中考数学总复习：第4课时二次根式课件
【名师面对面】2015中考数学总复习 第1章 第4讲 二次根式及其运算课件
4．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2－xy＋y2 的值．
∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3，∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4， xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝ 42－3＝13
二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入 求值，最后的结果要化为分母不含根号的数或者是 最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑．
原式＝a2＋6a，当 a＝ 2－1 时，原式＝4 2－3
二次根式的概念和性质
1．(2014· 武汉)若 x－3在实数范围内有意义，则 x 的取值范 围是( C ) A．x＞0 有意义( A ) A．－2 B．1 C ．2 D．3 【解析】第1题根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等 式；第2题二次根式的被开方数是非负数，可以逐个代入， 也可以先判断x的取值范围． B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，
首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他
限制条件，如分母不等于0等，往往转化为不等式 (组)解决．
二次根式的简单计算
1．(2014· 孝感)下列二次根式中，不能与 2合并的是( C ) A. 1 2 B. 8 C. 12 D. 18
2．(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：
第4讲 二次根式及其运算
1．了解二次根式、最简二次根式的概念．
2．了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会
用它们进行有关实数的简单四则运算．
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以
填空题、选择题形式出现． 1．二次根式的基本运算要求熟练掌握，二次根式的运算以 整式的运算为基础，其法则、公式都与整式类似，特别是二 次根式的加减，没有提出同类二次根式的概念，完全参照合
九年级数学二次根式4
而此刻我却身处他乡，在我的正前方是一片灯火辉煌，我所历经的误解和荒芜顿时变得原始而简单，因为我还能看到希望。我伸出手走在熹微的灯下，夜色快将我一点点吞没的时候遇到一盏路灯， 然后，路边买点烧烤和白酒回来。夜晚开始恢复往昔的热闹，一个长发女孩抱着一只蓝猫侧身进了超市，仰头看着天上的星河，大颗 大颗的星闪着，和地上的万家灯火交相辉映。正：“灯火万家盛四畔，星河一道水中央。”这无疑是白居易口中的天上人间了吧！
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现在的故乡想必是一连串的好天气，盐菜应该已经腌制入味了，李子树也该挂果了，辣椒苗有一寸了吧！妈妈坐在灯光下剥豌豆和青蚕豆，如果此刻我就在她身边，她会用微弱的声音唤我，让我去 掐点茴香回来炒青蚕豆。深垂的夜幕被灯光温柔地挑起，起锅烧油，新鲜的豌豆一下锅就发出快活的欢呼，等我做好饭，外出的爸爸也应该回来了，等到晚饭时分，屋外是饱满的月，屋内是拉着家常用 饭的一家人。
2020河南中考数学考点突破(课件+训练)：4二次根式
B. 2 2 =2 2 33
D. 1 = 3 - 2 3 2
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3.如果ab>0,a+b<0,那么下列各式:① a = a ,② a · b =1,③ ab ÷ a =-b.其中正
b b ba
b
确的是 ( B )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
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一、选择题
1.(2019山东济宁)下列计算正确的是 ( D )
A. (-3)2 =-3 B. 3 -5= 3 5
C. 36 =±6
D.- 0.36 =-0.6
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2.(2019山东聊城)下列各式不成立的是 ( C )
A. 18- 8 = 7 2 93
C. 8 18 = 4 + 9 =5 2
A. 5-1<0.5 2
B.若ab=0,则a=b=0
C. a = a bb
D.若a>0,则3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
解析 5-1≈0.6>0.5,故选项A错误;若ab=0,则a=0或b=0,故选项B错误;选项C应 2
加上a≥0,b>0,故选项C错误.故选D.
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超级总结 方法技巧 二次根式的估值一般有两种方法. 方法一:无限逼近法——①先对根式平方, 找出与平方后所得数字相邻的两个能 开得尽方的整数;②对找出的两个整数开方即可确定这个整式在哪两个整数之间; 方法二:借助无理数的近似值确定.如 2 ≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236等.
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1-2 (2019郑州外国语中学模拟)若使二次根式 1 有意义,则字母x必须满足 2x 1
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第4课时：数的开方及二次根式
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
先化简分式后，再将相应的 x 的值代入，最后 根据二次根式的运算法则求得结果．
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
x－3 x －6x＋9 解：原式＝ ÷ x x x－ 3 x 1 ＝ · . 2＝ x （x － 3 ） x－ 3 1 2014 当 x＝ 2014＋3 时，原式＝ ＝ . 2014 2014
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【知识树】
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探究一 二次根式的估算
3 例 1 [2012·杭州 ] 已知 m ＝ ( － )×(－ 2 21) ，则有 3 ( A )
A． 5 ＜m ＜ 6 C．－5＜m＜－4
B ． 4＜ m ＜5 D．－6＜m＜－5
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3．[2014·江干模拟] 下列各式中，错误 的是 ．．
( D )
A．(－ 3)2＝3 B．－ 32＝－3 C．( 3)2＝3 D. （－3）2＝－3
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【归纳总结】 二次 式子 a(a≥0)，即非负数 a 的算术平方根 二次 根式 根式 最简二 ①被开方数中的因数是整数，因式是整式； 相关 次根式 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式 概念 二次 a 根式 ①( a)2＝____(a≥0)； a ② a2＝|a|＝ －a 的性 a· b 质 ③ ab＝________(a≥0，b≥0)； a a b ④ ＝________(a≥0， b>0) b
第4讲二次根式及其运算(讲义)(原卷版)-2024年浙江中考数学一轮复习
第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。
专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)中考数学一轮复习
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
安徽省2014年中考数学专题复习课件 第4课时 数的开方与二次根式
8×
1 ＋( 2)0＝ 2
1 8× ＋1＝2＋1＝3，故选 C. 2
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
(1)利用二次根式的性质， 先把每个二次根式化简， 然后进行 运算； (2)运算顺序与实数四则运算的运算顺序相同．
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
x－2 3 例 4 [2013· 苏州] 先化简，再求值： ÷(x＋1－ )， x－1 x－1 其中 x＝ 3－2.
x－2 x2－1－3 3 x－2 x ＋ 1 － 原式＝ ÷ ＝x－1÷ x－1 x － 1 x－1
解
x－2 x－1 1 ＝ · ＝ ， x－1 （x＋2）（x－2） x＋2 1 1 3 当 x＝ 3－2 时，原式＝ ＝ ＝ . 3－2＋2 3 3
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
(1)此类分式与二次根式综合计算与化简问题， 一般先化简再 代入求值； (2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次 根式．
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第4课时┃ 数的开方与二次根式 探究四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法； 2．利用计算器进行二次根式的大小比较．
第4课时 数的开方与二次根式
第4课时┃ 数的开方与二次根式
皖 考 解 读
考点 考纲要求 年份 数的开方 了解 二次根式 了解 2013 的概念 二次根式 2010 理解 的运算 2011 题型 填空题 填空题 选择题 分值 5分 5分 4分 预测热度 ★ ★★ ★★★★
浙江新中考2014届中考数学总复习课件(第4课时)二次根式
【思路点拨】由二次根式和分式有意义的条件可
x≥0， 得 解得 x 的解集即可． x－ 1≠0，
方法总结 由分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条 件是使各个部分都有意义.分式有意义的条件是分母不 等于 0； 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于 0.
x＋1 (2013· 盘锦)若式子 x 有意义， 则x 的取值范围是 x≥－1 且 x≠0.
(2013· 泰州)下列计算正确的是 ( C ) A． 4 3－ 3 3＝ 1 C． 2 1 ＝ 2 2 B. 2＋ 3＝ 5
D． 3＋ 2 2＝ 5 2
考点四
二次根式的混合运算
(2013· 泰安 )化简： 3( 2－ 3)－ 24－ | 6－ 3|＝－6. 【思路点拨】根据二次根式的乘法运算法则以及 绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即 可．
考点二 温馨提示
二次根式
1．式子 a(a≥ 0)叫做二次根式． 1. aa≥0表示 a 的算术平方根，它是一个非负 数. 2.二次根式 aa≥0中 a 可以表示数、单项式、多 项式以及符合条件的一切代数式.
2． 估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近” 的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数， 可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进 一步估算即可．
3
3
a.
温馨提示 1.在应用 x2＝a 时，一定不要忘记 a≥0. 2.平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根中 的一个，只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.任意实数都有且只有一个立方根. 4.平方根等于它本身的数是 0， 算术平方根等于它 本身的数是 0 和 1，立方根等于它本身的数是 0 和± 1.
第4课时 二次根式
1．(2012· 宁波)下列计算正确的是( D A．a ÷ a ＝a C. 25＝± 5