高二数学基本不等式训练题
高二数学专项练习：基本不等式训练题
高二数学专项练习：基本不等式训练题为了帮助学生们更好地学习高中数学，查字典数学网精心为大家搜集整理了高二数学专项练习：基本不等式训练题，希望对大家的数学学习有所帮助！高二数学专项练习：基本不等式训练题1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x?4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x??－4x?＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－x D．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3 B．－3C．62 D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100C．50 D．20解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2ba?ab＝2；②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgx?lgy；③∵aR，a0，4a＋a 24a?a＝4；④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2?－xy??－yx?＝－2.其中正确的推导过程为()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24a?a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x?2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y2x?4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 ?x＋1??4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22?x－1??9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)?(1b －1)?(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x?225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
高中数学专题7-1 基本不等式和对钩函数(解析版)
4
4
无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：
f (x) 4x(3 2x) 22x(3 2x) 2( 2x 3 2x)2 9 ；
2
2
再如：f (x) 4x 2 1 直接使用基本不等式，则 f (x) 4x 2 1 2 (4x 2) 1 ，
4x 5
4x 5
4x 5
发现积不定，则需要凑配为积定：
【答案】1
【详解】因为 a 1，所以 a 2 a 1 2 1 2 a 1 2 1 2 2 1，
a 1
a 1
a 1
当且仅当 a 1 2 时取等号．故 m 2 2 1， n 2 1，所以， 2n m 1． 故答案为：1. 2．（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练习）（ 若 x 2 ，求： x 2 的最小值.
【答案】(1) 9
【详解】（1）由题得 y 4x 1 1 4(x 1) 1 5，
x 1
x 1
因为 x 1，所以 x 1 0 ，
所以 4(x 1) 1 5 2 4(x 1) 1 5 9 ，
x 1
x 1
当且仅当 4(x 1) 1 ，即 x 3 时取得等号，
x 1
2
所以 y 4x 1 1 的最小值为 9 . x 1
y
4x2
9 x2
2
4x2
9 x2
12 ，
当且仅当 4x2
9 x2
，即 x
6 时取等号，
2
所以 ymin 12 ， 故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若 x 0 ，则 x 1 1的最小 x
值是（ ）
A．0 【答案】B
B．1
C． 3 2
高二数学不等式的性质试题答案及解析
高二数学不等式的性质试题答案及解析1.根据条件：满足，且，有如下推理：（1）（2） (3) (4) 其中正确的是（）A．（1）（2）B．(3) (4)C．（1） (3)D．（2） (4)【答案】B【解析】由，因为，所以，对于的值可正可负也可为0，对于（1）错误，因为，而，所以；对于（2）错误，因为，从而；对于（3）正确，因为，当时，，当时，由；对于（4）正确，因为；综上可知，选B．【考点】不等式的性质．2.设.则下列不等式一定成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由得不到，故A错误.利用基本不等式得，故B错误；令a=-1,b=-1得，即，故C错误；，，故选D.【考点】不等式的基本性质；基本不等式。
3.若，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，则均正确，而故D不正确【考点】不等式的性质4.如果关于x的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式. 如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则 .【答案】【解析】由题意得：不等式与为对偶不等式.，因此与同解，即与同解，所以【考点】不等式解集5.设，则下列不等式中一定成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A．故A正确；B中，故B不正确，D中，故D不正确；C中当，故C不正确【考点】不等式的性质6.已知,则下列推证中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A 当时不成立；B 当时不成立；D 当均为负值时，不成立.【考点】本题主要考查不等式的性质.7.已知，则下列说法正确的是 ( )A．若,则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】当时，B和D均不正确。
当时，若则。
故C不正确。
由不等式的性质可知A正确。
【考点】不等式的性质。
8.设，现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确命题的序号为 .【答案】①，④【解析】因为，现有下列命题：①若即，又.所以成立，即①式成立；因为，令.所以.所以②式不成立；因为令则所以不成立.故③式不成立；因为所以又因为所以.故④式成立.【考点】1.不等式的性质.2.含绝对值的运算.3.含根式的运算.9.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[－2，＋）B．（－，－2）C．[－2，2]D．[0，＋）【答案】A【解析】对一切实数x,恒成立.当时, 恒成立.当时,因为的最大值为-2, 故【考点】恒成立问题,及参数分离法.10.若，，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于>1，，<0，0<<1那么可知其大小关系为，故选A.【考点】对数函数与指数函数的值域点评：解决的关键是根据指数函数与对数函数性质来求解范围，比较大小，属于基础题。
高二数学不等式的性质试题
高二数学不等式的性质试题1.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C．sin x＞sin y D．x3＞y3【答案】D【解析】函数y=a x当0＜a＜1时单调递减，所以x>y;又因为函数y= x3 在R上单调递增，所以x3＞y3也可以用特殊值法．【考点】函数的单调性．2.函数在恒为正，则实数的范围是．【答案】【解析】注意到，所以函数在恒为正显然不可能；或，故应填入：．【考点】不等式的恒成立．3.设，，，（e是自然对数的底数），则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由于,所以;又因为，从而有，故选D．【考点】比较大小．4.已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知满足且得到:,所以A、B、D一定成立，故选C.【考点】不等式的基本性质.5.已知且，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A．当时不成立，同理B．、 C．也不成立，由指数函数的单调性， D.成立【考点】不等式，指数函数的单调性6.已知,则下列推证中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A 当时不成立；B 当时不成立；D 当均为负值时，不成立.【考点】本题主要考查不等式的性质.7.已知，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中当时不等式不成立，A错；B中当时，不等式不成立，B错；C中对于，因为在范围内是增函数，当时，不等式成立，所以C正确；D中要使不等式成立需，故选C．【考点】不等式的性质；指数函数与对数函数的单调性．8.如果, 那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式的性质:故选D【考点】不等式的性质。
9.下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项A中忽略了当的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了的情况，故C错；所以正确答案是D.【考点】不等式的基本性质.10.下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项A中忽略了当的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了的情况，故C错；所以正确答案是D.【考点】不等式的基本性质.11.若不等式与同时成立，则必有( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为两个不等式同时成立，利用2个等价关系可以得到a与b的关系.又因为所以.故答案为C【考点】不等式的性质12.若a、b、c，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，因此.A答案中或为0则不成立，B答案中要求，D答案中为0则不成立.【考点】不等式的性质.13.下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】不等式基本性质中，与乘法有关的性质，不等式两边都要是非负数，才可能得出相应的结论，如果出现负数，结论不一定成立．如A中为负数，结论就可能不成立：，但；B中如，但，C中，但，故A、B、C都是错误的，排除A、B、C，只能选D．实际上D中条件不等式右边的是，，不等式两边均非负，可同时平方得．【考点】不等式的基本性质．14.已知，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，，即，故选C。
人教版高中数学高二必修五 3.4.1利用基本不等式求最值
一、选择题1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥4xyxy ＝4当且仅当x ＝y 时符号成立．答案：D2．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：C3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.答案：C4．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是() A.72 B ．4C.92 D ．5解析：∵a ＋b ＝2，∴y ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2) ＝a ＋b 2a ＋4a ＋4b 2b ＝12＋b 2a ＋2a b＋2 ≥52＋2b 2a ·2a b ＝52＋2＝92当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立． 答案：C二、填空题5．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒定过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________． 解析：由题意得A (－2，－1)，∵A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1.又mn >0，∴m >0，n >0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2n m ·4m n ＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立． 答案：86．已知x ，y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为________． 解析：x ＋1x ＋y ＋1y ＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y＝3＋(y x ＋x y )≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立． 答案：57．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为______． 解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：98．(2011·四川高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋ xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤(x ＋y 2)2＋1. ∴34(x ＋y )2≤1. ∴x ＋y ≤23 3.当且仅当x ＝y ＝33时等号成立． 答案：233 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值． 解：(1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y 时等号成立，即y 2＝4x 2.∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43. ∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值． (3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0.∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤－2 －2(x ＋2)·－1x ＋2－4＝－22－4.当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t ，由f (t )＝t ＋1t (t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52， 即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52. (3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立 ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]。
高二数学不等式试题答案及解析
高二数学不等式试题答案及解析1.若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集为，则实数a的取值范围为___________.【答案】(－∞，3)【解析】因为关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集为，那么说明a小于分段函数的最小值3，故可知实数a的取值范围为(－∞，3)2.解关于的不等式：【答案】当或时，不等式解集是：;当或时，原不等式解集是：；当时，原不等式解集是：【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的求解的综合运用。
由于二次方程有根，但是根的大小不定，因此要对于根的情况，对判别式进行分类讨论，然后得到不同情况下的解集。
3.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查一元二次不等式解法及简单高次不等式解法。
解：即，其解集为，故选A。
4.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，所以==，故选B。
5.已知集合，，则集合=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】主要考查集合的运算及一元二次不等式解法。
解：因为，，所以=，故选C。
6.不等式的解集为（）A．B．R C．D．【答案】A【解析】主要考查一元二次不等式解法。
解：因为判别式1－8<0,所以不等式的解集为，故选A。
7.若，是方程的两根，则的最小值是（）A．B．18C．2D．不存在【答案】C【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次不等式解法。
解：因为，是方程的两根，所以，且从而====，，所以时，取到最小值是2.故选C。
8.已知方程无正根，求实数的取值范围．【答案】m＞-4【解析】主要考查一元二次不等式解法。
解：因为方程无正根，所以或，解得m＞-4。
9.若，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查不等关系与基本不等式。
解：取特殊值进行检验，如令a=0，可排除B,D；令a=－3可排除C，故选A。
10.若且，则下列四个数中最大的是（）A．B．C．2ab D．a【答案】B【解析】主要考查不等关系与基本不等式。
高二数学基本不等式试题答案及解析
高二数学基本不等式试题答案及解析1.已知且，则的最大值为 .【答案】【解析】已知且，,因此，.【考点】基本不等式的应用.2.设为正实数，满足，则的最大值为．【答案】【解析】由,原式【考点】基本不等式3.若实数满足，则的最大值___________；【答案】【解析】因为，所以【考点】基本不等式的应用4.若a，b，cÎR+，且a+b+c=1，求的最大值．【答案】【解析】解：∵()2=a+b+c+2() 3分≤1+2()=1+2(a+b+c)=3． 6分∴，当且仅当a=b=c=时取“=”号． 8分【考点】不等式的求解最值点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题5.交通管理部门为了优化某路段的交通状况，经过对该路段的长期观测发现：在交通繁忙的时段内，该路段内汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为①求在该路段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/时）②若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应限定在什么范围内？【答案】①时，（千辆/时）②【解析】解：①依题意，得=当且仅当，即时，上式等号成立，所以（千辆/时）②由条件得，整理，得即，解得答：当千米/时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时，如果要求在在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/时且小于千米/时。
【考点】基本不等式；解一元二次不等式点评：求式子的最值，方法可以结合二次函数、函数的导数、基本不等式和三角函数等。
本题就是结合基本不等式。
6.设、为正数，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当且仅当即时等号成立，所以最小值为9【考点】均值不等式点评：利用均值不等式求最值时要注意其成立的条件：都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件是否满足7.设求证：【答案】可以运用多种方法。
【解析】证明[法一]：2分10分当且仅当，取“=”号。
高二数学基本不等式试题
高二数学基本不等式试题1.下列结论中正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．当时，无最大值【答案】B【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.【考点】基本不等式的应用.2.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ( )A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有,故选D.【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.4.已知，且，则的最小值是_______.【答案】9【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.【考点】基本不等式求最值.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围【答案】【解析】由题，则，则恒成立即恒成立，则【考点】基本不等式，恒成立问题6.已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。
【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分同理，可得，． 6分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 8分【考点】均值不等式点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。
7.已知，，，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，，，所以，=，当且仅当且时，的最小值为。
【考点】均值定理的应用点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
8.已知函数在时取得最小值,则__________.【答案】36【解析】根据题意，由于函数在时取得，即时取得最小值故可知36，故答案为36.【考点】函数的最值点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。
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高二数学基本不等式训练题
数学基本不等式训练题1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2
B.有最小值2
C.无最大值和最小值
D.无法确定
答案：B
2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()
A.400
B.100
C.40
D.20
答案：A
3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.
答案：2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时，求f(x)的最小值;
(2)当x0 时，求f(x)的最大值.
解：(1)∵x0，12x，4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，
当x0时，f(x)的最小值为83.
(2)∵x0，-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，
当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.
当x0时，f(x)的最大值为-83.
一、选择题
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12x
B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x
D.x(1-x)
答案：C
2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3
B.-3
C.62
D.62-3
解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.
3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()
A.200
B.100
C.50
D.20
解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程：
①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba
②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx
③∵aR，a0，4a+a 24a
④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.
其中正确的推导过程为()
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故
①的推导过程正确;
②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy 是负数，②的推导过程是错误的;
③∵aR，不符合基本不等式的条件，
4a+a24aa=4是错误的;
④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx 提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故
④正确.
5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2
B.22
C.4
D.5
解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()
A.最大值64
B.最大值164
C.最小值64
D.最小值164
解析：选C.∵x、y均为正数，
xy=8x+2y28x2y=8xy，
当且仅当8x=2y时等号成立.
xy64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.
答案：1
8.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.
解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.
答案：大116
9.(2019年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy 的最大值为________.
解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案：3
三、解答题
10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.
解：(1)∵x-1，x+10.
y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
2 x+14x+1+5=9，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
x=1时，函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.
(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，
y有最小值8.
11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8. 证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，
1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，
同理1b-12acb，1c-12abc，
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.
总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200
=800(x+225x)+12019
1600x225x+12019
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人
以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
=36000(元)
当且仅当x=225x(x0)，
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
即x=15时等号成立.。