《集合的基数》PPT课件
由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在 1 号房间原有
的客人安置到 2 号房间、2 号房间原有的客人安置到 3 号房间，以此
类推，这样就空出了 1 号房间留给新的客人。
原客人 a1 住 r1 房间、客人 a2 住 r2 房间……客人 a3 住在 r3 房 间………
则请客人 ai 搬到 ri+1 房间，就会空出一间房间。
双射函数 f : [0,1](0,1)
1/2
f
(
x)
1 1 /
/ 22 2n 2
x
x0 x 1 x 1 / 2n , n 1, 2, ... 其它 x
（6）对任何 a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b].
双射函数 f：[0,1]→[a,b], f(x)=(ba)x+a
类似地可以证明, 对任何 a, b∈R, a<b, 有(0,1)≈(a,b).
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9
二、重要的等势或不等势的结果 1．等势结果 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N 任何实数区间都与实数集合 R 等势 P(A) ≈{0,1}A (例 8.10)
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10
2．不等势的结果 定理 8.7 (康托定理) （1）N ≉ R （2）对任意集合 A 都有 A≉P(A).
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8
3．等势的性质 定理 9.1 设 A，B，C 是任意集合， （1）A≈A. （2）若 A≈B，则 B≈A. （3）若 A≈B，B≈C，则 A≈C. 证明思路：利用等势的等义. （1）IA 是从 A 到 A 的双射 （2）若 f：AB 是双射，则 f1：BA 是从 B 到 A 的双射. （3）若 f：AB，g：BC 是双射，则 fg：AC 是从 A 到 C 的双射.
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3
第一节 集合的等势与优势
一、集合的等势
1. 等势定义
定义 8.8 设 A, B 是集合, 如果存在着从 A 到 B 的双射函数, 就
称 A 和 B 是等势的, 记作 A≈B. 如果 A 不与 B 等势, 则记作
A≉B.
2. 集合等势的实例.
例 8.9（1）Z≈N.
f : Z N,
f
(
x)
2x 2x
1
x0 x0
则 f 是 Z 到 N 的双射函数. 从而证明了 Z≈N.
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4
（2） N×N≈N. N×N 中所有的元素排成有序图形
图1
双射函数 f : N N N, f ( m, n ) (m n 1)(m n) m 2
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5
（3） N≈Q. 为建立 N 到 Q 的双射函数, 先把所有形式为 p/q (p,q 为 整数且 q>0) 的数排成一张表.在计数中只考虑每个数的 第一次出现. 表中数 p/q 上方的方括号内标明了这个有 理数所对应的计数结果. 双射函数 f：N→Q, 其中 f(n)是[n]下方的有理数. 从而 证明了 N≈Q.
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12
例： f (0) 0.121212 f (1) 0.313131 f (2) 0.4242 取不一样的数，比如取：b1 3, b2 5, b3 1， 则b 0.351 [0,1]
1/3
[9]
2/3 3/3 …
[15]
-1/4 0/4
[14]
1/4
2/4
[13]
3/4 …
图2
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7
（4）(0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}. 令
双射函数 f : (0,1) R, f (x) tan 2x 1
2
（5）[0,1]≈(0,1). 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间.
f ( n 1 ) 0 .a n1a n 2 a nn
令 b 0 .b1 b 2 b 3 [ 0 , 1 ], 其 中 2 | b i a ii | 6 ,０ b i , a ii 9 .
由于
bi
a
，
ii
知
b ranf， 从 而 f 不 是 满 射 ， 矛 盾 ！
故假设不成立.
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6
[18]
[5]
-3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
[16]
… -3/4 …
-2/4
PLAY
[4]
[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
[10]
[11]
2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
[8]
第九章 集合的基数
主要内容 集合的等势及其性质 重要的等势或不等势的结果 集合的优势及其性质 自然数与自然数集合 集合的基数 可数集
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1
引言
＊ Hilbert 旅馆问题＊
问题一： 一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客
满。现又来了一位客人，请问该如何安插这一个客人?
Solution:
改为ｆ(ai)＝ri+n ｉ＝１,２......即可解决。
问题三：有可数无限多个房间的旅馆现已满，又来了无限多位客人，请问该如何安 插无限多位客人？ Solution:
将 1 号房间原有的客人安置到 2 号房间、2 号房间原有的客人安置到 4 号房间、 i 号房间原有的客人安置到 2i 号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以 容纳新的客人。 请客人 ai 搬到 r2i 房，则会空出无限多间旅馆，如下所示： 改为ｆ(ai)＝r2i ｉ＝１,２......即可解决。
将原本为ｆ(ai)＝ri
客人 A：{a1,a2.....an....｝ 房间Ｂ：{r1,r2.....rn....｝
改为ｆ(ai)＝ri+1 ｉ＝１,２......即可解决。
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2
问题二：有可数无限多个房间的旅馆现已满，又来了 n 位客人，请问该如何安插 n 位客人？ Solution:
将原先在 1 号房间原有的客人安置到 1+n 号房间、2 号房间原有的客人安置 到 2+n 号房间，以此类推，这样就空出了 n 号房间留给新的客人。请客人 ai 搬到 ri+n 房，则会空出 n 间房间
11
C an tor反 证 法 ： 假 设 N [0 , 1 ], 则 存 在 双 射 f ： N [0 , 1 ] 设：
f (0 ) 0 .a 11a 12 a 1n f (1 ) 0 .a 21a 22 a 2n f ( 2 ) 0 .a 11a 12 a 1n
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离散数学课件-9-集合的基数
第九章集合的基数集合的等势与优势定义2对任意集合a均有apa定义射函数则称b优势于a记为a性质
第九章 §1
集合的基数
集合的等势与优势
定义 设 A,B 是两个集合，若存在从 A 到 B 的 双射函数，则称 A 与 B 等势，记为 A≈B。 例 ① Z ≈ N，f：Z→N
⎧ 2 x, x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎩ −2 x − 1, x < 0
5
定义 设 A 是有穷集，与 A 等势的唯一自然数 称为 A 的基数，记为 card A，或 |A|；自然数集的基 数记为ℵ0；实数集的基数记为ℵ 。 规定：① card A=card B ⇔ A≈B ② card A≤card B ⇔ A ⋅ B ③ card A<card B ⇔ card A≤card B∧card A≠card B 此外，cardN=ℵ0，card R=ℵ，ℵ0< ℵ 0,1,2, " ,n, ", ℵ0, ℵ,"（从小到大排列） ℵ0 是最小的无穷基数 定义 设 A 是集合， 若 card A≤ ℵ0， 则称 A 为可 数集（或可列集） 。 性质：① ② ③ ④ ⑤ 可数集的子集是可数集 两个可数集的并是可数集 两个可数集的笛卡尔积是可数集 可数个可数集的并是可数集 无穷集的幂集不是可数集
6
3
⋅{0,1}N 。
g : {0,1}N → [0,1), g ( t x ) = 0. x1 x2 "
这里 x = 0. x1x2"是 x 的十进制表示。 因为 g(t)是单射，所以{0,1}N
⋅[0,1) 。
§2
集合的基数
定义 设 A 是集合，称 A∪{A}为 A 的后继，记 为 A+。 例 ∅+={∅},∅++={∅,∅+},∅+++={∅,∅+,∅++}," 性质：前面的集合都是后边集合的元素 前面的集合都是后边集合的子集 自然数的定义： 1° 0=∅，1=0+={0}，2=1+={0,1}，" n=(n-1)+={0,1,2,",n-1},"
第九章 §1
集合的基数
集合的等势与优势
定义 设 A,B 是两个集合，若存在从 A 到 B 的 双射函数，则称 A 与 B 等势，记为 A≈B。 例 ① Z ≈ N，f：Z→N
⎧ 2 x, x ≥ 0 f ( x) = ⎨ ⎩ −2 x − 1, x < 0
5
定义 设 A 是有穷集，与 A 等势的唯一自然数 称为 A 的基数，记为 card A，或 |A|；自然数集的基 数记为ℵ0；实数集的基数记为ℵ 。 规定：① card A=card B ⇔ A≈B ② card A≤card B ⇔ A ⋅ B ③ card A<card B ⇔ card A≤card B∧card A≠card B 此外，cardN=ℵ0，card R=ℵ，ℵ0< ℵ 0,1,2, " ,n, ", ℵ0, ℵ,"（从小到大排列） ℵ0 是最小的无穷基数 定义 设 A 是集合， 若 card A≤ ℵ0， 则称 A 为可 数集（或可列集） 。 性质：① ② ③ ④ ⑤ 可数集的子集是可数集 两个可数集的并是可数集 两个可数集的笛卡尔积是可数集 可数个可数集的并是可数集 无穷集的幂集不是可数集
6
3
⋅{0,1}N 。
g : {0,1}N → [0,1), g ( t x ) = 0. x1 x2 "
这里 x = 0. x1x2"是 x 的十进制表示。 因为 g(t)是单射，所以{0,1}N
⋅[0,1) 。
§2
集合的基数
定义 设 A 是集合，称 A∪{A}为 A 的后继，记 为 A+。 例 ∅+={∅},∅++={∅,∅+},∅+++={∅,∅+,∅++}," 性质：前面的集合都是后边集合的元素 前面的集合都是后边集合的子集 自然数的定义： 1° 0=∅，1=0+={0}，2=1+={0,1}，" n=(n-1)+={0,1,2,",n-1},"
4.函数--集合的基数PPT课件
从函数的定义可知,XY的所有子集中，并不是全 部子集都可以成为X到Y的函数,那么从X到Y有多少种 不同的函数?
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
X Y { a , 0 a , 1 b , 0 b , 1 c , 0 c , 1 }
X Y 中,有 26 64 个子集,
第5章 函数
函数是一个基本的数学概念,在通常的函数定义 中,y=f(x)在实数集合上讨论.在这里,函数的概念 得到了推广,函数被看成是一种特殊的关系.
5.1 函数的概念
5.1.1 函数的基本概念 函数也称为映射,它反映了从一个集合到另一个
集合之间的一种对应关系. 定义 设X和Y是任意两个集合，f是从X到Y的关系， 若对于每一个x∈X，都存在一个唯一的y∈Y，能使 <x,y>∈f ，则称关系f为X到Y的函数（映射）, 记作 f：X→Y.
2021/3/12
8
定义 设函数f:XY，如果f既是满射又是单射函数, 则称这个函数是双射函数.
例如,f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3,则f既是满射又是 单射函数,所以是双射函数.
双射函数有： (1)|X|=|Y| (2) R(f)=Y
2021/3/12
9
例:判定下列函数是单射,满射还是双射函数. (1)集合A={1,2,3,4},B={a},f是A到B的函数,且 f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a.
2021/3/12
1
f：X→Y中,X称作f的定义域,Y称作f的值域(也称上 域).x为函数的自变量,y称为对应于x的函数值(或称 映像),记作y=f(x).有所有映像组成的集合称为函数 的值域.
由函数的定义可知,函数是一种特殊的二元关系, 主要在于:
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
X Y { a , 0 a , 1 b , 0 b , 1 c , 0 c , 1 }
X Y 中,有 26 64 个子集,
第5章 函数
函数是一个基本的数学概念,在通常的函数定义 中,y=f(x)在实数集合上讨论.在这里,函数的概念 得到了推广,函数被看成是一种特殊的关系.
5.1 函数的概念
5.1.1 函数的基本概念 函数也称为映射,它反映了从一个集合到另一个
集合之间的一种对应关系. 定义 设X和Y是任意两个集合，f是从X到Y的关系， 若对于每一个x∈X，都存在一个唯一的y∈Y，能使 <x,y>∈f ，则称关系f为X到Y的函数（映射）, 记作 f：X→Y.
2021/3/12
8
定义 设函数f:XY，如果f既是满射又是单射函数, 则称这个函数是双射函数.
例如,f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3,则f既是满射又是 单射函数,所以是双射函数.
双射函数有： (1)|X|=|Y| (2) R(f)=Y
2021/3/12
9
例:判定下列函数是单射,满射还是双射函数. (1)集合A={1,2,3,4},B={a},f是A到B的函数,且 f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a.
2021/3/12
1
f：X→Y中,X称作f的定义域,Y称作f的值域(也称上 域).x为函数的自变量,y称为对应于x的函数值(或称 映像),记作y=f(x).有所有映像组成的集合称为函数 的值域.
由函数的定义可知,函数是一种特殊的二元关系, 主要在于:
《集合的基数》课件
统计力学
在统计力学中，集合的基数用于描述系统的微观状态数量。 例如，在气体分子运动论中，集合的基数用于计算气体分子 的平均动能和熵等物理量。
03
集合的基数与其他数学概 念的关系
与集合运算的关系
并集与基数
设 $A, B$ 为任意集合，集合 $A$ 和 $B$ 的并集 $A cup B$ 的基数为 $|A cup B| = |A| + |B|$。
基数与连续性
如果在区间 $[a, b]$ 上，对于任意 $x_1, x_2$，当 $x_1 to x_2$ 时，有 $|f(x_1)| leq M$，则函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。
与实数连续性的关系
连续性与基数
在实数轴上，任意两个不相邻的开区间 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，若 $(a, b) cup (c, d) = (0, 1)$，则 $|(a, b)| + |(c, d)| = 1$。
如何理解基数与集合的其他性 质之间的关系，例如，与拓扑 、测度等概念的关系。
如何应用集合基数理论解决实 际问题，例如，在信息检索、 数据挖掘等领域的应用。
集合基数在未来的应用前景
随着大数据时代的到来，集合基 数理论在数据处理、数据挖掘等
领域的应用前景越来越广阔。
随着数学与其他学科的交叉融合 ，集合基数理论在其他领域的应
合。
不可数集合的基数
不可数集合的基数是指该集合中元 素的数量，通常用阿列夫符号表示 。
不可数集合的例子
实数集、无理数集、无限不循环小 数集等。
连续统假设
连续统假设的定义
连续统假设是指所有正偶数集和所有 正奇数集之间存在一个一一对应的集 合。
连续统假设的证明尝试
在统计力学中，集合的基数用于描述系统的微观状态数量。 例如，在气体分子运动论中，集合的基数用于计算气体分子 的平均动能和熵等物理量。
03
集合的基数与其他数学概 念的关系
与集合运算的关系
并集与基数
设 $A, B$ 为任意集合，集合 $A$ 和 $B$ 的并集 $A cup B$ 的基数为 $|A cup B| = |A| + |B|$。
基数与连续性
如果在区间 $[a, b]$ 上，对于任意 $x_1, x_2$，当 $x_1 to x_2$ 时，有 $|f(x_1)| leq M$，则函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。
与实数连续性的关系
连续性与基数
在实数轴上，任意两个不相邻的开区间 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，若 $(a, b) cup (c, d) = (0, 1)$，则 $|(a, b)| + |(c, d)| = 1$。
如何理解基数与集合的其他性 质之间的关系，例如，与拓扑 、测度等概念的关系。
如何应用集合基数理论解决实 际问题，例如，在信息检索、 数据挖掘等领域的应用。
集合基数在未来的应用前景
随着大数据时代的到来，集合基 数理论在数据处理、数据挖掘等
领域的应用前景越来越广阔。
随着数学与其他学科的交叉融合 ，集合基数理论在其他领域的应
合。
不可数集合的基数
不可数集合的基数是指该集合中元 素的数量，通常用阿列夫符号表示 。
不可数集合的例子
实数集、无理数集、无限不循环小 数集等。
连续统假设
连续统假设的定义
连续统假设是指所有正偶数集和所有 正奇数集之间存在一个一一对应的集 合。
连续统假设的证明尝试
【精品】离散数学(集合、关系、函数、集合的基数)PPT课件
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算
定理1.3
设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
定理1.4 设A，B为两个集合，则下列关系式成立： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
A＝B，C＝D
第1章 集合
1.2 集合之间的关系
定理1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。 定义1.3 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
A⊂B 或 B⊃A 例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集
A∩B＝｛1，3，5｝
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是A∩B。
U
A
B
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：A∩A＝A （2）同一律：A∩U＝A （3）零律：A∩＝ （4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （5）交换律：A∩的运算
1.3.2 集合的交运算 定义1.7 任意两个集合A、B的交记作A∩B，它也是一个集合， 由所有既属于A又属于B的元素构成，即
A∩B ＝｛x | x属于A且x属于B｝ 例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
A∩B＝｛b，c｝ 又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
定义1.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论 问题的完全集，简称全集。
离散数学课件第九章集合的基数
= {}∪{{}}
= {,{}}
= {, +}
+++ ={,{}}+ = {,{}}∪{{,{}}} = {,{},{,{}}} = {, +, ++ }
说明
前边的集合都是后边集合的元素。 前边的集合都是后边25集合的子集。
自然数的定义
利用后继的性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自 然数的定义，即 0= 1=0+＝+ ＝{}＝{0} 2=1+＝{}+ ＝{}∪{{}}＝{,{}}＝{0,1} 3＝2+＝{,{}}+＝{,{},{,{}}}＝ {0,1,2} … n＝{0, 1, …, n1} …
说明 这种定义没有概括出自然数的共同特征。
26
归纳集
定义9.4 设A为集合，如果满足下面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两个条件： （1）∈A （2）a(a∈A→a+∈A)
称A是归纳集。
例如：下面的集合 {, +, ++, +++,…} {, +, ++, +++, … , a, a+, a++, a+++, …} 都是归纳集。
27
自然数n和自然数集合N的定义
定义9.5 自然数 （1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。 （2）自然数集N是所有归纳集的交集。 说明：根据定义9.5得到的自然数集 N 恰好由, +, ++,
+++,…等集合构成。而这些集合正是构造性方法所定义的 全体自然数。
例如：自然数都是集合，集合的运算对自然数都适用。 2∪5＝{0,1}∪{0,1,2,3,4}＝{0,1,2,3,4}＝5 3∩4＝{0,1,2}∩{0,1,2,3}＝{0,1,2}＝3 4-2＝{0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3＝{0,1}×{0,1,2}＝{<028,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
《集合的基数》课件
集合论与其他学科的交叉研究
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
第六章集合的基数
2012-12-4
17
6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
2012-12-4
12
6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
2012-12-4 2
6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
2012-12-4
14
6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
离散数学课件章集合的基数ppt
康托定理
(2)设g:A→P(A)就是从A到P(A)得任意函数, 如下构造集合B: B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。 但就是对任意x∈A,都有
x∈B xg(x) 所以,对任意得x∈A都有B≠g(x),即Bran g 即P(A) 中存在元素B,在A中找不到原像。 所以,g不就是满射得。 所以, A ≈P(A)。
24
25
2n2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(
x)
1/ 22 1/ 2n12
x
x0 x 1 x 1/ 2n , n 1, 2,... 其它x
等势集合得实例(6)
(6)对任何a, b∈R,a<b, [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f:[0,1]→[a,b],f(x)＝(ba)x+a。
例如:
N ≤·N N ≤·R A ≤·P(A)
N ＜·R A ＜·P(A)
R ≮·N N ≮·N R≤·N
优势得性质
定理9、3 设A, B, C就是任意得集合,则 (1)A≤·A。 (2)若A ≤·B且B ≤·A,则A≈B。 (3)若A ≤·B且B ≤·C, 则A ≤·C 。 证明: (1)IA就是A到A得单射,因此A≤· A。 (2)证明略。 (3)假设A ≤·B且B ≤·C,那么存在单射 f:A→B,g:B→C,
f : (0,1) R, f (x) tan 2x 1
2
则 f 就是(0,1)到R得双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
等势集合得实例(5)
(5)[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)与[0,1]分别为实数开区间与闭区间。
01
1 2
第六章集合的基数-PPT课件
集合的基数
a ,a , ,a } a a 当 S i 为有限集{ 时，令 a i0 i 1 ik ik i ( k 1 ) i ( k 2 ) 从而 S ，S中元素排列为： S S S S i 0 1 2 a , a , a , a , a , a , ∴S为可数集。 00 01 10 02 11 20 N×N是可数集；有理数是可数集(证明见书)。 • 定理6.11：实数集的子集[0,1]区间是不可数集。 a ,a }，由 证：用反证法。设[0,1]为可数集 { 0,a 1 2, 于[0,1]中的实数均可表示为十进制无限小数，因 此[0,1]中的实数可如下列出：a 0 : 0 . x 00 x 01 x 02
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第六章 集合的基数
• 定理6.14：对任意集合A，B，若|A|≤|B|，|B|
≤|A|，则|A|=|B|。 证：设|A| |B|，则或|A|<|B|，或|B|<|A|且不能 兼而有之，而|A|≤|B|，|B| ≤|A|，矛盾。 例：P(N)(N为自然数集)额为连续统。 证：建立单射f:P(N)→[0,1]和单射g:[0,1]→P(N) 即可。 定义f:P(N)→[0,1]。如下：
S ,S S。 合，记为 S ，显然 S 可以构造出集合序列： 例：令 S ，则
0 1 { }
2 { }{{ }}{ ,{ }}
将上面的集合依次命名为0,1,2，…，就可构造出自 然数，用“:=”来命名；即
0 : , 1 : 0 { } { 0 }, 2 : 1 { , { }} { 0 , 1 } 3 : 2 { , { }, { , { }}} { 0 , 1 , 2 } 1 : n { 0 , 1 , 2 , } 一般地：n
a ,a , ,a } a a 当 S i 为有限集{ 时，令 a i0 i 1 ik ik i ( k 1 ) i ( k 2 ) 从而 S ，S中元素排列为： S S S S i 0 1 2 a , a , a , a , a , a , ∴S为可数集。 00 01 10 02 11 20 N×N是可数集；有理数是可数集(证明见书)。 • 定理6.11：实数集的子集[0,1]区间是不可数集。 a ,a }，由 证：用反证法。设[0,1]为可数集 { 0,a 1 2, 于[0,1]中的实数均可表示为十进制无限小数，因 此[0,1]中的实数可如下列出：a 0 : 0 . x 00 x 01 x 02
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第六章 集合的基数
• 定理6.14：对任意集合A，B，若|A|≤|B|，|B|
≤|A|，则|A|=|B|。 证：设|A| |B|，则或|A|<|B|，或|B|<|A|且不能 兼而有之，而|A|≤|B|，|B| ≤|A|，矛盾。 例：P(N)(N为自然数集)额为连续统。 证：建立单射f:P(N)→[0,1]和单射g:[0,1]→P(N) 即可。 定义f:P(N)→[0,1]。如下：
S ,S S。 合，记为 S ，显然 S 可以构造出集合序列： 例：令 S ，则
0 1 { }
2 { }{{ }}{ ,{ }}
将上面的集合依次命名为0,1,2，…，就可构造出自 然数，用“:=”来命名；即
0 : , 1 : 0 { } { 0 }, 2 : 1 { , { }} { 0 , 1 } 3 : 2 { , { }, { , { }}} { 0 , 1 , 2 } 1 : n { 0 , 1 , 2 , } 一般地：n
集合的基数（1）
第四节 集合的基数所谓集合的基数，对于有限集合来说，基数就是集合中所含元素的个数。
因此，基数是集合中元素个数的推广。
定义4.1 设A 和B 是两个集合，如果存在从A 到B 的双射函数，则称A 与B 是对等的。
记作B A ≈。
容易验证对等是集合之间的等价关系。
我们称彼此对等的集合有相同的基数或相同的势。
用A 或cardA 表示集合A 的基数。
如果存在从A 到B 的单射函数，则称B 优势于A ，或cardA cardB ≤。
又如果cardA cardB ≤且A 与B 不对等，则称B 绝对优势于A ，记作cardA cardB <。
如果cardA cardB ≤且cardB cardA ≤，则cardA cardB ＝。
基数实际上是集合按照对等关系构成的等价类中元素的共同特征。
如果集合A 是有限集，则A A =。
例4.1 （1）N Z ≈，双射函数规定如下：…-3 -2 -1 0 1 2 3……5 3 1 0 2 4 6…（2）N N N ≈× 双射函数如表3.6所示。
（3）Q N ≈ ，这里Q 为全体有理数的集合。
双射函数如表3.7所示。
在表3.7中，有理数与它右上角[n]内的自然数n 对应。
从0开始，用箭头标出了一条遍及的有有理数的路线L →→→]2[]1[]0[。
在标记[n]时，跳过前面已经经过的所有有理数。
如，标记[3]时跳过了0/2=0。
n m 0123M 0123L 0136247589表3.1L →↑]5[1/2−L ←]4[1/1−↓2/2−↓L ]6[3/2−L L↑]3[1/1−→]7[3/1−L ←2/0]0[1/0→3/0→L ]8[3/1→]9[3/2→]1[1/1↓]2[2/1↑2/2]9[3/2表3.2L L(4) }10|{)1,0(,)1,0(<<∈=≈x R x x R 且其中。
双射函数R f →)1,0(:规定如下：21()(−=x tg x f π （5）)1,0(]1,0[≈，其中}10|{]1,0[≤≤∈=x R x x 且。