14.4.1随机过程的功率谱密度
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
第4章 随机信号的功率谱密度
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
随机过程的谱密度与功率谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。
一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。
谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。
谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。
谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。
对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。
而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。
2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。
3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。
二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。
功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。
与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。
功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。
功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。
2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。
3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。
三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。
对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。
这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。
结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。
自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。
2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。
例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。
四.随机过程的功率谱密度
d
2RX ( d 2
)
(1)n
d
2nRX ( d 2n
)
RX ( )e j0
SX ()
a 2 SX () 2SX ()
2nS X ()
S ( 0 )
例 已知零均值平稳过程X(t)的
S
X
(
)
4
6 2 52
4
,
求RX
(
)与DX
t
.
解：S X
()
4
6 2 5 2
4
( 2
6 2 1)( 2
4)
PXY
(T
)
1 2T
T
x(t) y(t)dt
T1ຫໍສະໝຸດ X* X(T
,
)
X
Y
(T
,
)d
2
2T
下面求平均功率
A PXY (T )
1
E[PXY (T )] 2
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
2T
T ，得平均功率
PXY
lim A T
PXY (T )
lim 1
T 2
E[
X
* X
(T
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足
x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为
x(t) x(t) dt
1
x(t) lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
x(t) x(t) 2 dt
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度随机过程是一种具有随机变量的序列，其性质随时间变化。
功率谱密度是用来描述随机过程频谱特性的一种工具。
本文将介绍随机过程的基本概念，探讨功率谱密度的定义和计算方法，并讨论其在实际应用中的意义。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。
在随机过程中，每个时间点上的变量都是随机的，可以用数学统计的方法进行描述与分析。
随机过程常用于模拟与分析具有随机性的现象，如通信信号、股票价格等。
二、功率谱密度的定义功率谱密度是描述随机过程频谱特性的一种工具，用于表示随机过程在不同频率上的分布情况。
功率谱密度函数通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
三、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度可以使用多种方法，常见的有周期图法、自相关函数法和傅里叶变换法等。
下面分别介绍这些方法的基本原理：1. 周期图法周期图法是一种直观的计算功率谱密度的方法。
它通过对随机过程的重复实现进行频率分析，得到信号的谱图。
周期图法的实现过程包括样本采集、周期图的构建和谱估计等步骤。
2. 自相关函数法自相关函数法是一种基于信号的自相关函数计算功率谱密度的方法。
它通过计算随机过程与其自身在不同时间点上的相关性，得到功率谱密度函数。
自相关函数法的实现过程包括自相关函数的计算和功率谱密度的估计等步骤。
3. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于信号的傅里叶变换计算功率谱密度的方法。
它通过将时域信号转换到频域，得到信号的频谱分布。
傅里叶变换法的实现过程包括信号的傅里叶变换和功率谱密度的计算等步骤。
四、功率谱密度的实际应用功率谱密度在信号处理、通信系统设计、噪声分析等领域都有重要应用。
以下是一些典型的实际应用场景：1. 信号处理功率谱密度可以用于对信号进行频谱分析和滤波器设计。
通过分析信号的功率谱密度，可以了解信号的频率分布情况，并根据需求设计相应的滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
2. 通信系统设计功率谱密度可以用于对通信系统中的噪声进行分析和优化。
四.随机过程的功率谱密度
定义两随机过程的互功率为
1 PXY (T ) 2T 1 2T
T
T T
xT (t ) yT (t )dt x(t ) y (t )dt
T
应用帕塞瓦定理
1 PXY (T ) 2T
T
T
x(t ) y (t )dt
* XX (T , ) X Y (T , ) d 2T
1 2
2、功率谱密度是ω 的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω 的偶函数，即
S X ()＝S X (－)
截取函数 xT (t ) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
* XX (T , ) X X (T , )
于是
* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) 2
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
2
6 2 6 2 解：S X ( ) 4 2 5 4 ( 2 1)( 2 4) A B 2 2 1 4 6 2 6 6 2 24 A 2 | 2 1 2, B 2 | 2 4 8 4 3 1 3
2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
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解:（1）X(t)是平稳过程，且相关函数为 RX
故X(t)的平均功率为
Q
2
Rx (0)
a2 2
(
)
1 2
a2
cos
（2）因为 X 2 (t) E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 ( t )]
E[ a2
2
a2 2
cos(2
t
2)]
a2 2
a2 2
2
cos(2
t
2 )2d源自a2a214.4(1)随机过程的功率谱密度
一．确定信号谱分析法 二．随机过程谱分析法 三. 谱密度性质
一．确定信号谱分析法
1.设x(t)(-<t<+)是非周期的实函数，且
x
2
(t
)dt
，由傅里叶变换理论：
(1)若x(t)绝对可积，即
| x(t) | dt
(2)满足狄里克莱条件，则x(t)的傅里叶变换存在
T 2T T
T 2T T
lim 1 T 2
E
1 2T
|
FT
(
,
)
|2
d
1
2
lim
T
1 2T
E
|
FT (, ) |2
d
记 lim T
1 2T
E
|
FT
(, ) |2
S X ()
称为随机过程X(t)的功率谱密度
Q lim 1 T 2T
T
T
X
2
(t)dt
1
2
S X ()d
里叶变换条件，在工程技术中通常研究x(t)在(-<t<+)上的
平均功率，即
lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
及其谱表示。
二．随机过程的平均功率与功率谱密度
下面讨论的是随机过程{X(t), -∞< t < +∞} 的频谱分析。
设X(t)是均方连续随机过程，指频率, {}。
作截尾随机过程
Q lim 1 T 2T
T E[X 2 (t)]dt lim 1
T
T 2T
T
T RX (0)dt
RX (0)
2 X
Q 1
2
S X ()d
Sx ()
lim
T
1 2T
E[| FT (, ) |2 ]
由此可见，平稳过程X(t)的平均功率等于该过程的均方值 Ψx2或等于它的谱密度Sx(ω)在频率上的积分。
下节介绍维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式
上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式
注：X(t)功率谱密度，简称(自)谱密度。
它是从频率角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征。 特别的，若X(t)为平稳过程，有
当X(t)是均方连续的平稳过程时，由于 X 2 (t) E[X2(t)]=Rx(0)＝ X 2 , 利用均方积分的性质有
(1)若
x
2
(t )dt
，在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式
x 2 (t)dt 1
|
F ( ) |2
d
2
右边的被积函数|F(ω)|2 相应地称为能谱密度，
巴塞瓦尔等式可看作总能量的谱表示式。
（2）上面假定
x 2 (t )dt
即x(t)的总能量有限，在实际
问题中，大多数函数的总能量都是无限的，因而不能满足傅
T
T 4T
|
FT (, )
|2
d
记 lim 1 T X 2 (t, )dt Q( ) 称为样本函数的平均功率 T 2T T
因为X(t)是随机过程，于是有 随机过程的平均功率
记Q E[Q( )] E[ lim 1 T X 2 (t, )dt] lim 1 T E(X 2 (t, ))dt
sin(2
t)
0
2
故X(t)为非平稳过程，X(t)的平均功率为
Q lim 1 T 2T
T E[ X 2 (t)]dt
T
lim 1 T 2T
T [ a 2 a 2 sin2 t]dt a 2
T 2
2
三. 谱密度性质
性质1. Sx()是的实的、非负的偶函数； (利用FT () FT ())
性质2. 平稳过程的功率谱密度可积， 即
证：
1
2
SX
()d
E[ X (t)2 ]
S X ()d
因为平稳过程是二阶矩过程，
S X
()d
对于平稳过程的统计描述，从时域上是对相关函数Rx()进 行讨论，而频域上是对谱密度进行讨论。Rx()和Sx()都 X(t)的特征，它们之间必定存在某种关系:
F () x(t)eitdt
称F()为X(t)的频谱。
,且在x(t)的连续点处 x(t) 1 F ()ei td
2
x(t)称为F()的傅里叶反变换。
其中F()一般为复值函数，有 F () x(t)eitdt F ()
称|F()|为X(t)的振幅频谱。
2.我们关心能量问题， X (t)能量与 x2 (t)dt成正比。
X
T
(t,
)
X 0
(t,
)
|
t
|t |
| T
T
因XT(t)均方可积，故存在傅氏变换
FT (, )
XT
(t,
)ei
t dt
T X (t, )ei t dt
T
由巴塞瓦尔等式有
X
T
2
(t
,
)dt
T X 2 (t, )dt 1
T
2
|
FT
(, )
|2
d
1
lim T 2T
T X 2 (t, )dt lim 1
上式为平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式。
Sx(ω)的物理意义：表示X(t)的平均功率关于频率的分布。
例:设有随机过程X(t)=acos(t+), a, 为常数，在下列 情况下，求X(t)的平均功率:
（1）Θ是在(0, 2)上服从均匀分布的随机变量。 （2）Θ是在(0, /2)上服从均匀分布的随机变量。