第14章-受限被解释变量
OLS ˆ ，得到估计值 ˆ, ˆ, ˆ 。 第二步：用 OLS 回归 yi xi , i
更有效率的方法是 MLE。 在两步法中，第一步误差被带入第二步，效率不如 MLE 的整体 估计。 两步法的优点在于，操作简便；对于分布的假设也更弱(即使不 假设二维正态分布，也可能成立)。 为检验是否存在样本选择偏差(sample selection bias)，可使用似 。 然比检验来检验原假设“ H 0 : 0 ” 如使用 Heckit，无法进行此 LR 检验。
( y , z ) ，相关系数为 ，联合密度函数为 f ( y, z ) 。
假设个体进入样本的“选择机制”(selection mechanism)为“选 择变量 z 大于某常数 c” 。 比如，在妇女劳动力供给例子中， z w o w r ，而 c 0 。 断尾后的联合分布：
10
f ( y | y 1)
f ( y) , 1 F (0)
y 1,2,
如果 y 服从泊松分布，则
e y f ( y | y 1) , y !(1 e ) y 1,2,
进行 MLE 估计， 得到 “零断尾泊松回归” (zero-truncated Poisson regression)。如果 y 服从负二项分布(NB1 或 NB2)，可进行“零断 尾负二项回归”(zero-truncated negative binomial regression)。 14.3 随机前沿模型(选读)
E( y | z c) y y ( z c) z
假设回归模型为 yi xi i 。
15
yi 是否可观测取决于选择变量 zi (取值为 0 或 1)
可观测 yi 不可观测 zi =1 zi =0
决定二值变量 zi 的方程为
1, 若 zi* 0 zi * 0, 若 zi 0
6
ˆx 。 ˆ 参见图 14.3。总体回归线为 xi ，而样本回归线为 i
yi
a + b xi
ˆx ˆ +b a i
c
xi
图 14.3 断尾回归示意图
7
使用 MLE 可得到一致估计。断尾前的概率密度：
2 1 1 yi xi 1 yi xi f ( yi ) exp 2 2 2
© 陈强,《高级计量经济学及 Stata 应用》课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。Leabharlann 第 14 章 受限被解释变量
14
被解释变量的取值范围有时受限制，称为“受限被解释变量” (Limited Dependent Variable)。 14.1 断 尾 回 归 假设只有满足 yi c 的数据才能观测到。 对线性模型 yi xi i ， 例： yi 为所有企业的销售收入，而统计局只收集规模以上企业 数据， 比如 yi 100,000 。 被解释变量在 100,000 处存在 “左边断尾” 。
4
图 14.2 反米尔斯比率
5
对 于 正 态 分 布 y ~ N ( , ) ， 定 义 z
2
y
y z 。故
~ N (0, 1) ， 则
E( y | y c) E( z | z c) E z z (c ) z z (c ) (c ) E
yi* , 若 yi* 0 yi * y 0 0, 若 i
21
如使用满足条件“ yi 0 ”的子样本，将导致断尾，出现偏差， 因为
E( yi | xi ; yi 0) E( yi* | xi ; yi 0) (给定 yi 0 ，必然 yi yi* ) E( xi i | xi ; yi* 0) xi E( i | xi ; xi i 0)
断尾随机变量的概率分布 随机变量 y 断尾后，其概率密度随之变化。 记 y 的概率密度为 f ( y ) ，在 c 处左边断尾后的条件密度函数为
f ( y) 若 yc , f ( y | y c) P( y c) 0, 若 yc
由于概率密度曲线下面积为 1， 故断尾变量的密度函数乘以因子 1 。 P( y c)
E( yi | zi* 0) ( wi ) k xik xik
右边第一项为直接影响，第二项是通过改变个体进入样本可能 性而产生的间接影响(即选择性偏差)。 如知道 ，就知道 ( wi ) ，可把它作为解释变量引入回归方程。 Heckman (1979)提出“两步估计法” ，也称“Heckit” 。 第一步：用 Probit 估计方程 P( zi 1| w ) ( wi ) ，得到估计值ˆ ， ˆ ( wˆ ) 。 计算 i
w o 表示 offered wage， w r 表示 reservation wage。
如果 w o w r 0 ，则选择不工作，无法观测到劳动时间(hours)， 造成劳动时间方程的偶然断尾与样本选择问题。
13
考虑二维正态随机向量 ( y, z ) ，记期望为 ( y , z ) ，标准差为
xi E( i | xi ; i xi ) xi xi
12
例 妇女劳动力供给模型：
劳动时间方程
o r
hours 0 1 wage 2 children 3 marriage u
工资方程 w w 0 1 age 2 education 3 children 0 location v
对于模型 yi xi i ， i | xi ~ N (0, 2 ) ，则 yi | xi ~ N ( xi , 2 ) ，故
E( yi | yi c) xi (c xi )
如 果 用 OLS 估 计 yi xi i ， 则 遗 漏 了 非 线 性 项 (c xi ) ，与 xi 相关，导致 OLS 不一致。
并将 Probit 扰动项的标准差 u 标准化为 1。 其中，E( i ) E(ui ) 0 ， OLS 估计，将遗漏非线性项 ( wi ) 。 如 wi 与 xi 相关，则 OLS 不一致，除非“ 0 ”(即 y 与 z 不相关)。
17
解释变量 xik 的边际效应：
样本被观测到的概率：
8
P( yi c | xi ) 1 P( yi c | xi ) yi xi c xi xi 1 P i c xi xi 1 P c xi 1
2
图 14.1 断尾的效果
3
断尾分布的期望也发生变化。以左边断尾为例。 对于最简单情形， y ~ N (0, 1) ，可证明(参见附录)
E( y | y c)
(c )
1 (c )
对于任意实数 c，定义“反米尔斯比率”(Inverse Mill’s Ratio， 简记 IMR)为 (c ) (c ) 1 (c ) 则 E( y | y c) (c) 。
f ( y, z | z c) f ( y, z ) P( z c)
偶然断尾 y 的条件期望：
E( y | z c) y y (c z ) z
14
() 为反米尔斯比率(IMR)函数。
如果 0 (y 与 z 相互独立)， 则 z 的选择过程并不对 y 产生影响。 如果 0 (即 y 与 z 正相关)，则“ z c ”偶然断尾的结果是把 y 的整个分布推向右边(因为 () 0 )，从而使得条件期望 E( y | z c) 大于无条件期望 E( y ) 。 在“ z c ”条件下，偶然断尾 y 的条件期望为
19
14.5 归 并 回 归 对于线性模型 yi xi i ，当 yi c (或 yi c )时，所有 yi 都被归 并为 c，称为“归并数据”(censored data)。 例 (上不封顶的数据，top coding)在问卷调查中，常有诸如“收 入在￥50,000 及以上”这样的选项。 例 (边角解)考虑买车的决定，并考察“买车开支”这个变量。 如果不买车， 则 “买车开支” 的最优解为边角解， 即买车开支为 0； 反之，如果买车，则买车开支一定为正数。 例 (边角解)考察“劳动时间”这个变量。对于失业或待业者而 言， “劳动时间”的最优解为边角解，即劳动时间为 0；而就业者
20
的劳动时间一定为正数。 归并回归(censored regression)与断尾回归不同的是， 虽有全部观 测数据，但某些数据的 yi 被压缩在一个点上。
yi 的概率分布就变成由一个离散点与一个连续分布所组成的混 合分布(mixed distribution)。
假设 yi* xi i ( yi* 不可观测)， i | xi ~ N (0, 2 ) ， 归并点为 c 0 。 假设可观测到：
zi* wi ui zi* 为不可观测的潜变量。
16
假设 ui 服从正态分布，则 zi 为 Probit 模型，故 P( zi 1| wi ) ( wi ) 。 可观测样本的条件期望：
E( yi | yi 可观测) E( yi | zi* 0) E( xi i | wi ui 0) E( xi i | ui wi ) xi E( i | ui wi ) xi ( wi )
断尾后的条件密度：
第十八章-离散选择模型和受限因变量模型
第18章 离散选择模型和受限因变量模型 18.1概述在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量，但在现实的经济决策中经常面临许多选择问题。
在这样的决策问题中，或者选择问题中，人们必须对可供选择的方案作出选择。
通常被解释变量是连续的变量，但此时的因变量只取有限多个离散的值。
例如：人们对交通工具的选择，是选择坐轻轨、地铁还是公共汽车；某大型企业是否合并另一企业；对某一方案的建议持强烈反对、反对、中立、支持和强烈支持5种态度，可以分别用0，1，2，3和4表示。
以这样的选择结果作为被解释变量建立的计量经济学模型，称为离散被解释变量数据计量经济学模型（models with discrete dependent variables ），或称为离散选择模型（DCM ，discrete choice model ）。
如果被解释变量只能有两种选择，称为二元选择模型（binary choice model ）；如果被解释变量有多种选择，称为多元选择模型（multiple choice model ）。
20世纪70和80年代，离散选择模型普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。
在实际中，还会经常遇到因变量受到某种限制的情况，这种情况下，取得样本数据来自总体的一个子集，可能不能完全反映总体。
例如，小时工资、住房价格和名义利率都必须大于零。
这时需要建立的经济计量模型称为受限因变量模型（limited dependent variable model ）。
这两类模型经常用于调查数据的分析中。
本章将讨论三类模型及其估计方法和软件操作。
一是定性（观测值为离散的或者表示排序）；二是截取或者截断问题；三是观测值为整数值的计数模型。
18.2二元因变量模型在这个模型中，被解释变量只取两个值，可以是代表某件事发生与否的虚拟变量，也可以是两个决策中选一个，称为二元因变量模型。
例如：对样本个体是否就业的研究，个体的年龄、教育背景、种族、婚姻状况以及其他可观测的特征，作为解释变量，目的是研究个体这些特征对个体就业概率的研究。
第十八章-离散选择模型和受限因变量模型
第18章离散选择模型和受限因变量模型18.1概述在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量，但在现实的经济决策中经常面临许多选择问题。
在这样的决策问题中，或者选择问题中，人们必须对可供选择的方案作出选择。
通常被解释变量是连续的变量，但此时的因变量只取有限多个离散的值。
例如：人们对交通工具的选择，是选择坐轻轨、地铁还是公共汽车；某大型企业是否合并另一企业；对某一方案的建议持强烈反对、反对、中立、支持和强烈支持5种态度，可以分别用0，1，2，3和4表示。
以这样的选择结果作为被解释变量建立的计量经济学模型，称为离散被解释变量数据计量经济学模型（models with discrete dependent variables），或称为离散选择模型（DCM，discrete choice model）。
如果被解释变量只能有两种选择，称为二元选择模型（binary choice model）；如果被解释变量有多种选择，称为多元选择模型（multiple choice model）。
20世纪70和80年代，离散选择模型普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。
在实际中，还会经常遇到因变量受到某种限制的情况，这种情况下，取得样本数据来自总体的一个子集，可能不能完全反映总体。
例如，小时工资、住房价格和名义利率都必须大于零。
这时需要建立的经济计量模型称为受限因变量模型（limited dependent variable model）。
这两类模型经常用于调查数据的分析中。
本章将讨论三类模型及其估计方法和软件操作。
一是定性（观测值为离散的或者表示排序）；二是截取或者截断问题；三是观测值为整数值的计数模型。
18.2二元因变量模型在这个模型中，被解释变量只取两个值，可以是代表某件事发生与否的虚拟变量，也可以是两个决策中选一个，称为二元因变量模型。
例如：对样本个体是否就业的研究，个体的年龄、教育背景、种族、婚姻状况以及其他可观测的特征，作为解释变量，目的是研究个体这些特征对个体就业概率的研究。
离散选择变量
二、线性概率模型
对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。 1、线性概率模型的概念。 设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示
Yi 1 2 X i ui
其中 X i 为家庭的收入水平， Yi 为家庭购买住房的选择，即
1 Y 0 家庭已购买住房 家庭无购买住房
p （2） ln( ) 对 X i 为线性函数。 1 p p （3）当 ln( ) 为正的时候，意味着随着 X i 的增加，选择 1 的可能性也增 1 p p 选择 1 的可能性将减小。 ) 为负的时候， 随着 X i 的增加， 换言之， 大了。 当 ln( 1 p p ) 会变负并且在幅度上越来越大；当机会比由 1 当机会比由 1 变到 0 时， ln( 1 p p 变到无穷时， ln( ) 为正，并且也会越来越大。 1 p
际情况通常不符。例如购买住房，通常收入很高或很低，对于购买住房的可能性 都不会有太大的影响， 而当收入增加很快时， 对购买住房的影响将会很大。 显然， 购买住房的可能性与收入之间应该是一种非线性关系。
2、Logit 模型的含义。
综合上述讨论，我们所需要的是具有如下两个性质的模型： （1）随着 X i 的减小， pi 趋近 0 的速度会越来越慢；反过来随着 X i 的增大，
ˆ ，用人工的方法定义当 Y ˆ >1 时，取 Y ˆ =1；当 Y ˆ <0 时，取 Y ˆ =0。但要比较 求出 Y i i i i i
好地解决这类问题，只能考虑采用新的估计方法，这就是将要介绍的 Logit 模型 和 Probit 模型。
4
5
第二节 一、Logit 模型的产生
1、产生 Logit 模型的背景。
上述数学模型的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是 1，其概率是 p， 并且这时对应 p 的表示是一线性关系，因此，Y 在给定 X i 下的条件期望 E (Y X i ) 可解释为在给定 X i 下，事件（家庭购买住房）将发生的条件概率为 P (Yi 1 X i ) ， 亦即家庭选择购买住房的概率是家庭收入的一个线性函数。 我们称这一关系式为 线性概率函数。 2、线性概率函数的估计。 对线性概率函数的估计存在以下困难： （1）随机误差项的非正态性表现。
计量经济学重点讲解
计量经济学重点讲解计量经济学重点第⼀章经济计量学的特征及研究范围1、经济计量学的定义（P1）（1）经济计量学是利⽤经济理论、数学、统计推断等⼯具对经济现象进⾏分析的⼀门社会科学；（2）经济计量学运⽤数理统计学分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的模型进⾏实证分析，并得出数值结果。
2、学习计量经济学的⽬的（计量经济学与其它学科的区别）（P1-P2）（1）计量经济学与经济理论经济理论：提出的命题和假说，多以定性描述为主计量经济学：依据观测或试验，对⼤多数经济理论给出经验解释，进⾏数值估计（2）计量经济学与数理经济学数理经济学：主要是⽤数学形式或⽅程（或模型）描述经济理论计量经济学：采⽤数理经济学家提出的数学模型，把这些数学模型转换成可以⽤于经验验证的形式（3）计量经济学与经济统计学经济统计学：涉及经济数据的收集、处理、绘图、制表计量经济学：运⽤数据验证结论3、进⾏经济计量的分析步骤（P2-P3）（1）建⽴⼀个理论假说（2）收集数据（3）设定数学模型（4）设⽴统计或经济计量模型（5）估计经济计量模型参数（6）核查模型的适⽤性：模型设定检验（7）检验源⾃模型的假设（8）利⽤模型进⾏预测4、⽤于实证分析的三类数据（P3-P4）（1）时间序列数据：按时间跨度收集到的（定性数据、定量数据）；（2）截⾯数据：⼀个或多个变量在某⼀时点上的数据集合；（3）合并数据：包括时间序列数据和截⾯数据。
（⼀类特殊的合并数据—⾯板数据（纵向数据、微观⾯板数据）：同⼀个横截⾯单位的跨期调查数据）第⼆章线性回归的基本思想：双变量模型1、回归分析（P18）⽤于研究⼀个变量（称为被解释变量或应变量）与另⼀个或多个变量（称为解释变量或⾃变量）之间的关系2、回归分析的⽬的（P18-P19）（1）根据⾃变量的取值，估计应变量的均值；（2）检验（建⽴在经济理论基础上的）假设；（3）根据样本外⾃变量的取值，预测应变量的均值；（4）可同时进⾏上述各项分析。
第十章定性选择模型与受限因变量模型
尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值：0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为 0.8。我们将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因此，该生决定读研的可能性或概率 的估计值为0.8。需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字，能观测的是读研还是不读研 的决定。
对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜率系数代表的是其他解释变量不变的情况下， 该解释变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率模型中，斜率系数表示其他解释变量不 变的情况下，该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的变动。
对每个观测值，我们可根据（10.3）式计算因变量的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变 量的拟合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的因变量的值。但在本例的情况下，这种 解释就不适用了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美元，Y的拟合值为
Y ˆ 0 .7 0 .4 3 .5 0 .0 0 2 5 0 0 .8
f( Y ix i;β ) [ G ( x iβ ) ] Y i[ 1 G ( x iβ ) ] 1 Y i,Y i 0 ,1 ln li( β ) Y iln [ G ( x iβ ) ] ( 1 Y i) ln [ 1 G ( x iβ ) ]
n
lnL(β) lnli(β) i1
0.13
Observations：30
ARRdejsu2=idst0ue.ad5l8Sum=Ro02f.5S3quares =3.15
F-statistic = 11.87
t-Statistic -2.65 3.25 3.08 0.02
p-Value 0.01 0.00 0.00 0.98
如表所示，INCOME的斜率估计值为正，且在1%的水平上显著。年龄和性别不变的情况下，收 入增加1000元，选择候选人甲的概率增加0.0098。
受限被解释变量数据模型
Model with Limited Dependent Variable ——Selective Samples Model 一、经济生活中的受限被解释变量问题 二、“截断”问题的计量经济学模型
三、“归并”问题的计量经济学模型
一、经济生活中的受限被解释变量问题
cons
5759.210 4948.980 6023.560 8045.340 5666.540 5298.910 5400.240 5330.340 5540.610
incom
7041.87 6569.23 7643.57 8765.45 6806.35 6657.24 6745.32 6530.48 7173.54
二、“截断”问题的计量经济学模型
1、思路
• 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的 样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不 同的。
• 如果能够知道在这种情况下抽取一组样本观测值 的联合概率函数，那么就可以通过该函数极大化 求得模型的参数估计量。
i 1
n
( yi X i ) 2
a X i ln1 i 1
n
yi X i i Xi n 2 ln L 2 ( yi X i ) i i 1 i 1 2 2 4 2 2 2 2
1、“截断”（truncation）问题
• 由于条件限制，样本不能随机抽取，即不能从全 部个体，而只能从一部分个体中随机抽取被解释 变量的样本观测值，而这部分个体的观测值都大 于或者小于某个确定值。 “掐头”或者“去尾”。
计量经济学_南京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
计量经济学_南京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.如果解释变量中存在被解释变量的滞后项，那么检验是否存在自相关应当用答案:BG检验2.DW统计量值接近2时，随机误差项为()答案:无自相关3.如果回归模型中的随机误差项存在异方差，则模型参数的普通最小二乘估计量（）答案:无偏但非有效4.在由n=30的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（）。
答案:0.83275.对于模型【图片】，如果在异方差检验中发现【图片】，则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（）答案:6.若回归模型中的随机误差项存在异方差性，则估计模型参数应采用（）答案:加权最小二乘法7.总体回归线是指答案:解释变量X取给定值时，被解释变量Y的条件均值或期望值的轨迹8.下列关于可决系数的陈述哪个是正确的。
答案:可决系数是指回归平方和(SSR)在总离差平方和(SST)中所占的比重9.在二元线性回归模型【图片】中，【图片】表示（）。
答案:当X2不变时，X1每变动一个单位Y的平均变动。
10.在二元线性回归模型中，回归系数的显著性t检验的自由度为答案:n-311.面板模型中丢失若干观测值，可以说该面板数据是非平衡面板数据。
答案:错误12.面板数据模型有助于减少解释变量之间的共线性，得到更有效的估计量。
答案:正确13.面板数据模型可以解决样本量不足的问题，可以增加样本容量和自由度。
答案:正确14.固定效应模型和随机效应模型的选择性检验，通常采用的是答案:Hausman检验15.面板数据是指答案:不同时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据16.当存在序列相关时，OLS估计量是有偏的并且也是无效的答案:错误17.两个模型，一个是一阶差分形式，一个是水平形式，这两个模型的是不可以直接比较的。
答案:正确18.关于BG检验，下列说法正确的是答案:适用于解释变量中包含被解释变量滞后项的回归_适用于检验自相关性19.DW统计量值接近2时，随机误差项为( )答案:无自相关20.BP检验的结果可以帮助我们为加权最小二乘法寻找合适的权重答案:正确21.存在异方差情况下，普通最小二乘估计量依然是无偏和有效的。
chap受限被解释变量实用
• （2）两步法的heckman回归
• 当数据集比较大时，极大似然估计非常耗时，两步法就 提供了一种很好的替代。键入命令：
• heckman wage educ age, select(married children educ age) twostep mills(m)
• 其中，选项twostep表明使用两步法的heckman回归。 选项mills()会生成一个新变量，计算出各样本的逆米 尔斯比率，即样本不被选择的可能性。我们这里给该变 量命名为m。
• 利用这些数据，我们会讲解样本选择问题的heckman 回归的操作以及相关的预测。
第21页/共32页
• 实验操作指导
• 1 heckman回归的操作
第22页/共32页
• 下面，我们利用“fwage.dta”的数据进行样本选择模 型的回归分析。我们认为，妇女的工资是教育程度和年 龄的函数，而妇女是否选择工作的影响因素是其保留工 资（受婚姻状况、家中儿童数量影响）以及雇主提供的 工资（受教育程度和年龄的影响）。
该回归的结果；第二步是对参加工作的妇女的期望工资的预测， 且将新变量命名为yc；第三步获得wage非缺失值的观测值的 wage和yc的描述统计量。
第28页/共32页
• 如果我们想知道所有妇女的期望工资，参加工作， 如果预期不参加，则其期望工资为0。
以将其看做观测值处于均值水平下的标准误。预测的标准误（stdf）也被称作 the standard error of the future or forecast value，指的是每个观测值 的点预测的标准误。根据两种标准误的计算公式可知，stdf预测的标准误总是 比stdp预测的要大。 我们对上面的断尾回归进行默认预测以及stdp和stdf的预测，采用如下命令： predict y predict p, stdp predict f, stdf list whrs y p f in 1/10 其中，第一步为默认预测，并将预测值命名为y；第二步预测的是拟合的标准误， 并将预测值命名为p；第三步预测的是预测的标准误，并将其命名为f；最后一 步列出原序列值whrs和各预测值的前10个观测值。
第八章 (1) 离散和受限被解释变量模型
SC -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -1 0 -2 -1 0 -2 0 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 0
JGF 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9979 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9998 0.9999 1.0000 0.4472 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.0000 0.0000
• 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
• 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模 型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择 主体所具有的属性。
2、重复观测值不可以得到情况下二元Probit 离散选择模型的参数估计
ln L
fi fi Xi Xi 1 Fi F y 0 y 1 i
i
i
q i f (q i X i ) Xi F (q i X i ) i 1
n i 1
n
n
• 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数 和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模 型参数估计量。
三、二元Probit离散选择模型及其参数 估计
1、标准正态分布的概率分布函数
F (t )
t
(2 )
12
exp( x 2 2)dx
f ( x) (2 )
第14章-受限被解释变量
假设个体进入样本的“选择机制”(selection mechanism)为“选 择变量 z 大于某常数 c” 。 比如，在妇女劳动力供给例子中， z w o w r ，而 c 0 。 断尾后的联合分布：
对于模型 yi xi i ， i | xi ~ N (0, 2 ) ，则 yi | xi ~ N ( xi , 2 ) ，故
E( yi | yi c) xi (c xi )
如 果 用 OLS 估 计 yi xi i ， 则 遗 漏 了 非 线 性 项 (c xi ) ，与 xi 相关，导致 OLS 不一致。
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例 妇女劳动力供给模型：
劳动时间方程
o r
hours 0 1 wage 2 children 3 marriage u
工资方程 w w 0 1 age 2 education 3 children 0 location v
zi* wi ui zi* 为不可观测的潜变量。
16
假设 ui 服从正态分布，则 zi 为 Probit 模型，故 P( zi 1| wi ) ( wi ) 。 可观测样本的条件期望：
E( yi | yi 可观测) E( yi | zi* 0) E( xi i | wi ui 0) E( xi i | ui wi ) xi E( i | ui wi ) xi ( wi )
E( y | z c) y y ( z c) z
假设回归模型为 yi xi i 。