311空间向量及其运算
311空间向量及其运算
A4
⑵首尾顺次相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
……
A2
An
A3
A4
四、平行六面体
平行四边形ABCD按向量 a 平移到A1B1C1D1的 轨迹形成的几何体叫做平行六面体.
记作：平行六面体ABCD—A1B1C1D1 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做 平行六面体的棱.
（4）若空间向量 m、n、p 满足 m n, n p，则 m p；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
变式：如图所示，长方体中 （1）写出与向量 AB 相等的其余向量；
（2） 写出与向量 AA1相反的向量。
(1)A1B1, D1C1, DC.
ab ba
（2）加法结合律:
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
推论：
⑴首尾顺次相接的若干个向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
A2
An
……
A3
平面向量
空间向量
定义 表示法 向量的模 相等向量
相反向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB
向量的大小 a AB
长度相等且方向相同 的向量
长度相等且方向相反 的向量
3.1.1空间向量及其加减运算
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则
a 三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法 三角形法则
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形， 每个面的边叫做平行六面体的棱。
例2已知平行六面体 ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
(1)( AB BC) CC1;(2)( AA1 A1D1) D1C1; (3)( AB BB1) B1C1; (4)( AA1 A1B1) B1C1.
A.1 B.2 C.3 D.4
变式：化简：(1)( AB CD) ( AC BD) (2) AB CB AD AD
小结
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
D’ A’
C’ B’
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
D
C
A
B
例2、已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D '，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； (3) AB CB AA
3.1.1空间向量及其加减运算(说课稿)
3.1.1空间向量及其加减运算（说课稿）一．教材分析1.本节内容在高中教材中的地位和作用向量可以表示物体的位置，本身也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象；向量可以进行加减，数乘，数量积等运算，又成为了代数学的研究对象。
可以说向量是重要的数学模型，是沟通代数，几何的桥梁。
在学习了立体几何初步和平面向量的基础上进行的空间向量的学习为空间向量解决立体几何问题提供了新的视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
而本节内容又是整个空间向量的基础，是后续学习的前提，因此学好这节内容就显得尤为重要。
2.教学重难点（1）教学重点：类比平面向量知识理解掌握空间向量的有关概念及其加减运算。
（2）教学难点：空间向量的加减运算。
二．学情分析由于学生已学过平面向量知识有一定的向量基础，学习过立体几何知识有一定的空间观念，因此在教学中可运用类比和归纳让学生体验数学结构上的和谐性。
由于空间向量是在平面向量的基础上推广的，涉及内容和平面向量类似，学生应该容易接受。
但要在教学过程中注意维数增加给学生带来的不利影响。
三．教学目标1.知识目标理解空间向量的相关概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律。
2.能力目标（1）体会类比和归纳的数学思想。
（2）进一步培养学生的空间观念。
（3）体会数形结合的思想。
3．情感态度、价值观目标：（1）培养学生认真参与，积极交流的主体意识。
（2）培养学生探索精神和创新意识。
（3）使学生懂得数学源于生活，服务于生活。
四．教法学法教法：采取类比引导、计算机辅助教学、反馈评价等方式；学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。
五．教学过程根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作如下安排：1.创设情境——引入新课我将以三名学生从空间三个不同的方向提拉一物体这样一个生活实例出发，让学生感受向量在生活中的存在，以及学习空间向量的必要性。
课件2：3.1.1 空间向量及其加减运算
叫做空间向量，向量的 大小 叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用 有向线段 表示．起点是
A，终点是 B 的向量 a 也可以记作
→ AB
.其模记作 |a|或|A→B|
.
(3) 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0；模为 1 的向量 叫做单位向量． (4) 方向相同且模相等 的 向 量 称 为 相 等 向 量 ． 与 向 量 a___长__度__相__等__方__向_相__反___的向量称为 a 的相反向量，记为 －a .
2．向量加减运算时，特别注意相反向量的应用，三角形 法则的应用．
3．将一个向量用其他向量线性表示是重点，要特别注意 加法“首尾相接”，减法必须同一起点，指向被减．
巩固训练
一、选择题
1．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
跟踪练习 3 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 BC，
A1B1 的中点，设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，用 a、b、c 表 示向量B→1E，C→F.
[解析] B→1E＝B→1B＋B→E＝B→1B＋12B→C ＝－D→D1－12D→A＝－c－12a； C→F＝C→C1＋C→1F＝C→C1＋C→1B1＋12B→1A1 ＝D→D1＋D→A－12D→C＝c＋a－12b.
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上， 这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B，则 A→B＝b－a，B→A＝a－b.
高中数学3-1-1空间向量及其加减运算
试一试：在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点
A，那么它们的终点构成怎样的图形？
提示 球面．
课前探究学习
课堂讲练互动
2． 空间向量的加减法与运算律 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向量的 加减法＝
→ → a＋b OB＝OA＋AB＝______； → a－b CA＝OA－OC＝______.
3.1
空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
【课标要求】 1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向 量的概念． 2．掌握空间向量的加法、减法运算．
课前探究学习 课堂讲练互动
【核心扫描】 1． 空间向量的基本概念和性质．(难点) 2． 空间向量的加减法运算．(重点)
课前探究学习
(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相 等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关． 3．向量的加减法法则 空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平
面向量的加减法，如图所示．
OB＝OA＋AB＝a＋b
→
→
→
BA＝OA－OB＝a－b
课前探究学习 课堂讲练互动
→
→
→
注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起
→
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→
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课前探究学习
课堂讲练互动
[正解] DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B → ＝BA＋BC＋BB1 ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
→
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→ →
人教版高中数学选修（2-1）-3.1知识归纳：空间向量及其运算
人教版高中数学选修（2-1）-3.1知识归纳：空间向量及其运算3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的概念：⑴ 在空间，我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.⑵ 向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.2．空间向量的加减运算：加法运算：平行四边形法则和三角形法则；减法运算：三角形法则.3. 共面向量的定义：一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量.4.共面向量的判定；平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是λ=，类比到空间向量，即有共面向量定理如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得y x +=α.这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a ,线性表示.5.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.6.若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或//p .§3.1.3空间向量的数量积运算1.夹角的定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AO B ∠叫做向量与向量的夹角，记作><,.规定：π>≤≤<,0.2.数量积：已知两个非零向量,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量,的数量积，记作?，即?＝><,cos ||||.特别的，,>=<=?.3.空间向量的数量积的运算律：)()(b a b a ?=?λλ；?=?（交换律）；?+?=+?)(（分配律）.4.如果0,>=<，那么与同向；如果π>=<,，那么与反向；如果090,>=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥.5．空间向量数量积的性质：（1）0a b a b ⊥?=.（用于判定垂直问题）（2）2a a =.（用于求模运算问题）（3）cos ,||||a b a b a b ?<>=．（用于求角运算问题）§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.空间向量基本定理如果三个向量,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{}z y x ,,，使z y x ++=2.空间直角坐标系：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示.3.空间直角坐标系中的坐标：给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．4.空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，。
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修2_1
(3)空间向量加法的平行四边形法则.先把已知的两个空间向量 的起点平移到同一点,再以这两个向量为邻边作平行四边形,则这两 条邻边所夹的平行四边形的对角线所在的向量(起点与平移后的两 个向量的起点相同)就是这两个已知向量的和.如图,若 ������������ =a, ������������ =b,则������������ = ������������ + ������������ =a+b.
(6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点 O,作 ������������ =a, ������������ =b,则������������ =a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
题型一
题型二
空间向量的概念 【例1】 给出以下命题: ①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有������������ = ������1 ������1 ; ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确的命题序号为 .
如图①, ������������ = ������������ + ������������ =a+b. 如图②, ������������ = ������������ + ������������ =a+b; ������������ = ������������ − ������������ =a-b. (2)空间向量的加法运算满足: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a&零向量,记作0,零向量的方向是 任意的.当有向线段的起点A与终点B 重合时, ������������ =0. (4)单位向量:模为1的向量. (5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反 向量,记为-a. (6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 归纳总结(1)零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一 特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非 零向量”. (2)零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量都可以用空间 中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.1 空间向量及其加减运算
知识精要
典题例解
迁移应用
一、空间向量的概念
1.理解空间向量概念时的四个关注点 (1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法. (3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量. 2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所 指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例1】 下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于1,但方向不一定相同,可以是任意方向,故A错;0的相反向量还是0,它们是相等的, 故B错;当|a|=|b|时,a与b的方向是任意的,不一定相同或相反,故C错;当a与b互为相反向量时,|b|=|-a|=|a|,故D 正确.
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
2.特殊位置关系的加减法 (1)共线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则,可利用 三角形法则. (2)共终点向量:共终点的向量相加减,可通过平移两向量使两向 量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算. (3)常用关系与常用数据: