贵阳一中2018高考适应性考试(五)理数-答案

贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCCADBBCDA【解析】 1．(2i)(3i)13i 12i-+=-+，其共轭复数为13i +，故选A ．2．A ，C ，D 都不正确（类比推理的结论不一定正确；平面中的三角形与空间中的四面体、平行四边形与平行六面体作为类比对象较为合适；演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确），故选B ． 3．作出可行域，如图1，当目标等直线过点A 时，min 2z =-，过点B 时，max 8z =，故选B ．4．由已知43sin cos 55αα==-，，3πsin 22α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α=-227sin cos 25αα=-=，故选C ． 5．如图2，在棱长为2的正方体中作出该几何体为棱锥P −ABCD ， 据此求出体积为1，故选C ．6．区域F 的面积为e ，区域E 的面积为1e 2011d d x x x x+⎰⎰e 131014ln 33x x =+=，所求概率为43e，故选A ． 7．如图3，在正方体ABCD EFMN -中，异面直线CN 与BM 所成角为60°， 故选D ．8．判断时ln(1)S n =+，所以9n =要结束循环，故选B ．9．由已知，()f x 在R 上递减且(1)0f =，所以当1a ≤时，(1)0()0f a f a ->，≥ 满足条件；当1a >时，10(1)1(1)()1a f a a f a a ->-=--=-，，33202a a ⇒->⇒<，综上，a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，故选B ．10．设OA a OB b OC c === ，，，则△OAB 是边长为2的等边三角形，C 在以AB 为直径的圆上，max ||31OC =+，故选C ．11．依题意，2215102b c e e e a ±=⇒--=⇒=（舍去负值），故选D ．12．3(0)3sin 2f ϕ=⇒=且223ϕϕπππ-<<⇒=，()y f x =的图象与直线1y =的交点横坐标即1sin()2x ωϕ+=的根，相邻两根差的最小值为13T ，从而2T ω=π⇒=，()g x 在π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递增，在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故选A ．图1图2图3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案919212a <≤10【解析】13．68262(1)(1)(1)(12)x x x x x -+=-++，26(1)x -展开式没有x 的奇数次方，只需求其展开式的24x x 与项的系数和，1266C C 9-+=．算192AD =． 14．余弦定理计算5AC =，设AC 的中点为E ，在△ADE 中计15．由已知，作出()f x 的图象（函数周期为4，只需考虑[22]-，），如图4，观察图象得12a <≤.16．如图5，假设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为12d d ，，则221||82AC d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222||82BD d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且22212||6d d OM +==， 221||||||||222ABCDAC BD S AC BD ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤221216()10d d =-+=， 所以当且仅当123d d ==（即||||25AC BD ==）时，四边形ABCD 的面积取最大值10. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1n =时，11114443a S a a ==-⇒=； ……………………………（2分） 当11142443n n n n n n n a n a S S a a a ---=-=-⇒=≥时，；……………………（4分） 所以{}n a 是以43为公比、首项为43的等比数列，所以43nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）3(21)4nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ …………………………………… （7分）137244nn n nb b +-⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，当3n ≤时，10n n b b +->；当4n ≥时，10n n b b +-<， ………………………… （10分） 即123456b b b b b b <<<>>>⋅⋅⋅，图5图4所以{}n b 的最大项为444735674256b ==． …………………… （12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知，一套设备在五年内需更换的易坏元件数为4，5，6，7的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，………………………………………… （1分）从而(8)0.20.20.04P X ==⨯=；(9)20.20.40.16P X ==⨯⨯=；(10)20.20.20.40.40.24P X ==⨯⨯+⨯=； (11)20.20.220.40.20.24P X ==⨯⨯+⨯⨯=； (12)20.20.40.20.20.2P X ==⨯⨯+⨯=；(13)20.20.20.08P X ==⨯⨯=；(14)0.20.20.04P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 8 9 10 11 12 13 14 P0.040.160.240.240.20.080.04…………………… （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知(11)0.68P X =≤，(12)0.88P X =≤， 故n 的最小值为12. ……………………（8分）（Ⅲ）记Y 表示2套设备在购买易坏元件上所需的费用（单位：万元）． 当11n =时，()1120.68(1125)0.2(11225)0.08E Y =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+(11235)⨯+⨯ 0.0424.40⨯=；当12n =时，()1220.88(1225)0.08(12225)0.0424.80E Y =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；可知当11n =时所需费用的期望值小于12n =时所需费用的期望值， 故应选11n =. …………………………………… （12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，由已知条件及勾股定理可证BD AD ⊥， ………（2分） 平面CDEF ⊥平面ABCD ，交线为CD ，在矩形CDEF 中，DE ⊥CD ， 由面面垂直性质得DE ABCD DE BD ⊥⇒⊥平面， …………………… （4分） AD 与DE 是平面ADE 内两条相交直线，所以BD ⊥平面ADE ， ………………………………………… （5分） BD BDF ⊂平面，所以平面BDF ⊥平面ADE ． …………………… （6分） （Ⅱ）解：建系如图6，设1BC =，DE t =，则(110)(01)DB CE t ==- ，，，，，，211|cos |221DB CE t ==+ <，>， 得1t =，即1DE =， …………………………………………（8分）(011)(010)(101)DF EF BF ===- ，，，，，，，，，平面BDF 的一个法向量为(111)m =-，，，平面BEF 的一个法向量为(101)n = ，，，……………………………………………………（10分） 26cos 332m n == <，>， ……………………（11分）图6所以二面角E BF D --的余弦值为63． ……………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设知，2a c =，可设椭圆方程为2222143x y c c+=， ………………（2分）把点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入，22222191143412c a b c c +=⇒=⇒==，， ……………（4分） 故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………（5分）（Ⅱ）由于对称性，可令0t >.将直线AM 的方程(2)6t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得2222(27)441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t -=+ ，2A x =-得2225427P t x t-=-+，则21827P t y t =+. ………………（8分） 再将直线BM 的方程(2)2t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得2222(3)44120t x t x t +-+-=，由224123B Q t x x t -=+ ，2B x =得22263Qt x t -=+，则263Q t y t =-+. 故四边形APBQ 的面积为1||||2||2P Q P Q S AB y y y y =-=-= 221862273t t t t ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ 22222222248(9)48(9)48912(27)(3)(9)129t t t t t t t t t t t t ++===+++++++. 由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[6)+∞，上单调递增，故128λλ+≥，从而有48612S λλ=+≤，当且仅当6λ=，即3t =， 也就是点M 的坐标为(43)，时，四边形APBQ 的面积取最大值6. ……………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()g x 的定义域为(0+)∞，，1()g x a x'=-，且(1)g a =， 当0()a g x ≤时，在(0+)∞，上递减，当1x >时，()g x a <不满足条件； 当01a <<时，1()0g x a ⎛⎤ ⎥⎝⎦在，上递减，当11x a <<时，()g x a <不满足条件；当1a >时，1()g x a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在，上递增，当11x a <<时，()g x a <不满足条件；若1a =，()(01]g x 在，上递减，[1)+∞在，上递增，故()(1)g x g a =≥， 综上，1a =． ………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2()ln ()22ln f x x x x x f x x x '=--=--，. 设()22ln h x x x =--，则1()2h x x'=-， 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<；当1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>，所以()h x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；又21(e )00(1)02h h h -⎛⎫><= ⎪⎝⎭，，，所以()h x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有唯一零点0x ，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上有唯一零点1，且当0(0)x x ∈，时，()0h x >；当0(1)x x ∈，时，()0h x <；当(1)x ∈+∞，时，()0h x >. 因为()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-， 由0(01)x ∈，得01()4f x <， 因为0x x =是()f x 在(01)，的最大值点， 由11e (01)(e )0f --'∈≠，，得120()(e )e f x f -->=， 所以211()e 4f x <<． ………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）C 的普通方程为22(0)y ax a =>， l 的直角坐标方程为10x y --=．…………………………………………（5分）（Ⅱ）2a =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1x -≤时，()22f x x =-+，()(1)4f x f -=≥， 当13x -<<时，()4f x =，当3x ≥时，()22()(3)4f x x f x f =-=，≥，∴()f x 的最小值为4． …………………………………………………… （5分） （Ⅱ）原式等价于不存在实数x 使得不等式2()f x x x m -+≥成立. 设2()()g x f x x x =-+，当1x -≤时，2()2g x x x =--+，()(1)2g x g -=≤，当13x -<<时，2()4g x x x =-++，117()24g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当3x ≥时，2()32g x x x =-+-，()(3)2g x g =-≤， ∴max 17()4g x m =<， ∴174m >． ………………………………………………………………（10分）。