初中数学 相似三角形(一)

两个菱形相似
（2）一个矩形剪去一个宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是（ ）
A． B． C． D．
（1）选择D．多边形相似要求对应角相等对应边成比例，而A、C只满足角相等，无法满足边成比例，而B只能满足边成比例，而无法满足角相等．只有D两个方面的条件都满足．
（3）已知 ，求 的值．
（1）A为合比性质，B为分比性质，C显然正确，D错误，由于 ，不能用等比定理．故答案为D．
（2）由等比性质直接可以得到 ； ．
（3）当 时，
于是： ， ．
当 时， ．
于是本题的解为 或8．
（1）已知两个数 ， ，则它们的比例中项为_____________．
（2）如图，乐器上的一根弦 ，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则 ____________cm， __________cm．
模块一比例的性质和成比例线段的概念
一、比例的性质：
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知 ，则当 时， .
二、成比例线段的概念：
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式 （即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
（2）如图4-2， ，若 ， ， ，则 ______．
（3）如图4-3， ， ， ， ，则 ， ．
图4-1图4-2图4-3
（1）如图所示，连接AE，BD，BF，CE． ．
， ， ， ．
．
（2） ；
（3） ， ．
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理的证明和简单应用．
（1）如图5-1， 中，BE平分 ，DE∥BC，若 ， ，那么 ______．
（2） ， ；
垂直平分BC， ，
∴ ， .
（3）由等腰直角三角形可以得到
所以题目已知条件变为 ，
将该条件变为比例形式得到： ，
由于 ，所以有 ．
【教师备课提示】这道题主要让同学们熟悉相似三角形的3种判定方法，为后面学习模型打下基础．
（1）如果 ，则下列各式不成立的是（）
A． B． C． D．
（2）已知： ，求值：① ；② ．
图3-1图3-2图3-3
（1）0.5cm；（2） ；（3）6．
如图所示，在 的边BC上 ，边AC上 ，求： ．
， ； ， ．
， ．
（1）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）
（3）如图8-2，在平行四边形ABCD中， ， ，E是AD的中点，在AB上取一点F，使 ，则 __________．
（4）如图8-3，在 和 中， ， ， ，若这两个三角形相似，则BD的长为____________．
图8-1图8-2图8-3
（1） ；（2） ， ， ；（3）2；（4） 或 ．
【教师备课提示】这道题主要考查相似三角形的基本性质．
（1）求证： ．
（2）当 ， ，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积．
（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴
∴
（2）∵ ， ，∴ ，又∵F是AC的中点，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵E是BC的中点，
∴ ，∴直角梯形ABCD的面积 ．
②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形的定义
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边的比例叫做相似比．全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1．
如图， 与 相似，记作 ，符号 读作“相似于”．
注意：如果写成“ ”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
3．黄金分割：
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中项（即 ），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中 ， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
3．相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
分别连接 、 ， ， ；
同理， ， .
故四边形GEHF为平行四边形，所以GH与EF互相平分．
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的逆定理．
注意：平行线分线段成比例定理是没有逆定理的，只有推论才有逆定理．
（1）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且 ， ，以CA为边的正方形的面积为 ，以BC、BG为边的矩形的面积为 ，则 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
（1）由比例中项的性质有 ， ，由于c是线段，故 ．
（2）由题意知 ， ，故 ．
【教师备课提示】这道题主要考查比例的基本概念和黄金分割．
（1）如图4-1，已知 ，用面积法证明： ．
【教师备课提示】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于 点，再证明 与F重合即可．
模块三相似三角形的定义、性质和判定
1．相似图形
①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．
（2）当 时，由等比性质得 ；
当 时， ，则 ，
综上， 的值为2或 ．
（3）A中 ，∴A错误；B中 ， ，∴B错误；
C中 ，∴C正确；D中 ，∴D错误．
【教师备课提示】这道题主要考查学生们比例的基础性质，为后面倒比例打下坚实的基础．
（1）已知线段 ， ，线段c是a、b的比例中项，那么c等于________．
（1）设比例中项为 ，则 ， ，故填 ．
（2）点 是靠近点 的黄金分割点，
∴ ，即 ，又点 是靠近点 的黄金分割点，∴ ，∴ ．
（1）如图3-1，直线 ，已知 ， ， ， _____．
（2）如图3-2，在 中，D、E分别为AB、AC边上的点，若 ， ，则 ___________．
（3）如图3-3，AB∥DE，AE与DB交于C， ， ， ，则 ______．
模块二平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果 ，则 ， ， ．
【教师备课提示】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 ， ， ．
2．平行线分线段成比例定理的推论
（2）选择A．不妨设原矩形的宽为1，长为 ；则剪去一个正方形后的小矩形，长为1，宽为 ．则由相似得到 ，即 ，
，由 得到 ，所以宽与长的比为 ．
【教师备课提示】这道题主要考查相似图形的定义和性质．
（1） 且相似比为 ， 且相似比为 ，则 与 的相似比为___________．
（2）如图8-1，在正方形网格上有两个相似三角形 和 ，则 的度数为________， 和 的周长比为________，面积比为_________．
（1）下列所给条件中，可以判断 与 相似的是（ ）
A． ， ， ， ， ，
B． ， ，
C． ， ， ， ， ，
D． ， ， ，
（2）如图9-1，在 中，点D是BC边上的中点，且 ， ，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证： ．
（3）如图9-2， 为等腰直角三角形， ，求证： ．
图9-1图9-2
（1）D；
如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有
4．相似三角形的判定
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果 ， ，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
（2）如图5-2，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
图5-1图5-2
（1）4（角平分线加平行线必出等腰三角形）；（2）D．
【教师备课提示】这道题主要考查平行线分线段成比例定理推论的简单应用．
如图所示， ， ， ， ，连接EF，GH相交于点O．求证：GH与EF互相平分．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果 ，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果 ， ，则 ．
（1）已知 ，则 的值是_______．
（2）若 ．则 _______．