2014高三数学一轮复习课件--数列
－
[答案] 2×3n－1－1
[题后悟道]
任一项an 与它 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 的 前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示， 那么这个公式叫数列的递推公式．
[小题能否全取]
2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列 1， ， ， ， „的一个通项公式 3 5 7 9 是 ( )
n A．an＝ 2n＋1 n C．an＝ 2n－3
1
1
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们 都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数 列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式 求通项公式的几种方法．
1．累加法 [典例1] 12，则a8＝ A．0 B．3 (2011· 四川高考)数列{an}的首项为3，{bn} ( ) 为等差数列且 bn ＝ an ＋ 1 － an(n∈N*) ．若 b3 ＝－ 2 ， b10 ＝
C．8
[ 解析 ]
D．11
由已知得 bn ＝ 2n－ 8， an ＋ 1 － an ＝ 2n－ 8 ，
所以 a2－a1 ＝－6， a3 － a2＝－ 4， …， a8－ a7＝6，由累
加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所
以a8＝a1＝3. [答案] B
[ 题后悟道]
对形如 an＋1＝ an＋f(n)(f(n)是可以求和
(2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤0，由 n2－21n＋ 20≤0，解得 1≤n≤20，故数列{an}从第 21 项开始为正数， 所以该数列的前 19 或 20 项和最小．
an 在本例条件下，设bn＝ n ，则n为何值时，bn取得最小 值？并求出最小值．
2 an n －21n＋20 20 解：bn＝ ＝ ＝n＋ －21， n n n 20 20 令 f(x)＝x＋ x －21(x>0)，则 f′(x)＝1－ 2 ，由 f′(x)＝0 x 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．而 4<2 5<5，故当 n≤4 时，数 列{bn}单调递减；当 n≥5 时，数列{bn}单调递增． 20 20 而 b4＝4＋ －21＝－12，b5＝5＋ －21＝－12，所以当 n＝4 4 5 或 n＝5 时，bn 取得最小值，最小值为－12.
目 录
数 列
第一节 第二节 第三节
数列的概念与简单表示法 等差数列及其前n项和 等比数列及其前n项和
第四节
第五节
数列求和
数列的综合应用
数
列
[知识能否忆起]
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义： ①数列：按照 一定顺序 排列的一列数． ②数列的项：数列中的 每一个数 ．
(2)数列的分类： 分类标 准 项数
由an与Sn的关系求通项an
[例2]
已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分
别求它们的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝3n＋1.
[自主解答] (1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2× 12 ＋3× 1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n －1)]＝4n＋1. 当n＝1时，4× 1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an
＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an
的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
2．(2012· 聊城模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ n 1 ，则 ＝ a5 n＋ 1 ( )
类型
有穷数列
满足条件
项数 有限
无穷数列
项与项 递增数列
项数 无限
an＋1 > an 其中 n∈N*
间的大
小关系
递减数列
常数列
an＋1 < an
an＋1＝an
(3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2× 3n－1. 当n＝1时，2× 31 1＝2≠a1，
－
4， 故an＝ n－1 2× 3 ，
n＝1， n≥2.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式， 其求解过程分为三步： (1)先利用a1＝S1求出a1；
1 p＝ ， 解得 4 q＝2.
1 2 9 则 an＝ n＋n，故 a8＝ . 4 4 9 答案： 4
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅 与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关， 这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的 数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重 复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
n B．an＝ 2n－1 n D．an＝ 2n＋3
答案：B
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 A．15 B．16
(
)
C．49
D．64
解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15. 答案：A
n 3．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则这个数列是 n＋ 1 ( )
A．递增数列
C．常数列
n π sin 2
可得a1＝1，
[答案] C
若本例中数列变为：0,1,0,1，„，则{an}的一个 通项公式为________．
答案：
0n为奇数， an＝ 1n为偶数.
n 1 ＋ － 1 1＋cos 或an＝ 或an＝ 2 2
nπ
5 A. 6 1 C. 30
6 B. 5 D．30
n－ 1 n 1 解析： 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝ － n ＝ ， n＋ 1 nn＋1 1 1 则 a5＝ ＝ . 5×6 30
答案：D
数列的性质
[ 例 3] 20.
已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ n2 － 21n ＋
解得 a2＝3a1＝3. 5 由 S3＝ a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 3 3 解得 a3＝ (a1＋a2)＝6. 2
(2)由题设知 a1＝1. n＋2 n＋1 当 n>1 时，有 an＝Sn－Sn－1＝ a－ a ， 3 n 3 n－1 n＋1 整理得 an＝ a . n－1 n－1 n＋1 3 4 n 于是 a2＝ a1，a3＝ a2，„，an－1＝ a ，an＝ a . 1 2 n－2 n－2 n－1 n－1 nn＋1 将以上 n－1 个等式中等号两端分别相乘，整理得 an＝ . 2 nn＋1 综上可知，{an}的通项公式 an＝ . 2
1．数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝
f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取
值． 2．前n项和最值的求法 (1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；
若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符
[题后悟道] 对形如an＋1＝anf(n)(f(n)是可以求积的) an 的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出 与 a1 n的关系式．
3．构造新数列 [ 典例 3]
[解析]
已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 3an ＋ 2 ；
则an＝________.
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， an＋1 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2· 3n－1， ∴an＝2· 3n 1－1.
号确定最值.
n 3．(2012· 江西七校联考)数列{an}的通项 an＝ 2 ，则数列 n ＋90 {an}中的最大值是 ( )
A．3 10 1 C. 19 解析： an＝
B．19 10 D. 60 ，由基本不等式得，
1 ≤ ， 90 90 2 90 n＋ n n＋ n 1 * 由于 n∈N ，易知当 n＝9 或 10 时，an＝ 最大． 19 答案：C
的 )的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出 an － a1 与 n 的关系式．
2．累乘法
[典例 2] (2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前 n＋2 n 项和 Sn＝ a. 3 n (1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式． 4 [解] (1)由 S2＝ a2 得 3(a1＋a2)＝4a2， 3
解析：
B．递减数列
D．摆动数列
n＋ 1 n an ＋ 1 － an ＝ － ＝ n＋ 2 n＋ 1
n＋12－nn＋2 1 ＝ >0. n＋1n＋2 n＋1n＋2
答案：A
4 ． ( 教 材 习 题 改 编 ) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an ＝
－ 3n 1n为偶数， 2· 2n－5n为奇数，
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
[ 自主解答 ]
(1) 因为 an ＝ n
2
21 2 － 21n ＋ 20 ＝ n－ － 2
[答案] 2×3n－1－1
[题后悟道]
任一项an 与它 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 的 前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示， 那么这个公式叫数列的递推公式．
[小题能否全取]
2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列 1， ， ， ， „的一个通项公式 3 5 7 9 是 ( )
n A．an＝ 2n＋1 n C．an＝ 2n－3
1
1
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们 都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数 列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式 求通项公式的几种方法．
1．累加法 [典例1] 12，则a8＝ A．0 B．3 (2011· 四川高考)数列{an}的首项为3，{bn} ( ) 为等差数列且 bn ＝ an ＋ 1 － an(n∈N*) ．若 b3 ＝－ 2 ， b10 ＝
C．8
[ 解析 ]
D．11
由已知得 bn ＝ 2n－ 8， an ＋ 1 － an ＝ 2n－ 8 ，
所以 a2－a1 ＝－6， a3 － a2＝－ 4， …， a8－ a7＝6，由累
加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所
以a8＝a1＝3. [答案] B
[ 题后悟道]
对形如 an＋1＝ an＋f(n)(f(n)是可以求和
(2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤0，由 n2－21n＋ 20≤0，解得 1≤n≤20，故数列{an}从第 21 项开始为正数， 所以该数列的前 19 或 20 项和最小．
an 在本例条件下，设bn＝ n ，则n为何值时，bn取得最小 值？并求出最小值．
2 an n －21n＋20 20 解：bn＝ ＝ ＝n＋ －21， n n n 20 20 令 f(x)＝x＋ x －21(x>0)，则 f′(x)＝1－ 2 ，由 f′(x)＝0 x 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．而 4<2 5<5，故当 n≤4 时，数 列{bn}单调递减；当 n≥5 时，数列{bn}单调递增． 20 20 而 b4＝4＋ －21＝－12，b5＝5＋ －21＝－12，所以当 n＝4 4 5 或 n＝5 时，bn 取得最小值，最小值为－12.
目 录
数 列
第一节 第二节 第三节
数列的概念与简单表示法 等差数列及其前n项和 等比数列及其前n项和
第四节
第五节
数列求和
数列的综合应用
数
列
[知识能否忆起]
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义： ①数列：按照 一定顺序 排列的一列数． ②数列的项：数列中的 每一个数 ．
(2)数列的分类： 分类标 准 项数
由an与Sn的关系求通项an
[例2]
已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分
别求它们的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝3n＋1.
[自主解答] (1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2× 12 ＋3× 1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n －1)]＝4n＋1. 当n＝1时，4× 1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an
＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an
的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
2．(2012· 聊城模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ n 1 ，则 ＝ a5 n＋ 1 ( )
类型
有穷数列
满足条件
项数 有限
无穷数列
项与项 递增数列
项数 无限
an＋1 > an 其中 n∈N*
间的大
小关系
递减数列
常数列
an＋1 < an
an＋1＝an
(3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2× 3n－1. 当n＝1时，2× 31 1＝2≠a1，
－
4， 故an＝ n－1 2× 3 ，
n＝1， n≥2.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式， 其求解过程分为三步： (1)先利用a1＝S1求出a1；
1 p＝ ， 解得 4 q＝2.
1 2 9 则 an＝ n＋n，故 a8＝ . 4 4 9 答案： 4
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅 与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关， 这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的 数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重 复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
n B．an＝ 2n－1 n D．an＝ 2n＋3
答案：B
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 A．15 B．16
(
)
C．49
D．64
解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15. 答案：A
n 3．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则这个数列是 n＋ 1 ( )
A．递增数列
C．常数列
n π sin 2
可得a1＝1，
[答案] C
若本例中数列变为：0,1,0,1，„，则{an}的一个 通项公式为________．
答案：
0n为奇数， an＝ 1n为偶数.
n 1 ＋ － 1 1＋cos 或an＝ 或an＝ 2 2
nπ
5 A. 6 1 C. 30
6 B. 5 D．30
n－ 1 n 1 解析： 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝ － n ＝ ， n＋ 1 nn＋1 1 1 则 a5＝ ＝ . 5×6 30
答案：D
数列的性质
[ 例 3] 20.
已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ n2 － 21n ＋
解得 a2＝3a1＝3. 5 由 S3＝ a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 3 3 解得 a3＝ (a1＋a2)＝6. 2
(2)由题设知 a1＝1. n＋2 n＋1 当 n>1 时，有 an＝Sn－Sn－1＝ a－ a ， 3 n 3 n－1 n＋1 整理得 an＝ a . n－1 n－1 n＋1 3 4 n 于是 a2＝ a1，a3＝ a2，„，an－1＝ a ，an＝ a . 1 2 n－2 n－2 n－1 n－1 nn＋1 将以上 n－1 个等式中等号两端分别相乘，整理得 an＝ . 2 nn＋1 综上可知，{an}的通项公式 an＝ . 2
1．数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝
f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取
值． 2．前n项和最值的求法 (1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；
若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符
[题后悟道] 对形如an＋1＝anf(n)(f(n)是可以求积的) an 的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出 与 a1 n的关系式．
3．构造新数列 [ 典例 3]
[解析]
已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 3an ＋ 2 ；
则an＝________.
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， an＋1 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2· 3n－1， ∴an＝2· 3n 1－1.
号确定最值.
n 3．(2012· 江西七校联考)数列{an}的通项 an＝ 2 ，则数列 n ＋90 {an}中的最大值是 ( )
A．3 10 1 C. 19 解析： an＝
B．19 10 D. 60 ，由基本不等式得，
1 ≤ ， 90 90 2 90 n＋ n n＋ n 1 * 由于 n∈N ，易知当 n＝9 或 10 时，an＝ 最大． 19 答案：C
的 )的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出 an － a1 与 n 的关系式．
2．累乘法
[典例 2] (2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前 n＋2 n 项和 Sn＝ a. 3 n (1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式． 4 [解] (1)由 S2＝ a2 得 3(a1＋a2)＝4a2， 3
解析：
B．递减数列
D．摆动数列
n＋ 1 n an ＋ 1 － an ＝ － ＝ n＋ 2 n＋ 1
n＋12－nn＋2 1 ＝ >0. n＋1n＋2 n＋1n＋2
答案：A
4 ． ( 教 材 习 题 改 编 ) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an ＝
－ 3n 1n为偶数， 2· 2n－5n为奇数，
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
[ 自主解答 ]
(1) 因为 an ＝ n
2
21 2 － 21n ＋ 20 ＝ n－ － 2
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2014版高考数学一轮总复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用课件 理 新人教A版
4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝ 30 .
【解析】由已知及等比数列{an}的性质知， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n 也成等比数列， 从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)， 又 Sn>0，所以 S2n＝6， 于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)， 即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以 S4n＝30.
素材1
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 公差 d<0， 满足 S12>0， S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
a1＋a12×12 【解析】因为 S12＝ ＝6(a6＋a7)>0， 2 a1＋a13×13 S13＝ ＝13a7<0， 2 所以 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，S6 取最大值．
备选例题
(2010· 泰州市质检)在数列{an}中， 1＝1,3anan－1＋an－an a
－1
＝0(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 λan＋ ≥λ 对任意 n≥2，n∈N*恒成立，求实数 a n＋ 1 1
λ 的取值范围．
1 【解析】(1)将 3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得a ＝1＋3(n n －1)＝3n－2， 1 所以 an＝ (n≥2)． 3n－2 当 n＝1 时，a1＝1，也满足上式， 1 所以{an}的通项公式为 an＝ . 3n－2
【解析】因为 a5·2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列， a 则 a1·2n－1＝a3·2n－3＝a5·2n－5＝„＝22n＝a2. a a a n 令 S＝log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1， 则 S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋„＋log2a1， 所以 2S＝log2[(a1·2n － 1)(a3·2n － 3)„(a2n － 3·3)(a2n － 1·1)]＝ a a a a log2(22n)n. 所以 2S＝2n· n，故 S＝n2.
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第32讲 数列的综合应用
•
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第32讲
数列的综合应用
• 点 面 讲 考 向
[ 思考流程 ] 条件：给出满足一定条件的数列 {an} 和 {bn}．目标：(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求参数的取值 范围．方法：(1)先求数列{an}的公比，即可求数列{an}的通 bn n－1 项公式，通过 Tn＝n bn，推出 ＝ ，利用累乘法求出 bn－1 n＋1
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第32讲
数列的综合应用
► 探究点一
等差等比数列的综合问题
•
例 1 [2013· 宁波二模] 设公比大于零的等比数列{an}的 1，S4＝5S2，数列{bn}的前 n 项和为 点 前 n 项和为 Sn，且 a1＝ 面 Tn，满足 b1＝1，Tn＝n2bn，n∈N*. 讲 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 考 (2)设 cn＝(Sn＋1)(nbn－λ)，若数列{cn}是递减数列，求实 向 数 λ 的取值范围．
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第32讲
数列的综合应用
3＋（－1）n 解：(1)因为 dn＝ ， 2
• 点 面 讲 考 向
3×2n 所以 an＝d1＋d2＋d3＋„＋d2n＝ 2 ＝3n. 故数列{an}的通项公式为 an＝3n. 因为 b2， b4 为方程 x2－20x＋64＝0 的两个不相等的实 数根， 所以 b2＋b4＝20， b2 · b4＝64.又数列{bn}的公比大于 1， 解得 b2＝4，b4＝16，故 q＝2，a1＝2，所以数列{bn}的通 项公式为 bn＝2n.
2 ＝ ， n（n＋1） 2 所以 bn＝ ，当 n＝1 时也满足． n（n＋1） 2 故数列{bn}的通项公式为 bn＝ . n（n＋1）
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第32讲
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用
![[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/3eccd40a4a7302768e993947.webp)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）
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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)5.2等差数列课件 新人教A版
解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数 列仍为等差数列且 c1＝7， 3＝21， c5＝2c3－c1＝2×21－7 c 则 ＝35.
(2)∵S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即 40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
[例1]
在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n
＋3(n≥2，且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
an＋3 (2)设 bn＝ n (n∈N*)，证明：{bn}是等差数列． 2
[自主解答]
(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，
且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
解析：设{an}的公差为 d， 由 S2＝a3 知，a1＋a2＝a3，即 2a1＋d＝a1＋2d， 1 1 又 a1＝ ，所以 d＝ ，故 a2＝a1＋d＝1， 2 2 1 1 1 2 1 Sn＝na1＋ n(n－1)d＝ n＋ (n －n)× 2 2 2 2 1 2 1 ＝ n ＋ n. 4 4
1 2 1 答案：1 n ＋ n 4 4
[答案] n
1．上述解法计算量较大，很容易出错，若采用特殊值 计算很简单，因{an}为等差数列且 a1＝1，只要求出公差 d， S2 便可得出 an，若令 n＝1，则有 ＝3，即可求出公差 d. S1
2．特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到， 就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、
A．66 C．144
B．99 D．297
(2)(2013· 天津模拟)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn， 若 S4＝8， 8＝20， a11＋a12＋a13＋a14＝ S 则 ( )
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第29讲 等差数列
a＋b 等差中项 ，其中 A＝____________ __________ ． 2
2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项为 a1，公差是 d，则其通项公式 为________________ an＝a1＋(n－1)d ； 若等差数列{an}的第 m 项为 am，则其第 n 项 an 可以表示 an＝am＋(n－m)d ． 为________________
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第29讲
等差数列
• 点 面 讲 考 向
•
►
探究点二
等差数列的判定与证明
例 2 [2013· 广东卷改编] 设各项均为正数的数列{an} * 的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn＝a2 n＋1－4n－1，n∈N ，且 a2， a5，a14 构成等比数列． (1)证明：a2＝ 4a1＋5； (2)证明：数列{an}是等差数列，并求数列 {an}的通项 公式．
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第29讲
等差数列
• 双 向 固 基 础
2．对等差数列的性质的理解 (1)在等差数列{an}中，a3＋a7＝a10.( ) (2) 若数列 {an} 和 {bn} 都是等差数列，则数列 {pan － qbn}(p，q 为常数)也是等差数列．( ) (3)如果一个数列{an}的前 n 项和为 Sn＝pn2＋qn＋r， 其中 p，q，r 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定是等差 数列．( )
上)，k 为公差 率 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一 次函数．(1)当 k≠0 时，数列 an＝kn＋b(n∈N*)所对 相同点 应的点均匀分布在函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像上；
递增 (2)当 k>0 时，数列为________ 数列，函数为增函数． 递减 数列，函数为减函数 (3)当 k<0 时，数列为________
2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项为 a1，公差是 d，则其通项公式 为________________ an＝a1＋(n－1)d ； 若等差数列{an}的第 m 项为 am，则其第 n 项 an 可以表示 an＝am＋(n－m)d ． 为________________
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等差数列
• 点 面 讲 考 向
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探究点二
等差数列的判定与证明
例 2 [2013· 广东卷改编] 设各项均为正数的数列{an} * 的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn＝a2 n＋1－4n－1，n∈N ，且 a2， a5，a14 构成等比数列． (1)证明：a2＝ 4a1＋5； (2)证明：数列{an}是等差数列，并求数列 {an}的通项 公式．
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第29讲
等差数列
• 双 向 固 基 础
2．对等差数列的性质的理解 (1)在等差数列{an}中，a3＋a7＝a10.( ) (2) 若数列 {an} 和 {bn} 都是等差数列，则数列 {pan － qbn}(p，q 为常数)也是等差数列．( ) (3)如果一个数列{an}的前 n 项和为 Sn＝pn2＋qn＋r， 其中 p，q，r 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定是等差 数列．( )
上)，k 为公差 率 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一 次函数．(1)当 k≠0 时，数列 an＝kn＋b(n∈N*)所对 相同点 应的点均匀分布在函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像上；
递增 (2)当 k>0 时，数列为________ 数列，函数为增函数． 递减 数列，函数为减函数 (3)当 k<0 时，数列为________
高三第一轮复习数列的概念和简单表示法课件-PPT精品文档
S1 , ( n 1 ) 5 . 已知 S ,则 a . 数列 { a } 中 ,若 a n n n n S S , ( n 2 ) n n-1 an-1 , an-1, a a n n 最大 ,则 a 最小 ,则 a 若 a n a . a n n+1 n n+1.
(2 ) a n1 an a n 1
a n1 ( n 1 ) a n , n 1 an a n 1 n 1, an2
n,
a3 3, a2 a2 2, a1 a1 1 . 累乘可得 , a n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n ！. 故 a n n ！.
S 2 1 3 2 n 1 n n n 1 1 9 . n 99 .
题型分类 深度剖析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
基础自测 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ C ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
11 51329 61 （3） , , , , , , 24 81632 64 3 7 9 , , , （4） ,1 2 10 17 （5）0，1，0，1，…
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：3.1数列的概念
第三章数列2014高考导航考纲解读1 •理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式，并能解决简单的实际问题.§3.1数列的概念本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考 考点探究讲练互动 教材回顾夯实双基基础梳理1.数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛123,…，〃｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图象是一一群孤立的点.数歹的第兀项知与项数〃的关系若能用一个公式知=加）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式•3.数列的前〃项和数列的前〃项和S“=ai+a2 ----------- 5,且下列关系成立Si (n = l)a tl=^S n~S n^i (/i M2).4.递推公式如果已知数列仏啲第1项(或前几项)，且任一项心与它的前一项给-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.思考探究1.｛〜｝与a“有何关系？提示：｛心与◎是两个不同的概念，｛a“｝表示数列％a v …，a”,…，而知只表示数列｛〜｝中的第〃项.2.一个数列的通项公式是否唯一？提示：不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有通项公式.课前热身3 8 151•（教材改编）数列务节, A.n2—1 ""—nB.(n +1)2— 1a,~ n + 1C.(W+1/+2”"l(T)n + 1D.(n n(W+l)2_ 1 "l(T)n + 1答案：C¥，…的一个通项公式是（）2.已知«o=l,如=3,怎一％w“+i=(-1)"仗WN*),则如等于() A・ 33 B. 21C 17 D. 10答案：A3. （2011•高考江西卷）已知数列《｝的前兀项和S”满足：S“+S = ^n+m9且"1 = 1，B. 9那么"10 = ()A. 1C. 10D. 55解析：*/ S n+S m=S n+m,且幻=1,・・・S1 = 1・可令加=1,得s“+]=s” + i,s“+i _s“=i・即当必1时9知+i = l, .\a10=l.4.如果数列仏J的前孔项和为S n=2n2+19贝!|妁=答案:3 (n = l)4H—2 (〃$2)5.在数列仏｝中, 项之和为________ 答案：-1005=1,尤一冷+1 — 1=0,则此数列的前2 014考点1由数列的前几项写数列的通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:(1) 0.8,0・8&0.888,(4)0丄….【思路分析】（1）循环数借助于1—命来解决.5_ 2932 6164917710 13-2^ XI/3 1一* 2⑵正负号交叉用（一1）"或（一1严1来调节，这是因为H和«+1 奇偶交错.（3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.（4）对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决.【解】⑴将数列变形为尹一0.1)勺(1—0.01),尹一0.001),…，・• a n—^(1 — ]0") •⑵各项的分母分别为亍夕，，，…，易看出第2,3,4项的分子2 —3分别比分母少3.因此把第1项变为一二一，至此原数列已化为21-3 22-3 23-3 24-322，一a“=(—1)"宁.IT ‘~ir ‘ …'3 5 7 9(3)将数列统_为㊁,丁,帀p,…，对于分子3,5,7,9,…是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n =2n+l f 对于分母2,5,1047,…联想到数列1A016,…，即数列{/}, 可得分母的通项公式为c“ = /+l,2n±ln 2+r/° (〃为奇数)又0=1_1 1=丄+丄11 s 为偶数)’又 2 2, 1—2+2，.••也可为。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第31讲 数列求和
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第31讲
数列求和
• 双 向 固 基 础
[答案] (1)×
(2)×
(3)√
1 1 1 ＝ －2n， 因为 2n 2n（2n－1） 2n－1 是偶数，2n－1 是奇数，故求和时不能相互抵消，达不到求 和的目的．数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这只 是用裂项相消法的前提，还必须满足在求和过程中能够前后 相互抵消． [解析] (1)由题意可知
1． 在等差数列{an}和{bn}中， a1＝25， b1＝15， a100＋b100 ＝139，则数列{an＋bn}的前 100 项的和为________．
[答案] 8950
[解析] 设 cn＝an＋bn，则 c1＝a1＋b1＝40，c100＝139， 由题知，数列 {cn} 是等差数列，所以前 100 项和 S100 ＝ 100（c1＋c100） 100×（40＋139） ＝ ＝8950. 2 2
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第31讲
数列求和
• 双 向 固 基 础
[答案] (1)×
(2)√
(3)×
a（1－an） [解析] (1)当 a＝1 时， Sn＝n； 当 a≠1 时， Sn＝ . 1－a 其错误在于未能注意到求和公式中 q≠1 的条件，因此在解题 时，当公比 q 是一个字母时，一定要讨论字母的取值． 3n－1 (2)将已知数列求和，即可得 an＝ . 2 (3)分组求和法适用于一个数列的通项公式由若干个可求 1 和的数列组成，数列{an}的通项公式为 an＝n＋n，数列{an} 1 1 由两个数列{n}和n组成，而数列n不能求和．
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第31讲
数列求和
• 双 向 固 基 础
求和方法 分组求和 法
适用范围 一个数列的通项公式是由