随机信号的功率谱分析 (DEMO)
利用经典谱估计法估计信号的功率谱(随机信号)
随机信号利用经典谱估计法估计信号的功率谱作业综述：给出一段信号“asd.wav”,利用经典谱估计法的原理，通过不同的谱估计方法，求出信号的功率谱密度函数。
采用MATLAB语言，利用MATLAB语言强大的数据处理和数据可视化能力，通过GUI的对话框模板，使操作更为简便！在一个GUI界面中，同时呈现出不同方法产生出的功率谱。
这里给出了几种不同的方法：BT法，周期图法，平均法以及Welch法。
把几种不同方法所得到的功率谱都呈现在一个界面中，便于对几种不同方法得到的功率谱作对比。
一．题目要求给出一段信号及采样率，利用经典谱估计法估计出信号的功率谱。
二．基本原理及方法经典谱估计的方法，实质上依赖于传统的傅里叶变换法。
它是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有BT法，周期图法，平均法以及Welch法。
1. BT法(Blackman-Tukey)● 理论基础：(1)随机序列的维纳-辛钦定理由于随机序列{X(n)}的自相关函数Rx(m)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m 上，设取样间隔为，则可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度(2)谱估计BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值。
即其中可有式得到。
2. 周期图法● 理论基础：周期图法是根据各态历经随机过程功率谱的定义来进行谱估计的。
在前面我们已知，各态历经的连续随机过程的功率谱密度满足式中是连续随机过程第i个样本的截取函数的频谱。
对应在随机序列中则有由于随机序列中观测数据仅在的点上存在，则的N点离散傅里叶变换为：因此有随机信号的观测数据的功率谱估计值（称“周期图”）如下：由于上式中的离散傅里叶变换可以用快速傅里叶变换计算，因此就可以估计出功率谱。
3.平均法：● 理论基础：平均法可视为周期图法的改进。
周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果是不相关的随机变量，且都有个均值及其方差，则可以证明它们的算术平均的均值为。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
功率谱分析及其应用
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质
自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
Cxy 2 R cos d 单边互谱密度函数 (One-sided cross-power spectrum) xy Qxy 2 Rxy sin d 其中 j
实部 Gxy Gxy e 虚部
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非负频率 上的谱） G 2S
x x
2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
可利用互谱求系统的
X(t)
系统1 系统2 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
n1 t
n2 t
y(t)
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
实验三、随机信号的功率谱估计方法
随机信号的功率谱估计方法一、 实验目的1、 利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计2、 观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次 数等谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。
3、 学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。
4、 体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。
二、 实验原理假设信号x(n)为平稳随机过程，其自相关函数定义为(3-∅（m ）≜E{x ∗(n)x(n +m)}1)其中E 表示取数学期望，*表示共轭运算。
根据定义，x (n )的功率谱密度与()P ω自相关序列存在下面关系：()m φ (3-2)()()j mm P m eωωφ∞-=-∞=∑ (3-3)1()()2j m m P e d πωπφωωπ-=⎰但是，实际中我们很难得到准确的自相关序列，只能通过随机信号的()m φ一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。
目前，常用的线性谱估计方法有两种，即相关函数法和周期图方法，本实验对这两种方法分别予以讨论。
1． 自相关函数法假设我们已知随机信号x(n)的M 长的自相关序列{}，利用自相关函数法()m φ可以得到x(n)的功率谱估计：(3-4)*11()()()L mi m x i x i m L mφ-Λ==+-∑11ˆˆ()()M j m m M Pm e ωωφ--=-+=∑利用窗函数，上式又可表达为(3-5)ˆˆ()()()Rj m Mm PWm m e ωωφ∞-=-∞=∑其中，为矩形窗函数，定义为()RMW m (3-6)1()0R Mm MW m m M<⎧=⎨≥⎩因此，实际上是真正功率谱与窗函数傅立叶变换的卷积。
ˆ()P ω()P ω()R M W m 矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣。
为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为(3-7)0.540.46cos ()0HM m Mm W m Mm Mπ⎧<+⎪=⎨≥⎪⎩这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是，此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。
时域分析法 (DEMO)
从图 1—23 可以看出，信号的时域和频域描述是从不同的领域来 说明同一个信号。周期方波在时域可分解成许多不同频率和幅值的奇 次谐波，而在频域则表达了这些谐波的幅值与初始相位角随频率的变 化情况。（俯视为初始相位角）
实际上，各种幅域参数本质上是取决于随机信号的概率密度函数。 随机信号的概率密度函数表示幅值 x(t) 落在某一个指定范围内的概 率大小，随机信号的幅值取值的概率是有一定规律的，即对于同一过 程的多次观测中，信号中各幅值出现的频次将趋于确定的值。
p(x) 表示幅值落在小区间 (x, x x) 上的概率与区间长度之比，因 此称为幅值概率密度函数。
Xp＝
X (t)man
测试过程中如能充分估计峰值的大小，将便于确定测试仪器的动 态工作范围。若对峰值估计不足，可导致削波失真，甚至仪器被损坏。 信号的峰值也有它的自身作用，如在进行机械结构的强度或安全设计 时，就需要了解负荷的最大瞬时值。
峰值不能完全反映信号在整个时间过程中的状况。 2．均值 μ x 各态历经的平稳随机信号的均值是样本函数 x(t) 在整个时间坐标 上的积分平均即
式中，总是重点考虑较多出现的应力所造成的疲劳问题，所以它成为 产品设计的必要依据。
测试信号的频率域分析 在动态测试技术中往往需要将时间域信号变换列频率域上加以 分析，从频率角度来反映和揭示信号的变化规律，这种频率分析的方 法又称为频谱分析法。常用的频谱分析法有频率分析相功率谱分析两 种。 信号的时域分析 时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据产生的先后 顺序。而在幅域分析中，虽然各种幅域参数可用样本时间波形来计算， 但忽略了时间顺序的影响，因而数据的任意排列所计算的结果是一样 的，在时域中提取信号特征的主要方法有相关分析和时序分析。 一、时域波形分析 常用工程信号都是时域波形的形式．时域波形有直观、易于理解 等持点。由于是最原始的信号，所以也含的信息量大，但缺点是不太 容易看出所包含信息与故障的联系 而对于某些故障信号，其波形具 有明显的特征，这时可以利用时域波形所作出初步判断。例如对于旋 转机械、其不平衡故障较严重时，信号中有明显的以旋转频率为持征 的周期成分；而转轴不对中时，信号在一个周期内，旋转频率的 2 倍 频成分明显加大，即一周波动 2 次。 而当故障轻微或信号中混有较大干扰噪声时，载有故障信息的波 形持征就会被掩没。为了提高信号的质量，往往要对信号进行预处理，
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
随机信号分析 第4章随机信号功率谱密度(1)
1 | X T ( w, ) |2 ]dw T 2T lim
所谓信号的功率谱密度指这样的频率函数： 1.当在整个频率范围内对它进行积分以后，就给 出了信号的总功率 2.它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况
1 lim | X T ( w, ) |2 正具备了上述特性 T 2T
如果一个确知信号是s(t),满足狄氏条件，且绝对可积，即满足
| s(t ) | dt 或等价条件 | s(t ) |2 dt (1)
则s(t)的傅氏变换存在，或者具有频谱
S （w）= s(t)e-jwtdt
- +
若以s(t)代表电流或电压，式(1)表明，要求s(t)总能量必须有限。S(w)一 般是个复函数，在S(w)和s(t)之间一般满足怕赛瓦尔定理：
0
1
0
G( w) cos w dw
下面简单给出只有正频率的单边功率谱密度FX(w) 和双边功率谱密度GX(w) 的关系。
G X ( w) 2 RX ( ) cos(w )d 0 1 R ( ) GX (w) cos(w )dw X 0
1 解：G X ( w) cos w0 * e jw d 2 1 (e jw0 e jw0 )e jw d 4 1 (e j ( w w0 ) d e j ( w w0 ) )d 4
2
[ ( w w0 ) ( w w0 )]
2
首先考虑随机过程的一个样本函数x (t),并截取-T到T的 一段,记为xT(t) x(t ), | t | T xT (t ) 0, | t | T 由于截取的样本函数xT(t)满足频谱密度存在的条件,它的 傅里叶变换是存在的.
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信号的功率谱分析
1、功率谱密度函数的定义
对于随机信号)(t x ，由于其任一样本函数都是时间的无限的函数，一般不能满足傅里叶变换的存在条件（即积分⎰∞
∞-dt t x )(必须收敛）。
如果将样本函数取在一个有限区间]2
,2[T T -内，如图所示，令在该区间以外的0)(=t x ，则积分⎰∞
∞-dt t x )(收敛，满足傅里叶变换条件，变换后用功率谱密度函数表示。
2、功率谱密度函数（又称功率谱）的物理意义
是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述。
功率谱表示振动能量在频率
域的分解，其应用十分广泛。
功率谱的横坐标是频率，纵坐标是实部、虚部的模
的平方。
功率谱密度函数作为随机信号在频域内描述的函数。
对于随机信号而言，它
不存在频谱函数，只存在功率谱密度函数（功率大小在频谱中反映为频谱的面
积）。
时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。
功率谱分析
则从频域提供相关技术所能提供的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。
3．功率谱密度函数的应用
(1)结构各阶固有频率的测定 工程结构特别是大型结构(如高层楼房、桥梁、
高塔和重要机械设备等)要防止共振引起的破坏，需要测定其固有频率。
如果对
结构加以激励(或以大地的脉动信号作为激励信号)，即可测定结构的响应(振动信
号)，再对响应信号作自功率谱分析，便可由谱图中谱峰确定结构的各阶固有频
率。
(2)利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频率响应函数。
(3)作为工业设备工作状况的分析和故障诊断的依据 根据功率谱图的变化，可以判断机器设备的运转是否正常。
同时．还可根据机器设备正常工作和不正常工作时，振动加速度信号的功率谱的差别，查找不正常工作时，功率谱图中额外谱峰产生的原因以及排除故障的方法。
自功率谱密度函数
定义及其物理意义
假如)(t x 是零均值的随机过程，即0=x μ（如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零）又假设)(t x 中没有周期分量，那么当∞→τ，
0)(→τx R 。
这样，自相关函数)(τx R 可满足傅里叶变化的条件∞⎰∞
∞- ττd R x )(。
)(τx R 傅里叶变换)(f S x ，ττπτd e R f S j x x 2)()(-∞∞-⎰
=和逆变换 df e f S R j x x πττ2)()(-∞
∞
-⎰=定义)(f S x 为)(t x 的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。
出此可见，
)(f S x 曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，)(f S x 就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称)(f S x 为自功率谱密度函数。
自功率谱密度函数和幅值谱的关系为
2)(1lim
)(f X T
f S x T x →=利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱。
自相关分析可以有效地检测出信号中有无周期成分。
自功率谱密度也能用来检测信号中的周期成分。
周期信号的频谱是脉冲函数，在某特定频率上的能量是无限的。
但是在实际处理时，用矩形窗函数对信号进行截断，这相当于在频域用矩形窗函数的频谱sinc 函数和周期信号的频谱——δ函数实行卷积，因此截断后的周期函数的频谱已不再是脉冲函数，原来为无限大的谱线高度变成有限长，谱
线宽度内无限小变成有一定宽度。
所以周期成分在实测的自功率谱密度图形中以陡峭有限峰值的形态而出现。
可以说平稳随机数据最重要的特性描述就是功率谱密度函数，它确定了数据的频率结构。
对于常系数线性物理系统来说，输入功率谱乘系统增益因子的平方等于输出功率谱。
功率谱曲线下的总面积等于均方值。
一般的讲，在任何所考虑的范围内，数据的均方值可以此频率范围为界的功率谱曲线下的面积来确定。
工程上常通过信号的频带宽带（频谱中幅值下降到最大幅值1/10时的频率作为该信号的频带宽度。
简称频宽）
1、幅值谱：幅值谱的横坐标是频率，纵坐标实部、虚部的模。
2、功率谱：功率谱的横坐标是频率，纵坐标实部、虚部的模的平
方。
利用FFT变换求出幅值谱)
X平方求功率谱
(k
X，然后对)
(k
S。
(k
)
随机信号的功率谱
由于随机信号一般不具备绝对可积条件，因此通常不能直接进行傅里叶变换。
但是正如同在时域中有自相关函数和互相关函数一样，随机
信号在频域中有自功率谱和互功率谱。
随机信号
一、概述
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时
值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
描述随机信号必须用概率和统计的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数。
样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。
随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。
所谓平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。
在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经(遍历性)随机过程。
工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽不是严格的各态历经过程，但也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本函数(理论上应为无限多个)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。
也就是说：在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有
1)均值、方差和均方值o
2)概率密度函数o
3)自相关函数。
4)功率谱密度函数。
确定性振动和随机振动：
1、确定性振动的测量分析，可通过幅值分析，时域分析及频域分析得到：
（1）结构振动的各种幅值（峰值，有效值，平均值，瞬时值等）
（2）振动主要谐波分量的频率值；
（3）各谐波分量的幅值比较；
（4）各个振动信号的相位关系；
（5）结构系统的阻尼系数；
求得振动结构的总幅值，可以与结构允许的振动幅值相比较，以确定结构的破坏程度；分析各谐波分量的频率和幅值，可以作振型分析，求得动力系数；分析不同频率对不同对象的响应，查找振源，判定减振措施的效果，以及采取相应的隔振措施。
2、随机振动信号主要考虑概率和统计因素，需要通过幅域分析求幅值概率密度，通过时域分析，求相关系数（相关分析），通过频域分析得到功率谱密度（作谱分析）。
（1）幅域：均值，均方值和均方根值；方差和均方差（标准差）；概率密度函数；概率分布函数等。
（2）时域：自相关函数；互相关函数；
（3）频域：自谱密度函数；互谱密度函数，传递函数或频响函数。
3、按测量与分析的目的分：
（1）振动基本参量的测量：如测量结构上某点的位移、速度、加速度的幅值，以及频率、相位和动应力等。
（2）按结构动力特性的测量：固有频率，阻尼，刚度以及振型等。
（3）随机振动统计特性的测量与分析：功率谱密度，幅值概率密度，相关函数，相
干函数等。
（4）结构系统参数识别与故障诊断：由结构系统动态响应数据建立系统的数学模型，确定系统的模态参数（模态质量，刚度，阻尼，频率，振型等），或由测量信号加以分析，判断结构系统工作是否正常（故障诊断）。
平稳随机信号的能量化表示：――随机信号各频率的能量称为功率谱密度（简称功率谱）。
一个平稳的随机信号的功率谱是确定的，因此，功率谱可以统计表征一个随机过程的谱特性。
一个信号的功率谱是这个信号的自相关函数的傅立叶变换。
功率谱和自相关函数是一个傅立叶变换对，它们相互唯一确定，它们都是信号的一种（二维）统计平均表征，分别从不同域的侧面表征着一个随机过程的最本质的性质。
因此，对于一个观测到的随机信号，重要的是确定它的功率谱密度函数和自相关函数。
对于离散随机信号的概念和表征问题，有：
1)一个随机信号在各时间点上的取值以及在不同点上取值之间的相互关联性只能用
概率特性或统计平均特性来表征，它的确定值是无法实验表达的。
2)一个平均随机信号在各频率点上能量的取值可以用功率谱密度函数与自相关函数
统计描述。