两角和与差的正切函数(最新课件ppt)
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两角和与差的正弦，正切公式一等奖-完整版PPT课件
cos( ) cos cos sin sin
讲授新课
问题： 由两角差的余弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
sin( )
探究1：
问题： 由两角和的余弦公式，怎样得到
两角和的正弦公式呢？
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
探究3： 通过什么途径可以把上面的式子 化成只含有tan 、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
2
2
sin cos cos sin
探究1：
问题：
由两角和的正弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
探究1： 两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]
讲授新课
问题： 由两角差的余弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
sin( )
探究1：
问题： 由两角和的余弦公式，怎样得到
两角和的正弦公式呢？
探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
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探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
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cos( )cos sin( )sin
2
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探究1：
两角和的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
探究3： 通过什么途径可以把上面的式子 化成只含有tan 、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
探究4： 两角差的正切公式： tan( ) tan[ ( )]
两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式：
S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
2
2
sin cos cos sin
探究1：
问题：
由两角和的正弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？
探究1： 两角差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]
两角和与差的正切公式 课件
＝－ 3.
● 3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用 例1 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，
tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ
● 【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可： ● (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； ● (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
题型二 两角和与差的正切公式活用 例2 求下列各式的值
(1)1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°； (2)1＋3－3ttaann1155°°； (3)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【解】 (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
● 【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数 名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
● (2)公式的变形运用：
● 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获 得解题思路．
题型三 给值求角 例3 已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，
● 做一做
tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3
两角和与差的正切公式-PPT课件
11
12
•
[例1] 已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
•
[分析] ∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴利用两角和的正切公式求解．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，
∴tan2α＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝1t－an(taαn＋(αβ＋)＋β)ttaann((αα－－ββ))
26
•
[点评] 已知tanα，待求式为sinα与cosα的二次式时，常用方法是将待求式的分母看作1＝sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α化切来求解．也可以先由tanα＝m得sinα＝mcosα代入sin2α＋cos2α＝1中，求得cos2α，再将sinα＝mcosα代入待求式求解．
∵α、β 为锐角，∴0°<α ＋β<180°，
又∵tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ
＝1－2＋2×3 3＝－1，
∴α＋β＝135°，选 B.
16
•
[答案] 45°
已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ，φ 均为锐角，则 θ＋φ 的 度数为________．
[解析] tan(θ＋φ)＝1t－antθa＋nθt·atannφφ
＝1－12＋12×13 13＝1，
∵θ、φ 为锐角，∴0<θ＋φ<180°，∴θ＋φ＝45°.
17
18
•
[分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式，故可考虑应用T(α±β)或其变式求解．
[例 3] 已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB·tanC＝ 3，且 3tanA＋ 3tanB＝tanA·tanB－1，试判断△ABC 的 形状．
12
•
[例1] 已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值．
•
[分析] ∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴利用两角和的正切公式求解．
[解析] ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，
∴tan2α＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝1t－an(taαn＋(αβ＋)＋β)ttaann((αα－－ββ))
26
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[点评] 已知tanα，待求式为sinα与cosα的二次式时，常用方法是将待求式的分母看作1＝sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α化切来求解．也可以先由tanα＝m得sinα＝mcosα代入sin2α＋cos2α＝1中，求得cos2α，再将sinα＝mcosα代入待求式求解．
∵α、β 为锐角，∴0°<α ＋β<180°，
又∵tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαt·atannββ
＝1－2＋2×3 3＝－1，
∴α＋β＝135°，选 B.
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[答案] 45°
已知 tanθ＝12，tanφ＝13，且 θ，φ 均为锐角，则 θ＋φ 的 度数为________．
[解析] tan(θ＋φ)＝1t－antθa＋nθt·atannφφ
＝1－12＋12×13 13＝1，
∵θ、φ 为锐角，∴0<θ＋φ<180°，∴θ＋φ＝45°.
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[分析] 条件式都是两角正切的和(差)与积的形式，故可考虑应用T(α±β)或其变式求解．
[例 3] 已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB·tanC＝ 3，且 3tanA＋ 3tanB＝tanA·tanB－1，试判断△ABC 的 形状．
课件-两角和与差的正切函数
通过公式的变形，可以进一步推导出 其他形式的正切和差公式，如二倍角 公式等。
利用三角函数的减法公式和同角三角 函数的基本关系推导两角差的正切公 式。
03
两角和与差的正切函数的性 质
奇偶性
奇偶性
两角和与差的正切函数具有奇偶 性，即对于任意实数x，有tan(x)=-tan(x)，这是正切函数的基本
性质之一。
tan(15°)
tan(30° + 45°)
习题
tan(60° - 30°) tan(180° - 45°)
已知 tanα = 2/3，求 tan(α + 45°) 的值。
习题
若 tanα = -√3，求 tan(α + 15°) 的值。 若 tan2α = -√3，求 tan(α + 45°) 的值。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要计算一些特定条件下的物理量，例如振动 、波动等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问 题。
解决工程问题
在工程问题中，常常需要计算一些特定条件下的参数，例如机械、建 筑等，利用两角和与差的正切函数公式可以方便地解决这些问题。
05
习题与解答
习题
计算下列各式的值
推导过程
利用三角函数的加法公式和减法公式 ，通过代数运算推导得出。
符号表示
01
tan(α±β)表示两角和与差的正切 函数，其中α和β为任意角度。
02
tanα和tanβ分别表示两个角的正 切值，tan(α±β)表示这两个角的 和或差的正切值。
特殊角的正切值
特殊角的正切值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊 角的正切值分别为0、√3/3、1、 √3、不存在等。
第五章5.55.5.1第三课时两角和与差的正切公式PPT课件(人教版)
满分示范
解
(1)由题意可得
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. (2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得： tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°) ＝1－tan 10°tan 35， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1 －tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝_ta_n_(_α_－__β_)_(1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β_)__.
tan tan
αα－ tantaβn＝β－ __t_a_tnta_anαn_（t_αa_－nα_－β_tat_βan_）nβ_(_α－_－1__β_)＝____t_a_n_(α_－__β_)_______.
α，β，α＋β，α
___1_－__t_a_n_α_t_a_n_β_____ －β≠kπ＋π2
tan(α－β)＝
(k∈Z)且 tan
tan α－tan β
α·tan β≠±1
____1_＋__ta_n__α_ta_n__β____
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝_t_a_n_(α_＋__β_)_(_1_－__ta_n__α_ta_n__β_)_. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝_____t_a_n_(_α_＋__β_)_____. tan αtan β＝__1_－__tta_ann_（_α_＋α_＋_ta_βn_）β_____.
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π
3
1
已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为
3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题
( , )，(
2
+
)
4
=
3
，则
5
=________.
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册
π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
α
O
β
α-β
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ
（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:
（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知 为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点 的坐标
y
问题2:已知 为角β的终边，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
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T
: tan
tan tan 1 tan tan
.
1.两角和与差的正切公式. 2.两角和与差的正切公式的变形.
注意：公式的常用变形：
( 1 )ta n ta n ta n )1 ( (tatn a)n
(2) tan tan tan( )(1 tan tan )
变式练习：求tan 200o tan400o ３tan 200o tan400o的值．
解：原式 tan(200o 400o)(1 tan 200o tan 400o) ３tan 200o tan 400o ３ ３tan 200o tan 400o ３tan 200o tan 400o ＝ ３.
2
2
探究2 两角差的正切公式: 在两角和的正切公式中用 代换 ,
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
两角和、差的正切公式：
注意：
tan
tan tan 1 tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
T T
1.必须在定义域范围内使用上述公式.
即：tan α，tan ，tan(α )只要有一个不存在就不能使用这个
公式.
如
:已知tan
α
2,
求
tan
2
α
不能用上述公式.
2.注意公式的结构，尤其是符号.
例1 已知tan α 2,tan β 1 ,其中0 α , β .
3
22
1求tanα β . 2求α β的值.
解 1因为 tan α 2,tan β 1，
3
所以 tan α
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
7.
3
2因为tanα +
2.3 两角和与差的正切函数
1.两角和、差的正弦公式:
sin( ) sin cos cos sin ; ——S sin( ) sin cos cos sin ; ——S
2.两角和、差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin ; ——C cos( ) cos cos sin sin ; ——C
思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:tan15o
代入 sin15o, cos15o.
sin15o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o 30o) sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o , cos(45o 30o) cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o
是否太繁琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
探究1 两角和的正切公式:
思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式推导出两角和
的正切公式？
提示：tcoscos sinsin
=
tan tan .
1 tantan
当 cos cos 0 时，分子分母同时除以cos cos ,
归纳：注意公式的变形形式.
和角公式
S : sin sin cos cos sin ;
C : cos cos cos sin sin ;
T
: tan
tan tan 1 tan tan
.
差角公式
S : sin sin cos cos sin ;
C : cos cos cos sin sin ;
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
1.
3
又因为 0
α
,
β
，所以
α+
β
3
.
22
2
2
在 与 3 之间，只有 5 的正切值等于1，
22
4
所以 α+β= 5 .
4
技巧方法：
1.用tan和tan 的值求tan 的值时，
一定要记住它们在公式中的位置及符号. 2.根据三角函数值求角时，一定要看清所 求角的取值范围.
得到： tan( ) tan tan .
1 tan tan
理解： 1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右边是分式形式，它是两角正切的和与1减
两角正切的积的比.
3.公式成立的条件是： k ( k Z )且 2
k ( k Z )且 k ( k Z ).