2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省徐州市高考数学考前试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−3x −4≤0}，B ={x|0<lnx <2}，则A ∩B 的真子集的个数为______．2. 复数z =1+2i i (i 为虚数单位)的虚部是________．3. 一组数据1，3，2的方差为__ ．4. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于________．5. 从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个，则取出的两个小球中没有红色的概率为_________．6. 已知双曲线ax 2−y 2=1的一条渐近线方程为y =x ，则实数a 的值为______．7. 已知函数f(x)=(e x +a e x )x 3为偶函数，则实数a = ______ ．8. 已知两个单位向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为π3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=______．9. 函数f(x)=1−3sin(2x +π6)的值域为______．10. 已知数列{a n }的前n 项积为T n =5n 2，n ∈N ∗，则a 2009=____。
11. 从轴截面是边长为2的正方形的圆柱中挖去一个同底等高的圆锥，则余下部分的体积是_____．12. 设函数f(x)={−x 2+2x,x ⩾0−2x,x <0，若方程f(x)−kx =3有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．13. 等腰三角形ABC 中，AB =AC =4√2，∠B =45°，P 为线段AB 中点，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．14. 已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，则b a−2c 的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−3． (1)求BC 的长；(2)求sin(C +π4)的值．16.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．17.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A,B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B地位于海上一个灯塔处，在A地用测角器测得∠BAN=π4，在A地正西方向4km的点C处，用测角器测得tan∠BCN=3.拟定铺设方案如下：在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km和4万元/km，设∠BPN=θ，θ∈(π4,π2)，铺设电缆的总费用为f(θ)万元．(1)求函数f(θ)的解析式；(2)试问点P选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．19.已知函数f(x)=x3−2ax2+x+1，(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，求a的取值范围．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a4=6，a6=S3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若k∈N∗，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：7解析：解：A={x∈Z|−1≤x≤4}={−1,0，1，2，3，4}，B={x|1<x<e2}；∴A∩B={2,3，4}；∴A∩B的真子集的个数为：∁30+∁31+∁32=7个．故答案为：7．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B的真子集的个数．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：23解析：【分析】本题考查了求数据平均数与方差的问题，解题时应根据平均数与方差的公式进行计算，是基础题．根据平均数与方差的公式，先计算数据的平均数，再求方差．【解答】解：数据1，3，2的平均数是x=1+3+23=2，∴它的方差是s2=13[(1−22+(3−2)2+(2−2)2]=23．故答案为23．4.答案：3 解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．直到4≤3不成立，输出x，即8a+7=31，得a=3．【解答】解：第一次循环：x=2a+1，n=2；第二次循环：x=2(2a+1)+1=4a+3，n=3；第三次循环：x=2(4a+3)+1=8a+7，n=4．因为4≤3不成立，所以输出x，即8a+7=31，得a=3．故答案为3．5.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C52=10，取出的两个小球中没有红色球包含的基本事件个数为m=C42=6，由此能求得取出的两个小球中没有红色的概率．【解答】解：从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个，基本事件总数n=C52=10，取出的两个小球中没有红色球包含的基本事件个数m=C42=6，∴取出的两个小球中没有红色的概率为p=mn =610=35．故答案为35．6.答案：1解析：解：∵双曲线ax2−y2=1的渐近线方程为y=±√ax，又已知一条渐近线方程为y=x，∴√a=1，a=1，故答案为：1．根据双曲线的方程求得渐近线方程为y=±√ax，求得a值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=±√ax，是解题的关键．解析：解：函数的定义域为R，若函数f(x)是偶函数，则g(x)=e x+ae x是奇函数，则f(0)=0，即f(0)=1+a=0，则a=−1，故答案为：−1．根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f(0)=0进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇函数的性质，利用f(0)=0进是解决本题的关键．比较基础．8.答案：12解析：【分析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题．【解答】解：两个单位向量a⃗、b⃗ 的夹角为π3，则(2a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2−12−1=12，故答案为12．9.答案：[−2,4]解析：解：函数f(x)=1−3sin(2x+π6)，∵−3≤3sin(2x+π6)≤3．∴−2≤f(x)≤4．故答案为[−2,4]．根据三角函数的性质即可求解值域．本题考查了正弦函数的图象及性质，最值的求法．属于基础题．10.答案：54017解析：本题主要考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题．根据前n项积为T n=5n2可得a2009=T2009T2008=520092520082=54017即可求解．答案：解：∵数列{a n}的前n项积为T n=5n2，所以a2009=T2009T2008=520092520082=54017．故答案为：54017．11.答案：43π解析：【分析】本题主要考查了圆柱，圆锥的体积，属于中档题.先求出圆柱的底面半径，高，再求得体积，圆锥体积，可得结果．【解答】解：轴截面是边长为2的正方形，故圆柱的底面直径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，体积为V=π×12×2=2π，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为V1=13×π×12×2=23π，故余下部分体积为2π−23π=43π．故答案为43π．12.答案：(−2,2−2√3)解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，中档题把方程根的个数问题转化成函数交点问题，作出两个函数图像，运用数形结合方法求解解：画出函数f(x)的图象，如图所示；若f(x)=kx+3恰有三个不相等的实数解，则f(x)的图象与y=kx+3有3个交点；当函数f(x)=−x2+2x与y=kx+3相切时，即−x2+2x=kx+3，令Δ=(2−k)2−12=0，解得k=2−2√3．此时f(x)的图象与y=kx+3有2个交点当直线y=−2x与y=kx+3平行时有2个交点，则f(x)的图象与y=kx+3有3个交点，只要k∈(−2,2−2√3).故答案为：(−2,2−2√3).13.答案：−48解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题．由已知建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．【解答】解：∵AB=AC，∠B=45°，∴∠ACB=45°，∴∠A=90°．建立如图所示坐标系，C(4√2,0)，A(0,0)，B(0,4√2)，P(0,2√2)．∴CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√2,2√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√2,−4√2)． ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4√2×4√2−2√2×4√2=−32−16=−48．故答案为：−48．14.答案：[−√33,√33]解析：【分析】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，化为(a c )2+(b c )2=1，令a c =cosθ，b c =sinθ，θ∈[0,2π).可得k =b a−2c =b c a c −2=sinθcosθ−2，表示点P(2,0)与圆x 2+y 2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c ≠0，∴(a c )2+(b c )2=1， 令x =a c =cosθ，y =b c=sinθ，θ∈[0,2π)． ∴k =b a−2c =b c a c −2=sinθcosθ−2，表示点P(2,0)与圆x 2+y 2=1上的点连线的直线的斜率． 设直线l ：y =k(x −2)， 则√1+k 2≤1，化为k 2≤13，解得−√33≤k ≤√33． ∴b a−2c 的取值范围为[−√33,√33]．故答案为：[−√33,√33]． 15.答案：(本题满分为14分)解：(1)∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⋅CA ⋅(−cosA)=2×3⋅(−cosA)=−3， ∴cosA =12， 又∵A ∈(0,π)，∴A =π3，…(2分) 由余弦定理得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos π3…(4分) =√7…(6分)(2)解法一：由正弦定理得BC sin60=AB sinC ，即sinC =2×√32√7=√217.…(8分) 因为AB <BC 所以C <A 即角C 为锐角，…(10分)所以cosC =2C =2√77，…(11分) 所以sin(C +π4)=√22sinC +√22cosC =√22(sinC +cosC)…(12分)=√22×(√217+2√77)=√42+2√1414.…(14分) 解法二：由正弦定理得BC sin60∘=AB sinC 即sinC =2×√32√7=√217，…(8分) 再由余弦定理得cosC =AC 2+BC 2−AB 22⋅AC⋅BC =2√7)222×3×√7(10分) =2√77，…(11分) 所以sin(C +π4)=√22sinC +√22cosC =√22(sinC +cosC)…(12分) =√22×(√217+2√77)=√42+2√1414.…(14分)解析：(1)由题意利用平面向量数量积的运算可求cos A 的值，结合A ∈(0,π)，利用特殊角的三角函数值即可求得A 的值，进而利用余弦定理可求BC 的值．(2)解法一：由正弦定理可求sin C 的值，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cos C 的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sin C 的值，再由余弦定理求得cos C 的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，特殊角的三角函数值，余弦定理，正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又平面B′C′CB⊥平面ABC，平面B′C′CB∩平面ABC=BC，∴AD⊥平面B′C′CB，∵AD⊂平面AB′D，∴平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF．∵D、E、F、M分别为棱BC，A′A，AC，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．17.答案：解：(1)过点B作MN的垂线，垂足为D，在中，∠BAD=π4，则BD=AD，在中，tan∠BCD=BDDC=3，所以DB=3CD，由于AC=4，所以BD−13BD=4，解得BD=6，由∠BPN=θ，则BP=6sinθ，DP=6tanθ，由AD=BD=6，得到AP=6−6tanθ，所以，其中θ∈(π4,π2 );(2)设ℎ(θ)=2−cosθsinθ，θ∈(π4,π2)，则，令ℎ′(θ)=0，得cosθ=12，所以θ=π3，当θ∈(π4,π3)时，ℎ′(θ)<0，θ∈(π3,π2)时，ℎ′(θ)>0，所以当θ=π3时，函数的极小值为ℎ(π3)=√3，所以f(θ)的最小值为12+12√3，此时AP=6−2√3，答：当点P选在距离A地6−2√3km处时，铺设的总费用最少，且为12+12√3万元．解析：本题考查解三角形的实际应用，导数在解决实际问题中的应用，属于中档题．(1)过B作MN的垂线，垂足为D，求得BD=6，再求得，即可得出f(θ)的解析式;(2)设，，利用导数即可得出其最小值，从而可得f(θ)的最小值．18.答案：解：(1)椭圆的一个焦点F1(−√3,0)，则另一个焦点为F2(√3,0)，由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a，代入计算得a=2，又b2=a2−c2=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1;(2)证明：设Q(1,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直线A1Q的方程为y=t3(x+2)，与x24+y2=1联立，解得M(−8t2+184t2+9,12t4t2+9)，同理N(8t2−24t+1,4t4t+1)，所以直线MN的斜率为12t4t2+9−4t4t2+1−8t2+18 4t2+9−8t2−24t2+1=−2t4t2+3，所以直线MN的方程为y−12t4t2+9=−2t4t2+3(x−−8t2+184t2+9)，则y=−2t4t+3(x−4)，所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0)．解析：(1)由由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a，代入计算得a=2，b2=a2−c2求得b的值，求得椭圆方程；(2)设Q(1,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，分别求出M，N的坐标，根据斜率公式和求出直线方程，则可得y=−2t4t+3(x−4)，即可求出定点坐标．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵f(x)=x3−2ax2+x+1，∴f′(x)=3x2−4ax+1，∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4，∴f′(1)=3−4a+1=4，解得a=0．(2)g(x)=f′(x)=3x2−4ax+1，若g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，即3x2−4ax+1=0在(1,2)上有解，即∵g(0)=1>0，若对称轴−−4a2×3=2a3<0，则函数g(x)在(1,2)上单调递增，不满足条件，若对称轴−−4a2×3=2a3>0，即a>0，要使g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，则g(1)g(2)<0，或{1<2a 3<2g(1)>0,g(2)>0即(4−4a)(13−8a)<0，解得1<a <138，即 a ∈(1,138)．解析：(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a 的值；(2)若函数g(x)=f′(x)在区间(1,2)上存在零点，求a 的取值范围．本题主要考查导数的几何意义，以及函数根的存在性条件的应用，综合考查函数的性质． 20.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得：{a 1+d +a 1+3d =6a 1+5d =3a 1+3d， 解得{a 1=1d =1． ∴{a n }的通项公式为a n =1+n −1=n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知S n =n(n+1)2，∵a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列．∴a 3k 2=a k ⋅S 2k ，∴9k 2=k ⋅k(2k +1)，解得k =4．解析：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，即可得到所求通项；(Ⅱ)由等比数列的中项的性质及等差数列的通项公式和求和公式，可得9k 2=k ⋅k(2k +1)，解出k ． 本题考查了等差数列的通项公式，以及求和公式，以及等比数列的中项的性质，考查了运算能力，属于中档题．。
江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三下学期数学5月高考模拟试卷
江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三下学期数学5月高考模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知集合，，则________.2.设复数（a，，i是虚数单位），且，则________.3.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.4.椭圆( )与双曲线有公共的焦点，则________.5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．6.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是________.7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为________.8.已知数列的前项和为，且满足，________.9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则________．10.如图，在平面四边形中，，，，点在线段上，且，若，则的值为________.11.过直线l：上任意一点P作圆C：的一条切线，切点为A，若存在定，使得恒成立，则________.12.设,则的最小值为________.13.函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在三个不同的点A k、A l、A p，使得△A k A l A p是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn，则ω6＝________．14.已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为________．二、解答题（共6题；共65分）15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.16.如图，在三棱锥A-BCD中，点M，N分别在棱AC，CD上，且N为CD的中点．（1）当M为AC的中点时，求证：AD//平面BMN；（2）若平面ABD平面BCD，AB BC，求证：BC AD.17.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一城镇B.一年青人从小岛出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇B.若，假设该年青人驾驶小船的平均速度为，步行速度为.（1）试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角的函数；（2）该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角的值.18.已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．19.已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.（1）求实数k的值；（2）若函数,对任意, 恒成立.（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：.20.对于数列{a n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a n}为P数列.（1）若{a n}的前n项和S n＝3n+2，试判断{a n}是否是P数列，并说明理由；（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{a n}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{b n}，{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{a n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{a n}不是P数列”.答案解析部分一、填空题1.【答案】{1,4}2.【答案】±23.【答案】24.【答案】45.【答案】156.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13.【答案】π14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：由，，，，；（2）解：，由余弦定理得，，周长为.16.【答案】（1）解：在中，因为，分别为棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：如图，在平面内，作，垂足为，因为平面平面，，，所以平面．因为，所以，又，，，，所以，又，所以．17.【答案】（1）解：由题意知，，，，所以，，，所以关于的函数为；（2）解：由（Ⅰ）知，，令，则；解得，当且仅当时，等号成立；即时，所花时间最小．18.【答案】（1）解：在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b＝2，因此椭圆的方程为；（2）解：设直线l1：y k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4 k﹣8k2）x+8k2﹣8 k ﹣4＝0，所以x P x A，所以x A，直线l2的方程为y （x﹣3），所以点D坐标为，所以S△ABD（4﹣x A）|y B﹣y D| • •＝2k 2 2 2 ，当且仅当2k ，即k 时取等号，综上，△ABD面积的最小值2 2 ．19.【答案】（1）解：的定义域为,,令,解得：,令,解得：,所以当, 为增函数,当, 为减函数,所以时, 有极大值,所以;（2）解：（i）由（1）知, ,则,即对恒成立,所以对恒成立,即对恒成立,设,则对恒成立,,设, ,原问题转化为：对恒成立,①若,当时,则,不合题意;②若,则对恒成立,符合题意③若,则,令, ,令, ,所以当时, 为减函数,当时, 为增函数,所以, 即,即;综上.（ii）要证,只需证,即,即,只需证,设, ,因为所以在上单调递减,在上单调递增, 所以：因为恒成立,所以在上单调递增,所以,则,则,由（2）可知, ,所以;所以,即,得证.所以成立20.【答案】（1）解：∵，∴，当n＝1时，a1＝S1＝5，故，那么当时，，符合题意，故数列{a n}是P数列.（2）解：由题意知，该数列的前n项和为，由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，对满足n＝1，2，3，，9的任意n都成立，则，解得，故d的取值范围为（3）解：①若{a n}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，若a＞0，则q＞1，又由a n+1＞S n对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；若a＜0，则q＜1，又由a n+1＞S n对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）q n＜1对一切正整数n都成立，又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）q n＜1当n＝2时不成立，故有或，解得，∴当{a n}是P数列时，a与q满足的条件为或；②假设{a n}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{a n}中每一项均为正数，若{b n}中的每一项都在{c n}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；若{c n}中的每一项都在{b n}中，同理可得T1＞T2；若{b n}中至少有一项不在{c n}中且{c n}中至少有一项不在{b n}中，设{b n'}，{c n'是将{b n}，{c n}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{b n'}，{c n'}中最大的项在{b n'}中，设为a m（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+a m﹣1＜a m≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.。
江苏省徐州中学、徐州一中2020届高三五月联合考试数学试题
江苏省徐州高级中学、徐州一中2020届高三五月联合考试数 学(考试时间：120分钟 总分160分)2020年5月注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。
一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．． 。
1. 已知集合A = { x | x ≥1}, B ={-1，0，1，4}，则A ∩B = ▲ ．2. 设复数z = a + bi (a , b ∈R , i 是虚数单位), 且x 2 = 2i , 则a + b = ▲ ．3. 若一组样本数据21,19,x ,20,18的平均数为20, 则该组样本数据的方差为 ▲ ．4. 椭圆 x 225＋y 2b 2=1 (b >0)与双曲线x 28－y 2=1有公共的焦点, 则b = ▲ ．5. 执行如图所示的伪代码, 则输出的结果为 ▲ ．6. 把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排, 则能使 卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 ▲ ．7. 已知圆柱的高为2, 它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上. 则球的体积与圆柱的体积的比值为 ▲ ． 8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且满足2S n = a n － 13n ( n ∈N *),S 2020 ＝ ▲ ．9. 在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sinB － sinA sinB － sinC ＝ca ＋b,则sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝ ▲ ． 10.如图, 在平面四边形ABCD 中, ∠CBA =∠CAD =90°, ∠ACD =30°, AB =BC , 点E 在线段BC 上且BC →=3BE →, 若AC →=λAD →＋μAE →(λ, μ∈R ), 则 μλ的值为 ▲ ．11.过直线l : y = x －2上任意一点P 作圆C : x 2+y 2=1的一条切线, 切点为A , 若存在定点B (x 0, y 0) , 使得P A = PB 恒成立, 则x 0－y 0＝ ▲ ． 12.设a > 0, b > 0, a －2b =1, 则(a 2＋4)(b 2＋1)ab的最小值为 ▲ ．13.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,…,A n ,…, 在点列{ A n }中存在三个不同的点A K 、A 1、A P ,使得△A K A 1A P 是等腰直角三角形, 将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn , 则ω6 = ▲ ．14.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1＋x )＋f (1－x ) = 0. 且当0≤x ≤1时, f (x )=log 3(a -x ). 若对于任 意x ∈[-1，0], 都有f (x 2－tx － 13)≥1－log 35, 则实数t 的取值范围为 ▲ ．I ←1While I <9 S ←2 I +1 I ← I +2 End While Print S（第5题）E C（第10题）二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内．．．．．．．．．作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a－c =2b cos C.(1) 求B；(2) 若b = 3, △ABC的面积为32, 求△ABC的周长.16. (本小题满分14分)如图, 在三棱锥A－BCD中, 点M、N分别在棱AC、CD上, N为CD的中点.(1) 若M为AC的中点, 求证: AD∥平面BMN；(2) 若平面ABD⊥平面BCD, AB⊥BC, 求证: BC⊥AD.（第16题）NABC DM17. (本小题满分14分)如图所示, 一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km , 从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B . 一年青人从小岛A 出发, 先驾驶小船到海岸线上的某点C 处, 再沿海岸线步行到城镇B .若∠P AC =θ, 假设该年青人驾驶小船的平均速度为2km /h , 步行速度为4km /h . (1) 试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间表示成角θ的函数;(2) 该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小, 请你告诉他角θ的值.18. (本小题满分16分)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 是椭圆C 上一点, 以PF 1为直径的圆E : x 2＋⎝⎛⎭⎫y －22 2 =92 过点F 2 .（1）求椭圆C 的方程:(2) 过点P 且斜率大于0的直线l 1与C 的另一个交点为A , 与直线x = 4的交点为B , 过点（3，2），且与l 1垂直的直线l 2与直线x =4交于点D , 求△ABD 面积的最小值.A 小岛CP•（第17题）城镇B19. (本小题满分16分)己知函数f (x )＝ln xx ＋k 的极大值为1＋e e ,其中e =2.71828…为自然对数的底数.(1) 求实数k 的值;(2) 若函数g (x )＝e x ＋ax , 对任意x ∈ (0,+∞), g (x )≥a f (x )恒成立.(ⅰ) 求实数a 的取值范围;(ⅱ) 证明: x 2 f (x ) > a sinx ＋x 2－1.20. (本小题满分16分)对于数列{a n },若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{a n }为P 数列. (1) 若{a n }的前n 项和S = 3n + 2, 试判断{a n }是否是P 数列, 并说明理由;(2) 设数列a 1,a 2,a 3,…,a 10是首项为－1、公差为d 的等差数列, 若该数列是P 数列, 求d 的取值范围;(3) 设无穷数列{a n }是首项为a 、公比为q 的等比数列, 有穷数列{b n },{c n }是从{a n }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列, 其所有项和分别为T 1, T 2, 求{a n }是P 数列时a 与q 所满足的条件, 并证明命题“若a >0且T 1= T 2, 则{a n }不是P 数列” .。
2020-2021学年江苏省高考考前调研测试(5月)数学试卷及答案解析
高三考前调研测试试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知{}{}0,1,2,2,4A B ==，则A B ⋃= ▲ ．2．若复数z 满足(2)1i z i -=+，则复数z 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为▲ .第5题4．在区间()0,5内任取一个实数m , 则满足34m <<的概率为 ▲ . 5．如图是一个算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．函数1()()42x f x =-的定义域为 ▲ . 7．已知双曲线2221(0)20x y a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的焦距为 ▲ . 8．已知1sin ,(0,)32πθθ=∈，则tan 2θ= ▲ . 9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于2π的扇形，则这个圆锥的体积是 ▲ 10．已知圆22:2220(C x y ax y a +--+=为常数）与直线y x =相交于,A B 两点，若3ACB π∠=，则实数a = ▲ .11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1040S =， 则n nS 的最小值为 ▲ ． 12．若动直线(x t t R =∈）与函数2()cos ()4f x x π=-，()3sin()cos()44g x x x ππ=++的图第3题象分别交于,P Q 两点，则线段PQ 长度的最大值为 ▲ .13．在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若ABC ∆的面积为2，则2BC MC MB +⋅的最小值为 ▲ .14．已知函数221,(0,1]()1,(1,)kx x x f x kx x ⎧+-∈=⎨+∈+∞⎩有两个不相等的零点12,x x ，则1211x x +的最大值为▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若2222a c ac b +=，10sin 10A =. ⑴求sin C 的值；⑵若2a =，求ABC ∆的面积. 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB=2CD ， AC 交BD 于O ，锐角∆PAD 所在平面⊥底面ABCD ，PA ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ=2QC. 求证：⑴PA ∥平面QBD ；QCDPO⑵BD ⊥ AD.17．（本小题满分14分）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离6H =米，圆弧的弓高1h =米，圆弧所对的弦长10BD =米.（1）求弧¼BCD所在圆的半径； （2）求桥底AE 的长.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左顶点(2,0)A -，且点3(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
江苏省徐州市(新版)2024高考数学人教版真题(备考卷)完整试卷
江苏省徐州市（新版）2024高考数学人教版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题过点的直线与抛物线交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，，若，则的值为（）A．B．2C．D．3第(2)题裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（）A．B．C．D．第(3)题定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知定义在上的函数满足：，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若时，是奇函数且一定是单调增函数；②.若，是偶函数且有最大值为1；③.若，则；④.若，则.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（）A．①③B．①④C．①②③D．②③④第(5)题已知函数，，，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题在的展开式中，的系数是（）A．168B．C．1512D．第(7)题命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，第(8)题设，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．的图象过点C ．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是第(3)题已知函数，则（）A ．函数的最小正周期为B．点是函数图象的一个对称中心C．函数在区间上单调递减D．函数的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数的图象关于点对称，且当时，和其导函数的单调性相反，请写出的一个解析式：______．第(2)题某港口有A､B､C､D四个码头，每个码头一次只能停一艘船，A码头最大可以停靠600吨总重量的船舶，B码头最大可以停靠900吨总重量的船舶，C码头最大可以停靠1500吨总重量的船舶，D码头最大可以停靠3000吨总重量的船舶，现仅有甲､乙总重量分别为500吨和1400吨的船舶要安排停靠该港口，则甲船舶安排停靠在B码头的概率为___________．第(3)题已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）求的单调区间；（2）已知有两个极值点，且，求证：.第(2)题消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1：2016年2017年2018年2019年第一季度104.50111.70118.50119.30第二季度104.00110.20114.60118.20第三季度105.50114.20110.20118.10第四季度106.80113.20113.20119.30将2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数整理得到如下频数分布表2：分组频数2275记2016年至2019年年份序号为，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y，x与y的关系如下表3：年份序号x1234消费者信心指数年均值y105112114119（1）求从2016年至2019年该城市各季度消费者信心指数中任取2个，至少有一个不小于115的概率；（2）在表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X为随机变量，求X的分布列和数学期望(保留2位小数)；（3）根据表3的数据建立y关于x的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值.参考数据和公式：，，；；；.第(3)题已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点，，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求的取值范围.第(4)题盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年龄低于30岁1830年龄不低于30岁2210(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为A、B款盲盒套餐的选择与年龄有关联？(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；(3)某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828第(5)题在自治区高中某学科竞赛中，桂林市4000名考生的参赛成绩统计如图所示.(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么桂林市4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用桂林市参赛考生成绩的情况来估计自治区的参赛考生的成绩情况，现从自治区全体参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）附：①；②，则；③。
2020年江苏省徐州市高考数学考前模拟试卷(6月份)
2020年江苏省徐州市高考数学考前模拟试卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={0,9}，B ={1,2，9}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2. 复数z =(4−2i)(1+i)(i 为虚数单位)的实部为______．3. 从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5,89.5)的人数为______．4. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为______．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率是______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2m −y 2=1的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的离心率为______． 7. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为______．8. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为4π的扇形，则该圆锥的体积为 ______ ．9. 已知公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，首项a 1=2，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则S 7的值为______．10. 已知函数f(x)=sin(x −π6)，x ∈(0,32π)，若函数g(x)=3f(x)−2的两个零点分别是x 1，x 2，则g(x 1+x 2)的值为______．11. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 2(x +1),x ≥0,g(x),x <0,则g[f(−7)]的值为______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2+y 2−2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ax −2√3ay =0上分别存在点P ，Q ，使△POQ 为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为2√2，则实数a 的值为 ______ ．13. 若△ABC 的内角满足1tanA +2tanB =3tanC ，则cos C 的最小值为______．14. 若函数f(x)=|xlnx −a|+a ，x ∈(0,1]的最大值为0，则实数a 的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：(1)A 1C 1//平面B 1EF ；(2)AC ⊥B 1E .16. 如图，在△ABC 中，AC =√6，D 为AB 边上一点，CD =AD =2，且cos∠BCD =√64． (1)求sin∠B ；(2)求△ABC 的面积．17. 如图，某市地铁施工队在自点M 向点N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形ABCD所示区域)而被迫改道．原定的改道计划为：以M 点向南，N 点向西的交汇点O 为圆心，OM 为半径做圆弧MN ⏜，将MN ⏜作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自P 点起，改为直道PN.已知ON =OM =3千米，点A 到OM ，ON 的距离分别为12千米和1千米，AB//ON ，且AB =1千米，记∠PON =θ．(1)求sinθ的取值范围；(2)已知弧形线路MP⏜的造价与弧长成正比，比例系数为3a ，直道PN 的造价与长度的平方成正比，比例系数为a ，当θ为多少时，总造价最少？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点为F，左顶点为A，下顶点为B，连结BF并延长交椭圆于点P，连结PA，AB.记椭圆的离心率为e．(1)若e=12，AB=√7，求椭圆C的标准方程；(2)若直线PA与PB的斜率之积为16，求e的值．19.已知函数f(x)=e x+x2−ax，e是自然对数的底数，a∈R．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(3)若存在正实数b，使得对任意的x∈(0,b)，总有f(x)<x2+1，求a的取值范围．20. 已知数列{a n }满足a 1=6，a 2=−3，a n +a n+3=a n+1+a n+2，n ∈N ∗．(1)若a 3=4，求a 4，a 5的值；(2)证明：对任意正实数m ，{a 2n +ma 2n+1}成等差数列；(3)若a n >a n+1(n ∈N ∗)，a 3+a 4=−33，求数列{a n }的通项公式．21. 已知矩阵A =[3a b 2]，点M(1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为点N(4,4)． (1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的特征值．22. 在极坐标系中，已知两点A(4,π6)，B(2,π2).以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为{x =2t,y =√3t +2(t 为参数)． (1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点A 到直线l 的距离．23.设函数f(x)=|x+1|．(1)解不等式f(x)>2；(2)设g(x)=f(x)+f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值为1，求a的值．224.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E，F，G分别为AA1，A1C1，AB的中点．(1)求异面直线BC1与EF所成角的余弦值；(2)求二面角B1−EG−F的余弦值．25.已知数列{a n}满足a1=12，且a n+1=a n−a n2(n∈N∗)，求证：(1)12≤a n+1a n<1(n∈N∗)；(2)C n1(2a n−1)+2C n2(2a n−1)2+⋯+kC n k(2a n−1)k+⋯+nC n n(2a n−1)n≤0．答案和解析1.【答案】4【解析】解：∵A={0,9}，B={1,2，9}，∴A∪B={0,1，2，9}，∴A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．进行并集的运算即可求出A∪B，从而可得出A∪B中的元素个数．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，集合元素的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】6【解析】解：∵z=(4−2i)(1+i)=4+4i−2i+2=6+2i．∴复数z的实部为6．故答案为：6．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】15【解析】解：由频率分布直方图可知，(0.005+0.01+0.015×2+a+0.03)×10=1，解得a=0.025．所以这60名学生中成绩在区间[79.5,89.5)的人数为0.025×10×60=15人．故答案为：15．由频率之和为1，可解出a的值，再根据频数=(频率/组距)×组距×样本容量即可得解．本题考查统计图的知识，熟练掌握频率分布直方图的性质是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.【答案】2【解析】解：模拟执行算法流程图，如下；S=2，n=1；S=1−12=12，n=3；S=1−2=−1，n=5；S=1−(−1)=2，n=7；终止循环，输出S=2．故答案为：2．模拟执行算法流程图，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的运行问题，是基础题．5.【答案】112【解析】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和大于10包含的基本事件有：(5,6)，(6,5)，(6,6)，共有m=3个，∴出现向上的点数之和大于10的概率p=mn =336=112．故答案为：112．先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于10包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6.【答案】2√33【解析】解：双曲线x2m−y2=1的一个焦点为(2,0)，所以c=2，可得√1+m=2，所以m=3，所以双曲线的离心率为：e=ca =√3=2√33．故答案为：2√33．利用双曲线的焦点坐标，求解m，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7.【答案】5【解析】解：∵已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,m −3)．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)⋅(−3,m −3)=−6+3(m −3)=0，则实数m =5，故答案为：5．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m 的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．8.【答案】√153π【解析】解：由题意可得，圆锥的母线长l =4，设圆锥的底面半径为r ，由πrl =4πr =4π，得r =1．∴圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√16−1=√15．∴该圆锥的体积为V =13πr 2⋅ℎ=√153π． 故答案为：√153π． 由已知可得圆锥的母线长，再由展开图的面积求得圆锥的底面半径，进一步求出高，代入圆锥体积公式得答案．本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆锥体积的求法，是基础题．9.【答案】35【解析】解：公差d 不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，首项a 1=2，且a 1，a 2，a 4成等比数列，可得a 22=a 1a 4，即为(1+d)2=1+3d ，解得d =1(0舍去)，则S 7=7×2+12×7×6×1=35．故答案为：35．设等差数列的公差为d ，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d ，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】−72【解析】解：令g(x)=3f(x)−2=0，解得f(x)=23，即sin(x −π6)=23， 又x ∈(0,3π2)，∴x −π6∈(−π6,4π3)，令t =x −π6∈(−π6,4π3)，则sint =23， ∴t 1+t 2=π2×2=π，即x 1+x 2=π+π3=4π3，∴g(x 1+x 2)=g(4π3)=3f(4π3)−2=3sin7π6−2=−72．故答案为：−72．根据三角函数的对称性及角的范围，可得x 1+x 2=4π3，由此即可求得g(x 1+x 2)的值．本题考查三角函数的图象及性质的运用，涉及了函数的对称性及零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．11.【答案】−2【解析】解：因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 2(x +1),x ≥0,g(x),x <0, 所以f(−7)=−f(7)=−log 28=−3，则g[f(−7)]=g(−3)=f(−3)=−f(3)=−log 24=−2． 故答案为：−2由已知函数解析式，结合奇函数的定义可知f(−x)=−f(x)，代入即可求解． 本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数解析式，属于基础试题．12.【答案】−2【解析】解：圆C 1：x 2+y 2−2y =0的极坐标方程为：ρ2−2ρsinθ=0，所以ρ=2sinθ；圆C 2：x 2+y 2+ax −2√3ay =0的极坐标方程为：ρ2+aρcosα−2√3ρasinα=0，即ρ=2√3asinα−acosα，因为△POQ 为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为2√2，所以可得|OQ|=|OP|=2， 设Q(2,θ)，则P(2,θ+π2)，由题意可得{2=2sin(θ+π2)2=2√3asinθ−acosθ解得：a =−2将圆C 1和圆C 2的一般方程化成极坐标方程，由△POQ 为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为2√2可得|OQ|=|OP|=2，可设Q ，P 的极坐标，代入两个圆的极坐标方程解得a 的值． 本题考查圆与圆的位置关系，及圆的普通方程与极坐标方程之间的转化，属于中档题．13.【答案】√23【解析】解：由1tanA +2tanB =3tanC ，得cosAsinA +2cosB sinB=3cosC sinC，即sinBcosA+2cosBsinAsinAsinB=3cosC sinC，∴sin(B+A)+cosBsinAsinAsinB=3cosC sinC，即sin 2C +sinAsinCcosB =3sinAsinBcosC ， 根据正弦定理可得：c 2+ac ⋅a 2+c 2−b 22ac=3ab ⋅a 2+b 2−c 22ab．整理得：c 2=a 23+2b 23．∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−a 23−2b 232ab=2a 2+b 26ab≥2√2ab 6ab=√23．当且仅当b =√2a 时上式等号成立． ∴cosC 的最小值为√23．故答案为：√23．把已知等式化切为弦，结合正弦定理与余弦定理可得边的关系，再由余弦定理写出cos C ，再由基本不等式求最值．本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．14.【答案】−12e【解析】解：令y =xlnx −a ，x ∈(0,1]，则y′=lnx +1， 由y′=0，可得x =1e ．则当x ∈(0,1e )时，y =xlnx −a 单调递减，当x ∈(1e ,+∞)时，y =xlnx −a 单调递增． ∴y =xlnx −a 在(0,1]上的极小值为1e ln 1e −a =−1e −a ．又当x →0时，y =xlnx −a →−a ，当x =1时，y =xlnx −a =−a ．∴若−1e −a ≥0，则f(x)=|xlnx −a|+a 在(0,1]上的最大值为−a +a =0，即a ≤−1e ； 若−1e −a <0，则f(x)=|xlnx −a|+a 在(0,1]上的最大值为max{2a +1e ,|a|+a}， 当a >−12e 时，最大值为2a +1e >0，不合题意；当−1e <a ≤−12e 时，f(x)=|xlnx −a|+a 在(0,1]上的最大值为−a +a =0，符合题意． 综上，若函数f(x)=|xlnx −a|+a ，x ∈(0,1]的最大值为0，则实数a 的最大值为−12e ． 故答案为：−12e ．令y =xlnx −a ，x ∈(0,1]，利用导数求其极小值，然后对a 分类求得函数f(x)=|xlnx −a|+a ，x ∈(0,1]的最大值，再由最大值为0求解a 的最大值．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．15.【答案】证明：(1)∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC的中点．∴EF//AC ，∵AC//A 1C 1，∴EF//A 1C 1， ∵A 1C 1⊄平面B 1EF ，EF ⊂平面B 1EF ， ∴A 1C 1//平面B 1EF ．(2)∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，侧面ABB 1A 1∩底面ABC =AB ，AB ⊥AC ， ∴AC ⊥面ABB 1A 1，∵B 1E ⊂面ABB 1A 1，∴AC ⊥B 1E .【解析】(1)推导出EF//AC ，AC//A 1C 1，从而EF//A 1C 1，由此能证明A 1C 1//平面B 1EF ． (2)推导出AC ⊥面ABB 1A 1，由此能证明AC ⊥B 1E .本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)在△ADC 中，由余弦定理得cos∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =22+22−(√6)22×2×2=14，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(14)2=√154，因为cos∠BCD =√64，∠BCD 是三角形BCD 的内角，所以sin∠BCD =√1−cos 2∠BCD =(√64)=√104，所以sin∠B =sin(∠ADC −∠BCD)=sin∠ADCcos∠BCD −cos∠ADCsin∠BCD =√154×√64−14×√104=√108；(2)在△BCD 中，由正弦定理得BDsin∠BCD =CDsin∠B =BCsin∠BDC ， BD =CDsin∠BCD sin∠B=2×√104√108=4BC =CDsin∠BDC sin∠B =2×√154√108=2√6， 所以S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠B =12×6×2√6×√108=3√152．【解析】(1)在△ADC 中，由余弦定理得cos∠ADC ，再求出sin∠ADC ，由cos∠BCD 求出sin∠BCD ，再利用三角形内角和为π，结合两角和与差的正弦公式即可求出结果；(2)在△BCD 中，由正弦定理即可求出BC ，再利用三角形面积公式即可算出结果． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题．17.【答案】解：(1)以O 为坐标原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则N(3,0)，A(12,1)，C(32,2)， ∴直线CN 的方程为y−02−0=x−332−3，即y =−43(x −3)，圆弧MN⏜所在圆的方程为x 2+y 2=9． 联立{y =−43(x −3)x 2+y 2=9，解得{x =2125y =7225或{x =3y =0． 当PN 过点C 时，P(2125,7225)，sinθ=2425． ∴sinθ的取值范围是(0,2425)；(2)MP ⏜的长度为3(π2−θ)，设P(3cosθ,3sinθ)， 则|PN|2=(3cosθ−3)2+(3sinθ)2=18−18cosθ．∴总造价f(θ)=3a ×3(π2−θ)+a(18−18cosθ)=a(9π2+18−9θ−18cosθ)， 其中θ∈(0,θ0)，sinθ0=2425，且0<θ0<π2． f′(θ)=a(18sinθ−9)，令f′(θ)=0，可得θ=π6．∴当θ∈(0,π6)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减， 当θ∈(π6,θ0)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增，∴当θ=π6时，f(θ)有极小值，也是最小值为f(π6)=a(3π+18−9√3). 答：当θ=π6时，总造价最少．【解析】(1)以O 为坐标原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．分别写出直线CN 的方程与圆弧MN ⏜所在圆的方程，联立求得交点P 的坐标，由此可得sinθ的取值范围是；(2)MP ⏜的长度为3(π2−θ)，设P(3cosθ,3sinθ)，求得|PN|2，由题意可得总造价f(θ)的解析式，利用导数求最值，则答案可求．本题考查函数模型的选择及应用，考查弧长公式的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意：e =c a =12，a 2+b 2=AB 2=7，又c 2=a 2−b 2，解得a 2=4，b 2=3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(2)由椭圆的方程可得A(−a,0)，B(0,−b)，F(c,0)，由题意可得k PB =k BF =bc ，且直线BF 的方程为：y =bc x −b ，联立直线BF 与椭圆的方程{y =bcx −bx 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：(a 2+c 2)x 2=2a 2cx ，所以x P =2a 2ca 2+c 2，代入直线BF 中可得y P =b(a 2−c 2)a 2+c 2，即P(2a 2ca 2+c 2,b(a 2−c 2)a 2+c 2)所以k AP =b(a 2−c 2)a 2+c 2−02a 2ca 2+c 2+a =b(a 2−c 2)2a 2c+a 3+ac 2所以k AP ⋅k PB =b(a 2−c 2)2a 2c+a 3+ac 2⋅bc =(a 2−c 2)22a 2c 2+a 3c+ac 3=16， 整理可得6a 4+6c 4−14a 2c 2−a 3c −ac 3=0， 整理可得：6e 4−e 3−14e 2−e +6=0，即6e 4−e 3−7e 2−(7e 2+e −6)=0，e 2(6e −7)(e +1)−(7e −6)(e +1)=0，(e +1)(6e 3−7e 2−7e +6)=0， 因为e ∈(0,1)，所以方程整理为：6(e 3+1)−7e(e +1)=0，即6(e +1)(e 2−e +1)−7e(e +1)=0，6e 2−13e +6=0， 解得：e =32或23， 所以e 定值为23【解析】(1)由题意可得ca =12，a 2+b 2=AB 2=7，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的标准方程；(2)由椭圆的方程写出A ，B ，F 的坐标，进而求出直线BF 的斜率，即直线PB 的斜率，求出BF 的方程，与椭圆联立求出P 的坐标，进而求出直线PA 的斜率，直线PA 与PB 的斜率之积为16，可得a ，c 的关系，再由离心率的范围求出椭圆的离心率．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及提取公因式及分组分解因式的应用，属于中难题．19.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=e x +x 2−x ，f′(x)=e x +2x −1，则f(0)=1，f′(0)=0， 故切线方程是y =1；(2)若函数f(x)在[1,2]上单调递增， 则f′(x)≥0在[1,2]恒成立， 则a ≤e x +2x 在[1,2]恒成立，由y =e x +2x 在[1,2]递增，得y min =e +2， 得a ≤e +2，故a 的范围是(−∞,e +2]； (3)f(x)<x 2+1即e x −ax −1<0， 令g(x)=e x −ax −1，则g′(x)=e x −a ， ①a ≤1时，g′(x)>0在(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)递增，g(x)>g(0)=0，不合题意， ②a >1时，由g′(x)=0，解得：x =lna ， x ，g′(x)，g(x)的变化如下表：令b=lna，在(0,lna)上，总有g(x)<g(0)=0，符合题意，综上，a的范围是(1,+∞)．【解析】(1)代入a的值，求出f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(2)问题转化为a≤e x+2x在[1,2]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；(3)令g(x)=e x−ax−1，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，确定a的范围即可．本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：(1)解：数列{a n}满足a1=6，a2=−3，a n+a n+3=a n+1+a n+2，n∈N∗．当n=1时，a1+a4=a2+a3，∴a4=−5，当n=2时，a2+a5=a3+a4，∴a5=2．(2)证明：∵数列{a n}满足a1=6，a2=−3，a n+a n+3=a n+1+a n+2，n∈N∗.①∴n≥2时，a n−1+a n+2=a n+a n+1，②①+②，得a n−1+a n+3=2a n+1，∴a n+3−a n+1=a n+1−a n−1，∴{a2n−1}是等差数列，设公差为d1，{a2n}是等差数列，设公差为d2，∴(a2n+ma2n+3)−(a2n+ma2n+1)=(a2n+2−a2n)+m(a2n+3−a2n+1)=d2+md1，∴对任意正实数m，{a2n+ma2n+1}成等差数列．(3)解：设奇数项所成等差数列的公差为d1，偶数项所成等左数列的公差为d2，①当n为奇数时，a n=6+n−12d1，a n+1=−3+n−12d2，则6+n−12d1>−3+n−12d2，即n(d1−d2)+18+2(d2−d1)>0，∴{d1−d2≥01×(d1−d2)+9+d2−d1>0，∴d1−d2≥0．②当n为偶数时，a n=−3+(n2−1)d2，a n+1=6+n2d1，则−3+(n2−1)d2>6+n2d1，∴n(d1−d2)+18+2d2<0，∴{d1−d2≤02×(d1−d2)+18+2d2<0，∴{d1−d2≤0d1<−9，综上，得d1=d2<−9，∵a3+a4=a1+a2+d1+d2=3+2d1=−33，解得d1=−18，∴当n为奇数时，a n=6+n−12×(−18)=15−9n，当n 为偶数时，a n =−3+(n2−1)×(−18)=15−9n ， ∴数列{a n }的通项公式为a n =15−9n,n ∈N ∗．【解析】(1)当n =1时，a 1+a 4=a 2+a 3，当n =2时，a 2+a 5=a 3+a 4，由此能求出a 4，a 5． (2)推导出a n+3−a n+1=a n+1−a n−1，{a 2n−1}是等差数列，设公差为d 1，{a 2n }是等差数列，设公差为d 2，从而得到(a 2n +ma 2n+3)−(a 2n +ma 2n+1)=d 2+md 1，由此能证明对任意正实数m ，{a 2n +ma 2n+1}成等差数列．(3)设奇数项所成等差数列的公差为d 1，偶数项所成等差数列的公差为d 2，根据n 为奇数和n 为偶数分类讨论，能求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列中的项及通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查递推公式、递推思想、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)∵矩阵A =[3a b2]，点M(1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为点N(4,4)． ∴[3a b 2][11]=[44]，∴{3+a =4b +2=4，解得a =1，b =2． (2)由(1)得A =[3122]，∴矩阵A 的特征方程为f(λ)=∣∣∣λ−3−1−2λ−2∣∣∣=λ2−5λ+4， 令f(λ)=0，得矩阵A 的特征值为λ1=1，λ2=4．【解析】(1)推导出[3a b 2][11]=[44]，由此能求出a ，b ． (2)由A =[3122]，得矩阵A 的特征方程为f(λ)=∣∣∣λ−3−1−2λ−2∣∣∣=λ2−5λ+4，由此能求出矩阵A 的特征值．本题考查实数值、矩阵的特征值的求法，考查矩阵的变换、特征值、矩阵乘法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)∵在极坐标系中，两点A(4,π6)，B(2,π2)．∴在直角坐标系中，A(2√3,2)，B(0,2)，∴A ，B 两点间的距离为|AB|=√(2√3−0)2+(2−2)2=2√3．(2)∵直线l 的参数方程为{x =2t,y =√3t +2(t 为参数)．∴直线l 的直角坐标方程为y =√32x +2，即√3x −2y +4=0，∴点A(2√3,2)到直线l 的距离： d =√3×2√3−2×2+4|√3+4=6√77．【解析】(1)在直角坐标系中，求出A(2√3,2)，B(0,2)，由此能求出A ，B 两点间的距离． (2)求出直线l 的直角坐标方程，由此能求出点A(2√3,2)到直线l 的距离．本题考查两点间的距离、点到直线的距离的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程、直角坐标方程的互化、两点间距离公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x +1|，f(x)>2，∴|x +1|>2，∴x >1或x <−3， ∴不等式的解集为{x|x >1或x <−3}． (2)∵a >1，∴−1<−1a ，∴g(x)={−(a +1)x −2,x ∈(−∞,−1)(1−a)x,x ∈[−1,−1a ](a +1)x +2,x ∈(−1a ,+∞)，∴g(x)在x ∈(−∞,−1a )时单调递减，在x ∈(−1a ,+∞)时单调递增， ∴g(x)min =g(−1a )=1−1a ，∴1−1a =12，解得a =2．【解析】(1)根据f(x)>2，可得|x +1|>2，然后去绝对值解出不等式即可；(2)先将g(x)写为分段函数的形式，然后得到g(x)的单调区间，再根据g(x)的最小值为12，求出a 的值． 本题考查了绝对值不等式的解法和分段函数求最值，考查了转化思想，属基础题．24.【答案】解：(1)连接AC 1，∵E ，F 分别为AA 1，A 1C 1的中点，∴EF//AC 1， ∴∠AC 1B 即为异面直线BC 1与EF 所成角．由正三棱柱的性质可知，AC 1=BC 1=√CC 12+BC 2=√4+4=2√2，在△ABC 1中，由余弦定理知，cos∠AC 1B =AC 12+BC 12−AB 22AC 1⋅BC 1=2×2√2×2√2=34．故异面直线BC 1与EF 所成角的余弦值为34．(2)以C 为原点，CA 、CC 1分别为x 和z 轴，作Cy ⊥面ACC 1A 1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0，0)，E(2,0，1)，F(1,0，2)，G(32,√32,0)，∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−1)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设平面EFG 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +√32y −z =0−x +z =0， 令x =1，则z =1，y =√3，∴m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)． 由正三棱柱的性质可知，AA 1⊥面ABC ， ∵CG ⊂面ABC ，∴AA 1⊥CG ，∵△ABC 为正三角形，且G 为AB 的中点，∴CG ⊥AB ， ∵AA 1∩AB =A ，AA 1、AB ⊂面B 1EG ，∴CG ⊥面B 1EG ，即平面B 1EG 的法向量n ⃗ 与CG ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴n ⃗ =(√3,1，0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3+√3√1+3+1×2=√155， 由图可知，二面角B 1−EG −F 为锐二面角，故二面角B 1−EG −F 的余弦值为√155．【解析】(1)连接AC 1，则EF//AC 1，故∠AC 1B 即为所求；结合勾股定理和余弦定理，求出cos∠AC 1B 的值即可得解；(2)以C 为原点，CA 、CC 1分别为x 和z 轴，作Cy ⊥面ACC 1A 1，建立空间直角坐标系，逐一写出C 、E 、F 和G 四点的坐标；根据法向量的性质可求出平面EFG 的法向量m⃗⃗⃗ ，利用线面垂直的判定定理可证得CG ⊥面B 1EG ，从而得平面B 1EG 的法向量n ⃗ ；由空间向量数量积的坐标运算求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >即可得解． 本题考查空间中异面直线夹角和二面角的求法，通过平移的思想找到异面直线的平面角，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．第21页，共21页 25.【答案】证明：(1)因为a n+1=a n −a n 2(n ∈N ∗)，所以a n+1a n =1−a n ，要证明12≤a n+1a n <1(n ∈N ∗)，只需证明0<a n ≤12， 用数学归纳法证明如下：当n =1时，a 1=12，命题成立；假设n =k 时，命题成立，即0<a k ≤12，当n =k +1时，由a k+1=a k −a k 2=−(a k −12)2+14， 由于0<a k ≤12，所以0<a k+1≤14≤12，故n =k +1时，命题成立，所以对于任意的n ∈N ∗，都有0<a n ≤12成立，即12≤a n+1a n <1(n ∈N ∗)成立；(2)由kC n k =k A nk k!=nC n−1k−1， 故kC n k (2a n −1)k =(2a n −1)nC n−1k−1(2a n −1)k−1，故C n 1(2a n −1)+2C n 2(2a n −1)2+⋯+kC n k (2a n −1)k +⋯+nC n n (2a n −1)n=[(2a n −1)n][1+C n−11(2a n−1−1)1+⋯C n−1k−1(2a n −1)k−1+C n−1n−1(2a n −1)n−1]=n(2a n −1)(1+2a n −1)n−1n−1=n(2a n −1)(2a n )n−1， 由(1)有0<a n ≤12，故n(2a n −1)(2a n )n−1≤0，所以原命题成立．【解析】(1)因为a n+1=a n −a n 2(n ∈N ∗)，所以a n+1a n =1−a n ，要证明12≤a n+1a n <1(n ∈N ∗)，只需证明0<a n ≤12，用数学归纳法证明即可；(2)由kC n k =k A nk k!=nC n−1k−1，故kC n k (2a n −1)k =(2a n −1)nC n−1k−1(2a n −1)k−1，代入化简，结合二项式定理和(1)的结论，证明即可．考查了数学归纳法证明不等式，二项式定理的应用，排列和组合的计算，中档题．。
2020年江苏卷数学高考试题(精编解析版)
0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm3 ．
（第 9 题）
【答案】12 3 2
【解】V 6 1 2 2 3 2 ( 1 )2 2 12 3 .
2
2
2
2
10．将 函 数 y 3sin(2x ) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 . 则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的
【答案】4
【解】 n 1 时， a1 b1 1 ， n 2 时， an bn 2n 2 2n1 ， a1 b1 适用上式，所以
an bn 2n 2 2n1 dn a1 d b1qn1 ，对 n N 恒成立，所以 d 2, q 2 ，所以 d q 4 .
12．在已知 5x2 y 2 y 4 1(x, y R) ，则 x2 y 2 的最小值是 ▲ ．
输出y
【答案】 2 4． 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
结束 （第 5 题）
则点数和为 5 的概率是 ▲ ．
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【答案】 1 9
5． 右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ▲ ．
2 y (d 1)2 (36 d 2 ) ，0 d 6 ， y 2(d 1)(2d 9)(d 4) 0 ， d 4 ，所以 S 在 d 4 时取得最
【答案】 -3
6．
在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 5
1(a 0)
的一条渐近线方程为
y
5x， 2
则双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】 2 3
2020年江苏省徐州市高考数学预测押题试卷(含答案解析)
由全国各地一线教师精心编制《 高考终极预测押题卷》对近十年全国各地高考试题的全方位精确分析，把握命题规律，找出命题趋势。
全网首发！百位名师呕血专研，只为高考最后一搏！江苏省徐州市高考数学预测押题试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}04B x x =≤≤，则A B =ð ▲ ． 2．复数i (1i)z =⋅+（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 3．函数()lg(2)f x x =-的定义域为 ▲ ．4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ▲ ． 6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的 概率是 ▲ ．7．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A 点沿表面经过棱1BB ，1CC 爬到点1A ，蚂蚁乙从B 点沿表面经过棱1CC 爬到点1A ．如图，设PAB α∠=，QBC β∠=，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则αβ+= ▲ ．注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
（第5题图）Read xIf 0x > Then()ln f x x ← Else()2x f x ←End If（第7题图）ABCQ R A 1 PB 1C 1 乙53甲6789847456690294866431（第4题图）8．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ▲ ．9．若过点(3,4)P 的直线与圆22(2)(2)4x y -+-=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示．若()1f α=，π(0,)3α∈，则sin 2α= ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S n +都是公差为(0)d d ≠的等差数列，则1a = ▲ ．12．已知平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ， ||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ▲ ．13．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x >是函数3()f x x x =-图象上的两个不同点，且在A ，B 两点处的切线互相平行，则12x x 的取值范围为 ▲ ． 14．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤，则29a d -的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(tan tan ,3)A C =+m ，(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上．x yO π37π123-（第10题图）（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB⊥于点M ．设2AO Mq ?，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M p pq ??，求喷泉的面积的取值范围．18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线与椭圆C 交于点M 、N ．（1）若椭圆C 的离心率为12，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线交右准线于点P ，求11PM PN+的值； （2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点M 在定直线上．θO 1 O 2MBACD观赏 长 廊N （第17题图乙）M BACDθO 1（第17题图甲）O 2M BACDE（第16题图）F19．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．20．（本小题满分16分）已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、2l ．若12ax =-，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值．数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题．．．．．．．．．．．．纸．指定区域内作答．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC Δ中，23AB AC =，BM 是ABC ∠的平分线，AMC Δ的外接圆交BC 边于点N ．求证：32CN AM =．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值13λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ． （1）求,a b 的值；（2）求曲线22:4131C x xy y ++=在M 对应的变换作用下的新曲线的方程．C ．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线的参数方程为22,x t y t =-⎧⎨=⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若直线与曲线C 交于A 、B 两点，试求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程．注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。
2020届江苏省徐州市高考数学：考前冲刺打靶卷(word版,有答案)(精品)
徐州市高三信息卷数学Ⅰ参考公式：圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长．球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，{0,2,7}B =，则AB = ▲ ．2．已知复数11i z =+，22i z b =+，其中i 是虚数单位，若21z z 为纯虚数，则b 的值为 ▲ ．3．从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为8的概率是 ▲ ． 4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．注 意事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
0.02（第4题）0.16 0.11 0.04 /小时0.076．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．7．若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为1S ，2S ，则12S S 的值是 ▲ ．8．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=+++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则3a 的值是 ▲ ．10．已知函数2,1,()1,1,x x x f x x ⎧->=⎨⎩≤ 则不等式2()()f x f x <的解集是 ▲ ．11．在ABC △中，若3AB =，2AC =，3BC BD =，7AB AD ⋅=，则ABC △的面积为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A ，点P 在圆22:(2)(1)1C x y -+-=上运动，点Q 在y 轴上运动，则||AP AQ +的最小值是 ▲ ．13．若正实数a ，b ，c 满足()a a b c bc ++=，则ab c+的最大值为 ▲ ． 14．已知点P 在曲线:e x C y a =(e 是自然对数的底数)上，记曲线C 在点P 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ．若使得2S a =的点P 有三个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为PC 的中点．求证：（1）直线AP ∥平面BDM ； （2）直线BM ⊥平面ACP ．(第16题)DABCMP16．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，1a =，求sin C 的值．17．（本小题满分14分）如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OAkm ，2AB km ，π4OAB．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a km ，矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2． （1）求()f a ，并写出定义域；（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ，B 分别为椭圆C 的右、下顶点，且2OA OB =．（1）求椭圆C 的方程；B(第17题)ACF OED（2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，且直线PA ，PB 分别交椭圆C 于点M ，N ．(i) 若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率； (ii) 求证：PMN △的面积与PAB △19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，15a =-，128n n a a +=+，n *∈N ．数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足221425n n n b b S ++=+，n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 能否为等差数列？若能，求其通项公式；若不能，试说明理由； （3）若数列{}n b 是各项均为正整数的递增数列，设n n n c a b =+，则当r c ，s c ，t c和4r ，s ，t ()r s t <<均成等差数列时，求正整数r ， s ，t 的值．20．（本小题满分16分）已知函数2()f x x ax =+，()ln g x x b =+，,a b ∈R ，且()f x 的最小值为('(1))f g ． （1）求a 的值；（2）若不等式()()bf x xg x ≤对任意21[,e ]ex ∈恒成立，其中e 是自然对数的底数，求b 的取值范围；（3）设曲线()y f x =与曲线()y g x =交于点000(,)(1)P x y x >，且两曲线在点P 处的切线分别为1l ，2l ．试判断1l ，2l 与x 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．徐州市高三信息卷数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，点A ，B ，D ，E 在圆O 上，ED ，AB 的延长线交于点C ，AD ，BE 交于点F ，且AEEB BC ．若2DE ，4AD ，求DF 的长．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． 若x a y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，求x ，y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线:sin C a ρθ=，若直线π:3l θ=被曲线C ，求正实数a 的值．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,a b c R ，且3a b c，22226a b c ，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BCC B ，1π3BCC ∠=，2AB BC ==，14BB =，点D 在棱1CC 上，且1(01)CD CC λλ=<<．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）当12λ=时，求异面直线1AB 与1A D 的夹角的余弦值； （2）若二面角11A B D A --的平面角为π3，求λ的值．23．（本小题满分10分）将边长为1的正三角形ABC 各边*(2,)n n n ∈N ≥等分，过各等分点在ABC △内作边的平行线．如图所示是2n =时的图形．记ABC △中边长为1n 的菱形的个数为()f n ． （1）写出(2)f 的值； （2）求()f n 的值．(第22题)(第23题)ABC徐州市2017届高三信息卷 数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题1．{0,1,2,7} 2．2- 3．13 4．45 5．22 6．3 7．148．1-9．19 10． 1112．3 1314．22(,0)(0,)ee- 二、解答题 15．（1）设ACBD =O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM ．…3分 又因为AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以直线AP ∥平面BDM ．……………6分 （2）因为90APB ∠=︒，所以AP BP ⊥．又因为平面ABP ⊥平面BCP ， 平面ABP平面BCP =BP ，AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ．…………………………………………………………9分 又因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ．…………………………………11分 因为BP BC =，M 为PC 的中点，所以BM CP ⊥． 又因为APCP P =，,AP CP ⊂平面ACP ，所以直线BM ⊥平面ACP ．…………………………………………………14分16．（ 1）由已知得2a cos B =c cos B +b cos C ，由正弦定理得，2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin(B +C )，…………………………………2分 又B +C =π-A ，所以2sin A cos B =sin A ，又A ∈(0，π)，sin A ≠0，所以cos B =12，又B ∈(0，π)，所以B =π3．………………………………………………………6分（2）由正弦定理得a sin A =b sin B ，得sin A =34，………………………………………8分 又a <b ，所以A 为锐角，则cos A =1-sin 2A =134， ………………………11分 (第16题)DABCMPO又A +B +C =π，得sin C =sin(π-A -B )=sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =3+398． ………………14分17．（1）以O 为原点，OA 边所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 过点B 作BGOA 于点G ，在直角ABC △中，2AB ，π4OAB，所以1AG BG ，又因为2OA，所以1OG，则(1,1)B ，设抛物线OCB 的标准方程为22y px ，代入点B 的坐标，得12p ， 所以抛物线的方程为2y x ．…………4分 因为CD a ，所以AE EFa ，则22DEa a ，所以2()(2)f a a a a 322a a a ，定义域为(0,1)．………………8分（2）2'()322f a a a，令'()0f a ，得713a． ……………………10分 当7103a 时，'()0f a ，()f a 在71)3上单调增； 7113a时，'()0f a ，()f a 在71,1)3上单调减． 所以当713a 时，()f a 取得极大值，也是最大值．……………………12分 答：（1）32()2f a a a a ，定义域为(0,1)；（2）当713a时，矩形草坪CDEF 的面积最大．…………………………14分 18．（1）由2OA OB =知，2a b =，又椭圆C 过点，所以2221a =，解得6,3.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为221369x y +=．………………………………4分（2）设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(6)y k x =-．联立22(6),436,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并整理得，2222(14)48144360k x k x k +-+-=，解得16x =，22224614k x k-=+，所以22224612(,)1414k k M k k --++．…………………6分 因为直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，所以直线PB 的方程134y x k=--． 联立2213,4436,y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩消去y 并整理得，22(14)240k x kx ++=， 解得10x =，222414k x k =-+，所以22224312(,)1414k k N k k --++．…………………8分 (i) 因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k kk k--=++， 即24410k k --=，解得k ．…………………………………………10分当12k =时，点3(1(3,)2P -在椭圆C 外，不满足题意． 所以直线PA． ………………………………………………12分 (ii) 联立(6),13,4y k x y x k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得22241214P k k x k -=+． 所以1sin ()()2||1()()sin 2PMNP M N P PABA P PB PM PN MPNS x x x x S x x x x PA PB APB ⋅∠-⋅-==-⋅-⋅∠△△…………………14分222222222222412246242412()()14141414||24122412(6)(0)1414k k k k k k k k k k k k k k k k ------++++=----++ 22(126)(2412)||(126)(2412)k k k k k k -+--=+- 22(21)(2)||(21)(2)k k k k k k -+--=+-(21)(21)||1(21)(21)k k k k -+--==+-．故PMN △的面积与PAB △的面积相等．……………………………………16分19．（1）由128n n a a +=+，得182(8)n n a a ++=+，………………………………………1分又15a =-，所以{8}n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1832n n a -+=⋅，故1328n n a -=⋅-，n *∈N ．………………………………3分（2）由2214+25n n n b b S ++=，得22+12+14+25n n n b b S ++=，两式相减得22124n n n b b b ++=-，即1224()()n n n n n b b b b b +++=+-．①若{}n b 是等差数列，设公差为d ，则1144n n b db ++=，因为10n b +≠，所以1d =．………………………………………………………5分又221214+25b b S +=，即22111+14+25b b b +=（），解得13b =-，或14b =．当13b =-时，4n b n =-，满足条件2214+25n n n b b S ++=； 当14b =时，3n b n =+，也满足条件2214+25n n n b b S ++=．故4n b n =-，或+3n b n =． ……………………………………………………8分 （3）由{}n b 是各项均为正整数的递增数列，得12n n n b b b ++<<②，故21nn n b b b ，22nn b b ≥，故由①式可得1124()n n n n b b b b ，所以224nnb b ≤．又由①式可知2n n b b 是偶数，所以22n nb b ．代入①式得212n nn b b b ，所以{}n b 是等差数列．………………………10分 由（2）知，3n b n，所以1325nn n nc a b n ．若2rts c c c ()，由正整数,,()r s t rst ，知1t s ≥，2s ≥．当2t s ≥时，112223232(325)sst s s sc c c c s s ≥3270s s ．因此要()式成立，只能有1t s ．…………………………………………12分由()式得113253242(325)r s sr s s ，即1321rs r ．又42r t s ，1ts ，所以12rr ，显然1,2r是方程的解．………………………………………………………14分当2r ≥时，设函数1()2(2)xg x x x ≥，则1()2ln 212ln 2102xg x ≥， 故()g x 在[2,)上是增函数，所以方程12rr 仅有两解1,2r．因此，存在1r，5s ，6t 或2r ，9s ，10t满足条件．……16分20．（1）1'()g x x=，所以'(1)1g =，则()f x 的最小值为(1)f ， 因此抛物线()y f x =的对称轴为1x =，即12a-=，所以2a =-．…………2分 （2）由（1）知，2()2f x x x =-．不等式()()bf x xg x ≤即22ln bx bx x x bx -+≤，所以(3)ln b x x -≤对任意21[,e ]ex ∈恒成立． ………………………………4分令()(3)ln h x b x x =--，则11'()bx h x b x x-=-=． ①若0b ≤，则'()0h x <，所以函数()h x 在21[,e ]e上单调减，故max 111[()]()(3)ln 0e e eh x h b ==--≤，解得1013eb >-≥，此时无符合题意的b 值；………………………………………………………6分 ②若0b >，令'()0h x =，解得1x b=． 列表如下：由题意，可知222()(3)ln 0,e e e (e )(e 3)ln e 0,h b h b ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩≤≤ 解得2e 23e 1e 3b --≤≤． 故b 的取值范围为2e 2[,]3e 1e 3--．……………………………………………8分（3）设1l ，2l 的倾斜角分别为α，β，则00tan '()22f x x α==-，001tan '()g x x β==． 因为01x >，所以tan 0α>，tan 0β>，则α，β均为锐角．若1l ，2l 与x 轴所围成的三角形是等腰三角形，则2αβ=或2βα=．……10分 ①当2βα=时，tan tan βα>，即00122x x >-，解得0112x <<而22tan tan tan 21tan αβαα==-，即02002(22)11(22)x x x -=--， 整理得，2081230x x -+=，解得034x =．所以存在唯一的0x =满足题意．…………………………12分 ②当2αβ=时，由tan tan αβ>可得012x +>， 而22tan tan tan 21tan βαββ==-，即002022211()x x x -=-， 整理得，32000210x x x --+=．…………………………………………………13分 令32()21x x x x ϕ=--+，则2'()322x x x ϕ=--． 令'()0x ϕ=，解得13x =．列表如下：而(1)10ϕ=-<，()028ϕ=-<，(2)10ϕ=>， 所以()x ϕ在3(,2)2内有一个零点，也是(1,)+∞上的唯一零点．所以存在唯一的0)x ∈+∞满足题意．综上所述，1l ，2l 与x 轴能围成2个等腰三角形．……………………………16分徐州市高三信息卷 数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．因为EBBC ，所以C BEC ． 因为BED BAD ，所以CBEDBAD ．因为2EBA C BECC ，AE EB ，所以2EAB EBAC ，又CBAD ．所以EAD C ，故BAD EAD ．……………………………………………5分所以EADCFED ，又因为EDAFDE ，所以EAD △∽FED △，则DE ADDF ED． 又因为2DE，4AD ，所以1DF ．…………………………………………10分B ． 由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩ 所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． ………………………………5分 则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1．………………………………………………………10分 C ． 直线l 与曲线C 均过极点(0,0)，令π3θ=，得ρ==，解得2a =．…………………………10分D ．因为22262a b c ，………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c 2222()(3)33b c a ≥，………………………6分 即25120a a ≤，所以1205a ≤≤．……………………………………………… 10分 22．（1）易知(0,0,2)A ，1(0,4,0)B ，1(0,4,2)A ．因为2BC CD ==，1π3BCC ∠=，所以1,0)C -，当12λ=时，D ． 所以1(0,4,2)AB =-，1(3,3,2)A D =--．……………………………………2分A 所以111111cos ,||||AB A D AB A D AB A D ⋅<>=，==． 故异面直线1AB 与1A D． ……………………………4分（2）由1CD CC λ=可知，1,0)D λ-，所以1(4,0)DB λ=--，由（1）知，1(0,4,2)AB =-． 设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则110,0,AB DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即420,(54)0,yz y λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1y =，解得x =，2z =，所以平面1AB D 的一个法向量为=m ．……………………………6分设平面11A B D 的法向量为(,,)x y z =n ，则1110,0,B A DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,(54)0,z y λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，解得x 0z =，所以平面11A B D 的一个法向量为=n ．……………………………8分因为二面角11A B D A --的平面角为π3，所以1|cos ,|||||||2⋅<>===m n m n m n ， 即2(54)1λ-=，解得23λ=或1λ=（舍）， 故λ的值为23．…………………………………………………………………10分 23．（1）(2)3f =． ………………………………………………………………………3分 （2）设与BC 相邻的平行线为''B C ，则''AB C △中边长为1n的菱形的个数为(1)f n -．考虑()f n 比(1)f n -增加的菱形数： 以1''1B C n -为对角线的菱形数为1n -； 以1''1B C n -为一边，对边在BC 上的菱形数为2(1)n -． 所以()(1)(1)2(1)f n f n n n =-+-+-(1)3(1)f n n =-+-．…………7分则(3)(2)32f f -=⨯，(4)(3)33f f -=⨯，……，()(1)3(1)f n f n n --=-，上述各式相加，得()(2)3[23(1)]f n f n -=+++-，所以()(2)3[23(1)]f n f n =++++-3[123(1)]n =++++-3(1)2n n -=．…………………………………………………………10分。
2020年高考数学江苏卷附答案解析版
绝密★启用前
在
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
注意事项 此
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 6 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160
分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试
数学试卷 第 3 页（共 6 页）
（1）求△AF1F2 的周长；
（2）在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求 OPQP 的最
小值；
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
题
第Ⅰ卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．
置．上．.
1.已知集合 A {1，0，1，2} ， B {0，2，3} ，则 A B
.
无
2.已知 i 是虚数单位，则复数 z 1 i2 i 的实部是
.
3.已知一组数据 4， 2a ， 3 a ， 5 ， 6的平均数为 4，则 a 的值是
a2 5
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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高考考点总结之集合问题
（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区 2020 年 1-6 月模拟试卷） 一、单选题
D． 0,1
【答案】A
【解析】因为 A x x2 2x 0 x 0 x 2 , B x 1 x 2 ,所以 A B x 1 x 2 1, 2 .
0}, B {y | y | x |, x A}, C {m Z || m | 3} ,i 为虚数单位,则 ðCB 为（ ）
A． {2, 1,1, 2}
B． {2, 1,1}
C．{1,1}
D．{2, 2}
【答案】A
【解析】由 A {x R∣z x 2i 的实部为 0},则 A 0 , B {y | y | x |, x A} 0 ,
A．x 1 x 2
B．{x | x 1或 x 2}
C．{x | x 1 或 x 2}
D．x | 1 x 2
【答案】B
【解析】由 x 12 x 0 ,解得 1 x 2 ,∴ A {x | 1 x 2} ,
∴ ðR A {x | x 1 或 x 2} ,故选 B. 13．（2021 江苏省泰州中学高三下学期四模）设集合 A {x | x 2n 1,n Z}, B {x | x 4n 1,n Z},
即 C 中元素的个数为 4.故选 B.
17．（2021 江苏省南通市高三下学期 5 月四模）已知集合 A {1，2，3}, B {1，0，1，2} ,若 M A 且 M B ,
则 M 的个数为（ ）