2017-2018高三数学期末考试试卷
2017-2018高三数学期末考试试卷
2017-2018高三上学期期末数学试卷班级 姓名 分数一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设集合{}12A <-=x x ，{}0)4)(1(B <-+=x x x ，则=B A （ ）A. φ B . R C.（-1,4） D.（1,3）2. 函数)1ln()(2-=x x f 的定义域是（ ）A.（0，+∞）B.（-∞，-1） （1，+∞）C.（-∞，-1）D.（1，+∞）3. 设b x a x f +-=)12()(在R 上是减函数，则有（ ）A. 21≥a B.21≤a C.21->a D.21<a4. 设,5.0log ,0,225.0===c b a 则（ ）A. c b a >>B.b c a >>C.c a b >>D.a b c >>5. 在ABC ∆中，“B A sin sin =”是“B A =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数x x y 2cos 2sin 2=的最小正周期是（ ）A. π4B. π2C. 2πD. π7. 等比数列{}n a 中，若2563=a a ，则=81a a （ ）A. 25B. 10C. 15D. 358. 若向量),1,1(),2,1(-==→→b a 则→→+b a 2等于（ ）A.（3,3）B.（3，-3）C.（-3,3）D.（-3，-3）9. 已知直线013:1=+-y x l ，直线01:2=++y ax l ，且21//l l ，则a 的值为（）A. 31B. 31- C. 3 D. -310. 椭圆116922=+y x 的焦点坐标是（ ） A. （0,7±） B.（0,7±） C.（7,0±，） D.（70±，）二、填空题（每小题3分，共24分）11. 若142)1(2-+=+x x x f ，则=)2(f12. 函数562+-=x x y 的递减区间是13. 已知)5,5(),0,3(-==→→b a ，则→a 与→b 的夹角为14. 计算=+︒︒︒︒54sin 36cos 54cos 36sin15. 过点（1，-1）且与直线0123=+-y x 垂直的直线方程为16. 若数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则=6a17. 若方程022=++-+m y x y x 表示圆，则m 的取值范围为 18. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 三、计算题（每小题8分，共24分）19. 在ABC ∆中，已知1)(22=--bcc b a ，求A ∠的值20. 等差数列{}n a 中，3,1035==S a ，求10S21. 求焦点在ｘ轴上，实半轴长为2，且离心率为23的双曲线方程。
太原市2017--2018学年第一学期高三年级期末考试(理科)
太原市2017----2018学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112选项1、已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =+>=+->，则A B =.A (),1-∞-.B ()3,+∞.C ()2,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.D 21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为.93A .123B .137C .167D 3、已知,a b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件4、对于复数z ，定义映射:f z zi →.若复数z 在映射f 作用下对应复数23i +，则复数z 在复平面内对应的点位于.A 第四象限.B 第三象限.C 第二象限.D 第一象限5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则8a =.A 21.B 15.C 12.D 96、已知31,1,ln ,2ln ,ln 2x a x b x c x ⎛⎫∈===⎪⎝⎭，那么.A a b c<<.B c a b<<.C b a c<<.D b c a<<7、已知2sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 59-.B 23-.C 23.D 598、下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5,2x n ==，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =.A 10.B 12.C 60.D 639、511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为.A 1.B 21.C 31.D 5110、已知函数3139y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为.A 14.B 12.C 32.D 23311、已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（俯视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为.A 23.B 43.C 83.D 16312、已知函数()()()()ln 1,f x x g x kx k N*=+=∈，若对任意的()()0,0x t t ∈>，恒有()()2f x g x x -<，那么k 的取值集合是.A {}1.B {}2.C {}1,2.D {}1,2,3太原市2017----2018学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题----第21题是必考题，每个试题考生都必须做答.第22题----第24题为选考题，考生根据要求做答.注意事项：1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2、答卷前将密封线内项目填写清楚.题号二三总分171819202122 23得分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13、已知函数()[]1,2,51x f x x x +=∈-，则()f x 的最大值是_____________.14、不共线的三个平面向量,,a b c 两两组成的角相等，且1,3a b c ===，则________a b c +-=.15、已知()2log 270f x x =+，那么()()()()0126_______f f f f ++++= .16、已知三棱柱111ABC A B C -所有棱长都相等，且1160BAA CAA ∠=∠=.那么异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为____________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1421,16,nn S a a n N *=-=∈.（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.18、（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知tan tan tan A B A B ++=⋅.（1）求角C ；（2）若3,c ABC =∆的面积为2，求ABC ∆的周长.19、（本小题满分12分）在某年级的联欢会上设计了一个模奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和7个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球.（1）设ξ表示摸出的红球的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可模球两次，每次模球后放回.若规定两次共摸出红球的个数不少于n ，且中奖概率大于60%时，即中奖，求n 的最大值.20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，23,,,303PD AB PD BC AB AD BAD ⊥⊥=∠= .（1）证明：AD PB ⊥；（2）若,,60PD AD BC CD BCD ==∠=，求二面角A PB C --的余弦值.21、（本小题满分12分）已知函数()()0x mxf x m e=-≠有极小值.（1）求实数m 的取值范围；（2）若函数()()2ln 1xh x x ex ax =+-+在0x >时有唯一零点，求实数a 的取值范围.说明：请考生在第22、23二题中任选一题做答，写清题号.如果多做，则按所做第一题记分.22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为,3x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 相交的直线，该直线与直线l 所成的锐角为30，设交点为A ，求MA 的最大值和最小值，并求出取最大值和最小值时点M 的坐标.23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()212,54f x x x g x x x =++-=-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈ 时，证明：()()3f x g x ≤+.。
天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试高三数学(文)试题及答案
绝密★启用前天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试高三数学（文科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}，集合B={2, 4}，则集合()UA B=ðA. {4}B. {2, 3, 4, 5}C. {3, 5}D. {2, 3, 5}2. 设变量x，y满足约束条件220,220,2,x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪⎩………则目标函数z=x+y的最大值为A. 7B. 6C. 5D. 43. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为A. 12B. 24C. 36D. 484. 设x∈R，若“1≤x≤3”是“⎪x-a⎪ < 2”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是A. (1, 3) B. [1, 3)C. (1, 3]D. [1, 3]5. 已知双曲线22221x ya b-=（a> 0，b> 0）的一个焦点为F(-2, 0)，一条渐近线的斜率A.2213xy-= B.2213yx-= C.2213yx-= D.2213xy-=正视图侧视图俯视图6. 已知函数f (x ) = 2⎪x ⎪，且f (log 2 m ) > f (2)，则实数m 的取值范围为 A. (4, +∞)B. 1(0,)4C. 1(,)(4,)4-∞+∞D. 1(0,)(4,)4+∞7.设函数()cos f x x x ωω=+（ω > 0），其图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为A. 1(,1)2B. (0, 2)C. (1, 2)D. [1, 2)8.如图，平面四边形ABCD ，∠ABC = ∠ADC = 90︒，BC = CD = 2，点E 在对角线AC 上，AC = 4AE = 4，则EB ED ⋅的值为A. 17B. 13C. 5D. 1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i1ia -+为纯虚数，则a 的值为__________. 10. 已知函数ln ()xf x x=，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为__________.11. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a ，b 分别是1，2，运行相应的程序，则输出S 的值为__________. 12. 已知函数1()221x x f x =+-（x > 0），则f (x )的最小值为__________.13. 以点(0, b )为圆心的圆与直线y = 2x + 1相切于点(1,3)，则该圆的方程为__________. 14. 已知函数2,0,()115,0.24x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-⎪⎩… 函数g (x ) =x 2，若函数y = f (x ) - g (x )有4个零点，则实数a 的取值范围为__________.B三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件.（Ⅰ）求分别抽取三种产品的件数；（Ⅱ）将抽取的6件产品按种类A,B,C编号，分别记为A i,B i,C i，i= 1, 2, 3….现从这6件产品中随机抽取2件.（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率.16.（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足sin sin sin sinA C A Bb a c--=+.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若1cos7A=，求cos (2A-C)的值.17.（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G、H分别为BC、EF的中点，EF 4且EF∥AB，EF⊥FB.（Ⅰ）求证：GH∥平面EAD；（Ⅱ）求证：FG⊥平面ABCD；（Ⅲ）求GH与平面ABCD所成角的正弦值.DA BC G FH E18.（本小题满分13分）已知{a n }是等差数列，且a 2 = 4，其前8项和为52.{b n }是各项均为正数的等比数列，且满足b 1 + b 2 = a 4，b 3 = a 6.（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）令22log log n nn n nb ac a b =+，数列{c n }的前n 项和为T n .若对任意正整数n ，都有T n - 2n < λ成立，求实数λ的取值范围.19.（本小题满分14分）设椭圆22221x ya b+=（a>b> 0）的左焦点为F1，离心率为12.F1为圆M：x2+y2+ 2x- 15 = 0的圆心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数3211()(2)232f x x a x ax =-++，21()(5)2g x a x =-（a ≥4）. （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）若f (x )图象上任意一点P (x 0, y 0)处的切线的斜率254k -…，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对于区间[3, 4]上任意两个不相等的实数x 1，x 2都有⎪f (x 1) - f (x 2)⎪>⎪g (x 1) - g (x 2)⎪成立，求a 的取值范围.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 BDCA 5-8 BDCA 二、填空题:9. 1 10. 1 11. 158 12. 3 13. 452722=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 14. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2155，三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I ）设C 产品抽取了x 件，则A 产品抽取了x 2件，B 产品抽取了x 3件，.............2分1632==++x x x x 解得：，则有： .................4分所以A 、B 、C 三种产品分别抽取了2件、3件、1件. ................................5分 （II ）（i ）设A 产品编号为12,A A ； B 产品编号为123,,;B B B C 产品编号为1C ..................6分则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1211121311212223211213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B B B {}{}{}{}11232131,,,,,,,B C B B B C B C 共15个 .......................................10分.（ii ）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}11121311212223211121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A B A B A B A C B C B C {}31,B C 共11个. .................... .................... .................... .................... ...........................12分因此这两件产品来自不同种类的概率为1115P = .........................13分16.（本小题满分13分）分，即：及正弦定理得：由）解：（3..................................sin sin sin sin I 222b ab c a ca ba b c a ca BA b C A -=-+-=-+-=-I 1////42////.............................................................AD M EM GMEF AB M G AD BC MG EF H EF EF AB EH AB EMGH GH EM GH EAD EM EADGH EAD ===⊄⊂（）证明：如图，取的中点，连接，因为，、分别为、的中点，所以因为为的中点，，所以，所以四边形为平行四边形，所以又因为平面，平面所以平面.........4分分所以分由余弦定理得：6 (3)5 (21)2cos 222π==-+=C ab c b a C （II ）由1cos 7A =及22sin cos 1A A += 得sin A =........................7分 49471cos 22cos 2-=-=A A ...............................9分1sin 22sin cos 27A A A ===分()分所以13 (98)232349382149473sin2sin 3cos 2cos 32cos 2cos -=⨯+⨯-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-πππA A A C A17.（本小题满分13分）. ............2分（II ）证明：因为EF FB ⊥，EF AB ∥，所以AB FB ⊥，在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，所以AB ⊥平面FBC . . ..............6分 又FG ⊂平面FBC ，所以AB FG ⊥，在正三角形FBC ∆中FG BC ⊥，所以FG ⊥平面ABCD . . ..............8分（III ）如图2，连接HM ，由（I ）（II ）可知HM ⊥平面ABCD .所以HGM ∠为GH 与平面ABCD 所成的角 . ...... .............................10分在Rt HGM ∆中，HM =2MG =，所以HGsin HM HGM HG ∠===. .........13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在等差数列}{n a 中, 由⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=52824812a a a ………………………………………………1分 得⎩⎨⎧==131d a ，………………………………………………2分 所以2+=n a n ………………………………………………3分在各项均为正数的等比数列}{n b 中，由⎩⎨⎧====+8663421a b a b b ………………………………………………4分 得⎩⎨⎧==221q b ………………………………………………5分 所以n n b 2=……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知22224422n n n n n c n n n n+++=+=++……………………………………7分 1122.2n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭…………………………………………9分 所以12n n T c c c =+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--++-+-⨯+=2111111412131122n n n n n11232.............................1212n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭分 因为对任意正整数n ，都有λ<-n T n 2成立 即λ<-⎪⎭⎫⎝⎛+++-+n n n n 22111232对任意正整数n 恒成立，所以3≥λ......….. 13分19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知12c a =，则2a c =， ………………1分 圆M 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而椭圆的左焦点为()11,0F -，即1c =，…………3分所以2a =，又222b a c =-，得b = ………………3分 所以椭圆的方程为：13422=+y x . ………………4分 （Ⅱ）可知椭圆右焦点()21,0F ． ………………5分 （ⅰ）当l 与x 轴垂直时，此时k 不存在，直线l ：1x =，直线1:0l y =， 可得：3AB =，8CD =，四边形ACBD 面积12. ………………7分 （ⅱ）当l 与x 轴平行时，此时=0k ，直线:0l y =，直线1:1l x =， 可得：4AB =，CD =，四边形ACBD 面积为38. ………………8分 （iii ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，并设()11,A x y ，()22,B x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),1(22y x x k y 得()22224384120k x k x k ++-=-. ………………9分 显然0∆>，且2122843k x x k +=+， 212241243k x x k -=+. ………………10分所以212212(1)43k AB x k +=-=+. ………………11分过2F 且与l 垂直的直线11:(1)l y x k =--，则圆心到1l 的距离为122+k ，所以CD == ………………12分 故四边形ACBD面积：12S AB CD ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值范围为(12,38).………13分 综上，四边形ACBD面积的取值范围为12,⎡⎣． ………………14分20.（本小题满分14分）解：（I ）由()3211()2232f x x a x ax =-++得()()()2()222f x x a x a x x a '=-++=-- …1分 因为4a >,所以单调递增；时，函数或即当)(2,0)(x f a x x x f ><>' …………2分 .)(2,0)(单调递减时，函数即当x f a x x f <<<' ………………3分 所以函数)(x f 的单调递增区间为()()+∞∞-,,2,a ，单调递减区间为()a ，2．……4分 （II ）由（I ）可知()2()22f x x a x a '=-++ 所以2min 244()()24a a a f x f +-+-''==， …………………………6分 由254k ≥-，得2442544a a -+-≥-，即37a -≤≤………………………7分 又因为4a ≥，所以a 的取值范围为[]4,7. …………………………8分 ()[]121212III 3443,4,()()()()x x a f x f x f x f x f x ≤<≤≥-=-（）不妨设当时，在区间上恒单调递减有[][]212121************()(5)3,42()()()()()()()()()()()()()()()()()()3,4a g x a x g x g x g x g x f x f x g x g x f x g x f x g x F x f x g x F x F x F x ≤<=--=-->-->-=->①当时，在区间上恒单调递减，则等价于，令函数，由知在区间上单调递减，2222()(23)2,45,(23)203(23)32014, 5.........................................1034(23)420F x x a x a a x a x a a a a a a '=--+≤<--+≤⎧--⨯+≤⎪≤<⎨--⨯+≤⎪⎩即求得分当时[][]上单调递减，在区间知由，令函数，等价于则上恒单调递增，在区间时，当4,3)()()()()()()()()()()()()()()()()()(4,3)5(21)(5③212211212112212x G x G x G x g x f x G x g x f x g x f x g x g x f x f x g x g x g x g x a x g a >+=+>+->--=--=>显然成立时，当)()()()(0,g(x)5a ②2121x g x g x f x f ->-==…………………11分 2222()72,5,72037320,564742014,6...................................................143G x x x a a x x a a a a a '=-+>-+≤⎧-⨯+≤⎪<≤⎨-⨯+≤⎪⎩⎡⎤⎢⎥⎣⎦即求得由得的取值范分当时围为①②③。
2017~2018年高三上学期期末试题(理数)及答案
2017~2018高三上学期期末试题（理数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1、已知：如图，集合U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是A 、∁U CB A )( B 、∁U AC B )( C 、 A ∁U ）（C B D 、∁U C B A )(解析：略2、已知i +1是关于x 的方程 022=++bx ax （R b a ∈,）的一个根，则=+b a A 、1- B 、1 C 、3- D 、3解析：实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）. 易得：2,1-==b a3、已知双曲线C 的一条渐近线的方程是：x y 2=，且该双曲线C 经过点)2,2(，则双曲线C 的方程是A ．1147222=-y x B ．1147222=-x y C ．1422=-x y D ．1422=-y x 解析：由题可设双曲线的方程为：λ=-224x y ，将点)2,2(代入，可得4-=λ，整理即可得双曲线的方程为1422=-y x 4、已知：x b x a x f cos sin )(+=，1)3sin(2)(++=πωx x g ，若函数)(x f 和)(x g 有完全相同的对称轴，则不等式2)(>x g 的解集是 A ．))(2,6(z k k k ∈+-ππππ B ．))(22,62(z k k k ∈+-ππππC ．))(62,2(z k k k ∈+πππ D ．))(6,(z k k k ∈+πππ解析：由题意知，函数)(x f 和)(x g 的周期是一样的，故1=ω，不等式2)(>x g ，即21)3s i n (>+πx ，解之得：))(22,62(z k k k x ∈+-∈ππππ5、已知各项均为正数的等比数列}{n a ，253=⋅a a ，若)())(()(721a x a x a x x x f -⋅⋅⋅--=，则)0('f =________A ．28B ．28-C ．128D ．128-解析：令)()(x g x x f ⋅=，其中)())(()(721a x a x a x x g -⋅⋅⋅--=，则)(')()('x g x x g x f ⋅+=，故747321)0()0('a a a a a g f -=⋅⋅⋅⋅⋅-==，由253=⋅a a 可得，24=a ，故28)0('-=f6、已知：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤+-,062,032,01y x y x y x 则目标函数y x z 32-=A ．7max -=z ，9min -=zB ．311max -=z ，7min -=z C ．7max -=z ，z 无最小值D ．311max -=z ，z 无最小值 解析：如图：)3,0(A ,)35,32(B ,)5,4(C ,显然7max -=z7、设()x x e e x f sin 1sin 1-++=，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且)()(21x f x f >，则下列结论必成立的是A. 1x ＞2xB. 1x +2x ＞0C. 1x ＜2xD. 21x ＞22x 解析：)()(x f x f -=，故)(x f 是偶函数， 而当]2,0[π∈x 时，0)(cos cos cos )('sin 1sin 1sin 1sin 1>-⋅=⋅-⋅=-+-+x x x x e e x e x e x x f ，即)(x f 在]2,0[π是单调增加的.由)()(21x f x f >，可得|)(||)(|21x f x f >，即有||||21x x >，即2221x x >8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S =A ．π10B ． 441πC ．221πD ．π12解析：方法一：该多面体如图示，外接球的半径为AG ,HA 为ABC ∆外接圆的半径，1=HG ，45=HA ， 故44112=+==HA AG R ， 44142ππ==R S 方法二：只考虑三棱锥ABC E -的外接球即可，而此三棱锥的侧棱EB 与底面ABC 是垂直的，故其外接球的半径：4412)2(22=+=r EB R （其中r 是三角形ABC 外接圆的半径）9、执行如图的程序框图，若输出S 的值是2，则a 的值可以为A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017解析：①2=S ，0=k ；②1-=S ，1=k ；③21=S ，2=k ；④2=S ，3=k ；……，故a 必为3的整数倍。
2017-2018学年福建省厦门市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R2．（5分）命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）A．∃x 0∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0C．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．36．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．28．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）﹣=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．25011．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，NF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．2．（5分）命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）A．∃x 0∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0C．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．3．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选B．4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选D．5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．3【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．6．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．2【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．8．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，C；故选：A．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）﹣=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．250【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．11．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．∴S △COD =sinθ，S △DOE =（﹣θ，∴四边形OCDE 的面积为S=sinθ+sin （﹣θ）=sinθ+cosθ=sin（θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE 的面积取得最大值为．18．（12分）如图，直角梯形BDFE 中，EF ∥BD ，BE ⊥BD ，EF=2，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB=2CD=4，且平面BDFE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为，求二面角B ﹣DF ﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE ⊥BD ，平面BDFE ∩平面ABCD=BD ， ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BE ， 又∵AC ⊥BD ，且BE ∩BD=B ， ∴AC ⊥平面BDFE ．解：（2）设AC ∩BD=O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FEOB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴OF ∥BE ，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴∠FBO 为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．∴b2n+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，NF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．【解答】解：（1）依题意：f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，故a=2；②当1＜﹣，即a＜﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；故a=2或﹣6．。
赣州市2017-2018年第一学期期末考试 高三文科 数学试卷
SS 1 2n
D. 6
n 1, S 0
n n 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡上中的横线上.
k ______. 13.已知向量 a 2, k ， b 1 k , 4 ，若 a b ，则实数 1
A. 3 B. 4 C. 5 14.已知 tan 3 ，则 cos 2 sin 的值为________．
A. B. C.
π 3
π 6
log 2 x, x 0 ，则 f 2018 f x 4 , x ≤ 0
B. 1 C. log 2 3 D. 2
f (0) 1 ，则不等式 e x f ( x) （ e 为自然对数的底数）的解集为
A. 1,
2017 年“双节”期间，高速公路车辆很多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按 进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他
们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： [60, 65), [65, 70),
x y
9.设奇函数 f ( x ) sin( x ) 3 cos( x )
D. {4, 6} = D. 2
0 在 x 1,1 内有 9 个零点，则 取值范围为
2017-2018学年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷(解析版)
的离心率为 ，则实数 m 等于（ ）
A．3
B．
C．5
D．D
5．（4 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r＝（ ）
A．1 6．（4 分）
B．2
C．4
D．8
，f'（x）为 f（x）的导函数，则 f'（x）的图象是（ ）
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2017-2018 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：∵集合 M＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，
N＝{x|lgx＝0}＝{1}， ∴M∪N＝（{x|0≤x≤1}＝[0，1]． 故选：A． 2．【解答】解：若 c≥0，则 ac≥bc，则 ac＞bc 不一定成立， 若 ac＞bc，则 ac﹣bc＞0，即 c（a﹣b）＞0， ∵a＞b，∴a﹣b＞0，则 c＞0，此时 c≥0 成立， 即条件“c≥0”是条件“ac＞bc”的必要不充分条件， 故选：B． 3．【解答】解：∵函数 f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1 为偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， 即 f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1， 即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1， ∴2a2﹣a﹣1＝0， 解得 a＝1 或 a＝﹣ ，
（2）直线 PF 与曲线 C 的一个交点为 R，求
的最小值．
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22．已知数列{an}满足 an+1＝
【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。
2017-2018学年湖南省长沙市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数2．（5分）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）已知18x＝2y＝3，则＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣24．（5分）在△AOB中，OA＝OB＝1，OA⊥OB，点C在AB边上，且AB＝4AC，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．4πD．12π6．（5分）已知，且2sin2α＜0，则的值为（）A．7B．﹣7C．D．7．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r（modm），例如10＝2（mod4）．下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于（）A．3B．9C．27D．818．（5分）设函数，已知f（x）的最小正周期为4π，且当时，f（x）取得最大值．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递增B．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递减C．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递增D．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减9．（5分）如图，有一直角墙角BA和BC，两边的长度足够长．拟在点P处栽一棵桂花树，使之与两墙的距离分别为a（0＜a＜12）和4（单位：m），同时用16米长的篱笆，利用墙角围成一个矩形护栏ABCD，使得P处的桂花树围在护栏内（包括边界）．设矩形ABCD 的面积为S（m2），S的最大值为f（a），则函数y＝f（a）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），点A，B在双曲线C的左支上，0为坐标原点，直线B0与双曲线C的右支交于点M．若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．3D．411．（5分）已知直线l经过不等式组表示的平面区域，且与圆O：x2+y2＝25相交于A，B两点，则当|AB|最短时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣10＝0B．2x﹣y﹣6＝0C．x+2y﹣8＝0D．2x+y﹣8＝0 12．（5分）将正整数n表示为，其中a1＝1，当0≤i ≤k﹣1时，a1为0或1．记k（n）为上述表示式中a1为0的个数（例如），则k（3×210）+k （218﹣3）＝（）A．9B．10C．11D．12二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5分）在8的展开式中x3的系数是．14．（5分）某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：经计算得回归直线的斜率为﹣3.2．若存放温度为6℃，则这种细胞存活率的预报值为%．15．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝6，AD＝5，CD＝1，B＝30°，∠ADB为锐角，则AC边的长为．16．（5分）过抛物线x2＝8y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n ﹣1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设与，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞成立的正整数n的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，AB＝，AD＝，AP＝2，∠ABC＝60°．（I）证明：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PD上一点，若直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，求的值．19．（12分）某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数（百分制）如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．（I）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？（Ⅱ）现将30位科研员的健康指数分为如下5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），其频率分布直方图如图所示．计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到的真实值记为，由频率分布直方图得到的估计值记为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求与的误差值；（Ⅲ）从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望．附：K2＝．30位科研员健康指数的和x i＝2288．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），点E在椭圆C 上，且∠F1EF2＝60°，．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于AB两点．问：是否存在定点M，使当直线l绕点M任意转动时，为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数，其中“a＞0为常数．（I）若f（x）在区间（0，3]内单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点x0，记[x0]表示不超过x0的最大整数，求[x0]的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设A、B为曲线C上两动点，且OA丄OB，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求不等式|2x﹣1|+x＜m的解集；（Ⅱ）已知|a|＜，|b|＜，证明：|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵＝，∴z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，，∴正确的结论是C．故选：C．2．【解答】解：∵p为假命题，∴￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，∴1﹣a≤0，则a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．3．【解答】解：∵18x＝2y＝3，∴x＝log183，y＝log23，∴＝log318，＝log32，∴﹣﹣＝log318﹣log32＝log39＝2，故选：B．4．【解答】解：法一：∵OA＝OB＝1，OA⊥OB，∴AB＝，∠OAB＝45°∴＜＞＝135°，∵C在AB边上，且AB＝4AC，∴AC＝，则＝（）＝＝＝法二：由已知可设＝（1，0），＝（0，1），则＝＝4，∴＝＝（），∴＝﹣＝．故选：A．5．【解答】解：由已知可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥P﹣ABC，顶点P在底面ABC内的射影O是BC的中点，且AB＝2，AC＝2，OP＝M因为AB⊥AC则BC＝＝，设其外接球半径为R，球心为：O，R＝故此三棱锥的外接球的体积为：V＝πR3＝4π，故选：A．6．【解答】解：∵已知＝﹣sinα，∴sinα＝﹣，∵2sin2α＝2sinαcosα＜0，∴cosα＞0，∴cosα＝＝，tanα＝＝﹣，则＝＝，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得N＝11，i＝1i＝3，N＝14满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）“，i＝9，N＝23，满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）”，i＝27，N＝50满足条件“N＝2（mod 3）“，满足条件“N＝1（mod 7）“，退出循环，输出i的值为27．故选：C．8．【解答】解：∵函数，已知f（x）的最小正周期为＝4π，∴ω＝．∵当时，f（x）取得最大值，∴×+φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝sin（+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）＝f（x+）＝sin（+）＝cos的图象，故g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减，故选：D．9．【解答】解：由题意，设AD＝x，可得CD＝16﹣x，则，可得a≤a≤12，那么S＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+64，当0＜a≤8时，f（a）＝S（8）＝64；当8＜a＜12时，f（a）＝S（a）＝a（16﹣a）；由此判断函数y＝f（a）的大致图象是D．故选：D．10．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），据题意，点B，M关于坐标原点对称，则点M（﹣x2，﹣y2），由已知，k AB＝＝3，k AM＝＝1，两式相乘，得＝3，因为点A，B在双曲线上，则，，两式相减，得，即，所以＝3，则e2＝4，所以e＝2，故选：B．11．【解答】解：不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域；由图形可知点点P为直线x﹣y﹣2＝0与y﹣2＝0的交点（4，2）时，|OP|最长，因为k OP＝，则直线l的方程为：y﹣2＝﹣2（x﹣4），即2x+y﹣10＝0．故选：A．12．【解答】解：因为3×2n＝2n+1+2n＝2n+1+2n+0×2n﹣1+0×2n﹣2+…+0×20，则k×（3×2n）＝n，所以k×（3×2n）＝10，因为2n﹣3＝2n﹣4+1＝＝2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+0×21+20，则k（2n﹣3）＝1，所以k（218﹣3）＝1，即k（3×210）+k（218﹣3）＝11，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．【解答】解：由于8的通项公式为T r+1＝•28﹣r•x4﹣r，令4﹣r＝3，求得r＝1，可得展开式中x3的系数为•27＝1024，故答案为：1024．14．【解答】解：由题意，设回归方程为＝﹣3.2+a，由表中数据可得：＝1，＝50；带入回归方程可得a＝53.2．当x＝6时，可得y＝﹣3.2×6+53.2＝34故答案为：3415．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理可得：＝＝10，则：sin∠ADB＝，因为：∠ADB为锐角，则cos∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理可得：AC2＝25+1﹣2×5×1×（﹣）＝18，解得：AC＝．故答案为：．16．【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点F（0，2），由题意设直线l的斜率为k，则k＞0，直线方程为y＝kx+2，与抛物线x2＝8y联立，可得x2﹣8kx﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝8k，M为线段AB的中点，O为坐标原点，可得M的横坐标为＝4k，纵坐标为4k2+2，则直线OM的斜率为：＝k+≥2＝当且仅当k＝，即k＝±等号成立．直线OM的斜率的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n﹣1①，当n≥2时，4S n﹣1＝a2n﹣4（n﹣1）﹣1②①﹣②整理得：a n+1﹣a n＝2，所以：数列{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．解得：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）＝，则①，②，①﹣②得：，解得：T n＝．由于T n＝＞，解得：2n＞60，故n的最小值为6．18．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝＝3，∴CD2+AC2＝AD2，∴CD⊥AC，即CD⊥平面P AC，∴CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD；解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（，0，0），C（0，3，0），，，设为平面PBC的法向量，则，⇒．设，则．∴＝＝（﹣，3λ﹣3，2﹣2λ），∵P A⊥底面ABCD，则＝（0，0，2）是面ABCD的法向量．∵直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，∴＝，∵，，＝5，＝2，∴＝|2﹣2λ|，解得，或（舍去）．∴的值为．．19．【解答】解：（I）根据题意填写2×2列联表如下，计算K2＝＝10＞7.879，所以有99.5%把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”；（Ⅱ）由茎叶图知，各组数据的频数分别为3、7、7、8、5，则＝55×+65×+75×+85×+95×＝×（165+455+525+680+475）＝，＝x i＝，∴﹣＝＝＝0.4，∴与的误差值为0.4；（Ⅲ）设这2人中爱好体育锻炼的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，其中P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：数学期望为Eξ＝0×+1×+2×＝．20．【解答】解：（Ⅰ）在△F1EF2中，由余弦定理得|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°＝|F1F2|2，∴（|MF1|+|MF2|）2﹣3|MF1||MF2|cos60°＝4，∴|MF1|MF2|＝8，又|MF1|+|MF2|＝2a，|F1F2|＝4，则4a2﹣24＝48，∴a2＝18，∵c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝6，∴椭圆C的标准方程为＝1．（Ⅱ）设点M（m，0），（m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l与x轴不重合时，设l的方程为x＝ty+m，代入椭圆方程，得：（ty+m）2+3y2＝18，即（t2+3）y2+2tmy+m2﹣18＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴＝＝＝（）＝•＝＝•[（）2﹣]＝•[（）2﹣]＝•＝，令＝1，解得m2＝9，即m＝3，此时，＝为定值．（2）当直线l与x轴重合时，点A（﹣3，0），B（3，0），M（3，0），则＝＝＝为定值．综上，存在点M（3，0），使当直线l绕点M任意转动时，为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0）．∵f（x）在区间（0，3]内单调递减，则当x∈（0，3]时，f′（x）≤0恒成立．即x3﹣3ax﹣3≤0，∴a≥在（0，3]上恒成立．令y＝，得y＝在（0，3]内单调递增，当x＝3时，．∴a的取值范围为[，+∞）；（Ⅱ）设g（x）＝x3﹣3ax﹣3（x≥0），则g′（x）＝3x2﹣3a．∵a＞0，由g′（x）＜0，得0＜x＜，由g′（x）＞0，得x＞．∴g（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增．∵g（0）＝﹣3＜0，g（a+2）＝（a+2）3﹣3a（a+2）﹣3＝a3+3a2+6a+5＞0．∴g（x）在（0，+∞）内有唯一零点．设x＝m为g（x）的零点，则当0＜x＜m时，g（x）＜0，从而f′（x）＜0；当x＞m，g（x）＞0，从而f′（x）＞0．∴f（x）在（0，m）内单调递减，在（m，+∞）内单调递增．∵f（x）在（0，+∞）内仅有一个零点x0，由＜0，得m＞＞1．又f（1）＝＞0，当x充分大时，f（x）＞0，∴x0＝m．由f（x0）＝0，得，即．又g（x0）＝g（m）＝0，则，即，代入上式得：，即．设h（x）＝（），则x0为函数h（x）的零点．∵2＜e＜3，则ln2＜1，ln3＞1，从而h（2）＝，h（3）＝＜0．∵h（x）＝在（，+∞）内单调递减，则x0∈（2，3），∴[x0]＝2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．∴曲线C的参数方程消去参数θ，得曲线C的直角坐标方程为3x2+y2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2（3cos2θ+sin2θ）＝1，即．（Ⅱ）∵OA⊥OB，在极坐标中，设A（ρ1，θ），B（ρ2，90°+θ），∴|AB|2＝|OA|2+|OB|2＝＝＝＝．∵0≤sin22θ≤1，∴∈[1，]，∴|AB|∈[1，]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，当（x+3）（x﹣2）≤2时取“＝”，则f（x）的最小值是5，故m＝5，由|2x﹣1|+x＜5，得或，即﹣4＜x＜或≤x＜2，即﹣4＜x＜2，故不等式的解集是（﹣4，2）；（Ⅱ）证明：（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＝4a2（4b2﹣1）﹣（4b2﹣1），＝（4a2﹣1）（4b2﹣1），∵m＝5，则|a|＜，得a2＜，即4a2＜1，同理4b2＜1，故（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，从而（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＞0，∴|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．。
2017-2018学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合A＝{x|x+2|≤2}，B＝[0，4]，则∁R（A∩B）＝（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅2．（4分）双曲线＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 3．（4分）设数列{a n}的通项公式为{a n}＝kn+2（n∈N*），则“k＞2”是“数列{a n}为递增数列的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．函数f（x）有1个极大值，2个极小值B．函数f（x）有2个极大值，2个极小值C．函数f（x）有3个极大值，1个极小值D．函数f（x）有4个极大值，1个极小值5．（4分）若直线y＝x与曲线y＝e x+m（m∈R），e为自然对数的底数）相切，则m＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣26．（4分）设不等式组，所表示的区域面积为S（m∈R），若S≤1，则（）A．m≤﹣2B．﹣2≤m≤0C．0≤m≤2D．m≥27．（4分）设函数f（x）＝+b（a＞0且a≠1），则函数f（x）的奇偶性（）A．与a无关，且与b无关B．与a有关，且与b有关C．与a有关，但与b无关D．与a无关，但与b有关8．（4分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，AC＞AD，PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P﹣BC﹣A的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．γ＜β＜α9．（4分）设二次函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），记M为函数y＝|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则（）A．若M＝，则N＝3B．若m＝，则N＝3C．若M＝2，则N＝3D．若M＝3，则N＝310．（4分）在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设•＝m，•＝n，若AB＝，EF＝1，CD＝，则（）A．2m﹣n＝1B．2m﹣2n＝1C．m﹣2n＝1D．2n﹣2m＝1二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分. 11．（6分）设复数z＝（其中i为虚数单位），则复数z的实部为，虚部为．12．（5分）在一次随机试验中．事件A发生的概率为p．事件A发生的次数为ξ．则期望Eξ＝，方差Dξ的最大值为13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则sin A＝；设D为AB边上一点，且＝2，则△BCD的面积为14．（5分）如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为，表面积为．15．（5分）在二项式（x2+）5（a∈R）的展开式中，若含x7的项的系数为﹣10，则a＝．16．（5分）有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母A，B，C，D．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有种．17．（5分）已知单位向量，的夹角为，设＝2+λ，则当λ＜0时，λ+||的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）设向量＝（2sin x，﹣cos x），＝（cos x，2cos x），f（x）＝+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若方程f（x）＝|t2﹣t|（t∈R）无实数解，求t的取值范围．19．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中∠BAC＝∠BAD＝∠DAC＝60°，AC＝AD＝2，AB ＝3．（1）证明：AB⊥CD；（2）求CD与平面ABD所成角的正弦值．20．（15分）设函数f（x）＝（x∈R）．（1）求证：f（x）≥﹣x2+x+1；（2）当x∈[﹣1，0]时，函数f（x）≥ax+2恒成立，求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆，直线l：y＝kx+m（m≠0），设直线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）若|m|＞3，求实数k的取值范围；（2）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列（其中O为坐标原点），求△OAB的面积的取值范围．22．（15分）设数列{a n}满足a1＝3，a n2﹣（1+a n+1）a n+2＝0（n∈N*）．（1）求证：a n＞1；（2）求证：2＜a n+1＜a n；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：2﹣2（）n≤S n﹣2n≤3﹣3（）n．2017-2018学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A＝{x|﹣4≤x≤0}；∴A∩B＝{0}；∴∁R（A∩B）＝{x|x∈R，x≠0}．故选：C．2．【解答】解：由双曲线＝1（a，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线＝1的渐近线方程为y＝±2x．故选：B．3．【解答】解：当k＞2时，a n﹣a n﹣1＝k＞2，则数列{a n}为递增数列，若数列{a n}为递增数列，则a n﹣a n﹣1＝k＞0即可，∴“k＞2”是“数列{a n}为递增数列的”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：①在x＜a，b＜x＜c，x＞d上，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数，②在（a，b），（c，d）上，f′（x）＜0，∴f（x）是减函数，③x＝a，c时，取到极大值；x＝b，x＝d时，函数取得的极大值．故选：B．5．【解答】解：设切点为（x，y），则x＝y，∵y＝e x+m，∴y′＝e x+m∴e x+m＝1，即x+m＝0，又e x+m＝x，∴e0＝x，∴x＝1，∴m＝﹣1，故选：C．6．【解答】解：不等式组，所表示的区域如图：可知m≤0，由解得A（，）S＝＝≤1，解得m≥﹣2．综上，m∈[﹣2，0]．故选：B．7．【解答】解：由a x﹣1≠0，得x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＝+b＝，若f（﹣x）+f（x）＝0，可得＝0，即，则（2b﹣2）a x+2﹣2b＝0，∴（2b﹣2）（a x﹣1）＝0，则2b﹣2＝0，即b＝1．∴当b＝1时，函数f（x）为奇函数，当b≠1时，函数f（x）为非奇非偶函数．即函数f（x）的奇偶性与a无关，但与b有关．故选：D．8．【解答】解：如图所示：∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC∴PC与DE所成的角为α，即∠PCA∵P A⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为β，即∠PDA过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，连接PQ，∵P A⊥平面ABC，∴根据三垂线定理可得：二面角P﹣BC﹣A的平面角为γ，即∠PQA，则AC＞AD＞AQ∴在Rt△P AC，Rt△P AD，Rt△P AQ中：tan∠PCA＜tan∠PDA＜tan∠PQA，即tanα＜tanβ＜tanγ又∵α，β，γ∈（0，）∴α＜β＜γ故选：A．9．【解答】解：由题意得a≠0，∵f（1）＝1+a+b，f（﹣1）＝1﹣a+b，则M＝max{|f（1），|f（﹣1）|}＝max{|1+a+b|，|a﹣b+1|}，∴a，b同号时，M和N相差1，结合选项选C；同理a，b异号时，M和N相差1，选C故选：C．10．【解答】解：如图所示：设AB∩DC＝O，∵＝++＝+，＝++＝+，两式相加得：＝①．∵AB＝，EF＝1，CD＝，把①平方可得1＝＝，∴＝﹣．又•＝（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+＝m，∴+＝m++②．又•＝（）•（）＝﹣﹣+＝（+）﹣﹣＝n，∴+＝﹣+n③．根据②③可得，m++＝++n，即m﹣n＝﹣﹣++，即m﹣n＝+＝•（﹣）＝•＝﹣，即2n﹣2m＝1，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分. 11．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z的实部为2，虚部为1．故答案为：2，1．12．【解答】解：：∵ξ所有可能取的值为0，1．P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，∴Eξ＝0×（1﹣p）+1×p＝p．∴Dξ＝（0﹣p）2×（1﹣p）+（1﹣p）2×p＝p（1﹣p）≤（）2＝．故答案为：p；．13．【解答】解：∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理可得：c＝2a，∴由a＝，b＝3，可得c＝2，由余弦定理可得：cos A＝＝＝．∴根据A为三角形内角，可得：sin A＝＝．∵D为AB边上一点，且＝2，可得：BD＝，又由余弦定理可得：cos B＝＝，可得sin B＝＝，∴S△BCD＝•a•BD•sin B＝×＝2故答案为：，2．14．【解答】解：由三视图可知，几何体是三棱锥，底面是底边为2，高为2的等腰三角形，一条侧棱与侧面垂直，棱锥的高：＝PO，BC＝2，AD＝2，P A⊥平面PBC，可得DO＝，PD＝1，PC＝PB＝，P A＝棱锥的体积为：＝，表面积为：+＝3+．故答案为：；3+．15．【解答】解：二项式（x2+）5（a∈R）的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x10﹣3r，令10﹣3r＝7，求得r＝1，可得含x7的项的系数为•a＝﹣10，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．16．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，取出的4个小球字母各不相同，则必须是A、B、C、D各有1个，有1种取法，②，先将4个小球分成3组，有C42＝6种分组方法，再为分好的三组取三种不同颜色，共有A33＝6种不同方法，则字母各不相同且三种颜色齐备的取法有6×6＝36种取法；故答案为：36．17．【解答】解：单位向量，的夹角为，＝2+λ，∴＝4+4λ•+λ2＝4+4λ×1×1×cos+λ2＝λ2+2λ+4，∴||＝；∴λ+||＝λ+，设y＝λ+，λ＜0；则（y﹣λ）2＝λ2+2λ+4，∴y2﹣2λy＝2λ+4，即＝2λ；又λ＜0，∴＜0，解得y＜﹣2或﹣1＜y＜2；又＝＞|λ+1|，∴λ+＞λ+|λ+1|＞λ﹣（λ+1）＝﹣1；∴λ+||的取值范围是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝+1＝2sin x cos x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则其周期T＝＝π，函数f（x）的最小正周期为π；（2）若方程f（x）＝|t2﹣t|（t∈R）无实数解，即|2sin（2x﹣）|＝|t2﹣t|无解，又由|2sin（2x﹣）|≤2，则|t2﹣t|＞2，解t2﹣t＞2或t2﹣t＜﹣2，解可得：t＞2或t＜﹣1；故t的取值范围为{t|t＞2或t＜﹣1}．19．【解答】证明：（1）∵在三棱锥A﹣BCD中∠BAC＝∠BAD＝∠DAC＝60°，AC＝AD＝2，AB＝3．∴△ABD≌△ABC，∴BC＝BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：（2）在△ABD中，根据余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°＝7，∴BD＝，∵DE＝1，∴BE＝，AE＝，∴AB2＝BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A﹣BCD＝V C﹣ABD，∴＝，∴h＝＝＝，∴sinα＝＝．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）原不等式等价于x4﹣x3﹣x+1≥0，设g（x）＝x4﹣x3﹣x+1，故g′（x）＝（x﹣1）（4x2+x+1），当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，又g（x）min＝g（1）＝0，故g（x）＞0，故f（x）≥﹣x2+x+1；（2）当x∈[﹣1，0]时，f（x）≥ax+2恒成立，即a≥恒成立，当x＝0时，＝0，当x∈[﹣1，0）时，＝≤＝1，故a≥1．21．【解答】解：（1）联立+＝1和y＝kx+m，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，∴△＝（6km）2+4×（2+3k2）（3m2﹣6）＞0，∴m2＜2+3k2，∴2+3k2＞3，即k2＞，解的k＞或k＜﹣；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，设直线OA，OB的斜率为k1，k2，∵直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，∴k1k2＝＝k2，即＝k2，化简得2+3k2＝6k2，即k2＝，∵|AB|＝•|x1﹣x2|＝，原点O到直线AB的距离h＝＝|m|，∴S△OAB＝|AB|•h＝•≤×＝，当m＝时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，∴△OAB的面积的取值范围为（0，）．22．【解答】证明：（1）∵a n2﹣（1+a n+1）a n+2＝0，∴a n+1＝a n+﹣1，∵a n+1＝a n+﹣1≥2﹣1＞1，故a n＞1；（2）∵a n+1﹣2＝a n+﹣3＝，∵a n＞1，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n+1﹣2与a1﹣2同号，∵a1＝3＞2，∴a n+1＞2，那么a n+1﹣a n＝﹣1＜0，∴a n+1＜a n，∴2＜a n+1＜a n；（3）由（2）可知a n+1﹣2＝，∴＝1﹣，∵2＜a n+1＜a n，∴＜1﹣≤1﹣＝，∴≤≤，∴（）n﹣1≤a n﹣2≤（）n﹣1，不等式三边同时求和，可得2（1﹣（）n）≤S n﹣2n≤3（1﹣（）n），∴2﹣2（）n≤S n﹣2n≤3﹣3（）n．。
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{
}
{
}
2 B. a ≤ 2
D.
π
a 8. 若向量 a = (1,2),
b = (1,-1), 则 2 a + b 等于（
）
1
2
A. 1
2017-2018 高三上学期期末数学试卷
班级
姓名 分数
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1. 设集合 A = x x - 2 < 1 ， B = x ( x + 1)(x - 4) < 0 ，则 A B = （
）
A. φ
B . R C.（-1,4） D.（1,3）
2. 函数 f ( x ) = ln( x 2 - 1) 的定义域是（
）
A.（0，+ ∞ ）
B.（- ∞ ，-1） （1，+ ∞ ）
C.（- ∞ ，-1）
D.（1，+ ∞ ）
3. 设 f ( x ) = (2a - 1) x + b 在 R 上是减函数，则有（
）
A.
a ≥ 1
1 2 C. a > - 1 2 D. a < 1
2
4. 设 a = 20.5 , b = 0, c = log 0.5, 则（ ）
2
A.
a >
b >
c B. a > c > b C. b > a > c D. c > b > a
5. 在 ∆ABC 中，“ sin A = sin B ”是“ A = B ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 y = 2sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是（
）
A. 4π
B. 2π
C.
π
7. 等比数列 { }中，若 a a = 25 ，则 a a = （ n 3 6 1 8
）
A. 25
B. 10
C. 15
D. 35
→
→ → →
A.（3,3）
B.（3，-3）
C.（-3,3）
D.（-3，-3）
9. 已知直线 l : 3x - y + 1 = 0 ，直线 l : ax + y + 1 = 0 ，且 l // l ，则 a 的值为（
1
2
）
3 B. - 1
3 C. 3 D. -3
13. 已知 a = (3,0), b = (-5,5) ，则 a 与 b 的夹角为 ± ± a
a
10. 椭圆 x 2 y 2
+ = 1 的焦点坐标是（ ）
9 16
A. （ ± 7 ,0 ）
B.（ ± 7,0 ）
C.（ 0，
,7 ） D.（ 0， 7 ）
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11. 若 f ( x + 1) = 2 x 2 + 4 x - 1 ，则 f (2) = 12. 函数 y = x 2 - 6 x + 5 的递减区间是
→
→
→
→
14. 计算 sin 36︒ cos 54︒ + cos 36︒ sin 54︒ =
15. 过点（1，-1）且与直线 3x - 2 y + 1 = 0 垂直的直线方程为
16. 若数列 { n }的前 n 项和 S
n = n 2 + n ，则 a = 6
17. 若方程 x 2 + y 2 - x + y + m = 0 表示圆，则 m 的取值范围为
18. 双曲线 x 2 y 2
- = 1 的渐近线方程是
4 9
三、计算题（每小题 8 分，共 24 分）
19. 在 ∆ABC 中，已知
a 2 - (
b - c)2
bc
= 1 ，求 ∠A 的值
20. 等差数列 {
}中， a = 10, S = 3 ，求 S n
5
3
10
21.求焦点在ｘ轴上，实半轴长为2，且离心率为3
2的双曲线方程。
四、证明题（每小题6分，共12分）
22.已知A(1,2),B(2,3),C(3,0)，求证：AB⊥AC
23.已知圆方程为x2+y2=4，证明：过点（1，3）的圆的切线方程为x+3y=4
五、综合题（10分）
24.已知抛物线的顶点为原点，准线为2x-3=0
（1）求抛物线的标准方程
（2）过抛物线焦点的直线，被抛物线所截的线段长为9，求此直线的方程。