全称命题与特称命题的否定(用)
全称命题和特称命题的否定
注意：1.全称命题的否定是特称命题．因为
要否定全称命题“ ∀x∈M ， p(x) 成立”，只需
在 M 中 找 到 一 个 x ， 使 得 p(x ) 不 成 立 ， 也 即
“∃x0∈M， ¬p(x0)成立”．
2．要证明一个全称命题是假命题，只需举
一个反例．
3．有些全称命题省略了量词，在这种情况下， 千万不要将否定写成“是”或“不是”，如第(4)
的”．
对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全 称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称 命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命 题．如：|x|≥0，实际上是指：∀x∈R，|x|≥0 其否定为：∃x∈R，|x|<0
概念理解
1．命题：“∀x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定 是( ) A．∀x∈R，都有 x2－x＋1≤0 B．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1>0 C．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1≤0 D．以上均不正确
2.特称命题的否定：
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的 否定綈p：∀x∈M， ¬ p(x)．特称命题的否定是全称 命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的
否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，
把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有
[解 ]
π 由于 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )∈[－ 2， 2]，所 4
以如果对任意的 x∈R， r(x)为假命题， 即对任意的 x∈R， 不等式 sinx＋cosx>m 恒不成立， 所以 m> 2.又对任意的 x∈R，s(x)为真命题，即对任意的 x∈R，不等式 x2＋ mx＋1>0， 所以 Δ＝m2－4<0， 即－2<m<2.故如果对任意 的 x∈R，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，应有 2<m<2.
3.2 全称命题与特称命题的否定
选修2-1 第一章编写蒋兴安班级姓名课题：§3.2 全称命题与特称命题的否定学习目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.学习重点：全称量词与存在量词命题间的转化；学习难点：隐蔽性否定命题的确定。
【自主学习】预习教材第12～13页，完成下列问题．∃1.全称命题的否定是命题.即全称命题p: ∀x∈M,p(x),它的否定非p: ∃x∈M,非p(x).2.特称命题的否定是命题.即特称命题p: ∃x∈M,p(x),它的否定非p: ∀x∈M,非p(x)..关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于4、要判定一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为；否则命题为．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合中每一个元素x，p(x)都为；要判定一个全称命题为假只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为即可．【预习自测】完成课本第14页练习题．1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0．2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【合作探究】探究1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0。
探究2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数；（2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根；（3） 存在实数x ，使x 2+1<0；（4） 有些质数是奇数。
探究3 写出下列命题的否定。
全称命题与特称命题的否定
在上面的两个例子中，要说明一个特称 命题是错误的，就要说明所有的对象都 不满足这一性质。 也就是说： 特称命题的否定是全称命题。
例2、对下列特称命题进行否定。 (1) 某些平行四边形是矩形。 否定：所有的平行四边形都不是矩形。 (2)有些四边形的四个顶点共圆。 否定：所有的四边形的四个顶点都不共圆。
判断下面命题是全称命题，还是 特称命题，并判断其真假。 10,100,1000中有一个能被3整除 此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:10,100,1000每一个都不能被3整除
判断下面命题是全称命题，还是 特称命题，并判断其真假。 x2-4x+3=0中有一个根是2 此命题为特称命题。 此命题为假命题。 证明:x2-4x+3=0中的每一个根都不是2
练习4、写出下列命题的否定形式。 ⑴三角形的两边之和大于第三边。 有些三角形的两边之和小于或等于第三边。 ⑵直角相等。 有些直角不相等。 ⑶△ABC的内角中必有一个锐角。 △ABC的所有内角都不是锐角。
命题的否定形式有：
是 都是 > 至少有 一个 不 不 ≤ 一个也 是 都是 没有
原 语句 否定 形式
至多有 一个 至少有 两个
对任意x∈A, 使p(x)真 存在x∈A, 使p(x)假
练习5、对下列命题进行否定。 (1)我们班没有女生。 (2)中国足球国奥队至少有2个优秀前锋。 (1)我们班至少有一个女生。 (2)中国足球国奥队最多有1个优秀前锋。
小 结:
全称命题的否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
在上面的两个例子中，要说明一个全称 命题是错误的，只需要找出一个反例就 可以了。 也就是说： 全称命题的否定是特称命题。
例1、对下列全称命题进行否定。 (1) 所有的人都喝水。 否定：有的人不喝水。 (2)对所有实数
1.4.2 全称命题与特称命题的否定
温故知新
全称量词: “所有的”, “任意一个”, “一切” ,
“每一个”, “任给”……常用符号“"”表示.
全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.
全称命题格式为: 对M中任意一个x,有p(x)成立.
符号语言表示为: "x∈M,p(x).
温故知新
存在量词:“存在一个”, “至少有一个”,“有
7．(2010 年高考湖南卷文科 2)下列命题中的假命题 是 ．．． A. $x R, lg x 0 C. B. $x R, tan x 1 D. "x R, 2x > 0
"x R, x3 > 0
一不变：元素的性质不变.
练习: 写出下列命题的否定 . (1) p: $x0∈R, x02 + 2x0 + 2 ≤ 0； (2) p: 有的三角形是等边三角形； (3) p: 有一个素数含三个正因数 . 注意： 特称命题的否定是全称命题.
写出下列命题的否定:
(1) p: ∃x0∈R , x02 + 2x0 + 2 ≤ 0；
p:每一个平行四边形都不是菱形．
( 3)$x0 R, x + 1 < 0 .
2 0
p : "x R , x 2 + 1 0 .
特称命题的否定
特称命题: p: $x0∈M , p(x0) ﹁ p: "x∈M , ﹁ p(x) 特称命题的否定： 注意事项:
三变：更换量词,否定结论,给元素去下标;
∀x∈M，¬ p(x)
课堂小结
1、全称量词、全称命题的定义. 2、全称命题的符号记法. 3、判断全称命题真假性的方法. 4、存在量词、特称命题的定义. 5、特称命题的符号记法. 6、判断特称命题真假性的方法. 7、含有一个量词的否定.
高考数学复习点拨：全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。
高中数学北师大版选修21课件：第一章3.3 全称命题与特称命题的否定
解析：(1)命题 p 是一个全称命题，其否定为：存在 x1，x2∈R， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0. (2)这是一个全称命题，其否定为：存在一个向量与零向量不 共线．
特称命题的否定
写出下列特称命题的否定． (1)存在 x∈R，x＋1x＋2＜0； (2)存在一个向量与任意向量垂直； (3)存在实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根都是正数． (链接教材 P14 例 2)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析：(1)该命题的否定“对任意的 x∈R，都有 x2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，即 Δ＝m2－4(2m－3)≤0，得 m∈[2，6]． (2)该命题的否定“存在实数 x，使得 x2＋2x＋a≤0”为真命 题，即 Δ＝22－4a≥0 得 a≤1.
易错警示
因否定不全面致误
解：p
的否定为：“对任意
x∈[1，＋∞)，log12x≥0
或1无 log2x
意义”．
1．命题“对任意的 x∈R，sin x>0”的否定是( A ) A．存在 x∈R，sin x≤0 B．对任意的 x∈R，sin x≤0 C．存在 x∈R，sin x<0 D．对任意的 x∈R，sin x<0 解析：这是一个全称命题，其否定为：存在 x∈R，sin x ≤0.
[解] (1)其否定为：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (2)其否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． (3)其否定为：存在 x∈Z，x2 的个位数字等于 3.
[方法归纳] (1)对全称命题否定的两个过程是：一是把全称量词转换为存 在量词，二是把 p(x)加以否定； (2)对省略全称量词的全称命题可先补上全称量词，再对命题 否定．
2．“命题‘存在 x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－ 16≤a≤0”的( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
含有一个量词的命题的否定(整理)
“特称命题”是指含有“存在量词”的命题。
小结
含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有：
“x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)”。
即“全称肯定”的否定是“特称否定” ，另外“全称否定”的定是“特称肯定”. 反过来也一样.
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二
对于下列命题：
想一想？
所有的人都喝水； 2 存在有理数，使 x 2 0； 对所有实数都有 | a | 0 。
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写 出下列特称 命题 的否定： 1）p:x R,x2 +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
全称命题与特称命题
全称命题与特称命题【教学目标】知识目标能力目标情感目标【教学重、难点】教学重点：教学难点：【教学模式】【技术运用】【教学过程与情境设计】1、全称命题：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号：(),x M p x ∀∈2、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃含有存在量词的命题，叫做特称命题. 符号：()00,x M p x ∃∈3、全称命题与特称命题的否定：全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数（质数）都是奇数；（假，反例：2）⑵2,11x x ∀∈+≥R ；（真）⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；）⑷每个指数函数都是单调函数. （真）（教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x ∈R ，使0213x +=；⑷至少有一个0x ∈Z ，0x 能被2 和3 整除.（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题，其原因是加入了量词（学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线； ⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0.（教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆；⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数；⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）下列全称命题的否定中，假命题的个数是（ B ）(1)所有能被3整除的数能被6整除 ；(2)所有实数的绝对值是正数；(3) x ∀∈Z ，2x 的个位数字不是2A.0B.1C.2D.4（07琼、宁）已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x ≥B. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥C. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x >D. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x >（07鲁）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>（2009天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
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例1
写出下列命题的否定:
（1）可以被5整除的数，末位是5. （2）能被3整除的数，也能被4整除.
析：(1) （2）隐含的全称量词：所有（任何一个） 解:(1) 存在可以被5整除的数，末位不是5. （2）存在能被3整除的数，不能被4整除.
注意：无量词的全称命题要先补充上量词再否 定.
只需说明：５个数{-2,-1,0,1,2}中有一个数不大于0.
1.全称命题的否定 2. 特称命题 3.真命题
1. 说明一个全称命题“所有的对象都满足某
一性质”是错误的，只要说明“存在某一个对 象不满足这一性质”．
2. 全称命题的否定是特称命题．
否定的方法：1. 全称量词变成存在量词 2. 否定结论
（ 2）否定结论
3. 原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一 性质”是错误的，只要说明？
解：只要说明所有的对象都不满足这一性质．
2.特称命题的否定是？如何否定？ 解:（1）特称命题的否定是全称命题．
（2）1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3.原命题和命题的否定的真假性有何关系？ 解：原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 说明一个特称命题“存在一些对象满足某 一性质”是错误的，只要说明所
否定的方法： 1.存在量词变成全称量词 2. 否定结论
3. 原命题和命题的否定的真假性相反.
1. 全称命题的否定是特称命题．
特称命题的否定是全称命题．
2.命题否定的方法：（1）改变量词
1.什么是全称命题?什么是特称命题?
含有全称量词的命题叫全称命题。 含有存在量词的命题叫特称命题.
2.判断下列命题是全称命题还是特称命题 (1)末位数字是0或5的整数,能被5整除; (2)棱柱是多面体; (3)有一个实数,不能作除数.
(1)(2)是全称命题,(3)是特称命题
1.判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数;
问题:
判断命题是全称还是特称命题，并指出真假．
(1)10,10 ,10 ,10 ,10 中有一个能被 3整除; (2)方程x 5 x 6 0至少有一个负实根 .
2
2
3
4
5
解：命题(1)是特称命题，且是假命题．
只需指出：这5个数中的每一个都不能被3整除. 命题(2)是特称命题，且是假命题． 只需指出：此方程的每一个根都不是负的.
全称命题 假命题
全称命题的否定
只需说明：有一个奇数不是素数.
特称命题
真
(2)数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数;
全称命题 假命题 只需说明：数列{1,2,3,4,5}中有一项不是偶数.
1.全称命题的否定 2. 特称命题 3.真命题
(3)5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0. 全称命题 假命题