功率谱和功率谱密度的区别
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱转化为功率谱密度
功率谱转化为功率谱密度
首先，功率谱是描述信号在频率域上的能量分布情况的函数，通常用于分析信号的频谱特性。
功率谱密度则是在单位频率范围内的功率分布密度，可以看作是功率谱的密度函数。
在信号处理中，通常采用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，得到功率谱。
而功率谱密度则是对功率谱在单位频率范围内的分布情况进行描述。
其次，对于离散信号，可以通过对功率谱进行归一化处理，即将功率谱除以信号长度，得到单位频率范围内的功率谱密度。
这样可以更直观地描述信号在不同频率上的功率分布情况，便于进行频谱分析和对不同频率成分的比较。
另外，功率谱密度的计算可以采用不同的方法，例如对信号进行傅里叶变换得到频谱，然后将频谱平方得到功率谱，最后再进行归一化处理得到功率谱密度。
此外，还可以采用自相关函数的方法来计算功率谱密度，这种方法在实际中也很常见。
总的来说，将功率谱转化为功率谱密度是信号处理中非常重要的一步，可以更清晰地描述信号在频率域上的能量分布情况，便于
进行频谱分析和信号特性的研究。
通过合理的计算方法和归一化处理，可以得到准确的功率谱密度，为信号处理和分析提供重要参考。
功率谱密度(PSD)
功率谱密度类似于频谱（Spectrum），但在使用上一定要注意区分，否则容易闹笑话。
在了解PSD之前，首先回顾一下信号的分类。
信号分为能量信号和功率信号。
能量信号全名：能量有限信号。
顾名思义，它是指在负无穷到正无穷时间上总能量不为零且有限的信号。
典型例子：脉冲信号。
功率信号全名：功率有限信号。
它是指在在负无穷到正无穷时间上功率不为零且有限的信号。
典型例子：正弦波信号，噪声信号。
一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。
能量信号在无穷大时间上功率为0，不满足功率信号功率不为0的定义；而功率信号在无穷大时间上能量为无穷大，不满足能量有限的定义。
一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号，如下面这个信号，其功率无限能量也无限。
能量信号和功率信号的范围不包括所有的信号类型，这是因为工程上一般就是这两种，足以满足描述的需要了。
功率信号还可以细分为周期信号（如正弦波信号）和随机信号（如噪声信号）。
随机信号的定义：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。
综上，上文提到的信号分类如下图所示：对能量信号和周期信号，其傅里叶变换收敛，因此可以用频谱（Spectrum）来描述；对于随机信号（实际的信号基本上是随机信号），傅里叶变换不收敛，因此不能用频谱来描述，而应当使用功率谱密度（PSD）。
能量信号和周期信号通常在教学仿真中用得比较多，而工程上的信号通常都是随机信号，即使原始信号是周期信号，由于数据采集过程中存在噪声，实际获得的信号仍然会是随机信号。
如果在工程应用上用“频谱”而不是“功率谱密度”来表述，会稍显不专业，但是我感觉好像很多工程人员会把这两者混淆起来……在实际应用中，一个信号我们不可能获得无穷长时间段内的点，对于数字信号，只能通过采样的方式获得N个离散的点。
上文提到，实际信号基本上是随机信号，由于不可能对所有点进行考察，我们也就不可能获得其精确的功率谱密度，而只能利用谱估计的方法来“估计”功率谱密度。
功率谱密度 功率
功率谱密度功率
功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）是物理学中用来描述信号功率随频率变化的密度。
它表示单位频率带宽内的功率，通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示。
功率谱密度是信号处理和通信领域中非常重要的概念，用于分析信号的频域特性，例如噪声、干扰和失真等。
在通信系统中，功率谱密度用于确定信号的传输质量和性能。
功率谱密度与功率的关系是，如果一个信号的功率谱密度为PSD，那么在单位频率带宽内的功率就是PSD乘以带宽。
因此，功率谱密度是信号在频域上的功率分布描述。
功率谱与功率谱密度
SX (−ω) = SX (ω) ≥ 0
记 S X (ω ) , ω ∈ ( −∞, ∞ )为双边功率谱
GX (ω ) , ω ∈ ( 0, ∞ ) 为单边功率谱
10
2.互功率谱密度 联合平稳信号X(t)与Y(t)的互功率谱密度为
S XY (ω ) = ∫
+∞
−∞
RXY (τ )e− jωτ dτ
2 1 S X (ω , ξ ) = lim X T (ω , ξ ) T →∞ 2T
1 ∴ PX (ξ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω , ξ ) d ω
6
(2) 随机信号的平均功率及平均功率谱密度
对样本功率取平均，即为平均功率
PX = E PX
(ξ )
对样本功率谱取平均，即为平均功率谱
− jωτ
SYX (ω) = ∫ RYX (τ )e
−∞
+∞
dτ
性质2 性质 互功率谱具有对称性
S (ω ) = SYX (ω )
* XY
* S XY (ω ) = S XY (−ω )
11
总结
1.确定信号的能量谱是能量沿频率轴的密度 函数，而功率谱是功率沿频率轴的密度函 数。 2.确定信号的功率谱是唯一的，而随机信号 只能确定其样本函数的功率谱。
−∞
+∞
称为功率谱密度。反变换
1 R X (τ ) = 2π
∫
+∞ −∞
S X ( ω ) e jωτ d ω
9
令 τ = 0，得到平稳信号的平均功率 1 ∞ 2 PX = E[ X (t )] = RX (0) = ∫−∞ S X (ω)dω 2π 可见， X (ω)沿 ω 的“总和”是信号的平均功率。 S 性质1 性质 平稳信号的功率谱密度总是正的偶函数，即
功率谱,幅度谱,频谱关系
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。
这里主要从概念上厘清其间的区别。
对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。
这个关系倒还是简单。
那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。
我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。
已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t)和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。
在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized)的功率值。
作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。
将上面的概念做一个抽象，对信号x(t)定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2)内的能量为:E=int(|f (t)|2,-T/2,T/2)(1)上式表示对|f (t)|2积分，积分限为(-T/2 T/2)。
该间隔内的平均功率为：p = E/T(2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T趋于无穷大的时候E为有限。
典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。
但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。
当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2)式中的T趋于无穷大的时候p为有限。
系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。
一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。
将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。
功率谱与功率谱密度
S
* XY
( )
SYX
( )
S
* XY
(
)
S
XY
()
11
总结
1.确定信号的能量谱是能量沿频率轴的密度 函数，而功率谱是功率沿频率轴的密度函 数。
2.确定信号的功率谱是唯一的，而随机信号 只能确定其样本函数的功率谱。
12
记算数平均算子为
A
v
t
lim
T
1 2T
T v t dt
T
平稳随机信号的功率谱密度满足
R S
8
3.4.2基本概念
1.功率谱密度
将平稳信号{X(t),t∈T}的自相关函数的傅里叶变换
SX
RX
e j d
称为功率谱密度。反变换
对样本功率取平均，即为平均功率
PX E PX
对样本功率谱取平均，即为平均功率谱
SX
E SX
,
lim
T
1 2T
E
XT
,
2
7
随机信号的平均功率与相关函数的关系
PX ARX t,t
当x(t)为广义平稳时，
PX RX 0
T
2
1
lim
T 2T
XT
2d
XT 是截断信号xT t 的傅里叶变换
xT t
x t
t
T
T
4
令
S lim 1
T 2T
XT 2
S ( )为功率谱密度，简称功率谱
功率信号&能量信号&功率谱&能量谱
一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。
能量信号，如各类瞬变信号。
在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。
显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。
通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。
当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。
满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。
定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。
如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。
定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。
()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。
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谱让人联想到的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。
功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。
保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两点需要注意：
1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）
2. 功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
频谱分析：
对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱密度：
功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。
如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
所以标准叫法是功率谱密度。
从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。
通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。
像白噪声就是平行于一条直线。
一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。
可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。
1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；
2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；
3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。
三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周
期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。