有理数的乘方
有理数的乘方
这样捏合到第 7 次后可拉出128根面条。
生活与数学（二）
珠穆朗玛峰是世 界的最高峰，它 的海拔高度是 8848米。
≈
异想天开
把一张足够大的 厚度为0．1毫米 的纸，连续对折 30次的厚度能超 过珠穆朗玛峰。 这是真的吗？
有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米。
1次
2次 30次
二、如果：x2＝64，x是几？x3＝64，x是几？ 答：如果：x2＝64，x是8或-8； x3＝64，x是4。
小结 & 练习
☞
想一想
１ 三、(－1) n 当n偶数时，结果为＿＿＿ －１ 当n奇数时，结果为＿＿＿ 0 (+1)2005 －(－ 1)2006=___
小结 & 练习
☞
考考你
1.一个数的平方为16,这个数是________
回顾 & 思考
பைடு நூலகம்
学以&致用
创设 & 情境 观察 & 发现
探索 & 交流
小结 &练习 乘方& 故事
生活&数学
回顾 & 思考☞
有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,
两个有理数相乘
异号得负,绝对值相乘. 任何数与0相乘,积仍为0.
几个有理数相乘
积的符号是由负因数的个数决定
口诀：偶为正， 奇为负 乘积为1的两个有理数互为倒数
偶为正，奇为负
10n等于1后面加n个0
小结 & 练习☞
一、写出下列各幂的底数与指数:
4 (1)在64中,底数是___,指数____; 6 a 4 (2)在a4中,底数是___,指数是____； -6 (3)在(-6)5中,底数是 ___, 指______; 5 2 (4)在-25中,底数是____,指数是____; 5
有理数的乘方
有理数的乘方有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。
当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。
n a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅例1 计算：（1）32； （2）()32-； (3)()42-； (4)()52-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。
观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。
（2） 纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）底数幂()22nn a a =-（n 是正整数）； ()2121n n a a --=--（n 是正整数）20n a ≥（a 是有理数，n 是正整数）例2 计算（1）()234⨯-； （2）()()3432-⨯-； （3）()()4326423-÷-÷；（4）()()()2212009111n n +---+-（n 为正整数）。
例3 计算：（1）()23-， ()33-， 5[(3)]--（2）23-， 33-， ()53--；（3）()24--， ()35--， 34()3--， 234-；（4）2223()3-⨯-， 2[(2)(3)]-⨯-， 23(3)⨯-；引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()na -的底数是a -，表示n 个()a -相乘，n a -是n a 的相反数，这是()na -和n a -的区别。
有理数的乘方
1.5.1乘方（一）
教学目标：1、知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2、知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。
重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算。
重点：会进行有理数的乘方运算，弄清（－a ）n 与－a n 的区别
教学过程：
教师归纳：（1）a ×a 可记为a2 （2）a ×a ×a 可记为a3
（3）2×2×2×2×2×2可记为25 （4）a ×a ×a ×a ×…×a （n 个a ）可记为an
乘方的概念
（1）乘方的意义 求n 个相同的因数a
a 叫做底数，n 叫做指数。
（2）乘方的读法 把a n 读作a 的n 次方或者a 的n 次幂
其中一个数可以看作这个数本身的一次方。
讲解课本P41例1
教师：请同学们计算下列各题：（12 ）5，（35 ）5，（－23 ）4，（355 ）
一个学生区别（35 ）5和（355 ）有什么不同。
教师归纳：负数的奇次幂是负数；负数和偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
当底数是负数或分数时，要加括号。
二、巩固知识
课本P42练习
三、总结
本节课主要学习了乘方中的底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂，掌握乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算。
四、布置作业
课本P47 习题1.5第1题
底数 幂。
有理数的乘方
1．(－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？
2．23和32的意义相同吗？
3．(－2)3、－23、－(－2)3分别表示什么意义？
4．(－)4、－分别表示什么意义？
例题讲解
例1计算：
（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．
（2）①()5；②()3；③(－)4．
课堂教学具体环节
例2计算并思考幂的符号如何确定：
课题
2.7有理数的乘方（1）
课型
新授
授课时数
1
主备人
朱从帅
主备内容
个人备课
教材分析
运用几个具有相同特征的算式，引出乘方的概念，同时揭示乘方和乘法的关系．
类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．
主要教学方法与活动设计
及时巩固对乘方有关概念的理解，同时引导学生理解乘方
不具有交换律，当底数是分数和负数时，底数应放在括号内．
教学目标
1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示较大的数．
教学重难点
1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；
2．用科学记数法表示较大的数．
预习情况反馈
你还能举出类似的实例吗？
2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；
7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．
一般地， 记作an，读作“a的n次方”．
求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．
26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数．
有理数的乘方
n
乘方的结果叫做幂。 n 在 a 中， a 叫做底数， n叫做指数。 a n读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次幂。 幂
a
n
指数 因数
因数的个数
底数
退出
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1、有理数的乘方的意义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。 幂
在小学，对底数 a 我们只能取正数，进入 中学后，我们学习了有理数，那么a还可取那 些数呢？
0和负数 02
03
(-2)4
(-3)5
① (-2)(-2)(-2)
1 1 1 1 ② (+ )(+ )(+ )(+ ) 3 3 3 3
①和 ②式中乘法有什么特点和共同点？
① 求 3个相同因数 -2 的积的运算
② 求 4个
相同因数
1 3
的积的运算
共同点：求几个相同的因数的积的运算。
aa a a a a2 3个 a 相加可记为： 棱长为 a 的正方体的体积可记为： 3 aaa a a a a a3 4个 a相加可记为： 那么4个 a 相乘可记为： aaaa ? a a a a a4
(5) a2n-1 = (6) a2n
≥
课堂小结
作乘法运算看 2 ×2 ×2 = 8 因数是2 因数的个数为3 积是8 作乘方运算看 23 = 8 底数是2 指数是3 幂是8
运 算 运算结果
加 和
减
差
乘
积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
除
商
乘方
幂
测试反馈
① -52中底数是 -5，指数是2。 ( ×) ② 一个有理数的平方总是大于0的。 ( × ) ③ (-1)2001+(-1)2002 = 0 ( √ )
有理数的乘方公式
有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘，都得零。
3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的乘方
-32-(-2)2×(-4)+(－1)2020
8×(－12)3+ (－4)×(－3)－(－1)2021
课堂小结
2.能够正确进行有理数的乘方运算
捏合前捏一次后Fra bibliotek捏两次后
2
2×2=22
捏三次后
2×2×2=？
捏十次之后呢？
？
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a 的n次幂（或a的n次方）
幂
a n 指数 因数的个数
底数 因数
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a的n次幂 （或a的n次方）
3.有理数乘方的运算法则 （1）正数的任何次幂都是_正__数 ， （2）负数的奇次幂是_负__数，负数的偶次幂是_正__数. （3）0的任何正整数次幂都是_0__.
温馨提示：幂的底数 是分数或负数时，底 数应该添上括号！
(－5)2底数是___，指数是___，(－5)2读作 ，或 -5；2；-5的2次方；-5的2次幂
注意：(－5)2 =25 －52 = － 25
4.24
（3）23=2×2×2=8
（4）24=2×2×2×2=16
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
有理数的乘方与开方计算
有理数的乘方与开方计算在数学中，我们经常会涉及到有理数的乘方与开方计算。
有理数是整数与分数的统称，包括正数、负数和零。
有理数的乘方与开方运算，是数学中非常重要且基础的概念。
本文将详细探讨有理数的乘方与开方计算方法，帮助读者更好地理解并掌握这一知识点。
有理数的乘方运算包括正数幂、负数幂和零次幂。
首先，让我们来看一下正数的乘方运算。
当一个有理数的正数次幂时，只需将底数连乘该数的次数即可。
例如，2的3次方，即2乘以2乘以2，结果为8。
同理，-3的4次方，即负三乘以负三乘以负三乘以负三，结果为81。
而有理数的负数次幂，则需要借助幂数的倒数来表示，例如，2的-2次方等于1除以2的2次方，结果为1/4。
其次，有理数的零次幂均为1。
无论底数为何有理数，其零次幂都等于1，这是一个重要的数学规律。
比如，7的0次方、-5的0次方、0的0次方，它们的结果均为1。
有理数的开方运算也是乘方运算的逆运算。
开方运算可以将一个数分解成若干个相同的因数相乘的形式。
例如，开2次方即为对一个数求平方根，开3次方即为对一个数求立方根。
当底数为正数时，开方运算存在两个解，一个为正值，一个为负值。
而当底数为负数时，开方运算的结果为虚数。
比如，开4的平方根，结果为2和-2；开-8的立方根，结果为2i和-2i。
了解有理数的乘方与开方计算方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中的问题。
数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着至关重要的角色。
通过不断学习和探索，我们可以更好地理解数学知识，提升自己的数学素养。
希望本文对读者有所帮助，让我们一起努力学习，探索数学的奥秘！。
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有理数的乘方 Prepared on 24 November 2020
学科辅导讲义
1
2
（以上为有理数乘方运算的符号法则）
2n
a（n是正整数）；
n≥（a是有理数，
计算
2
3
4要加括号，不然就是另一种计算了。
15⎝⎭
9
25
5，…，根据前面的各式规律，猜测1357++++为自然数）。
随堂练习 1.当3,5,4a
b
c 时，求下列各代数式的值：2
a
b ； （2ab
b 。
是负数时，判断下列各式是否成立。
2
2
a a ；3
3
a a ；
2.科学记数法
位有什么关系
1
2
1225可写成
2
755625
）请归纳猜想得：10n
）根据上面的归纳猜想，计算出1995。
．给出依次排列的一列数：-1，2，
后面的三项数。
规律。
如（1
猜想（2）n
结论（3）2008
20072008
让学生回忆，做出小结：
1
2
3
27
的数是
320，则3a b 0；
2
1
a ，则a= ；（）在()()
55
5511
23
⎛⎫⎫
--⎪
⎭
，中，最大的数是
）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据916
,…中得到巴尔末公式，从而打开
2
n
）一个数的平方是4，这个数的立方是（
8 或-8
1的最大值是，其中错误的有（
42; (5); (6)()2
2003718⎛⎫
--+- ⎪⎝⎭
; 1⎛⎫⎛-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝2
2⎛⎫
3
42
b
家长签名：。