《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.3 - 基本不等式 - 教师版

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2021高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语和不等式第4节基本不等式课件0

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网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时
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考点 1 利用基本不等式求最值(自主演练)
1．若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则a1b的最小值为(
)
A．2
1 B.2
C．4 解析：因为
1 a>0，b>0，D故.4 2a＋b≥2
2ab(当且仅当
用语和不等式第4节基本不等式课件0
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1．基本不等式的两个变形．
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)．
(2)
a2＋b2≥a＋b≥
2
2
ab(a>0，b>0，当且仅当 a＝
b 时取等号)．
2．使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”
三个条件缺一不可．
2a＝b 时取等号)．
又因为 2a＋b＝4，
所以 2 2ab≤4⇒0<ab≤2，
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所以a1b≥12，故a1b的最小值为12(当且仅当 a＝1，b＝2 时等号成立)．
答案：B
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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高考数学一轮专项复习讲义-基本不等式(北师大版)

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。

2021高考数学(理)大一轮复习课件：第六篇第3节基本不等式

考点一利用基本不等式求最值
多维探究
考查角度一配凑法求最值
[例 1] 已知 a,b 是正数,且 4a+3b=6,则 a(a+3b)的最大值是( )
(A) 9 (B) 9
8
4
(C)3
(D)9
解析:因为 a>0,b>0,4a+3b=6,所以 a(a+3b)= 1 ·3a(a+3b)≤ 1 （ 3a a 3b ）2=
6
x y 1 2
1 4 的最小值为 3 .
x y 1
2
答案: 3 2
考查角度三常数代换法求最值
[例 3] 若正数 x,y 满足 3x+y=5xy,则 4x+3y 的最小值为( )
(A) 24 (B) 28 (C)5 (D)6
5
5
解析:因为 x>0,y>0,3x+y=5xy,所以 3 1 =5. yx
2
sin x
解析:ABCE都不正确,D正确,故选ABCE.
2.已知 a,b∈R+,且 a+b=1,则 ab 的最大值为( B )
(A)1 (B) 1 4
(C) 1 2
(D) 2 2
解析:因为 a,b∈R+,所以 1=a+b≥2 ab ,所以 ab≤ 1 ,当且仅当 a=b= 1 时等号
4
2
成立.故选 B.
4.若 f(x)=x+ 1 (x>2)在 x=n 处取得最小值,则 n 等于( B ) x2
(A) 5 2
(B)3
(C) 7 2
(D)4
解析:由 f(x)=x+ 1 =(x-2)+ 1 +2≥4,

2021高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式课件北师大版

解析
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
[即时训练]
3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线
x a
＋
y b
＝1(a>0，b>0)过点
(1,1)，则a＋b＋3ab的最小值为___6_____．
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
[即时训练] 1.设a，b均大于0，a＋b＝5，则 a＋1 ＋ b＋3 的最大值为__3___2___．
解析 ∵( a＋1＋ b＋3)2＝a＋1＋b＋3＋ 2 a＋1b＋3＝9＋2 a＋1b＋3，又2 a＋1b＋3≤a＋1＋b＋3＝9 当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝27，b＝32时取“＝”， ∴( a＋1＋ b＋3)2≤18， ∴ a＋1＋ b＋3的最大值为3 2.
值是8，故选D.
解析答案
常数代换法求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
(2)等号成立的条件：当且仅当 04 ___a_＝__b___时等号成立；
(3)其中
a＋b 2
叫做正数a，b的
05
__算__术__平__均__数_____，

2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第七章第三讲基本不等式

第三讲基本不等式1.[2020河南驻马店模拟]设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b2.[改编题]下列结论正确的个数为()①函数y=x+1x的最小值是2;②函数f (x)=cos x+4cosx ,x∈(0,π2)的最小值为4;③“x>0且y>0”是“xy +yx≥2”的充要条件;④若a>0,则a3+1a2的最小值为2√a;⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥√ab有相同的成立条件.A.0B.1C.2D.33.[2019天津,13,5分][理]设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.4.[2017江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.5.[2015山东,14,5分]定义运算“⊕”:x⊕y=x2-y2xy(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊕y+(2y)⊕x的最小值为.考法1利用基本不等式求最值命题角度1 利用拼凑法求最值1 （1）[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+4a+b +1a-b的最小值为A.3√102B.4C.2√3D.3√2(2)设0<x<32,则函数y=4x(3 - 2x)的最大值为.（1）观察式子的结构特征→将a 用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值(2)观察式子的结构特征→拼系数,凑出和为定值的形式→利用基本不等式求最值（1）因为a =12[(a +b )+(a - b )], 所以a +4a+b +1a -b=12(a +b )+4a+b +12(a - b )+1a -b. ..................................................................................................... (变形凑成积为定值) 因为a >b >0, 所以a +b >0,a - b >0. 由基本不等式可得12(a +b )+4a+b ≥2√12(a +b)×4a+b=2√2 ①,当且仅当12(a +b )=4a+b,即a +b =2√2时,等号成立;12(a - b )+1a -b ≥2√12(a -b)×1a -b=√2 ②,当且仅当12(a - b )=1a -b,即a - b =√2时,等号成立.由{a +b =2√2,a -b =√2,解得{a =3√22,b =√22................................................................................................................................ (检验等号成立的条件)所以当{a =3√22,b =√22时,①②中的等号同时成立. 故a +4a+b +1a -b的最小值为2√2+√2=3√2.(2)y =4x (3 - 2x )=2[2x (3 - 2x )]≤2[2x+(3-2x)2]2=92,当且仅当2x =3 - 2x ,即x =34时,等号成立.因为34∈(0,32),所以函数y=4x (3 - 2x )(0<x<32)的最大值为92.命题角度2 利用常数代换法求最值2若直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2),则1m+2n的最小值为 A .2 B .6 C .12 D .3+2√2把点的坐标代入直线的方程得m 与n 的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值所以2m +2n - 2=0,即m +n =1, 所以1m+2n=(1m+2n)(m +n )=3+n m+2mn≥3+2√2, ................................................................................................ (运用“1”的代换求解) 当且仅当n m=2m n,即n =√2m 时取等号,所以1m+2n 的最小值为3+2√2.D命题角度3 利用消元法求最值3[2019辽宁五校联考]已知正实数a ,b 满足ab - b +1=0,则1a+4b 的最小值是 .先将已知等式变形,可得a =b -1b ,然后对1a +4b =bb -1+4b 进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可.由ab - b +1=0可得a =b -1b,由a =b -1b>0且b >0得b >1,所以1a+4b =b b -1+4b =1b -1+4(b - 1)+5. 易知1b -1+4(b - 1)≥4,所以1a +4b ≥9,当且仅当1b -1=4(b - 1),即b =32,a =13时等号成立,故1a +4b 的最小值是9.1.(1)[2018天津,13,5分][理]已知a ,b ∈R ,且a - 3b +6=0,则2a +18b 的最小值为 .(2)[2017山东,12,5分]若直线xa +y b=1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 .考法2利用基本不等式解决实际问题4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x =3 - km+1(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?题中信息对接方法年销售量、年促销费用由题中信息确定k 值,进而明确两者关系.销售价格、成本销售价格、成本用年销售量x 与年促销费用m 表示,构建关于m 的关系式. 利润最大利用基本不等式求解.(1)由题意可知,当m =0时,x =1, ∴1=3 - k ,解得k =2,即x =3 -2m+1, .................................................................................................................................... (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元), ∴2019年的利润y =x (1.5×8+16xx) - (8+16x +m ) .................................................................................. (建模,利润=总收入 - 总投入) =4+8x - m =4+8(3 - 2m+1) - m =28 -16m+1- m (m ≥0). ∴y 与m 之间的函数关系式是y =28 - 16m+1- m (m ≥0). (2)由(1)知y = - [16m+1+(m +1)]+29(m ≥0). ∵ 当m ≥0时,16m+1+(m +1)≥2√16m+1·(m +1)=8,............................................................................................. (利用基本不等式求最值)当且仅当16m+1=m +1,即m =3时取等号,∴y ≤ - 8+29=21,即当m =3时,y 取得最大值,为21.∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x 名,他们加工完甲型装置所需时间为t 1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2时,设f (x )=t 1+t 2.(1)求f (x )的解析式,并写出其定义域; (2)当x 等于多少时,f (x )取得最小值?考法3利用基本不等式证明不等式5(1)已知a ,b ,c ∈R ,求证:a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a +b +c ); (2)设a ,b 均为正实数,求证:1a 2+1b 2+ab ≥2√2.(1)∵ a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2c 2a 2,当且仅当a 4=b 4=c 4时取等号, ∴2(a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2), 即a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2.又a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c ,b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2,当且仅当a 2=b 2=c 2时取等号,c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc , ∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2(ab 2c +abc 2+a 2bc ),即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c +abc 2+a 2bc =abc (a +b +c ). ∴a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc (a +b +c ). (2)∵ a ,b 均为正实数, ∴1a 2+1b2≥2√1a 2·1b2=2ab ,当且仅当1a2=1b 2,即a =b 时等号成立.∵2ab +ab ≥2√2ab ·ab =2√2,当且仅当2ab =ab 时等号成立,所以1a 2+1b2+ab ≥2ab +ab ≥2√2,当且仅当{1a 2=1b 2,2ab=ab,即a =b =√24时取等号. ......................................................................................... (多次使用不等式,等号要同时成立)解后反思本题先局部运用基本不等式,然后利用不等式的性质,通过不等式相加(有时相乘)综合推出待证的不等式,这种证明方法是证明这类轮换对称不等式的常用方法.3.已知a>0,b>0,a +b =1,求证:(1+1a)(1+1b)≥9.易错连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错6 [2017天津,13,5分]若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为.因为ab>0,所以a4+4b4+1ab ≥2√4a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab≥2√4ab·1ab=4,当且仅当{a2=2b2,ab=12时等号成立,(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)故a4+4b4+1ab的最小值是4.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理找出a4+4b4与ab的关系,利用基本不等式求最值.二数学运算基本不等式的应用,等号成立的条件的求解.一易错警示当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.3.[2019安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+1(a+b)2的最小值为.1.B因为0<a<b,所以a - √ab=√a(√a − √b)<0,故a<√ab;因为b - a+b2=b - a2>0,所以b>a+b2;由基本不等式知a+b2>√ab.综上所述,a<√ab<a+b2<b,故选B.2.A当x<0时,y≤ - 2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f (x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式xy +yx≥2也成立,故③错误;2√a不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而a+b2≥√ab只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.3.4√3(x+1)(2y+1)√xy =2xy+2y+x+1√xy=2xy+6√xy=2√xy6√xy.x+2y=5得5≥2√2xy,即√xy≤5√24,即xy≤258,当且仅当x=2y=52时等号成立.2√xyxy ≥2√2√xy·6xy=4√3,当且仅当2√xyxy,xy=3时取等号,结合xy≤258可知,xy可以取到3,故xy的最小值为4√3.4.30一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8√900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.5.√2因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=x2- y2xy +4y2- x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)≥√2,当且仅当xy=2yx,即x=√2y时取等号.故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为√2.1.(1)14由a - 3b+6=0,得a=3b - 6,则2a+18b=23b - 6+123b≥2√23b - 6×123b=2×2 - 3=14,当且仅当23b - 6=123b,即b=1时等号成立,故2a+18b 的最小值为14.(2)8∵直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2√ba·4ab=8,当且仅当ba =4ab和1a+2b=1同时成立,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.2.(1)易知t1=9000x ,t2=30003(100 - x)=1000100 - x,则f (x)=t1+t2=9000x+1000100 - x,定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}.(2)f (x)=9000x +1000100 - x=1 000(9x+1100 - x)=10[x+(100 - x)](9x+1100 - x)=10[10+9(100 - x)x+x100 - x].因为f (x)的定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*},所以9(100 - x)x >0,x100 - x>0,故9(100 - x)x+x100 - x≥2√9=6,当且仅当9(100 - x)x=x100 - x,即x=75时取等号.故当x=75时,f (x)取得最小值.3.解法一∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a =1+a+ba=2+ba.同理,1+1b =2+ab.∴(1+1a )(1+1b)=(2+ba)(2+ab)=5+2(ba+ab)≥5+4=9,当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号.∴(1+1a)(1+1b)≥9,当且仅当a =b =12时等号成立.解法二 (1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab=1+a+b ab+1ab=1+2ab.∵a >0,b >0,a +b =1, ∴ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a =b =12时取等号.∴1ab≥4,2ab≥8,当且仅当a =b =12时取等号.∴(1+1a)(1+1b)≥1+8=9,当且仅当a =b =12时等号成立.4.√2 解法一因为2ab ≤a 2+b 2,所以(a +b )2≤2(a 2+b 2). 由a +b ≠0,知a 2+b 2+1(a+b)2≥a 2+b 2+12(a 2+b 2)≥2√12=√2,当且仅当a =b 且a 2+b 2=12(a 2+b 2),即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.解法二因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以a 2+b 2≥(a+b)22,所以a 2+b 2+1(a+b)2≥(a+b)22+1(a+b)2≥2√12=√2,当且仅当a =b 且(a+b)22=1(a+b)2,即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.。

2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第6章第3讲基本不等式

形 ADF 中，DF＝3tan(45°－θ)，可得四边形 AECF 的面积 S＝12－12×4×4tanθ
－
1 2
×3×3tan(45°－
θ)
＝
12
－
8tanθ
－
9 2
×
1－tanθ 1＋tanθ
＝
20
－
8(1
＋
tanθ)
＋
9 2
×1－1＋2tanθ＝429－8(1＋tanθ)－1＋9tanθ≤429－2 81＋tanθ×1＋9tanθ＝
1．若正数 x，y 满足 x2＋3xy－1＝0，则 x＋y 的最小值是( )
2 A. 3
22 B. 3
C.
3 3
D.2 3 3
解析对于 x2＋3xy－1＝0 可得 y＝131x－x，∴x＋y＝23x＋31x≥2 92＝
2
3
2当且仅当x＝
22时等号成立.故选
B.
解析答案ຫໍສະໝຸດ 2．(2020·岳阳一中月考)已知 a＞b＞0，则 2a＋a＋4 b＋a－1 b的最小值为
429 － 12
2，当且仅当
8(1
＋
tanθ)
＝
9 1＋tanθ
，即
tanθ ＝ 3 4 2 － 1 ，且满足
0<tanθ<1，则四边形 AECF 的面积取得最大值．
解析
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较． (2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明 1. (3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常与三角函数、解三角形、解析几何等知识结合．如举例说明 2.

《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.1 - 不等式的性质 - 教师版

2.1 不等式性质1．两个实数大小的比较(1)a ＞b ⇔a －b________. (2)a ＝b ⇔a －b________. (3)a ＜b ⇔a －b________. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________． (2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________． (3)可加性：a >b ⇔a ＋c______b ＋c.(4)可乘性：a >b ，c >0⇒__________；a >b ，c <0⇒__________． (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________． ※(6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒a －c >b －d. (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________． ※(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d .(9)不等式的乘方：a >b >0⇒______________． (10)不等式的开方：a >b >0⇒______________．注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 3．必记结论※(1)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a <1b ；a <0b >0，m >0，则a b <m a m b ++；a b >ma mb --(b －m >0)； b a >m b m a ++；b a <mb m a --(b －m >0) 自查自纠 1．＞0 ＝0 ＜02．(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc (5)a ＋c >b ＋d (7)ac >bd(10)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (11)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)1．下列说法正确的是( )A ．若ab>1，则a >bB ．一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变C ．一个非零实数越大，则其倒数就越大D ．a >b >0，c >d >0⇒a d >bc解：举反例易知A ，B ，C 均错误，c >d >0⇒1d >1c >0，故选项D 正确．故选D.2．(2019·全国Ⅱ卷)若a ＞b ，则 ( )A ．ln(a －b )＞0B ．3a ＜3bC ．a 3－b 3＞0D ．|a |＞|b | 解：a ＞b ⇒a 3＞b 3，故C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C.3．(北京市石景山区2019届高三3月统一测试)若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是 ( )A ．sinx >sin yB ．lnx <ln(－y )C ．e x <e yD ．1x >1y解：因为sinπ＝sin(－π)，ln1＝ln[－(－1)]，e 1>e －1，所以A ，B ，C 均不正确；因为x ＞0，y ＜0，所以1x ＞0，1y ＜0，所以1x ＞1y，所以D 正确．故选D.4．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________．解：因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N.故填M >N.5．(2018·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中所有正确的序号是________． ①a －b >0；②a 3＋b 3>0；③a 2－b 2<0；④a ＋b <0.解：a ＋|b |<0⇒a <0且－a >|b |，由|b |≥－b 得－a >－b ⇒a －b <0，①错；由|b |≥b 得－a >b ⇒－a 3>b 3⇒a 3＋b 3<0，②错；由|a |＝－a >|b |⇒a 2>b 2⇒a 2－b 2>0，③错；由－a >b ⇒a ＋b <0，④对．故填④.题型一不等式的性质1．设a ，b ，c ，d 均为非零实数，则下列命题中所有正确的序号为________．①若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0；②若a 1b ；③若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；④若a >b >1>d ＋1，则log a (b －d )<log b (a －d )．解：①正确，因为c a －d b ＝bc －adab>0，bc －ad >0，所以ab >0；②错误，因为a 1b不一定成立；③错误，因为a >b ，c >d ，所以令a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝0，则a －c ＝b －d ，所以a －c >b －d 不一定成立；④正确，因为a >b >1>d ＋1，所以a －d >b －d ＞1，所以log a (b －d )<log a (a －d )．又因为log a (a －d )<log b (a －d )，所以log a (b －d )<log b (a －d )．故填①④.2．(甘肃省2019届高三二诊)若a >b ，ab ≠0则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．lg(a －b )>0C ．1a <1bD ．2a >2b解：对于选项A ，a 2>b 2不一定成立，如a ＝1＞b ＝－2，但是a 2＜b 2，所以该选项是错误的；对于选项B ，a ＝12，b ＝13，a －b ＝16，lg 16<0，所以该选项是错误的；对于选项C ，1a －1b ＝b －a ab ，因为b －a <0，ab 符号不确定，所以1a <1b 不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D ，因为a >b ，所以2a >2b ，所以该选项是正确的．故选D. [听课笔记]利用不等式性质进行命题的判断时：①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．巩固迁移21．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 ( )A ．a c ＞b dB ．a c ＜b dC ．a d ＞b cD ．a d ＜bc解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜bc .故选D .2．(2020辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a ＞0，条件乙：a ＞b ，且1a ＞1b 则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由a ＞0不能推出a ＞b 且1a ＞1b ，故甲不是乙的充分条件，若又a ＞b 且1a ＞1b ，即又a ＞b且aba b -＞0，则ab ＜0，所以a ＞0，b ＜0，所以由a ＞b 且1a ＞1b 能推出a ＞0，故甲是乙的必要条件，所以甲是乙的必要不充分条件.故选B .3．已知实数a ，b ，c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中所有成立的序号为________．①a 2c >b 2c ；②a ＋c ab 3；④c b >c a ； ⑤a ＋1b >b ＋1a .解：①不成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，又因为c <0，所以a 2c b ＋c ；③成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，ab >0，所以a 2·ab >b 2·ab ，即a 3b >ab 3； ④不成立，因为a >b >0，所以1b >1a ，又因为c <0，所以c b <ca ；⑤成立，因为a >b >0，所以1b >1a ，所以a ＋1b >b ＋1b >b ＋1a .故填③⑤.题型二不等式性质的应用1．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示) 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52.所以2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，而－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<2x －y <8，即2x －y ∈(3，8)．解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2，且－1<a <4，20，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3y4≤27，故x 3y4的最大值是27. 解法二：设x 3y4 ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 2m ·(xy 2)n ，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又因为16≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 22≤81，18≤(xy 2)－1≤13，所以2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值为27.故填27.[听课笔记]由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．巩固迁移21．(2018河北模拟)已知－π2<α<β<π2，则α－β2一定不属于( )A ．(－π，π)B ．⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ C ．(－π，0) D ．(0，π) 解：因为－π2<α<β<π2，所以－π2－π2<α－β<0，即－π<α－β<0，－π2<α－β2<0，所以α－β2一定不属于(0，π)．故选D.2．若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y 的取值范围是________．解：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5.故填[－1，5]．3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是．答案：[－3,3]解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，－4<－|β|≤0 ∴－3≤α－|β|≤3 题型三比较大小1．(2018·上海徐汇模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q 解：p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 11＝（b 2－a 2）（b －a ）ab ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，即p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，即p <q. 综上，p ≤q.故选B.2．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q 答案：A解析：因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2，则有P >Q.故选A. .[听课笔记]作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论．巩固迁移31．(2018焦作模拟)设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b 的大小．解法一：(作差法) a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝（a ＋b ）（a 2－b 2）－（a 2＋b 2）（a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）. 因为a ＞b ＞0，所以a ＋b ＞0，a －b ＞0，2ab ＞0，a 2＋b 2＞0，所以2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b.解法二：(作商法)因为a ＞b ＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞0，a －b a ＋b＞0，2ab ＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝（a ＋b ）2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2＞1，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.2．(2019·广西联考)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <y <zB ．z <y <xC ．y <z <xD ．y <x <z 答案：D解析：显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z.故选D.3．[经典题]若a >0，且a ≠7，则( )．A ．77a a <7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a <7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案：C解析：显然77a a >0，7a a 7>0，aa a a a a a a a -⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=777777.777当a >7时，0<a 7<1，7－a <0，所以aa -⎪⎭⎫⎝⎛77>1当0<a <7时，a 7>1，7－a >0，所以aa -⎪⎭⎫⎝⎛77>1综上可知77a a <7a a 7.故选C. [听课笔记]1．比较大小的常用方法：①作差法；②作商法；③放缩法；④函数的单调性法．在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．2．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法、作商法、函数的单调性法、放缩法四种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．单调性法需从题干所给条件出发，构造同结构的函数，最后利用函数的单调性得出实数大小关系；放缩相对技巧性较强，缩放的度是整个解题的关键所在．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．一、选择题：1．(2018·贵阳监测)下列命题中，正确的是 ( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案：C解析：选项A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；选项B ：当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a n >0，则 ( )A ．－1m ＜－1nB ．m －n ＜m －nC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21m ＞⎪⎭⎫ ⎝⎛21nD ．m 2＜mn答案：B解析：解法一：由题意，1m ＜1n ⇒－1m ＞－1n ，A 错误；m －n ＜m －n ，两边均大于0，平方得m ＋n －2mn ＜m －n ⇐n ＜mn ⇐n ＜m ⇐m ＞n＞0，B 正确；易知y ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21x 为减函数，m ＞n ＞0，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21m ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛21n，C 错误；因为m ＞n ＞0，所以m ·m ＞mn ，即m 2＞mn ，D 错误．解法二：取m ＝2，n ＝1，代入各选项验证A ，C ，D 不成立，只有B 项成立(2－1<2－1)．故选B.3．(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·豫西南联考)如果a >0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中所有正确的序号是 ( )①a 2b 0>1b；③a 3<ab 2.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案：A解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，b ＜0⇒a 2b 0，所以1a >0，又b <0，所以1b <0，所以1a >0>1b，②正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，a ＞0⇒a 3>ab 2，③不正确．故选A.5．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则 ( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0 答案：D解析：因为a ，b >0且a ≠1，b ≠1，所以当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，则b >a >1，所以(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，即00，(b －1)(b －a )>0.故选D.6．(2020全国I 卷.理)若242log 42log a b a b +=+，则( )A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <答案：B解析：方法二（函数单调性法）设f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )为增函数，因为2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b所以f (a )—f (2b )＝2a ＋log 2a —(22b ＋log 22b )＝22b ＋log 2b —(22b ＋log 22b )＝21log 102==-<，所以f (a )﹤f (2b )，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误.故选：B ．方法二（放缩法）由指数与对数运算可得：22422log 42log =2log a b b a b b+=++，又因为2222222log 2log 221log b b b b b b +<+=++，即2222log 2log 2a b a b+<+令2()2log x f x x=+，由指数函数单调性可得()f x 在()0+∞，内单调递增，由()(2)f a f b <可得：2a b <，所以选B ．7．【多选题】(2020·枣庄市第三中学高三月考)如下的四个命题中真命题为( )A ．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝7－4a ＋3a 2，c －b ＝5－4a ＋a 2，则c >b >aB ．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是(－π，π)C ．如果a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，那么c 0，所以c >b.再由b ＋c ＝3a 2－4a ＋7①， c －b ＝a 2－4a ＋5②，①－②得，2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. 因为1＋a 2－a ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21a 2＋34，所以b ＝1＋a 2>a ，所以c >b >a ，故A 正确；对于B ，因为－π2<β<π2，所以－π2<－β<π2，所以－π<α－β<π，又α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故B 错误；对于C ，由y ＝ln x x ，得y ′＝1－ln x x 2，当x >e 时，1－ln x <0，所以y ＝ln xx 在(e ，＋∞)上单调递减．因为e <3<4<5，所以ln33>ln44>ln55，所以c B ．lg lg 0a b +< C ．22a c +> D ．22a c +> 答案：BC .解析：当a ＝23，b ＝1，c ＝32，可得A 、D 均不正确．根据0a b c <<<，且1abc =，可得a ＜1，c ＞1，ab ＜1，bc ＞1，故lg lg lg 0a b ab +=<，2222112a c c c bc c+=+>+>，故选BC ． 9．(2019·哈尔滨市呼兰区第一中学高一期中)已知α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，β∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2，则α－β2的取值范围是________．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,2ππ 解析：因为α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，β∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2，所以β2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，－β2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,2ππ，因此α－β2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,2ππ.故填⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,2ππ.10．(经典题)若1a <1b<0．给出下列不等式：①abb a 11<+； ②0||>+b a ； ③bb a a 11->-； ④ln a 2>lnb 2．其中正确的不等式为________．答案：①③．解析：因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b|>|a|，所以0||>+b a ，ln a 2<lnb 2，由a >b ，—1a >—1b ，可推出b b a a 11->-，显然有abb a 101<<+.故填①③． 11．已知0<a 1a ； ②⎪⎭⎫ ⎝⎛21a <⎪⎭⎫⎝⎛21b ； ③(lg a )2<(lg b )2； ④1lg a >1lg b ．其中一定成立的不等式的序号为________．答案：④解析：因为0<a ⎪⎭⎫⎝⎛21b ，(lg a )2>(lg b )2，lg a <lgb <0，由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b，因此只有④正确．12．(2010江苏高考.12题)设实数x ,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是．答案：27解析：考查不等式的基本性质，等价转化思想22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是2713．【易错题】已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解法一：由题意可设，f (x )＝ax 2+bx ，设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围是[5，10]．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围是[5，10]．14．(1)设a >b >0，m >0，n >0，比较b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n的大小；(2)若0<a b >0，m >0，n >0，所以b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）<0，所以b a 1且2a <1，所以a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21a 2＋12<12，即a <2ab <12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b－1)，又2b －1>0，b －1<0，所以a 2＋b 2－b <0，所以a 2＋b 2<b.综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b.15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得，y ＝100⎪⎭⎫ ⎝⎛-101x ·100⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 5081 因为售价不能低于成本价，所以100⎪⎭⎫⎝⎛-101x －80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134所以x 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21．16．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R )．解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0. (1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1＜0. 因为方程(x －2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1＝0的两个根分别是2，1a ，所以：当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ax x 12；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x ax .(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}． (3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧><21x ax x 或.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><21x a x x 或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ax x 12；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x ax附加题甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1< v 2. 甲所用的时间t 甲＝s 2 v 1＋s2 v 2＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2，乙所用的时间t 乙满足：t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2＝s ，则t 乙＝2sv 1＋v 2，所以t 甲t 乙＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2·v 1＋v 22s ＝（v 1＋v 2）24 v 1 v 2＝v 21＋v 22＋2v 1 v 24 v 1 v 2>4 v 1 v 24 v 1 v 2＝1.因为t 甲>0，t 乙>0，所以t甲>t乙，即乙先到教室．。

《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.2 - 一元二次不等式 - 教师版

2.2 一元二次不等式1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是．(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的．(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}③4．分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0⇔f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>a b x x | ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a b x x | a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边中间 (4)①{x |x ＜x 1或x ＞x 2} ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2| ③1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞) D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,∪[1，＋∞) 答案：A解析：由不等式x －12x ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，（x －1）（2x ＋1）≤0，解得－12＜x ≤1，故原不等式的解集为⎥⎦⎤⎝⎛-1,21.故选A. 2．(2019·河北八所重点中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为 ( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231|x x B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<231|x x x 或 D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案：C解析：由2x 2－x －3＞0，得(x ＋1)(2x －3)＞0，解得x >32或x <－1.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>123|x x x 或.故选C.3．(2018石家庄模拟改编)若不等式(1－a )x 2－4x＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211|x xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<211|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-411|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<411|x x x 或答案：B解析：由题意知1－a ＜0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0即为2x 2＋3x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞－12.所以所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<211|x x x 或.故选B.4．已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是________．答案：[－4，＋∞)解析：依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，则函数g (x )的值域取遍一切正实数，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4.故填[－4，＋∞)． 5．已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝________．答案：－ 2.解析：解法一：由题意得，x 1＋x 2＝a ①，x 1x 2＝－6a 2 ②，①2－4×②可得(x 2－x 1)2＝25a 2，又x 2－x 1＝52，所以25a 2＝50，解得a ＝±2，因为a <0，所以a ＝－2.解法二：关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)可化为(x ＋2a )(x －3a )>0，因为a <0，所以－2a >3a ，所以解不等式得x >－2a 或x <3a ，所以x 1＝3a ，x 2＝－2a.又x 2－x 1＝52，所以－5a ＝52，所以a ＝－2．故填－ 2.题型一一元二次不等式的解法 1．解下列不等式．(1)x 2－7x ＋12＞0； (2)x 2－2x ＋1＜0. 解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}． (2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅. 2．(2018昆明模拟)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0(a ∈R )，即(ax －2)(x ＋1)≥0(a ∈R )．1°当a ＝0时，原不等式可化简为x ＋1≤0，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；2°当a ≠0时，原不等式的解集由2a 和－1的大小决定，故当a >0时，2a >－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤a x x x 21|或；当－2<a <0时，2a <－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12|x a x ；当a ＝－2时，2a＝－1，所以原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x x 21|. 综上，不等式的解集为：当a ＝0时，{x |x ≤－1}；当a >0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤a x x x 21|或；当－2<a <0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12|x a x ；当a ＝－2时，{x |x ＝－1}；当a <－2时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-a x x 21|. [听课笔记]1．解一元二次不等式的四个步骤：一化：将二次项系数化为大于零的标准形式；二判：计算相应方程的判别式；三求：求出相应的一元二次方程的根，或结合判别式说明方程有没有实数根；四写：根据“大于取两边、小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．巩固迁移1 1．解下列不等式．(1)x 2－2x ＋3≥0； (2)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (2)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .2．若关于x 的不等式ax 2－x ＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围是________．解：依题意知，问题等价于ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，当a ＝0时，－x ≥0不恒成立；当a ≠0时，要使ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，1－8a 2≤0，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，42.故填⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，42. 3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0．解：(1)依题意知，x ＝－1，x ＝3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，代入方程有⎩⎨⎧=++=+-023802b a b ，解得⎩⎨⎧=-=21b a(2)当b ＝2时，－x ≥0不恒成立；当a ≠0时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，因为a >0，所以，f (x )>0可化为(x －aa 2-)(x ＋1)>0当aa 2-≥—1，即a ≥1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<a a x x x 21|或当aa 2-<—1，即0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<12|x a a x x 或题型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系1．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121|x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 答案：A解析：由题意得⎩⎨⎧5a ＝－3－2，ba ＝－3×（－2），解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x －1>0，即(3x ＋1)·(2x ＋1)<0，所以解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121|x x ．故选A. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞,－3)∪(2,＋∞)时，f (x )<0．当x ∈(－3,2)时，f (x )>0．(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解：(1)依题意知，－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，则f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x 2＋754，函数f (x )的图象关于直线x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]． (2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0即为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，即c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛-∞-1225,. [听课笔记]1．已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．2．三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，不少题目都与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．巩固迁移21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，则实数m 的取值范围是________．答案：⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,解析：不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 的解集非空只需要g (x )max ≥m.而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，g (x )max ＝g (－1)＝－1－1－3＝－5； ②当－1<x <2时，g (x )max ＝g ⎪⎭⎫ ⎝⎛23＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛232＋3×32－1＝54；③当x ≥2时，g (x )max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1，综上，g (x )max ＝54，所以m ≤54，即实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,故填⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45,.2．(2019·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(—∞,1)∪(2,+∞)B ．(—1,2)C ．(1,2)D ．(—∞,—1)∪(2,+∞) 答案：C 解析：不等式3．已知不等式ax 2－3x ＋6＞0的解集为{x |b <x <1，b ＜1}．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>0的解集为{x |b <x <1}，所以方程ax 2－3x ＋6＝0的根为x 1＝1，x 2＝b ，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，b ＝6a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.(2)由(Ⅰ)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，所以原不等式可化为－3x 2＋(3c ＋2)x －2c <0，即(3x －2)(x －c )>0.因为原不等式对应的方程(3x －2)(x －c )＝0的根为x 1＝23，x 2＝c ，所以原不等式的解集由23和c 的大小决定．当c <23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><32|x c x x 或；当c ＝23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32|x x ；当c >23时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><c x x x 或32|.题型三分式不等式的解法 1．解下列不等式．(1)x ＋12x －1<0；(2)1－x 3x ＋5≥0；(3)x －1x ＋2>1. 解：(1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，所以－1<x <12，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211|x x . (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0，所以⎩⎨⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-135|x x . (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，即x －1－（x ＋2）x ＋2>0，所以－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝，则A ∩B ＝( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．(－1，e ) D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝，故A ∩B ＝⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1.故选B. [听课笔记]求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解， (1)f （x ）g （x ）﹥0(﹤0)⇔f (x ).g (x )﹥0(﹤0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧≠≤≥0)()0(0)().(x g x g x f ．巩固迁移31．不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．答案：{x |x ＞－12或x ≤－2}解析：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.方法一：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}．方法二：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x |x ＞－12或x ≤－2}．2．(2019.江西省重点中学协作体联考)已知命题p ：A ＝{x |xx --12≤0}，命题q ：B ＝{x |x —a <0}，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,+∞) B ．[2,+∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案：D解析：由题意得A ＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |x <a }，因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所有B A ，利用数轴(如图)，可得a ≤1，故选D.3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－2或x ＞3}B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3} 答案：C解析：x 2－x －6x －1＞0⇔（x －3）（x ＋2）x －1＞0⇔(x －3)(x ＋2)·(x －1)>0，由穿针引线法得原不等式的解集是{x |－2<x <1或x >3}．故选C. 题型四和一元二次不等式有关的恒成立问题命题角度1 任意性与存在性 1．设函数f (x )＝x 2－2ax ＋1． (1)若f (x )≥0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若∃x ∈[1，2]，f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )＝x 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立 ∴△＝442-a ≤0，解得—4≤a ≤4∴实数a 的取值范围为[—4,4] (2)由题意得∃x ∈[1，2]，x 2－2ax ＋1≥2成立 ∴∃x ∈[1，2]，2a ≤x －x1成立令g (x )＝x －x1，x ∈[1，2]，因为g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (2)＝23 ∴2a ≤23，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围为(—∞,3] 命题角度2 给定区间上的任意性问题2．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是．答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22 解析：要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意的x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎨⎧<+<0)1(0)(m f m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-+++<-01)1()1(01222m m m m 即可，解得22-<x <0.3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4，0]．(2)方法一：要使x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，需m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34m －6<0，x ∈[1，3]．令g (x )＝m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34m －6，x ∈[1，3]．则需g (x )max <0.当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6，所以7m －6<0，解得m <67，所以0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数．所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，解得m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-76,.方法二：f (x )<－m ＋5恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立，因为x 2－x ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1，在x ∈[1，3]上恒成立．又函数y ＝6x 2－x ＋1＝432162+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-76,.命题角度3 给定参数范围的恒成立问题4．已知a ∈[—1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(—∞,2)∪(3,+∞)B ．(—∞,1)∪(2,+∞)C ．(—∞,1)∪(3,+∞)D ．(1，3) 答案：C解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，令f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a+x 2－4x ＋4要使f (a )>0对于任意的a ∈[—1，1]恒成立，只需⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-02306522x x x x 即可，解得x <1或x >3，故选C. [听课笔记]1．不等式ax 2＋bx ＋c ﹥0的解集为x ∈R (或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；2．不等式ax 2＋bx ＋c ﹥0的解集为x ∈R (或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0；3．处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f (x )≤a 恒成立⇔a ≥f (x )max ；f (x )≥a 恒成立⇔a ≤f (x )min .4．已知参数m ∈[a,b]的不等式恒成立问题，首先要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．巩固迁移41．(山东临沂罗庄区2019－2020高二上期中)若关于x 的不等式log 2(ax 2－2x ＋3)＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 解析：ax 2－2x ＋3＞1恒成立，即ax 2－2x ＋2＞0恒成立．当a ＝0时，－2x ＋2＞0不恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－8a ＜0，得a ＞12．故填⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21. 2．(2018沈阳模拟)对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x的取值范围是()A．(1，3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1，2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案：B解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由g(a)＞0在a∈[－1，1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧g（1）＝x2－3x＋2＞0，g（－1）＝x2－5x＋6＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＜1或x＞2，x＜2或x＞3，所以x＜1或x＞3，所以x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选B.3．【经典题】函数f(x)＝x2＋ax＋3．(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[—2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；解：(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足题意，Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2②如图b，当g(x)的图象与x轴有交点，且在x∈[－2，＋∞)，g(x)≥0时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(22gax，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a aa a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥⇔37462a a a a 或，解得a ∈∅ ③如图c ，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--032422)3(42a a aa a ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥⇔7462a a a a 或解得，－7≤a ≤－6 综合①②③，得a ∈[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立，只需⎩⎨⎧≥≥0)6(0)4(h h ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥++03603422x x x x解得x ≤63--或x ≥63+-所以实数x 的取值范围是(－∞,63--]∪[63+-，＋∞)1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．1．(2018·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln （－x 2＋4x －3）的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1，3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪(2，3) 答案：D解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.2．(2019·扬州市邗江区蒋王中学高一月考)已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 B ．(－12，0] C ．(－12，0) D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31，答案：B解析：由题意可知ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当a ≠0时，要使ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，只需Δ＝a 2－4a ×(－3)<0，解得－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围是(－12，0]．故选B. 3．不等式|x |(1－2x )>0的解集为 ( )A ．(－∞，0)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 答案：A解析：当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.故选A.4．(2019·天津市新华中学高考模拟)已知p ：1a >14，q ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：对于p ：1a ＞14⇔4－a4a ＞0⇔4a (a －4)＜0，所以a 的取值范围为(0，4)；对于q ：a ＝0时，1＞0，显然成立，a ≠0时，只需a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，解得a ∈(0，4)．综上，a ∈[0，4)．故p 成立是q 成立的充分不必要条件．故选A.5．(2019·山东章丘四中高二月考)关于x 的不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(－∞，4) D.(－∞，4] 答案：B解析：由不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，得a ≤x ＋4x 在区间[1，2]有解．令f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，则f (x )max ＝f (1)＝5，所以有a ≤5，即实数a 的取值范围为(－∞，5]．故选B.6．(2018四川模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(4，5) B ．(－3，－2)∪(4，5) C ．(4，5] D ．[－3，－2)∪(4，5] 答案：D解析：原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，其对应的一元二次方程的根为x 1＝a ，x 2＝1. 因为x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有3个整数解，所以当a <1时，原不等式的解集为(a ，1)，此时的整数解为－2，－1，0，所以－3≤a <－2；当a ＝1时，原不等式的解集为空集，不满足题意，舍去；当a >1时，原不等式的解集为(1，a )，此时的整数解为2，3，4，所以4<a ≤5.综上，a 的取值范围为[－3，－2)∪(4，5]．故选D.7．(2018皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对于任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5,+∞)C ．(－∞，－1]∪[4,+∞)D ．[－2,5]答案：A解析：因为不等式x 2－2x ＋5≥(x －1)2＋4，所(x 2－2x ＋5)min ＝4，则4≥a 2－3a 解得－1≤x ≤4．故选A.8．【多选题】(2019·海南枫叶国际学校高一期中)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则能使不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 成立的x 的集合为( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |x <0} C ．{x |x >3} D ．{x |－2<x <1} 答案：BC解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，所以－1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，所以－b a ＝－1＋2＝1，ca ＝－2，所以b ＝－a ，c ＝－2a ，由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax ，得a (x 2＋1)－a (x －1)－2a <2ax ，得ax 2－3ax <0，因为a <0，所以x 2－3x >0，所以x <0或x >3，所以不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 的解集为{x |x <0或x >3}．故选BC. 9．(2019·河北高考模拟)在R 上定义运算⊗：xy ＝x (1－y )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案：⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 解析：由题意，可知不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.故填⎪⎭⎫⎝⎛-23,21.10．若对任意的实数x ，不等式x 2＋mx －12x 2－2x ＋3＜1都成立，则实数m 的取值范围是________．答案：(－6，2)解析：因为2x 2－2x ＋3＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 2＋52>0恒成立，所以原不等式可化为x 2＋mx －1<2x 2－2x ＋3，即x 2－(m ＋2)x ＋4>0恒成立，所以Δ＝[－(m ＋2)]2－4×4<0，解得－6<m <2，所以实数m 的取值范围为(－6，2)．故填(－6，2)．11．已知函数f (x )＝2,0,,0,≥⎧⎨<⎩x x x x 那么关于x 的不等式f (x 2)>f (3—2x )的解集是．答案：(-∞,-3)∪(1,3) 解析：由题意得23-20,3-2≥⎧⎨>⎩x x x 或223-20,(3-2),<⎧⎨>⎩x x x 解得x <—3或1<x ≤32或32<x <3，即x ∈(-∞,-3)∪(1,3).12．(2014.江苏高考卷)已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．答案0⎛⎫ ⎪⎝⎭解析由题意得⎩⎨⎧<+<0)1(0)(m f m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-+++<-+01)1()1(01.22m m m m m m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-0232222m m ，所以022<<-m 13．(2018·浙江高考模拟)已知函数f (x )＝ax 2－3ax ＋a 2－3.(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |1﹤x ﹤b ，b ﹥1}，求实数a 与b 的值；(2)若a ﹤0，且不等式f (x )<4对任意x ∈[－3，3]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为不等式f (x )﹤0的解集是{x |1﹤x ﹤b }，所以1，b 为方程ax 2－3ax ＋a 2－3＝0的两根，且a ﹥0，因此⎩⎨⎧1＋b ＝3，b ＝a 2－3a ，因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝3.(2)因为a <0，所以不等式f (x )<4可化为x 2－3x >7－a 2a. 因为当x ∈[]－3，3时，x 2－3x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x 2－94≥－94，所以－94>7－a 2a ，因为a <0，解得－74<a <0.故实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-0,47. 14．(2019·林芝一中高三月考)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域．解：(1)依题意，当x ∈R 时，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0恒成立．当m ＝0时，8≥0，显然恒成立；当m ≠0时，⎩⎨⎧m ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0.解得0＜m ≤1.故实数m 的取值范围为{m |0≤m ≤1}． (2)因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，且m ≥0，所以y min ＝8－8m.因此，f (m )＝8－8m (0≤m ≤1)，易得0≤8－8m ≤8.所以函数f (m )的值域为[0，22]． 15．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x ，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x ，知a <0，又⎪⎭⎫⎝⎛-31×2＝c a <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，即b a ＝－53. 又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213x x 16．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值； (2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解：(1)由题意，a ≠0，则f (x )＝a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x 212－1＋4a 24a .当a >0时，不符合题意；当a <0时，f (x )有最大值，则－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18. (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，①当a ＝0时，解集为{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11>0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1或x <－1－1a ； ③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅； ④当－12<a <0时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－1－1a ； ⑤当a <－12时，(x －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛++a x 11<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1－1a <x <1. 附加题已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c.(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛a c 2＋8·c a ＋4，由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．所以|m －n |>13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．。

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2.3 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．2．几个重要不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)b a ＋ab ≥ (a ，b 同号)．(3)ab 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R)．(5)则ba112+≤ab ≤a ＋b2≤222b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题已知x ﹥0，y ﹥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当时，xy 有 (简记：和定积最大)．自查自纠 1．(2)a ＝b2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 241．下列说法正确的是 ( )A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2abB ．函数y ＝x ＋1x的最小值是2C ．函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充分不必要条件答案：D.解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π时，0<cos x <1，f (x )＝cos x ＋4cos x 无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需xy>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D.2．(2020.烟台统考)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．xx y 1+= B ．)0(2sin 4sin π<<-+=x x x y ；C ．4522++=x x y D ．24-+=xxe e y ；答案：D3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为 ( )A ．12B ．43 C ．－1 D ．0答案：D.解析：因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为0.故选D.4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1x (x >0)取得最小值．答案：12.解析：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x(x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12. 5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：－2.解析：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x ＋y ，所以x ＋y ≤－2.所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.题型一利用基本不等式求最值1．已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．答案：116解析：解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116.解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎪⎭⎫ ⎝⎛+24b a 2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116.2．已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案：1解析：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故填1.3．(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．答案：8解析：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a ＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+a b 12＝4＋4a b ＋b a ≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝ba，即b ＝2a ＝4时等号成立．另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得a ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8. [听课笔记]利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．巩固迁移11．(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立)．故选B.2．设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．答案：92解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2)23(2x x 2＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎪⎭⎫ ⎝⎛230，，所以函数y ＝4x (3－2x )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<230x 的最大值为92.故填92.3．(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．答案：4解析：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 11·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号．故填4.题型二利用基本不等式求参数的值或范围1．(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意x >0，都有4xx 2＋x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，34解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x ＋x ＋1≤42＋1＝43，即4x x 2＋x ＋1的最大值为43，即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，34.故填⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，34. 2．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.故填36. [听课笔记]求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max . 巩固迁移2 1．已知不等式(x ＋y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y a x 1≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：因为(x ＋y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y a x 1＝1＋ax y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝y x时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a －2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4，所以正实数a 的最小值是4.故选B.2．(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 答案：B.解析：由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，所以k ＋1<22，即k <22－1.故选B. 题型三利用基本不等式解决实际问题1．(南京市2018届高三9月学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2． (1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？解：(1)因为t 1＝9000x ， t 2＝30003(100－x )＝1000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100－x ，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}．(2)f (x )＝1000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10[10＋9(100－x )x ＋ x100－x]．因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9(100－x )x ＞0，x100－x ＞0，所以9(100－x )x ＋ x100－x≥29(100－x )x x100－x＝6，当且仅当9(100－x )x ＝x100－x ，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．[听课笔记]建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．巩固迁移31．(2019·阜新市高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元．为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．答案：20解析：由题意，总的费用y ＝400x ×4＋4x ＝4⎪⎭⎫⎝⎛+x x 400≥4×2400x×x ＝160，当x ＝20时取“＝”.故填20.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m 2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m 宽的绿化，绿化造价为200元/m 2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m 2.设矩形的长为x (m)，总造价为y (元)．(1)将y 表示为关于x 的函数；(2)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)由矩形的长为x ，得矩形的宽为200x，则中间区域的长为x －4，宽为200x －4，则定义域为(4，50)，则y ＝100⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--4200)4(x x ＋200[200－(x －4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-4200x ]，整理得y ＝18 400＋400⎪⎭⎫⎝⎛+x x 200，x ∈(4，50)． (2)x ＋200x≥2x ·200x＝202，当且仅当x ＝200x时取等号，即x ＝102∈(4，50)．所以当x ＝10 2 m 时，总造价最低，且为18 400＋8 0002元．1．基本不等式的变式和推广①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22； ②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤14(a ＋b )2； ④⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a 2≤a 2＋b 22； ⑤(a ＋b )2≥4ab ； ⑥ab ≥21a ＋1b ；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ； ⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33，等等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．故选A.2．(2019·河北高三月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b 满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为 ( )A ．6B ．8C ．12D ．24 答案：C 解析：因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以定义域为R ，因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )，所以f (x )＝－f (－x )，则f (x )为奇函数．又x ＞0时，f (x )＝log 21x 2＋1＋x单调递减，f (0)＝0，f (x )为奇函数，所以f (x )为减函数，因为f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝－f (3b －1)＝f (1－3b )，则a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 13(a ＋3b )＝9b a ＋ab ＋6，因为9b a ＋a b ≥29b a ×a b ＝6，所以3a ＋1b ≥12，故选C.3．(2020·德州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形如图：AB 是半圆O 的直径，点P 在半圆圆周上，PQ ⊥AB 于点Q ，设AQ ＝a ，BQ ＝b ，直接比较线段OP 和线段PQ 的长度可以完成的“无字证明”为 ( ) A ．abm a m b >++(b ﹥a ﹥0，m ﹥0) B ．22b a +≥)(22b a +(a ﹥0，b ﹥0) C ．ba ab+2≤ab (a ﹥0，b ﹥0) D ．2ba +≥ab (a ﹥0，b ﹥0) 答案：D解析：．此题本质，实为基本不等式的几何证明法，故选A.4．(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞) 答案：D解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 91＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ·9ab＝16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号．依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6≥－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.故选D.5．(2019·宜春昌黎实验学校高一月考)关于x 的方程9x ＋(a －2)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－2]D ．[－4，＋∞) 答案：C解析：因为9x ＋(a －2)3x ＋4＝0，所以(a －2)3x ＝－(9x ＋4)，所以a －2＝－9x ＋43x ＝－⎪⎭⎫⎝⎛+x x 343≤－4(当且仅当3x ＝43x ，即x ＝log 32时，等号成立)，故a ≤－2，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．故选C.6．(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为 ( )A ．2B ．2＋ 2C ．4D ．2＋2 2 答案：D解析：因为△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，所以12(a ＋b ＋c )×m ＝m ，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2ca ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋22.故选D.7．【多选题】(2020·海南联考改编)下列说法错误的是 ( )A ．若a ，b ∈R ，则baa b +≥b a a b .2＝2B ．若a ﹤0，则aa 4+≥—2a a 4.＝—4C ．若a ，b ∈(0,+∞)，则lga ＋lgb ≥2lga.lgbD ．若a ∈R ，则2a ＋2—a ≥a a -2.22＝2 答案：ABC.8．【多选题】(2019·海南东方市民族中学高一期中)已知a ，b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是 ( ) A ．a ＋b ＋1ab ≥3 B ．(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 11≥4 C ．a 2＋b 2ab ≥a ＋b D ．2aba ＋b ≥ab答案：AD.解析：对于A ，a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22<3，当且仅当a ＝b ＝22时取等号；对于B ，(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 11＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b 时取等号；对于C ，a 2＋b 2ab ≥（a ＋b ）22ab ≥（a ＋b ）2a ＋b ＝a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号；对于D ，当a ＝12，b ＝13时，2aba ＋b ＝1356＝215，ab ＝16，16>215，此时2aba ＋b<ab.当a ＝b ＝1时，22≥1成立．综上知，选项A ，D 中的不等式不一定成立．故选AD.9．(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________．答案：3解析：因为a 3＝7，a 9＝19，所以d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++19)1(n n 12×2（n ＋1）×9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.故填3. 10．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为________．答案：16 解析：32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，因为x ，y 均为正实数，所以xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故填16.11．(2019·大连一模)若b >a >1且3log a b ＋6log b a ＝11，则a 3＋2b —1的最小值是________．答案：22＋1 解析：12．(2019·武汉期末)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，a 1＋b2的最小值为________．答案：2 94解析：13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋25y的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy.因为2x ＋5y ＝20，所以210xy≤20，xy ≤10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.则当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋25y ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 521·2x ＋5y 20＝120⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x x y 5454≥120⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 54.524＝25，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝4x 5y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．所以1x ＋25y 的最小值为25. 14．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． (2)方法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．方法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 28·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．15．(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元． (1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室； ②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设n 年获取纯利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，所以n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －81－n 2n ＝30－81n －n ＝30－⎪⎭⎫⎝⎛+n n 81≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①. 附加题1．(宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b 的最小值为________．解：曲线C 可整理为：(x －2)2＋y 2＝25，则曲线C 表示圆心为(2，0)，半径为5的圆，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，设d ＝（x ＋6）2＋（y －6）2，则d 表示圆C 上的点到(－6，6)的距离，则d max ＝（2＋6）2＋（0－6）2＋5＝15，所以t max ＝152－222－a ＝b ，整理得，a ＋1＋b ＝4.所以1a ＋1＋1b ＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a 111[(a ＋1)＋b ]＝14×⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++1111b a a b . 又ba ＋1＋a ＋1b ≥2b a ＋1·a ＋1b ＝2(当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，即a ＝1，b ＝2时取等号)．所以1a ＋1＋1b ≥14×4＝1，即1a ＋1＋1b的最小值为1.故填1.2．(2019·上海高三单元测试)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成：①固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元；②生产所需的直接总成本50x ＋1100x 2.(1)该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，q ＝a ＋xb (a ，b ∈R )．若当产量为15 000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本费用)解：(1)由题意知，生产成本为p ＝1 000 000＋50x ＋1100x 2，p x ＝x 100＋1 000 000x＋50≥2x 100·1 000 000x＋50＝250，当且仅当x 100＝1 000 000x，即x ＝10 000时，取等号．故该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，此时每套的成本费用为250元．(2)设利润为s ，则 s ＝qx －p ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+b x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+b x a －⎪⎭⎫⎝⎛++21001501000000x x ＝⎪⎭⎫⎝⎛-10011b x 2＋(a －50)x －1 000 000，根据题意，有1b －1100<0，a ＋15 000b ＝300，且－⎪⎭⎫ ⎝⎛--10011250b a ＝15 000，解得a ＝250，b ＝300.。