华师大版八年级数学上册 等腰三角形

等腰三角形专题一 与等腰三角形有关的探究题1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ） A.2013 B. 2014 C.20122D. 201323. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝1AC ; 在2A C 上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去,求∠n A 的度数.4. 如图，点O 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ，连接OD ． （1）试说明△COD 是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD 的形状，并说明理由．5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．专题二等腰（边）三角形中的动点问题6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．8. 阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．状元笔记[知识要点]1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形． 3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．参考答案1. C 【解析】 由ca bc ab c b a ++=++222得：222()()()0a b b c a c -+-+-=，所以000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，所以a b c ==，所以②、③是真命题，故选C. 2. C 【解析】 ∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠1=60°. ∵∠MON=30°， ∴∠2=30°=∠MON ， ∴A 1B 1 =OA 1=1= A 1A 2.同理可证：A 2B 2 =OA 2 =2，A 2A 3=OA 2 =2，A 3A 4=OA 3 =4=22，A 4A 5=OA 4 =8=32. 以此类推：A 2013B 2013A 2014=22012． 故选C ．3. 解：如图，在△AB 1A 中， ∵∠B ＝20°,AB ＝1A B ， ∴∠1AA B ＝80°. 在△12A A C 中， ∵12A A ＝1AC ， ∴∠12A A C ＝112AA B ∠＝1802⨯＝211802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝40°. 在△23A A D 中, ∵23A A ＝2A D ,∴∠23A A D ＝1212A A C ∠＝118022⨯⨯＝311802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝20°.依此类推, 得∠n A 的度数为11802n -⎛⎫⎪⎝⎭.故∠n A 的度数为1n-11808022n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.4. 解：（1）∵△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ， ∴∠OCD=90°，CO=CD ， ∴△COD 是等腰直角三角形；（2）△BOD 为等腰三角形． 理由如下：∵△COD 是等腰直角三角形， ∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°， ∴∠OBD=180°-80°-50°=50°． ∴△BOD 为等腰三角形． 5. 解：（1）△ODE 是等边三角形， 其理由是：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE 是等边三角形； （2）BD=DE=EC ，其理由是： ∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠OBD=30°， ∵OD ∥AB ，∴∠BOD=∠ABO=30°， ∴∠DBO=∠DOB ， ∴DB=DO ， 同理可证EC=EO. ∵DE=OD=OE ， ∴BD=DE=EC ． 6. 60°，60°，60°.证明: ∵BM=CN ；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM ≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;∴∠BQM=∠BAM +∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC =60°.7. 解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°； 从图中可以得知，点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小； 故答案为：25°；小．（2）当△ABD ≌△DCE 时,DC=AB, ∵AB=2， ∴DC=2，∴当DC 等于2时，△ABD ≌△DCE ； （3）∵AB=AC ，∴∠B=∠C=40°， ①当AD=AE 时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED ＞∠C ，∴此时不符合； ②当DA=DE 时，即∠DAE=∠DEA=12（180°-40°）=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∴∠BAD=100°-70°=30°. ∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③当EA=ED 时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°. ∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE 是等腰三角形．8. 解：（1）证明：连结AP ，BP ，CP.则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅， ∵AB=BC=AC ，∴r 1+r 2+r 3=h （定值）． （2）存在；2.初中数学试卷灿若寒星制作。