向量组的秩
第四节向量组的秩定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。
定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。
等价向量组的性质：(1) 反身性：任一向量组和它自身等价。
(2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。
(3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。
定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s<t ，则向量组(B)线性相关。
证明：由已知可得：s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = （1） 若存在一组数t K K K ,,,21 ，使得02211=+++t t K K K βββ （2） 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。
把(1)式代入(2)式得：)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα （3）整理后得)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα （4）因为s<t ，故齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111t st s s tt t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a （5）有非零解。
所以取t K K K ,,,21 为方程组(5)的一个非零解。
这个非零解可使(4)成立，也可使(3)成立，最后使(2)成立。
从而向量组(B)线性相关。
推论1：如果向量组(B)：t βββ,,,21 可由向量组(A)：s ααα,,,21 线性表示，且向量组(B)线性无关，则t s ≤。
(用反证法)推论2：向量组(A)：s ααα,,,21 与向量组(B)：t βββ,,,21 等价，且向量组（A ）和（B ）都线性无关，则s=t 。
证：因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示，所以t s ≤。
又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示，所以s t ≤；因此s=t 。
对于一个非零向量组，则至少有一个向量不为零向量，所以它至少有一个向量的部分组线性无关；现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。
定义3：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)向量组中的任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示；则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大（最大）线性无关组，简称极大（最大）无关组。
定义3也可写成：定义4：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)任取此向量组中的一个向量，添加到部分组r ααα,,,21 中，所得到的新的部分组都线性相关。
则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大线性无关组。
例：考虑向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα，显然部分组21,αα是线性无关的，而321,,ααα中的任意向量都可以由21,αα线性表示： 2110ααα⋅+=，1220ααα⋅+=，213ααα+=所以21,αα是向量组321,,ααα的极大无关组。
同样可以证明31,αα及23,αα也是向量组321,,ααα的极大无关组，这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。
从上述例子及极大无关组定义可以得到： 定理2：任一向量组和它的极大无关组等价。
推论1：向量组中任意两个极大无关组等价。
推论2：向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。
定义5：向量组s ααα,,,21 的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作),,,(21s r ααα 。
定理3：如果二个向量组s ααα,,,21 和t βββ,,,21 等价，则它们的秩相等。
证明：设向量s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 的秩分别为p r ,；极大无关组分别为r i i i ααα,,,21 和p j j j βββ,,,21 ；则向量组s ααα,,,21 与向量组ri i i ααα,,,21等价；向量组t βββ,,,21 与向量组p j j j βββ,,,21 等价；所以向量组r i i i ααα,,,21 和向量组p j j j βββ,,,21 等价；又因为向量组r i i i ααα,,,21 和pj j j βββ,,,21均线性无关，因此有p r =。
定义6：矩阵n m ij a A ⨯=)(的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩；其列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。
定理4：设A 为n m ⨯矩阵，r A r =)(的充分必要条件是A 的列（行）秩为r 。
定理5：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。
下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。
例1：已知),0,1,2,1,1(1-=α),0,2,4,2,2(2--=α),1,1,6,0,3(3-=α)01,0,3,0(4=α，试求这向量组的秩及它的一个极大无关组，并把其余向量用所求极大无关组线性表示。
解：044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000001100011003211100044000003300032111000121064230210321A则(r 4321,,,αααα)＝3，且321,,ααα是向量组4321,,,αααα一个极大无关组。
下面求向量4α用极大无关组321,,ααα线性表示。
从最后一个矩阵可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000324332321x x x x x x x令14=x ，解得1,1,1321-===x x x所以 04321=+-+αααα，即3214αααα+--=例2：已知向量组,)1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(4321-=-=--=-=αααα)1,4,6,2(5-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111042110421102101111110421106312121011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→53000000004211021011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000530004211021011可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=---053042025454325421x x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，11-=x令1,053==x x ，得354-=x ，322-=x ，311-=x所以0321=+--ααα，03532315421=+---αααα即213ααα+=，4215353231αααα++=例3：已知向量组,)0,2,1,1(),2,1,3,0(),14,7,0,3(),4,2,1,1(4321-===-=αααα)6,5,1,2(5=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=60214452172113012131A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2422010110303302131⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000121101011021031⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000120001011021031可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+++020023545325421x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，31=x令1,053==x x ，得214-=x ，12-=x ，231=x所以03321=+-ααα，021235421=+--αααα即2133ααα+-=，42152123αααα++-=例4：已知向量组)2,1,1,4,6(1-=α，)4,3,2,0,1(2-=α，)22,16,9,4,1(3--=α，)3,1,0,1,7(4-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3224211631092114047116A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→3224211631711614040921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→3408012550755110140800921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→8351051510117510815100921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000010008151041101 可得3)(=A r ，则r(4321,,,αααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求3α用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++008150414432431x x x x x x x令13=x ，得,04=x ,52=x 11-=x ,代入得：05321=++-ααα 即2135ααα-=例5：设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知单位向量n εεε,,,21 可以被它线性表示，试证明n ααα,,,21 线性无关。
向量组的秩
2 2 0 0
1 0 → 0 0
1 2 0 − 10 1 1 2 0 6 0 → 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 − 16 1 2 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0
1 −1 0 1 → 0 0 0 0 24 1 0 0 4 0 1 → 0 0 1 − 10 0 0 0 0 0
4 1 −1 2 2 0 3 1 → 0 3 1 14 0 0 −1 0 2 4 1 −1 0 − 4 0 −1 → 0 0 1 2 0 0 0 0
α4=(－1,3,2,1)T, α5=(－2,6,4,1)T
1 −1 0 −1 − 2 6 −1 2 1 3 解：(α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 ) = 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 1 −1 0 −1 − 2 1 −1 0 0 1 1 2 4 0 1 1 → → 0 0 0 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 0 0 0 −1 − 2 2 4 0 0 3 5
0 − 1 1 − 1 1 2 0 1 → 0 0 0 3 0 0 0 0
0 − 1 1 2 0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
∴ α 3 = α1 + α 2 + 0 ⋅ α 4
例：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该 极大无关组表示其他向量： α1=(1,－1,0,0)T,α2=(－1,2, 1,－1)T,α3=(0,1,1,－1)T,
28 0 4 1 − 10 0 0 0
向量组 的秩
0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n
向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
4.3向量组的秩
的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.
1 2 1 0 3 4 1 2 r A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3 1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0 x 2 2 x 3 3 x4 0
把上式记作x c11 c2 2
S能由向量组1 , 2线性表示， 1 , 2的四个分量不成比例， 又
因此根据最大无关组的等价定义知 所以1 , 2线性无关． 1 , 2是S的最大线性无关组，从而Rs =2.
例10 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明向量组A与向量组B等价.
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无
关组的列向量用最大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 2 1 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 2 1
因此Dr 所在的r列是A的列向量的一个最大无关组, 所以列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
向量组a1 , a2 , , am的秩也记作R(a1 , a2 , , am )
从上面证明中可看出：若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式,则
Dr 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，
行阶梯形矩阵有3个非零行，R( A) 3，故列向量的最 大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1,2,4列，
1 1 2 1 1 1 1 r 0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
向量组的秩
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
3
（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1
向量组的秩
−1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
三、向量组的秩与矩阵的秩的 关系
a11 a12 a 21 a 22 定义 9 矩阵 A = L L a m 1 am 1 量组成的向量组的秩， 量组成的向量组的秩， 称为矩阵 的列秩， 的列秩，记为 c ( A ). a1 n L a2n 的行向 L L L a mn A 的行秩，记为 的行秩， L
组等价知， 证 由A组与B组等价知， A组可由 B组线性表 示，利用定理 2可知r ≤ s;同理可得 r ≥ s .从而r = s .
推论1 两个线性无关的等价向 量组必含有 推论1 相同个数的向量。 相同个数的向量。 大线性无关组， 推论 2 一个向量组若有两个极 大线性无关组， 相等。 则它们所含向量的个数 相等。
第三节 向量组的秩
返回Байду номын сангаас
k1a 11 k 2 a21 kr ar 1 0, k1a12 k 2a22 kr ar 2 0, k1a1 s k 2 a2 s kr ars 0.
以上述 r 个数 k1 ,k2 , ,kr 作线性组合
又 Ar 线性无关, 由定理五知 r s.
同理可得 s r.
故
r s.
17
证毕.
返回
注意: 秩相等的向量组未必等价.
例如: A : 1 (1,0,0), 2 (0,1,0).
A的秩=2. B : 1 (0,1,0), 2 (0,0,1). B的秩=2.
1可由1 , 2线性表示,
则称A为T 的一个最大无关组. 例1. 向量组 T : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 试求T 的一个最大无关组, 其中
1 (1,1,1), 2 (0,2,4), 3 (1,1,5), 4 ( 2,0,6), 5 ( 3,1,7).
4
返回
证明: 反证法. 若 r > s . A可由B线性表示, 即 1 a11 1 a12 2 a1 s s , 2 a21 1 a22 2 a2 s s , r ar 1 1 ar 2 2 ars s . (1)式的系数构成 r 个 s 维向量
但 2不能由1 , 2线性表示.
A与B不等价.
18
返回
思考题 1.已知两向量组
s1 : 1 , 2 m ; s2 : 1 , 2 t
有相同的秩,且 s1能被s2表示 证明：两向量组等价 ２．已知某向量组的秩为r,证明任意r个线性无关的部份向量组都为 该向量组的一个最大线性无关组．
向量组的秩
3
6 9
7
9
0
0
00
0
可以看出：
b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4
所以
a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
例 求向量组A的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。
1 1,1, 2,3,2 1, 1,1,1,3 1,3,3,5,
二、矩阵的秩与向量组的秩的关系
定义：矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩． 矩阵 A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩．
定理：矩阵行秩等于矩阵的列秩，都等于矩阵的秩．
定理：矩阵的初等行（列）变换不会改变列（行）向量间的 线性关系。
例 求矩阵向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5的一个极大无关组， 并用该极大无关组表示余下的向量.
1 2，1，4,3T ,2 -1，1，- 6，6T , 3 （-1，- 2，2，- 9）T ,4 1，1，- 2，7T , 5 2，4，4，9T .
解：把矩阵 A (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) 初等行变换变成行最 简形矩阵
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
B
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6 9
7 9 0 0
00
0
于是 矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同 的线性关系.
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
高等代数第二节 向量组的秩
根据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系．
证明 不失一般性,设 i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, s中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意 的 k (k 1,2,, s),向量组 i1 , i2 ,, ir , k 线性
解法二 对行向量组，可以先都转置为列向量，
排成矩阵后，用行变换化为行最简型
设
T :
2
0
2
1
α1T
2 4
,
α2T
2 1
,
α3T
0 3
,
α4T
1
0
4
5
1
4
显然 T 秩＝T 秩，且极大无关组互为转置向量
2 0 2 1
A α1T
α2T
α3T
α4T
2
4
2 1
0 3
因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此
( A, B)组的秩也为r.
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
rankT s
又 1线性无关，1秩＝r, 但1秩 秩，r s.
证毕
定理3 说明
(1) r个线性无关向量,若可用另一组向量线性表示， 则后一组向量的个数不少于r ;
(2) 一组线性无关的向量,不可能用另一组个数 更少的向量线性表示。 特别在三维向量空间中: (1)两个线性无关的向量，不能用同一个向量线性表 示； (2)三个线性无关的向量，不能用两个或一个向量 线性表示。 推论1 设向量组1秩为r,向量组2秩为s.若1可由2