立体几何中画图与常见题型思路分析(一)
立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧(理科)
啊没立体几何知识点和例题讲解一、知识点<一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅221()x x =-+14.异面直线间的距离： ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).15.点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18. 面积射影定理 'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的θ).19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为6a ,外接球的半径为6a . 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示：1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→− 线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b三垂线定理（及逆定理）：P A A O P O ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂a OA a PO a PO a AO⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααaO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒ 面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =⊂⇒l l aaaα alβa b a b⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒ a bα2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°θαα＝时，∥或0b ob ⊂（）二面角：二面角的平面角，30180αβθθ--<≤l o o（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。
解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法
解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法高中数学中的立体几何问题是学习者常常遇到的难点之一。
掌握解决这类问题的技巧和方法，有助于提升学习效率和解题能力。
本文将介绍一些解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法，帮助学习者更好地理解和应对这个领域的挑战。
一、画图准确在解决立体几何问题时，准确的图形是解题的基础。
因此，学习者需要养成细心观察和准确描绘图形的习惯。
画图时，应注意每一个线段、角度和形状的相对关系。
可以使用直尺、圆规等工具帮助画出准确的图形，避免出现不必要的错误。
二、理解立体几何基本概念在解决立体几何问题时，理解立体几何的基本概念非常重要。
这些基本概念包括平行、垂直、对称、相似、全等等。
学习者应该熟悉并理解这些概念的几何定义和性质，以便在解题过程中能够准确地运用它们。
三、运用立体几何定理和定律高中数学中有许多立体几何的定理和定律，学习者需要熟悉并灵活运用。
例如，平行线与截线定理可以用来确定平行线与平面的关系；空间中两条垂直平分线的交点在该线段的中点等。
运用这些定理和定律，可以简化解题过程，提高解题效率。
四、利用立体几何等距原理利用立体几何等距原理是解决数学中立体几何问题的重要方法。
该原理指出，如果两个几何体的形状和大小完全相同，则它们的性质和关系也相同。
在解题过程中，如果能够找到两个或多个形状完全相同的几何体，就可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易解决问题。
五、建立几何模型为了更好地理解和解决立体几何问题，学习者可以尝试建立几何模型。
几何模型能够帮助学习者形象地展示和观察问题，从而更容易找出解题的思路和方法。
通过动手实践建立几何模型，能够增加对立体几何性质和关系的直观认识，提高解题的准确性和效率。
六、多思考、多练习解决立体几何问题需要思维的灵活性和逻辑推理能力。
学习者应该养成多思考、多练习的习惯，通过大量的练习来提高解题的技巧和速度。
在解题过程中，遇到困难或者不理解的地方，可以请教老师或者同学，进行思路的交流和互动，有助于拓宽解题思路和提高解题能力。
数学解题解决立体几何题目的技巧
数学解题解决立体几何题目的技巧在解决立体几何题目时，很多学生常常遇到困惑，因为立体几何题目相比平面几何更为复杂，需要更加细致的观察和分析。
本文将为大家介绍一些解决立体几何题目的技巧，帮助大家更好地应对这类题目。
一、理解立体图形的基本概念在解决立体几何题目之前，我们首先要熟悉一些基本概念。
比如，什么是正方体、长方体、圆柱体等。
掌握了这些基本概念，我们才能更好地理解题目中所描述的立体图形，从而思考解题的方向。
二、画图解题的技巧立体几何题目通常需要我们进行绘图才能更好地理解和解决。
在绘图时，我们需要注意以下几点。
1. 选择合适的比例为了能够清晰地展示立体图形，我们需要选择合适的比例进行绘图。
通常情况下，我们可以根据题目中给出的尺寸信息来确定比例，保证图形的各个部分都能够清晰显示。
2. 采用多视图绘图法有些立体图形由于其特殊的形状，无法用一张平面图来表示。
这时，我们可以采用多视图绘图法，即将立体图形从不同的角度进行绘制，以便更好地观察和分析。
3. 注意标注图形的关键信息在绘制过程中，我们需要将图形的关键信息标注清楚，如边长、角度、对称轴等。
这有助于我们在解决问题时更加明确和有针对性地进行分析，避免犯错。
三、利用立体几何的性质和定理解决立体几何题目的关键在于运用立体几何的性质和定理。
下面列举一些常见的立体几何性质和定理，供大家参考：1. 对称性：很多立体图形都具有对称性，可以利用对称性简化解题过程。
比如，正方体的各个面都是对称的，我们可以根据对称性来推断各个面的性质。
2. 平行关系：平行关系在立体几何题目中经常出现，我们应该注意观察图形中的平行线、平面等，利用平行关系进行推导和计算。
3. 相似关系：相似关系是解决立体几何题目时常用的思想工具。
当两个立体图形相似时，它们的对应边长、对应角度都成比例关系。
通过寻找相似关系，我们可以得到一些所需的未知量。
4. 体积和表面积公式：熟练掌握立体图形的体积和表面积公式是解决立体几何题目的基础。
初中数学立体几何解题技巧归纳
初中数学立体几何解题技巧归纳立体几何是数学的一个重要分支，主要研究三维物体的形状、结构和性质。
在初中数学中，掌握一些立体几何解题技巧对于解决各类几何问题非常重要。
本文将针对初中数学立体几何解题技巧进行归纳总结。
一、立体几何基本概念的应用1. 图形投影法：当我们需要求取立体图形在平面上的投影时，可以利用正交投影的方法将其进行投影。
这样可以在二维空间中更好地理解和解决问题。
2. 空间向量法：在解决立体几何题目时，可以利用向量的方法来进行推导和计算。
特别是在求取距离、中点坐标等问题时，利用向量的性质可以更加简便地解决问题。
3. 平行关系的应用：当两个平面平行时，它们的任意一对平行直线的夹角等于两个平面的夹角。
当两条直线相交于某一点，并且它们与同一个平面的夹角相等时，可以判断这两条直线平行于平面。
二、常见立体几何的解题方法1. 平面切割法：当遇到一个复杂的立体图形时，我们可以通过将其用平面进行切割，将问题转化为几个简单的平面图形，从而更好地理解和解决问题。
2. 空间旋转法：在解决立体几何问题时，有时我们可以将整个空间进行旋转，利用旋转后的图形特点来简化问题。
这种方法常用于求取旋转体的体积、表面积等问题。
3. 截面法：当需要求取一个立体图形的体积时，我们可以通过截面法来解决。
选择一个与图形相交的平面，求出这个平面上的面积并乘以图形的高，就可以得到图形的体积。
三、立体几何解题技巧的例题分析1. 例题一：一个正方体的一个顶点被一个平面截到，并且截下的部分是一个正三角形。
求这个正方体的体积。
解析：我们将这个正方体绕截面上的边作旋转，可以发现旋转后的图形是一个锥体，三角形为底面。
我们知道，锥体的体积等于底面积乘以高除以3。
所以，这个正方体的体积就等于正三角形的面积乘以高除以3。
2. 例题二：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，如果长a增加d，宽b减少d，高c不变，那么长方体的体积变成原来的多少倍？解析：长方体的体积等于长乘以宽乘以高。
高中数学的归纳立体几何中的常见问题解析与解题方法
高中数学的归纳立体几何中的常见问题解析与解题方法立体几何作为高中数学中的一个重要分支，是学生们遇到的较为复杂和抽象的数学知识之一。
在这个领域中，归纳推理是解决问题的重要方法之一。
本文将针对高中数学中归纳立体几何的常见问题，分析其解题方法，帮助学生们更好地掌握这一知识。
一、平面几何的归纳思维在解决立体几何问题时，平面几何的归纳思维是非常重要的。
通过观察、总结和归纳，我们可以找到一些规律，从而解决问题或推导出结论。
下面，我们以立体的表面积和体积问题为例，介绍归纳思维的应用。
1. 立方体的体积问题立方体是最基础的立体之一，其体积的计算是立体几何中的一个重要问题。
我们可以通过观察立方体的结构，发现其体积与边长之间存在着一定的关系。
进而通过归纳思维，我们可以得出结论：立方体的体积等于边长的立方。
2. 圆柱的表面积问题圆柱是另一个常见的立体，其表面积的计算同样是立体几何中的重点内容。
通过观察不同半径和高度的圆柱，我们可以发现其表面积与半径和高度之间存在着一定的关系。
由此，我们可以归纳出结论：圆柱的表面积等于两个底面积和侧面积之和。
二、解体思路与技巧除了归纳思维，掌握解题的思路和技巧也是高中数学归纳立体几何的关键。
下面，我们将介绍一些解题思路和技巧，帮助学生们更好地解决立体几何中的常见问题。
1. 利用平行关系平行关系是解决立体几何问题中常用的思路之一。
通过观察立体的各个部分，我们可以找到平行的线段、平面或面对面的关系。
利用平行关系，可以得出许多有用的结论，进而解决问题。
举例来说，当我们需要计算一个立体的体积时，可以通过将其分成若干个平行的截面，然后计算每个截面的面积，并将其相加，从而求得整个立体的体积。
2. 利用相似关系相似关系也是解决立体几何问题的常用技巧之一。
当两个立体之间存在相似的关系时，我们可以利用相似关系来求解未知量。
举例来说，当我们需要求解一个复杂立体的某一部分的长度或面积时，可以先找到一个与之相似且已知部分的长度或面积，然后利用相似比例来求解未知量。
立体几何高考常见题型解题思路及知识点总结
立体几何高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1．多面体的三视图问题解题思路及步骤注意事项画长方体确定用于切割长方体的长宽高，画出长方体的直观图确定顶点从缺角较多的视图入手，标出长方体被切去的顶点和新增的顶点，注意侧视图与直观图对应关系是“左内右外”连接顶点将长方体剩余顶点和新增顶点连接得三视图对应的几何体检查检查所得几何体三视图是否与条件一致计算根据题目要求计算边长、面积、体积等典例1：（2015年2卷6）（一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.解：由三视图得,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A-A 1B 1D 1, 如图所示,设正方体棱长为a,则,故剩余几何体体积为a 3-a 3=a 3,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.典例2：（2017年1卷7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16解：将三视图还原可得右图图形，故而多面体有两个面是梯形，此时可得,故而选B.2．多面体的外接球问题典例3（类型1）：（2019年1卷12）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π解：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，11133111326A AB D V a a -=⨯=()12242122S =⨯+⨯=解题思路及步骤 注意事项根据条件确定类型类型1：可补成长方体且所有顶点为所补长方体的顶点的几何体的外接球问题，主要特征是由较多的垂直关系，例如墙角三棱锥；类型2：有侧棱⊥底面条件几何体外接球问题，例如直三棱柱；类型3：顶点到底边各点距离相等的锥体的外接球问题，例如正三棱锥；类型4：已知相邻两个面所成二面角的大小多面体的外接球问题，例如已知两个面垂直画出基本图形 类型2类型3画出解决问题的截面图 求截面半径 若截面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2ar A a r A A a r =====特别地代入公式计算类型1公式：2222121c b a l R ++==，类型2公式：222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h r R ，类型3公式：()222R r R h =+-，类型4公式：22222121d r d r R +=+=EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．典例4（类型2）：三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的 体积为________.解：由三视图可得几何体为三棱锥D -ABC （如图所示），若以△ACD 为底，则侧棱BC ⊥底面ACD.因为底面半径160sin 23==r ，22=BC ，所以外接球半径3222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h r R ，即外接球的体积为ππ34343=R典例5（类型3）：（2018年3卷10） 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.解：如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,,,点M 为三角形ABC 的重心,中，有,故选B.典例6（类型4）：已知等边⊥ABC 的边长为4，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，将⊥ABC 沿DE 折成120°的二面角，求四棱锥A -BCED 外接球的表面积.解：如图所示，作出截面四边形OO 1MO 2，延长O 1M ，OO 2相交于点F ，由已知得∠O 1MO 2=120°，31=M O ，332=M O ， 所以332=FM ，3351=FO ，3511==OO d ，因为21=r ，所以9612121=+=d r R （也可以求出22,r d 求出R ），924442ππ==R S .3．平行关系证明问题典例7：（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(Ⅰ)证明:PB ∥平面AEC ；证明：连接BD 交AC 于点为G ，连接EG ，⊥E ，G 分别为PD ，BD 的中点， ⊥中位线EG⊥PB ，⊥PB ⊄平面AEC ，EG ⊂平面AEC ，⊥PB⊥平面AEC.典例8：（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥中，底面面，AD ∥BC ，，，为线段上一点，，为的中点． （I ）证明平面；4．垂直关系证明问题典例9：（2016年全国Ⅱ卷）如图，菱形的对角线与交于点，，点P ABC -PA ⊥ABCD 3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AM MD =N PC MN PAB ABCD AC BD O 5,6AB AC ==,E F解题思路及步骤 注意事项在图形上标注已知条件 作辅助线 线线平行关系在直观图中是不变形的，若需找面外直线与面内直线平行，可将面外直线平移到面内，以确定辅助线位置写出证明思路 按照平行的“三角关系”把证明的思路写出来 完善证明过程 把定理所需要的条件写出，特别是立体几何中的定理 解题思路及步骤 注意事项在图形上标注已知条件 垂直关系在直观图中是变形的，因此，相交直线垂直一定要用直角符号标注出来 作辅助线 等腰三角形由三线合一，菱形对角垂直 写出证明思路 按垂直的“线型关系”写出证明的思路，在证明线线垂直时，若是相交两条直线垂直，还需考虑用平面几何知识证明． 常用的有勾股定理逆定理，等腰三角形三线合一定理，菱形对角线互相垂直平分，直径所对的圆周角是直角等完善证明过程 把定理所需要的条件写出，特别是立体几何中的定理分别在上，，交于点．将沿折到位置，． （Ⅰ）证明：平面；证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD=，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．典例10：（2018年全国Ⅲ卷）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（Ⅰ）证明：平面平面； 证明：由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD , BC平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为上异于C ⊥D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM .又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .5．求空间角和空间距离问题典例11：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，,AD CD 54AE CF ==EF BD H DEF ∆EF 'D EF ∆10OD '=D H '⊥ABCD ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC 解题思路及步骤 注意事项建系 先找垂直于底面的直线作为z 轴或z 轴平行线，若没有则先证明，再把底面直观图还原，找底面相互垂直两条直线作为x 轴和y 轴，若有多种选择，则尽量使相关点在坐标轴上 写点的坐标点的坐标尽量写在图上，先写坐标轴上的点的坐标，再写坐标标平面上的点的坐标，最后写其余点的坐标，其余点的坐标一般是找出其在底面上的射影来求其坐标；求坐标目的是求向量，若所求向量涉及比较难确定坐标的点时，可观察是否有相等向量来替代；对于棱上动点坐标，一般用共线向量关系来假设，例如P 为棱AB 上的一点，设()10≤≤=λλAB AP ，则P 点坐标可用参数λ表示求向量 求平面法向量有解不定方程法、观察法、矩阵法3种，不管哪种方法，规范书写过程，求出后先检验正确后再往下写，并且通过共线向量把法向量坐标去分母．应用公式根据所求问题正确选用公式：线线角><=b a ,cos cos θ，线面角><=n a ,cos sin θ，面面角><=m n ,cos cos θ，点到面的距离.n MP d n⋅=ABC ∆和1ABB ∆都是边长为2的正三角形．求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值．解：⊥面11AA B B ⊥底面ABC 且交线为AB ，1,AB OC AB OB ⊥⊥，B B AA O B 111面⊂， ⊥ABC O B 面⊥1以O 为原点，OB 方向为x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()1,0,0,1,0,0B A -,()()()110,3,0,0,0,3,1,3,3C B C - ()3,3,01111=+==+=BB AC AC CC AC AC设平面11BCC B 的一个法向量为(),,n x y z =，因为()()()111,3,0,1,0,3,0,3,3CB B B AC =-=-=，由130{ {30x y n CB n B Bx z -=⊥⇔⊥-= 得平面11BCC B 的一个法向量为()3,1,1n =1113310cos ,565AC n AC n AC n⋅+===⋅⋅， 所以1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为105典例12：（2017全国Ⅱ卷改编）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点，点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，（Ⅰ）求二面角M AB D --的余弦值； （Ⅱ）求点E 到平面ABM 的距离. 解：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接PO ，CO .则AD PO ⊥，AD CO ⊥，因为面PAD ⊥底面ABCD ，且交线为AD ，PAD PO 面⊂，所以ABCD PO 面⊥以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设1AB BC ==， 则()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()003P ，，，(100)AB =，，． 设()()()103,0,3,0,1≤≤-=-==λλλλλ，CP CM ， ()()()λλλλ3,1,3,0,0,1,0-=-+=+=CM BC BM ，底面ABCD 的法向量()1,0,0=n ，由题意><=n BM ,cos 45sin，即241322λλ+＝，解之得，22＝λ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=26,1,22BM ． 设平面ABM 的法向量，()z y x m ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m AB m BM ，得，()2,6,0-=m ，从而10cos ,5⋅==⋅m n m n m n ， 故二面角M AB D --的余弦值为105． EM DCBAP（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23210，，E ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23230，，AE ， 所以求点E 到平面ABM 的距离1030153-=⋅=mm AE d .典例13：（2018年全国Ⅱ卷）如图，在三棱锥中，⊥⊥为的中点， ⊥Ⅰ）证明：平面⊥⊥Ⅱ）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）因为⊥为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且⊥.由知.由知平面.⊥Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由已知得取平面的法向量.方法1：设，则.设平面的法向量为.由得，可取⊥所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以，所以与平面所成角的正弦值为.方法2：设()10,≤≤=λλBC BM ，则()02222，，λλλ+-=+=+=BC AB BM AB AM ， ()3220，，=AP ，设面PAM 的一个法向量为()z y x n ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n AP n AM ，得()()()λλλ-+=1,1-3,13n ，由()()()23141313,,cos 22=-+++==λλλnOB n OB n OB ，解之得31=λ，3=λ（舍去），所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32332334，，n ，又，所以，所以与平面所成角的正弦值为.二、知识点总结 （一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1．面积、体积公式2．正四面体的外接球与内切球方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r ：R ：h=1：3：4(h 为正四面体的高AE)． 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h ．(1)外接球：球心是正四面体的中心;半径R=64a(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心;半径r=612a(a 为正四面体的棱长)． →方法（1） 方法（2）3．已知两个面所成的二面角大小的四面体外接球问题其本公式：22222121d r d r R +=+=，d 为球心到截面距离，r 为该截面半径．基本图形：有两个直角的四边形21MO OO （或两个相似直角三角形），21MO O ∠为二面角的平面角，多数题目所给条件中易求出O 1M ，O 2M ，r 1，r 2的值，此时，将四边形补成直角三角形，只需求出d 1或d 2的值，代入公式即可求R ．4.共线、共面证明思路及定理（1）证明思路：①三点共线：转换为有公共点的向量共线；②点、线共面：转换为直线平行或相交.（2）公里1-4、定理、推论公里2推论：①直线和直线外的一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面.5．平行关系证明思路及定理（1）证明思路：（3）定理6．垂直关系证明思路及定理 （1）证明思路：（2）定理7．空间向量坐标运算：已知(),,z y x a OA ==，()222,,z y x b OB == （1）则(2d x AB =AB =（2）若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=； （3）若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===；（4）222111a a a x y z =⋅=++．（5）121212222222111222cos ,x x y y z z a b a b a b x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++．8．求平面法向量方法：解不定方程法、观察法、矩阵法 例如：已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,23,0AE ，()0,3,a AC =，设平面ACE 的一个法向量为()z y x m ,,=（1）解不定方程法：先任意确定其中一个坐标值（不能是0），再代入方程求其余坐标．书写格式：设平面ACE 的法向量为()z y x m ,,=，⊥⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23,0AE ，()0,3,a AC = 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030212300y ax z y m AC m AE ，即，得()a a m 3,,3--= （2）观察法：情形1：两个0，非0对0，其余两坐标再交换，其中一个变号； 情形2：一个0，非0先交换，其中一个变号，最后一个坐标由另一个向量确定；书写格式：设平面ACE 的法向量为()z y x m ,,=，⊥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,23,0AE ， ()0,3,a AC = 由，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m AC m AE 可得()a a m 3,,3--=（3）矩阵法：面上两个向量坐标上下对齐，求谁盖谁，交叉相乘再相减． 书写格式：设平面ACE 的法向量为()z y x m ,,=， ⊥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,23,0AE ， 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯23,2,233230,0210,032123a a aaAC AE ，可得()a a m 3,,3--= 9．空间向量求空间角公式若直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，则><=b a ,cos cos θ．若直线AP 方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则><=n a ,cos sin θ．若平面α、β的法向量分别为n 和m ，则><=m n ,cos cos θ．()0,3,a AC =10．空间向量求空间距离公式斜线l 与平面α交于点M ，P 为斜线l 上任一点，平面α的法向量分别为n ， 则P 到平面α的距离为MP 在n 上投影的绝对值，即.n MP d n⋅=。
立体几何中的常见题型及基本思路
立体几何中的常见题型及基本思路1.线线平行是线面平行和面面平行的基础，它的证明思路有一下几个：（1）找到或者构建含两线的平行四边形（2）看看两线是否构成一个三角形的中位线或者是等分线（3）垂直于同一平面的两条直线平行（4）找到一条直线，证明它和这两条直线分别平行（5）已知线面平行，根据线面平行性质得到线线平行（6）由面面平行性质得到的线面平行2.线面平行的证明思路：（1）在平面内找到一条和线平行的直线（2)由面面平行得到的线面平行3.面面平行的证明思路（1）面面平行的判定定理（2）找到两个面的垂线，证明线面垂直得到面面垂直4.线线垂直是线面垂直和面面垂直的基础：（1）由线面垂直得到的线线垂直，这要找一个包含其中一条线的面，且它和另一条线垂直（2）由面面垂直导出的线线垂直，这就要找到两个垂直面内的垂线，通常是先导出线面垂直，才导出线线垂直（3)勾股定理导出的线线垂直，这要放在同一平面内，还要有三边长度（4)等腰三角形底边上的中线（5）由相似得到的垂直关系（6）矩形（正方形）临边，菱形（正方形）对角线的垂直关系5.线面垂直的证明思路：（1）线面垂直的判定定理（2)找一个面或者线的平行面或者线，将问题转化（3）面面垂直导出的线面垂直，一种是垂直于交线的，一种是两平面内两条直线垂直导出的线面垂直（见2010全国卷1立体几何大题)6.面面垂直的证明思路：（1）面面垂直的判定定理（2）二面角是直角求距离主要是求点面距离，思路有以下几种：1.过点做面的垂线段（这里通常在面的一个垂面内进行）2.通过平行关系转化为其它点到面的距离3.等体积法4.向量法求角主要是二面角，思路如下：1.在两平面内分别做交线的垂线，解三角形、2.三垂线法3.转化成线面角4.转化成线线角。
立体几何中主要解题思路
立体几何中主要解题思路如下：
1.建立空间坐标系：对于三维空间中的点、线、面等几何对象，
可以通过建立空间直角坐标系来描述它们的坐标。
通过坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代数方法进行求解。
2.向量方法：向量是解决立体几何问题的重要工具。
通过向量的
加、减、数乘以及向量的模长、向量之间的夹角等性质，可以
方便地解决与长度、角度、平行、垂直等问题。
3.空间几何的性质：掌握空间几何的基本性质，如平行、垂直、
相交等，对于理解问题和寻找解题思路至关重要。
4.投影与截面：在解决与空间几何体相关的问题时，常常需要利
用投影和截面的性质。
例如，求一个几何体的体积或表面积时，
可以通过投影或截面的面积来推导。
5.转化与构造：在解决立体几何问题时，有时需要将问题转化为
更容易处理的形式，或者构造新的几何图形来帮助解决问题。
6.运用几何定理：掌握并运用基本的几何定理是解决立体几何问
题的关键。
例如，勾股定理、余弦定理、正弦定理等。
7.数形结合：在解题过程中，将代数表达式与几何图形相结合，
有助于更直观地理解问题并找到解决方案。
8.逻辑推理：在证明题中，逻辑推理是必不可少的。
通过严密的
逻辑推理，可以证明某些结论或性质。
综上所述，掌握这些解题思路对于解决立体几何问题至关重要。
通过不断练习和总结，可以提高解决立体几何问题的能力。
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立体几何中画图与常见题型的分析（一）
在《百度知道》我回答了一些同学的提问。
现在将几道常见的题目思路整理给大家看看，或许对于一些青年教师的有帮助。
（1）已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,A1A垂直与BC，A1B垂直与AC,求证：A1C 垂直与AB。
要证线线垂直，往往归结到直角三角形里。
这就要我们充分找出已知条件
的利用价值。
由于A1A垂直于BC，所以B1B垂直于BC。
侧面BCC1B1是矩形。
（为清楚计，有的粗，有的细，有的虚线画成了实线。
）连对角线交于点O。
（出现了直角三角形！且对角线互相平分。
）
作OH//BA1交A1C1于点H。
则OH是三角形A1C1B的一条中位线，H为中点。
从而只要证明OH垂直于A1C即可。
也就是只需证明三角形A1OC1是等腰三角形即可。
由图可知，OB=OA=OC1=OB1。
又因已知，A1B垂直于AC，故A1B垂直于A1C1。
于是三角形BA1C1是直角三角形。
故斜边上的中线等于斜边的一半：有OA1=OC1。
果真三角形OA1C1是等腰三角形。
底边上的中线垂直于底边。
证完。
（2）已知正四棱锥的底边和侧棱均为3倍根号2、则该四棱锥外接球的表面积为？
外接球的半径为a。
我们用相交弦定理：h×(2a-h)＝c²,
或者用勾股定理：c²＋(a-h)²＝a²,
都可以求出a的数值。
显然，2c = 3倍根号2×√2＝6.∴c＝3. 3²＋h²＝(3倍根号2)².
下面自己可以完成。
（3）四棱锥体积怎么求?
棱锥的底若是规则的四边形，底面积先算出。
再过棱锥顶点引底的垂线段就是高。
垂足向一条侧棱底部的端点连线，就构成了一个直角三角形，用勾股定理求出高。
最后三分之一底面积乘以高就是体积。
底不规则可分2个△做。
（4）
如图。
不难得到，四边形MNPQ 是矩形。
面积为 2 * 2.5 = 5。
点B到直线AC的距离是蓝色的BH，引DH垂直于AC于H。
由三垂线定理可知。
自己完成。
（5）正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为3，侧棱aa等于2分之3倍根号3，d 是cd的延长线上的一点且bd等于bc.求直线bc1平行平面ab1d
要证明线面平行，先证明线线平行（蓝色的平行红色的），可以先证明B1C1//=BD，于是得到四边形BDB1C1是平行四边形，这样，红色的与蓝色的线段就平行了。
自然也就证明完了。