的行向量组的秩.的秩等于的列向量组的秩，TA TA 的列向量组就是的行向量组，TA A 而，()()TR R =AA 所以矩阵的秩例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.A1020301102~000110000r ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭12416113140002210203⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B故由所以线性无关，124,,ααα()()124124,,,,rαααβββ可知，()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.也就是方程0Ax =因为与同解，0Bx =1122334455x x x x x ααααα++++=01122334455x x x x x βββββ++++=0与同解，因此向量之间的线性关系12345,,,,ααααα与向量之间的线性关系是相同的.12345βββββ,,,,由于，,512432ββββ=+-3122βββ=+因此，.3122ααα=+512432αααα=+-关于向量组秩的结论，可以推广到所含向量个数无限的向量组.线性表示的充分必要条件是定理向量组能由向量组12,,mααα12,,l βββ()()121212,,,,,,,.m m l R R ααααααβββ=向量组的秩矩阵的秩例若向量组可由向量组线性表示，则.B A R R ≤B A 其中等号成立当且仅当向量组与向量组等价.A B 设，,A B R s R t ==证明并设向量组和的最大A B 无关组分别为和.012:,,,αααs A 012:,,,βββt B 由于向量组能由向量组线性表示，0B B 能由向量组线性表示，A B 向量组0A 向量组能由向量组AB A R R ≤.A B R R ≤并且向量组与向量组等价B A 向量组可由向量组线性表示.BA .A B R R=向量组可由向量组线性表示，并且B A 0A 因此向量组能由向量组线性表示.0B 线性表示，即.t s ≤于是，()()1212,,,,,,βββααα≤t s R R证明从而这两个向量组等价.的秩相等，证明：向量组与向量组等价.B A 例向量组可由向量组线性表示，且它们B AC 设向量组是由向量组与合并而成的，AB .AC R R =由向量组可由向量组线性表示知B A 又已知，A B R R =所以有，A B C R R R ==。
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可以看出：
b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4
所以
a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
例 求向量组A的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。
1 1,1, 2,3,2 1, 1,1,1,3 1,3,3,5,
二、矩阵的秩与向量组的秩的关系
定义：矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩． 矩阵 A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩．
定理：矩阵行秩等于矩阵的列秩，都等于矩阵的秩．
定理：矩阵的初等行（列）变换不会改变列（行）向量间的 线性关系。
例 求矩阵向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5的一个极大无关组， 并用该极大无关组表示余下的向量.
1 2，1，4,3T ,2 -1，1，- 6，6T , 3 （-1，- 2，2，- 9）T ,4 1，1，- 2，7T , 5 2，4，4，9T .
解：把矩阵 A (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) 初等行变换变成行最 简形矩阵
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
B
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6 9
7 9 0 0
00
0
于是 矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同 的线性关系.
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
B
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
§4 向量组的秩
一、向量组的秩
定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的
话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称极大无关组． 极大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．
1
0
2
例：已知
a1
1
,
a2
2
,
a3
Байду номын сангаас
4
,
1
5
7
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关
性．并求向量组的一个极大无关组。
解：
1 0 2 1 0 2
1
2
4
r
~
0
2
2
1 5 7 0 0 0
可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关， 同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关， 从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
4 4, 2,5, 6,5 3, 1, 5, 7
1 1 1 4 3 1 0 2 1 2
解：A
1
1
3
2
1
r
~
0
1
1
3
1
2 1 3 5 5 0 0 0 0 0
3
15
6
7
0
0
00
0
所以，R(A) = 2
1,2 是它的一个极大无关组。
且 3 21 2 ,4 1 32 ,5 21 2