江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)
2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________．2. 若复数z 满足za ＋2i＝i(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为________．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6. 在等差数列{a n }中，a 4＝10，前12项的和S 12＝90，则a 18的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是抛物线y 2＝4x 与双曲线x 24－y2b2＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且FA ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(π6，2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(π4)的值为________．9. 已知正四棱锥PABCD 的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－5x ，则不等式f(x －1)>f(x)的解集为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12. 已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB →＋PC →)·AD →＝4 2.若AD ＝2，则PB →·PC →的值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|， x≤0，x 3－12x ＋3，x>0.设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a ＋b 与a －b 互相垂直．(1) 求实数λ的值；(2) 若a·b ＝45，且tan β＝2，求tan α的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：(1) DE∥平面ACC 1A 1； (2) AE⊥平面BCC 1B 1.某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，π3)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点P(2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点Q(m ，0)． ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA ＝QB ，求实数m 的取值范围； ②设F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．已知函数f(x)＝ln x－2x－2x－1＋2a，a>0.(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1. (1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ① 求证：数列{a n }为等比数列；② 若对任意n∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141.(1) 求a ，b 的值；(2) 求A 的逆矩阵A －1.B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，P 是曲线C 上的任意一点．求点P 到直线l 的距离的最大值．C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x －1|－x≥2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点C的概率；(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T的最小值；(2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.2020届高三年级第二次模拟考试(十)数学参考答案1. {x|1<x<4}2. －23. 184. 165. 356. －47. y ＝±233x 8. 3 9. 4＋4 310. (－2，3) 11. ±21 12. 2 13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9，1314.2＋1215. (1) 由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0.(2分)又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以(λ2－1)sin 2α＝0.(4分)因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0.又因为λ>0，所以λ＝1.(6分) (2) 由(1)知a ＝(cos α，sin α)．由a·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45，即cos(α－β)＝45.(8分)因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0，所以sin(α－β)＝－1－cos 2（α－β）＝－35.(10分)所以tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34，(12分)因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12.(14分)16. (1) 连结A 1B ，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形． 又因为D 是AB 1的中点，所以D 也是BA 1的中点．(2分)在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE∥A 1C. 又因为DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面ACC 1A 1， 所以DE∥平面ACC 1A 1.(6分)(2) 由(1)知DE∥A 1C ，因为A 1C⊥BC 1， 所以BC 1⊥DE.(8分)又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE＝D ，AB 1，DE 平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE. 又因为AE 平面ADE ，所以AE⊥BC 1.(10分) 在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点， 所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC 1，AE⊥BC，BC 1∩BC＝B ，BC 1，BC 平面BCC 1B 1，所以AE⊥平面BCC 1B 1.(14分)17. 过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为H.在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α.(4分) 由图可知，点P 处的观众离点O 最远．(5分) 在三角形OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA·AP·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3(7分)＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4)＝8003sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1 600.(10分) 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时， (OP 2)max ＝8003＋1 600，即OP max ＝203＋20.(12分)因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．(13分) 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) 18. (1) 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，a ＝2，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 解法一：设直线的方程为y ＝k(x －2)，代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 因为直线l 交椭圆C 于两点，所以Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k<22.(4分) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.①设AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 21＋2k 2，y 0＝k(x 0－2)＝－2k1＋2k 2.(6分)当k≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM⊥l，即k QM ·k＝－2k 1＋2k2－04k21＋2k 2－m ·k＝－1. 解得m ＝2k21＋2k2.(8分)当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k21＋2k 2.因此m ＝2k21＋2k2.由0≤k 2＝m 2（1－m ）<12，解得0≤m<12.(10分)②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)，所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1，(12分)消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0，所以x 1，x 2也是此方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m.(14分) 又因为x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，所以8k 21＋2k 2＝－8k 2－21＋2k 2，解得k 2＝18，所以m ＝2k 21＋2k 2＝15.(16分) 解法二：①设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)．依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12(x 0≠0)． 又因为y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0x 0－2，所以y 20＝－12x 0(x 0－2)．当x 0＝0时，y 0＝0，符合y 20＝－12x 0(x 0－2)．(ⅰ)(4分)又因为QA ＝QB ，所以QM⊥l，所以(x 0－m)(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0，即y 20＝－(x 0－m)(x 0－2)．(ⅱ)(6分) 由(ⅰ)(ⅱ)，解得x 0＝2m ，因此y 20＝2m －2m 2.(8分)因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内， 所以（2m ）22＋(2m －2m 2)<1，解得m<12.又y 20＝2m －2m 2≥0，所以0≤m≤1.综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.(10分)②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)， 所以QA ＝QB ＝QF.由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2＝（x －m ）2＋y 2，x 22＋y 2＝1消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0.(ⅲ)(12分)当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 02y 0(x －2)，代入椭圆的方程，得(2y 20＋x 20)x 2－4x 20x ＋4x 20－4y 20＝0.将(ⅰ)代入上式化简得x 2－2x 0x ＋3x 0－2＝0.(ⅳ)当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式．(14分)由①可知m ＝x 02，代入(ⅲ)化简得x 2－2x 0x －2x 0＝0.(ⅴ)因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程， 所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝25，所以m ＝x 02＝15.(16分)19. (1) 当a ＝2时，f(x)＝lnx －2x －2x ＋3，f′(x)＝1x －8（x ＋3）2，则f′(1)＝12.又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2分)(2) 因为f(x)＝ln x －2x －2x －1＋2a ，所以f′(x)＝1x －4a（x －1＋2a ）2＝x 2－2x ＋4a 2－4a ＋1x （x －1＋2a ）2＝（x －1）2＋4a 2－4a x （x －1＋2a ）2，(4分) 且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1. ①当4a 2－4a≥0，即a≥1时，因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0， 所以a≥1满足条件．(6分)②当4a 2－4a<0，即0<a<1时，由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)， 当x∈(1，x 2)时，f′(x)<0，则函数f(x)在区间(1，x 2)上单调递减，所以当x∈(1，x 2)时，f(x)<f(1)＝0，这与x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立矛盾， 所以0<a<1不满足条件．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(8分) (3) ①当a≥1时，因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)不存在极值， 所以a≥1不满足条件；(9分) ②当12<a<1时，1－2a<0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2∈(0，1)，x 2＝1＋2a －a 2∈(1，＋∞)． 列表如下：由于函数f(x)在区间(x 1，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以12<a<1不满足条件．(11分)③当a ＝12时，由f′(x)＝0，得x ＝2.列表如下：此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意， 所以a ＝12不满足条件．(12分)④当0<a<12时，函数f(x)的定义域为(0，1－2a)∪(1－2a ，＋∞)，且0<x 1＝1－2a －a 2<1－2a ，x 2＝1＋2a －a 2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x)存在极大值f(x 1)和极小值f(x 2)，(14分) 此时f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a ＝ln x 1x 2－4a （x 1－x 2）（x 1－1＋2a ）（x 2－1＋2a ）.因为0<x 1<1－2a<x 2，所以ln x 1x 2<0，x 1－x 2<0，x 1－1＋2a<0，x 2－1＋2a>0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以0<a<12满足条件．综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(16分) 20. (1) 因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 22＝a 1a 3， 因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列， 所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或t ＝13，所以a 2a 1＝1或13.(4分)(2) ①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋21a nn ＋2， 两式相除得a2n ＋1＝a 1·a nn ＋2a n －1n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分)由(*)，得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋1n ＋3，(**) (*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1n ＋3a n n ＋2，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1n ＋3，所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n≥2，n∈N *，(8分)由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n∈N *， 因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q≤2时，由n ＝1时，可得0<a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2n －1，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1＝2n－1，所以0<q≤2满足条件．(12分) 当q>2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1（1－q n）1－q ≤2n－1，整理得a 1q n≤(q－1)2n＋a 1－q ＋1.(14分) 因为q>2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因此a 1q n<(q －1)2n，即⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2n <q －1a 1， 由于q 2>1，因此n<log q 2q －1a 1，与任意n∈N *恒成立相矛盾，所以q>2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分)21. A. (1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2141，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝1，a ＝4，a －3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4.(4分)(2) 因为|A |＝2×3－1×4＝2，(6分) 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－21.(10分) B. 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，化为普通方程为3x －y ＋2＝0.(2分)设点P(cos θ，3sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|（3）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋22，(6分)取θ＝－π4时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，此时d 取最大值，所以距离d 的最大值为6＋22.(10分) C. 当x≥12时，由2x －1－x≥2，得x≥3.(4分)当x<12时，由1－2x －x≥2，得x≤－13.(4分)综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－13}．(10分)22. (1) 设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C”为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝16.(2分)同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝16.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以P(M)＝P 1＋P 2＝16＋16＝13.故甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率13.(4分)(2) 随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4，(5分)则P(X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P(X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481，P(X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P(X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，(8分)概率分布为：数学期望E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(10分)23. (1) 当n ＝3时，共有6个点，若染红色的点的个数为0或6，则T ＝C 36＝20；若染红色的点的个数为1或5，则T ＝C 35＝10；若染红色的点的个数为2或4，则T ＝C 34＝4；若染红色的点的个数为3，则T ＝C 33＋C 33＝2； 因此T 的最小值为2.(3分)(2) 首先证明：任意n ，k∈N *，n≥k，有C k n ＋1>C kn .证明：因为C k n ＋1－C k n ＝C k －1n >0，所以C k n ＋1>C kn .设这2n 个点中含有p(p∈N ，p≤2n)个染红色的点， ①当p∈{0，1，2}时， T ＝C 32n －p ≥C 32n －2＝（2n －2）（2n －3）（2n －4）6＝4×（n －1）（n －2）（2n －3）6.因为n≥4，所以2n －3>n ，所以T>4×n （n －1）（n －2）6＝4C 3n >2C 3n .(5分)②当p∈{2n－2，2n －1，2n}时，T ＝C 3p ≥C 32n －2，同理可得T>2C 3n .(6分) ③当3≤p≤2n－3时，T ＝C 3p ＋C 32n －p ，设f(p)＝C 3p ＋C 32n －p ，3≤p≤2n－3， 当3≤p≤2n－4时，f(p ＋1)－f(p)＝C 3p ＋1＋C 32n －p －1－C 3p －C 32n －p ＝C 2p －C 22n －p －1， 显然p≠2n－p －1，当p>2n －p －1即n≤p≤2n－4时，f(p ＋1)>f(p)， 当p<2n －p －1即3≤p≤n－1时，f(p ＋1)<f(p)， 即f(n)<f(n ＋1)<…<f(2n－3)；f(3)>f(4)>…>f(n)；因此f(p)≥f(n)＝2C 3n ，即T≥2C 3n .综上，当n≥4时，T≥2C 3n .(10分)。
江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题
江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31ib a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合 A＝{1，2}， B＝{﹣1， a}，若 A B＝{﹣1， a，2}，则 a＝_______.(★★) 2. 若复数 z满足(1﹣ i) z＝1＋ i，其中 i是虚数单位，则 z的实部为_______.(★) 3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 _______ .(★★) 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 y的值为 _______ .(★) 5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.(★★) 6. 函数的定义域为_______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y 2＝4 x的焦点是双曲线的顶点，则 a＝______.(★★) 8. 已知等比数列的前 n项和为，，，则＝_______.(★) 9. 已知正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为6，点 M是对角线 A 1 C上靠近点 A 1的三等分点，则三棱锥 C— MBD的体积为_______.(★★) 10. 已知定义在 R上的奇函数的周期为2，且 x [0，1]时，，则 a＋ b＝_______.(★★) 11. 已知锐角满足，则＝_______.(★★) 12. 如图，在△ ABC中，∠ ABC＝， AB＝1， BC＝3，以 AC为一边在△ ABC的另一侧作正三角形 ACD，则＝ _______ .(★★★★) 13. 在平面直角坐标系 xOy中， AB是圆 O： x 2＋ y 2＝1的直径，且点 A在第一象限；圆 O 1：( x﹣ a) 2＋ y 2＝ r 2( a＞0)与圆 O外离，线段 AO 1与圆 O 1交于点 M，线段 BM与圆 O交于点 N，且，则 a的取值范围为_______.(★★★★) 14. 已知 a， b R， a＋ b＝ t（ t为常数），且直线 y＝ ax＋ b与曲线（ e 是自然对数的底数，e≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对( a， b)唯一存在，则实数 t 的取值范围为_______.二、解答题(★★★) 15. 已知△ ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，且 bsin2 A＝ asinB. （1）求 A；（2）求 cos( B＋)＋ sin( C＋)的最大值.(★★★) 16. 已知在四棱柱 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1中，底面 ABCD是菱形，且平面 A 1 ADD 1⊥平面 ABCD， DA 1＝ DD 1，点 E， F分别为线段 A 1 D 1， BC的中点.（1）求证：EF∥平面 CC 1 D 1 D；（2）求证：AC⊥平面 EBD.(★★★) 17. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：( a＞ b＞0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 P(0，1)的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B.己知在椭圆 C上存在点 Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求 Q的坐标.(★★★★) 18. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 OE， OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A， B.现规划修建一条新路（由线段 MP，，线段 QN三段组成），其中点 M， N分别在 OE， OF上，且使得MP， QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 P， Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求 QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.(★★★★★) 19. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且对任意 n ，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，，(2＜ i＜ j)成等差数列，求正整数 i， j.(★★★★★) 20. 已知函数，， m， n R. （1）当 m＝0时，求函数的极值；（2）当 n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求 m的取值范围；（3）当 n＞0时，判断是否存在正数 m，使得函数与有相同的零点，并说明理由. (★★) 21. 已知点 M(2，1)在矩阵 A＝对应的变换作用下得到点 N(5，6)，求矩阵 A的特征值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为( 为参数).以原点 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为.（1）求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）点 P是曲线 C上的动点，求 P到直线 l的距离的最小值.(★★★) 23. 已知 a， b， c是正数，求证：对任意 R，不等式恒成立.(★★★) 24. 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， AB＝2，AD＝ AP＝3，点 M是棱 PD的中点.（1）求二面角 M— AC— D的余弦值；（2）点 N是棱 PC上的点，已知直线 MN与平面 ABCD所成角的正弦值为，求的值. (★★★★★) 25. 已知数列中，，( n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：① 和；② 和；（2）当n≥3时，证明：.。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|2<x<5,x∈R}，则A∩B=______2.i是虚数单位，若z(i+1)=i，则|z|=______ ．3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线的离心率为___________．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______ ．5.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．6.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．7.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π3)的一个对称中心是(π3,0)，则φ的值是．8.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P−ABA1的体积为______ ．9.设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)>1，f(3)=a2+a+3a−3，则a的取值范围是______．10.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =________．11.已知数列{a n}的通项公式为a n=2017−3n，则使a n>0成立的最大正整数n的值为________．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B=2sinB⋅sinC，c=3b，则角A的值为______．13.若P是直线x−y+2=0上一点，且P到点A(2,1)的距离为5，则点P的坐标为________．14.设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x≤3−3x+1,x>3，若函数y=f(x)−m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)证明：PA//平面EDB；(2)证明：BC⊥DE．16.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a−c=√6b，sinB=√6sinC．6(1)求cosA的值；(2)求sin(2A+π)的值．617.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲广场，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200米 2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一个花坛，造价为4200元/米 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/米 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/米 2．(1)设AD为x米，DQ为y米，试建立y关于x的函数关系式；(2)设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(3)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？18.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√22，且经过点Q(2,√2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=kx+m(k>0,m2≠4)与椭圆C相交于A，B两点，若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，试用m表示k．19.已知函数f(x)=e x−x2−ax有两个极值点x1,x2(x1<x2)．(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)求证：e x1+e x2>4．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足S n+b n+1=b n2，n∈N∗．(1)若{b n}=2n，且S m=8，求正整数m的值；(2)若数列{a n }，{b n }均是等差数列，求b 1的取值范围；(3)若数列{a n }是等比数列，公比为q ，且−a 1>q >b 1≥1，是否存在正整数k ，使b 1，b1k+34，b k成等差数列?若存在，求出一个k 的值，若不存在，请说明理由；-------- 答案与解析 --------1.答案：{3,4}解析：解：∵A ={1,2，3，4}，B ={x|2<x <5,x ∈R}；∴A ∩B ={3,4}．故答案为：{3,4}．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：√22解析：解：z(i +1)=i ，z =i =i (1−i )()()=1+1i |z |=√(12)2+(12)2=√22直接利用方程两边求模，即可得到结果．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：54解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，则渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =34，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：由渐近线方程为3x ±4y =0，即渐近线方程为y =±34x ，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)， 则渐近线方程为y =±b a x ，即有b a =34，又c 2=a 2+b 2=a 2+916a 2=2516a 2，a，即c=54．可得e=54．故答案为：544.答案：5050解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+⋯+100．=5050．则1+2+3+⋯+100=(1+100)×1002故答案为：5050．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2++⋯+100的值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.答案：18解析：本题考查抽取的学生数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用分层抽样的性质直接求解．解：某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，=18．则应从丁专业抽取的学生人数为：60×300150+150+400+300故答案为：18．6.答案：310解析：本题考查古典概型， 确定基本事件的个数是关键．基本事件总数n =10，取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m =3，由此能求出取出的两本书都是数学书的概率．解：由题意，从5本书中任意取出2本的情况有10种，其中取出的2本书都是数学书的情况有3种，所以所求概率为310． 7.答案：−π6解析：本题考查三角函数的对称中心，利用余弦函数图象的对称中心为(kπ+π2,0)(k ∈Z)求解即可． 解：因为函数f (x )=cos (2x +φ)(|φ|<π3)的一个对称中心是(π3,0)，所以cos(2π3+φ)=0，即2π3+φ=kπ+π2(k ∈Z)，即φ=kπ−π6(k ∈Z)，因为|φ|<π3，所以k =0时，φ=−π6．故答案为−π6．8.答案：9√34解析：本题考查几何体的体积的求法，考查空间思维能力，化归与转化思想，是中档题．点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，由此能求出三棱锥P −ABA 1的体积．解：∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=3，点P 在棱CC 1上，∴点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，即为ℎ=√32−(32)2=3√32， S △ABA 1=12×3×3=92，三棱锥P −ABA 1的体积为：。
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．
如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ， 分别为 ， 的中点， 为棱 上的一点，且 ＝ ．
7.已知函数 ＝ 的一个对称中心是 ，则 的值为________．
8.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 为侧棱 上的动点，当 最小时，三棱锥 的体积为________．
9.设周期函数 是定义在 上的奇函数，若 的最小正周期为 ，且满足 ， ＝ ，则 的取值范围是________．
10.如图，在由 个边长为 ，一个顶角为 的菱形组成的图形中， ________．
【解答】
，
3.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设双曲线的方程为 ，则渐近线方程为 ＝ ，由题意可得 ，由双曲线 ， ， 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】
由渐近线方程为 ＝ ，即渐近线方程为 ＝ ，
设双曲线的方程为 ，则渐近线方程为 ＝ ，即有 ，
又 ＝ ＝ ，
即 ，
可得 ．
4.
．
故答案为： .
9.
【答案】
【考点】
函数的周期性
【解析】
由题意 ＝ ，故求了 的取值范围即可得出关于 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出 的范围，再由周期性得出 的范围即可
【解答】
由题意 ，函数是奇函数，
故有
又周期函数 是定义在 上的奇函数，若 的最小正周期为 ，
故 ＝
∵ ＝
∴
当 时，解得
江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题
江苏省苏锡常镇 2020 届高三数学二模试题第 I 卷(必做题，共 160 分)、填空题(本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．)1．已知集合 A ＝ x x 1 ， B ＝ x 0 x 3 ，则 A I B ＝．3 4i 2．已知复数 z ，其中 i 是虚数单位，则 z ＝ ． 5ix 22 3．已知双曲线 C 的方程为y 21，则其离心率为 ．44．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 ．5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：4： 3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为 15，则抽取的样本容量为．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1，2， 3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于 6 的概率为 ． S 7．已知等比数列 an 的前 n项和为 S n ，若 a 62a 2 ，则12＝ ．n n 6 2S88．函数 f (x) cos( x )( 0) 的图像关于直线 x 对称，则 的最小值为 ．2a 2 1 2b 249．已知正实数 a ，b 满足 a ＋b ＝ 1，则 的最小值为 ．ab10．已知偶函数 f (x)的定义域为 R ，且在［0 ， )上为增函数，则不等式 f(3x) f(x 2 2) 的解集为 ．11．过直线 l ： y x 2上任意点 P 作圆 C ： x 2 y 2 1的两条切线，切点分别为 A ，B ，当 切线最小时，△ PAB 的面积为 ．1212．已知点 P 在曲线 C ： y x 2上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l ，过点 P 且与直线 l 垂直2的直线与曲线 C 的另一交点为 Q ，O 为坐标原点 ，若 OP ⊥OQ ，则点 P 的纵坐标为 ．13．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝2，以 AB 为直径在△ ABC 外作半uuru uuru 8 uuur uuur圆 O ，P 为半圆弧 AB 上的动点，点 Q 在斜边 BC 上，若 AB AQ ＝ ，则 AQ CP 的最3小值为 ．314．已知 e 为自然对数的底数，函数 f （x ） e x ax 2的图像恒在直线 y ax 上方，则实 数 a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． ）15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，过点 P 作 PD ⊥AB ，垂足为 D ，E ，F 分别是 PD ，PC 的中点，且平面 PAB ⊥平面 PCD ．（ 1）求证： EF ∥平面 PCD ； （ 2）求证： CE ⊥ AB ．16．（本小题满分 14 分）1）求角 A 的大小；12）若 cos （B ＋ ） ＝ ，求 cosC 的值．64在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 3a c2 cos A sin C17．（本小题满分14 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π 立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16 分）22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x2 y 2 1（a >b >0） 的左、右顶点分 a 2 b 2别为 A 1（ ﹣ 2，0） ，A 2（2 ，0） ，右准线方程为 x ＝4．过点 A 1的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P ，交椭圆 C 的右准线于点 D ．直线 A 2D 与椭圆 C 的另一交点为 G ，直线 OG 与直线 A 1D 交于点H ．1）求椭圆 C 的标准方程；2）若 HG ⊥ A 1D ，试求直线 A 1D 的方程；uuuur uuuur3）如果 A 1H A 1P ，试求 的取值范围．19．（本小题满分 16 分）2x 2 (2 a)x a ln x ，其中 a R ．1）如果曲线 y f （x ）在 x ＝ 1处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； 2）若函数 f （x ） 的极小值不超过 a ，求实数 a 的最小值；23）对任意 x 1 [1 ，2] ，总存在 x 2 [4 ，8] ，使得 f （x 1）＝ f （ x 2 ）成立，求实数 a 的已知函数 f （ x ）取值范围．第 II 卷（附加题，共 40 分）20．（本小题满分 16 分）已 知 数 列 a n 是 各 项 都 不 为 0 的 无 穷 数 列 ， 对任 意 的 n ≥ 3， n Na 1a 2 a 2 a 3 L a n 1a n(n 1)a 1a n 恒成立．1111）如果 1 ， 1 ， 1 成等差数列，求实数 的值； a 1 a 2 a 3 a n21．【选做题】本题包括 A ， B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4— 2：矩阵与变换2）已知 ＝1．①求证：数列11 是等差数列；②已知数列a na n中， a 1 a 2 ．数列 b n 是公比为 q 的等比数列，满足11b 1 1， b 2 1， b 3a 1a 21(ia i） ．求证：q 是整 数，且数列 b n 中的任意一项都是数列1中的项．10 分共计 20 分，已知矩阵A＝ 2 1，其逆矩阵A1＝ b c，求A2．0 a 0 1B．选修4—4：坐标系与参数方程x 2 2cos 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为y 3 2sin标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M，（2，0），（2 3 ，），求直线l 被曲线C截得的弦长．6C．选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c 满足a＋b＋c＝2，求证：（为参数）．以坐N的极坐标分別为b21．必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C：y2 4x的焦点为F，过 F 的直线l 交抛物线C于A，B 两点．1）求线段AF 的中点M的轨迹方程；2）已知△ AOB的面积是△ BOF面积的 3 倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10 分）已知数列a n，a1 2 ，且a n 1 a n2a n 1对任意n N 恒成立．1)求证：a n 1 a n a n 1a n 2L a2a1 1(n N ) ；2)求证：a n 1 n n1( n N ) ．15.证明：住三棱^P^ ABC 中：（1）因为厶F 分别是PD, PG 的中点,所UEF 为XCD 的中位线，••••••2分则有EF 〃 CD •••••••3分乂 EFU 面 XBC , CDU 面 ABC .则有ZT 〃平面ABC.……7分（2） N 为平面丄平面PCD∙平面PABΓ∖平面PCD 二PD •ABI. PD ∙ MU 平面 PAR ,所VIAB 丄平面PCD 9...... I l 分 又CEU 平面PCD .则•仏丄CE\...... 14分∣6.解：(1)由正弦定理F=一τ=r ，且血=土沁 Sln Λ SInZJ SInC C SinCZ fcl V?sin A 2 - COS J倚—=一 •R 1JW√3sinJ = 2-cosJ,即V3sin J + COS A = 2. 2sin(J + -) = 2 tO则 Sin(J+ ^)=1 ,6Iπ π 7ππ πJr因为 HG (0’ π)f JIjJ + — ∈ •▼ !4l J ÷ ~ = T T 即丿=〒•66 66 2 3 (2)在厶 ABC I 1 ,因为 — f 1Ψ1 Bw ((),〒•).∈(—▼[)■则sin(3+ ；) >0 .3366 6□乂因为 CoS(B + 三)一丄，则 sin(5÷-) ≡Jl -cos 2 (^÷H= " ‘ •646 X64・・・・・・«分又 tt ∆ ABC 中，J + Z∕ + C -π •……9分 所以COSC 二 cos(π-J-^)= -CoS(J 十〃)二一COS(3十彳)••・••・10分--cos[(f? + -) + —]-- cos(tf+ —)cos- +sin(Z? +—)sin-6 6 6 6 6 6√3 I I √15 √Γ5-√3 二 --- X — —× ------- = ------------- • ••••••14 分2 4 2 4 817•解：设圆锥形容器的底面半径为厂米.高为〃米.母线为/米.例面枳为5平方米,SinC SinC•…4分• ••••• 6容积为7立方米，则Γ = 36π・< 1)由 r = 6 ,= ^nr I h = 36π ,得Λ = 3,....... 1 分所以 S = JW√ = Itrylr Z+ A 2 = 6崗6： 4 3： = 18V?Jt ， ... 2 分 /底而积为πr 2 - 36z (平方米)>... 3分 故该容器的表面积为(18√5π + 36π)= 18(2+√5)π (平方米)• ... 4分该容器的表面枳为1&2*√5）7t 半方米•(2)因为r = fπ∕⅞=36x∙得r 2 = 3><36π =Jo8 其中巾〉°3 Xh h当必(Q6)时，∕,(λ)<O, f(h)在(0,6)上单调通减； 当必(6,4OO )时，f(h) > 0 , f(h)在(6.+∞)上单调递增. •••••• 12 分数学答窠弟2页（共8页）所以，当” 时，/（〃）最小•此时S 最小. 13分 答：半容器的岛为6米时•制造容器的侧面用料最省.14分所以 S = Tvi = IU∙ J f +/F = π∖Jιμ + t∙3h' = π^~yτ^+~y^^ =7i^^γτ-+108Λ记/(〃) =罟+ 力，令 ∕*( A) =÷ 1 = = O ,得〃 =6. ...... 10 分数学答案第3页(共8页)18•解:(1)由椭圆C 的左、右顶点分別为J 1(-2,0).J 2(IO)f 右准线方程为x∙4得:« =2. — = 4 ,故c = h b =a 1-c ? = 3 ・....... 2 分C所以椭圆C '的方程为v÷4 = 1①.••••••3分43(2)设直线A i D Z y = ^(x+2) (Λ>0)②•则与右准线Λ = 4的空点D (4∙从).乂 J 2(2.0).所以i 殳直线 AJ) ： V = 3A(Λ-2)t K⅛L(1)得：因为丽=JI 丽.所以(・T 〃 + 2∙ V zZ ) = ∕i(J z > + 2, y r ).则 y u = λy r .YlkA = 2k = ^) = I⅛5 =I±4^=_^!_=_1 y p∖2k12十+5 12^+9-4 , 4 3+4P3+4“3+4”因为/(灯在(0,+◎为减函数， 所以λ∈Λ∣).餡得略F∙為,则直线OG 的斜率为③，IZn — 1因为OG 丄J I Z),故-≡≠- A =-L 又M>0,解得“空, ∖2κ — 1 6则直线*∖D 的方程为y =^(X 十2).(3)由⑵中③知，设直⅛ OG ： J=#2]X,联立②得:解得"(-24P + 2∖2k)6-加 12£ 3 + 4A∙2e 3÷4A 2・7分•8分10分14分•15分16分联立(1X2•y = g + 2),解得H数学答案第4页(共8页，19•解：因为 f(χ} = χ2 + (2 - a)x-a In X » 所以厂(X) =(!)因曲线v = ∕(v)在Xi 处的切线斜率为l∙所以/'(122(27) = 1,得«=|. ・・・・・•2分(2)①当αWO 时，八x)>O 在(O,-W C xg 成立,即/⑴ 在(0,+8)单调暹增,故函数/(口不存在极值. ・•・・・•3分②当 Λ > O IM ,令 f(Λ) = O .得 Λ=∙^.X(()；)a 2 (p+∞) rω —O+ ∕ω、极小值Z则/⑴“二/白二—牛"In 駅 •冈为“>0•则〉斗-In 耳€0.2 42 22 42令^^)=T-T-In T = T + ,n2，则g (σ) = ~7-丄 Vo ,2 42 244 a则g(α)在(θ∙+∞)单调递减， .... 7分Z^<2) = O .所以X ⑷«(2) = 0.则心2・则实数α的诫小伯为2.・・・•・•8分(3) 记/(x)在⑴2]上的值域/-J A .住[4周上的值域为〃・“任^x ∣e[l∙2]•总存⅛r 2e[4∙8]∙使得/(打)=/(勺)成立-等价于aAQB 99.① 当 Yl 或彳$8.即広2或心16时.IlJ (2) ∕ω∕E[L8]±为单调函数,不合题意：••••••9分®当lv^≤2, EP2<α≤4时，由(2)知：/(x)在(0,彳)上单调递减,(分R)上单调遥增，故∕⅛e A , {U ∕(⅛e5.不合题意：・・••・・10分 厶 厶 厶(v÷l∏2r -Λ)③当2<尹4,HIuVk 时.才二M(2)>∕(1)]∙ β=[∕(4h /⑻]■由 ACB/(2QC4b /(0≤f(8h18 — 2α - α In 2324 - 4α — 2α In 2∙ 则[3-(∕≤80-8α-3uln2.解得丿162⅛ln2 77 11分7 + 31n2”2数学答家第5页(共R 页)因为OVln2vl,则2<2 + ln2<3,即 4< —<—^―<8.32+ln2• 7又與为c>2∙7∙汁ii{,Je 3>24∙则J,2∙ UlJ -> ln21 =41n2 t Il ∣)7>81n2∙所以此时：島g④为4v^<rR∙即8vα<16时.I h AcR 9彻/(D 岑⑴得“叫斗kJlC6,则8<α≤-⅛-・7+ 3 In 277*31n2S∣6 一 77综 丄:S—rτ Z 一∑τ^r ・2+ In 27÷3ln220•解2 (I)因为"23且刃wN°时• 4角+ $殆+…十恒成立•则” =3时，叽+吆产2曲,因为数列S 爲各项都不为0.同除叱5得:2Λ I 1—=—+—・..... 1 分乂因为丄•丄•丄成等至数列■则二=丄+丄＞... 2分o ∣ ∏2 Cj∏2 引 Oy比较得：—β"~ ＞所以Λ= L...... 3分⅛ ⅛1 I2 (2 )①当 - 1 . /1-3 时∙ n i a 2 ÷ QE = 2a l ∏.①'整理得一+ —=— a∖ IIlI 则 ----- = ------ ②•a 2 a l a i a 2当” =4时.a χa 2 + a 2a 5 +竹①=3°冋③.③-①得：αg = 3αq -2α/, B*——, X2H ，Ml ll∖U∖ UX u>~ IllIC所以 ----- = ------ ④•α4 ai Q 、 a I当刃 N3 时.ΛI <72+Λ2Λ3+∙∙∙ + 6F Λ.I ΛI =(n -1)Λ1ΛZI .o l a 2 ^a l a i +— + a t ^l a tl + a n a 9^ ≡ na l a^l 两式相减得：I n /I -1"M∙ι="5%ι∙("-l 八 因为〜工0,得：~ = ^"一— ..................... 6 分a∖ 4 a ħ-∖1 ∕ι+l n ~ • 〃'//+1 n也 H 卩 21 >24 In 2.贝IJ _27__S=21-241n27 + 31n2 7 + 31n2>0.即 77 7 + 3ln213分15分 •16分a ∖ a i a2进叽厂订订，所以厂…二”2数学答家第5页(共R页)② 设数列[丄!公差为 d,令c” =丄，C l = — = c(c≠0)»'∕l Jh =Cl=C , br -C- =c÷ J ,d -c 2-c l = b]_b\ =Cq-C ・当j = 2时，⅛ = c, = ⅛ »从而g = l, b 2=b i 得α1 = α2»与已知不符. .......... 10分⅛ / = 3 ⅛T 由bι = c v cq 2 =c + 2J = c+2c(^-1) •得g' = ] + 2(g_l).得q = l,与己知不符•当f = l 时，由δ3 = q , CqI= c ,得g'=l,则q = -l (上面已证q ≠∖)为整数•数列｛»｝为：c 、-C t c, ∙∙∙;数列｛ς,｝中，c ∣ = c , c 2=-c f 公差d = -2c. 数列｛%｝每一项都是｛ςl ｝中的项(C = C jf -c = c 2) .... 12分当 ∕≥4 时，由 by = C (I Cq- =c÷(r — ∖)d = c + (Z- I)C(^-I),得g~ — (z — l)q + (j — 2)= O ,得q = ∖ (舍去)，q = i-2( ∕≥4 )为正整数.・・・・・・14分因为 Cg = C + 〃，b i =q ■对任意的正整数斤刁4,欲证明®是数列｛ς,｝屮的项，只需： b k -Cq 1-C i +xd= b 3 + x(Cq-C) = CCJ 2+ X(Cq - C)有正整数解 X. 等价于：√-,=√2÷.V (<7-1),X=(I -~f-为正整数.因为T=C + d , ⅛ =C i f对任意的正整数AM4,欲证明力足数列｛ςl ｝中的项，只需： ⅛ =Cq k 1=C J+ xd = b i + x(C(I-C) = C(I l ^X(Cef-C)有正整数解兀 等价于：严=孑十也_i ), *亡二£为正整数I 1 2 1 1整理得Γ+7^=7^>即匚 an 叫+2a^∖ 4Il 1 _ 一， 一 %----- T -= ---------- 77对任意的正整数力MI 恒成立•所以数列｛丄｝成等差数列.二不二石肓23）⑤, 由②©®得:・7分•8分11分q 一I22因此，仮｝中的每 项都是数列匕｝也即］中的项.16分:Jo IHi -]•21 A∙解:因为 ΛA'1=昇，则有S[： Io 肚;]•10分21B.解：由 X = PCoS(7. V = PSill^ ,得:Λf(2,0), N(3∙√J), 则直线/： y = √3(j -2),曲线U ： (x-2)2 + (y+√3)2-4 ,圆心为(2,-√J),半径r = 2, 则圆心到直线/的距离为〃=∣2Ξ2^I =√Σ,2 2则直线/被曲线r 截得的戎浪为2厶厂庐二√B .10分21C∙解：因为α>0, b>0, c>0, α十b 十c_2,由柯西不等式得：[（&十I ）十（C 十"）十（“ + 〃）] +n+c c+a Λ÷D=[w"（g ）pE ）[（島卜磐/+h⅛1]≥ ∖∣b + c -^^ + >Jc+a 丁伫=++ b√6+c √C ÷Λ=（α +b 十 T ） =2?.则丄+£+丄A 、严3Λ + c c + α a （6十e ）十（C 十"） + （α ∙b ） 4所以-^- + ―4-—>1. b^c C^U U^b10分因为2亡¥ =纟"二表示首项为『,公比为q = i-2 (∕≥4 ). q-∖ q-ι共—3 (A )项的等比数列的相，所以X 为止整数.22.解：因为抛物线方程为y1 = 4r t所以F(LO). ••••••1分(1 >设W(x・刃・丿(心Jo)-因为"为线段"的中点，则X =凹亍=丿二¥，•・・・・•2分则r0=2τ-i. V O = 2J代入抛物找方程得,∕ = 2x-l,即点M的轨迹方稈为尸= 2x-1・・・・・・・4分(2)设J(Xy∣> B(xγ y2) r不妨设y↑ >0∣ y2 <0 ,i殳ZX""和∕∖BOF的而积分别为» 52.囚为AdOB的面积是ZJJO厂面积的3倍.即S l^= 35?,所以S1 =25,.因5, =^C?F-.i门，S∣j2∣ = -^F-y2.则.V I=-2>∙2Φ.・・・・・•6 分2=^OF∙UtAB： X = A+ 1 (40)②,与y2 =4x联立，消去X得:√-4iV-4 = 0,y l;=2/±2√∕y+l •片 + 必=缶③.J l>,2=-4®»....... 8分由①③④可得・代入②，得直线厶V=2√2(X-I): 同理当Jl <0» >2 >O时，得直线厶y= -2√2(r-b.综1.・宜线/的方稈为：J = ±2√2(T-1).10分23∙还明,(1)为"_1时.勺一α" -1)十1三3十严1成立•假设∕ι=A 时,结论成立，UPd A.1=U k U l 1 --U2CZ1 + 1.当/r =A 十1 时.a k :="“|(兔訂 _ 1)十I =IIM(UM J・••色a〕十I _1)十IMM"」• •仲I +1 •则当M = A, ÷ 1 时"命题成立.综上：fl ff-∣ = (I n a t_Id n_2∙∙∙a2a l + 1. 4分(2)要证$ a^l >ΛΛ +1,由(1) %∣ = Q工勺・2…勺。
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)教学教材
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，共70分）1．已知i为虚数单位，复数，则|z|＝．2．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤3}，若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是0.08．4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则a＝3．5．甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是．6．如图是一个算法的流程图，则输出的x的值为6．7．“直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：4x+ay+3＝0平行”是“a＝2”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，＝﹣4，则a n＝﹣2n+11．9．已知点M是曲线y＝2lnx+x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为y＝x﹣3．10．已知3cos2α＝4sin（﹣α），α∈（，π），则sin2α＝﹣11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．12．在△ABC中，（﹣λ）⊥（λ＞1），若角A的最大值为，则实数λ的值是3．13．若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]（1＜m＜n），则a的取值范围是（1，）14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O．若OB＝OC，则△ABC面积的最大值是8二、解答题（共6题，共计90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17．某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M 的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：的离心率为，且经过点（1，），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积比为1：7，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝x3﹣mx2+m2x（m∈R）的导函数f'（x）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）存在极值，求m的取值范围；（2）设函数h（x）＝f'（e x）+f'（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．20．已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n＝n∈N*．（1）若a n＝n，b n＝2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．三、附加题21.已知矩阵A＝，B＝，且二阶矩阵M满足AM＝B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝t（t为常数），且的最小值为，求实数t 的值．24．某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依此类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．25．已知抛物线C：x2＝4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，交AB于点M，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G．记四边形AEBG的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十)
2020届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分160 分，考试时间120 分钟）、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|1<x<3} ，B＝{x|2<x<4} ，则A∪B＝________2. 若复数z 满足z＝i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为a＋2i3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为［12，13），［13 ，14），［14 ，15），［15 ，16），［16 ，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_ ．（第3题）（第4 题）4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为_______ ．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格， 2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为_______ ．6. 在等差数列{a n}中，a4＝10，前12 项的和S12＝90，则a18的值为 ____ ．222 x y7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知 A 是抛物线y2＝4x 与双曲线4－b2＝1（b>0）的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ．π8. 若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象经过点（，2），且相邻两条6ππ对称轴间的距离为π2，则f（π4）的值为___ ．9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为 2 ，则该正四棱锥的表面积为10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－5x，则不等式f （x －1）>f（x）的解集为．211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（－1，0），B（5，0）．若在圆M：（x －4）2＋（y －m）2＝ 4 上存在唯一一点P，使得直线PA，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P 在DA的延长线上，且满足（PB＋|x ＋3| ，x≤0，13. 已知函数f(x) ＝ 3 设g(x) ＝kx＋1，且函数y＝f(x) －g(x) 的图x3－12x＋3，x>0.象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________ ．2214. 在△ ABC中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A＋cos 2B 的最大值为_____ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. ( 本小题满分14 分)π 设向量a＝(cos α，λ sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<2，且a＋b与a－b互相垂直．(1) 求实数λ 的值；4(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α 的值．516. ( 本小题满分14 分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E 分别是AB1和BC 的中点．求证：(1) DE ∥平面ACC1A1；(2) AE ⊥平面BCC1B1.17. （本小题满分14 分）某公园内有一块以O为圆心，半径为20 米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O 外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠ QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞π台O 处的距离都不超过60 米．设∠ OAB＝α，α∈（0 ，3）．问：对于任意α，上述设计方案3是否均能符合要求？(2) 设经过点 P(2 ， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，点 Q(m ，0) ． ①若对任意直线 l 总存在点 Q ，使得 QA ＝QB ，求实数 m 的取值范围； ②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ： 的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程；2x2＋ayb 2 ＝1(a>b>0) 的离心率为 22， 且椭圆 C 短轴19. (本小题满分16 分)2x－2 已知函数f(x) ＝ln x －，a>0.x－1＋2a(1) 当a＝2时，求函数f(x) 的图象在x＝1 处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1 ，＋∞ ) ，不等式f(x) ≥0恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分) 已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2⋯a n)2＝a n1＋1a n n＋－11.a2(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求2的值；a1(2) ① 求证：数列{a n} 为等比数列；② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋⋯＋a n≤2n－1，求数列{a n} 的公比q的取值范围．2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十 ） 数学附加题 （本部分满分 40分，考试时间 30 分钟）21. 【选做题】 本题包括 A 、B 、C 三小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ]（ 本小题满分 10 分）（1） 求 a ， b 的值； （2） 求 A 的逆矩阵 A －1.x ＝t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数 ），曲线 C 的参数 y ＝ 3t ＋2值．C. [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 本小题满分 10 分） 解不等式： |2x －1| －x ≥2.【必做题】第 22 题、第 23 题， 每小题 10 分 ， 共计 20 分．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．22. (本小题满分 10 分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B ，每遇到一个岔路2 b1121， B，AB ＝a 30 － 14 1已知矩阵 A ＝B. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（ 本小题满分 10 分 ）方程为x ＝ cos θ， y＝ 3sin θ（ θ 为参数 ） ，P 是曲线 C 上的任意一点． 求点 P 到直线 l 的距离的最大口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设C 是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点 C 的概率；(2) 设这 4 名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10 分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取3个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T 的最小值；3(2) 若n≥4，求证：T≥2C n3.2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十）数学参考答案因为 0<α<π2 ，所以 sin 2α≠0，所以 λ2－ 1＝0.又因为 λ >0，所以 λ＝ 1.（6 分 ） （2） 由（1） 知 a ＝（cos α，sin α） ．44 由 a ·b ＝ ，得 cos αcos β＋ sin αsin β＝ ，554即 cos （ α－β ） ＝ .（8 分 ）5 ππ 因为 0<α<β< 2 ，所以－ 2 <α－β<0，23所以 sin （ α－β ） ＝－ 1 － cos （α－β）＝－ 5.（10 分 ）sin （α－β） 3所以 tan （ α－β）＝ cos （α－β） ＝－ 4，（12 分）tan （α－β）＋ tan β 1因此 tan α＝tan （ α－β＋β ）＝1－ tan （α－β） tan β＝2.（14 分）16. （1） 连结 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中， AA 1∥BB 1且 AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是 AB 1 的中点，所以 D 也是 BA 1 的中点． （2 分）在△ BA 1C 中， D 和E 分别是 BA 1和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C. 又因为 DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面 ACC 1A 1， 所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.（6 分 ）（2） 由 （1） 知 DE ∥A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1， 所以 BC 1⊥DE.（8 分 ） 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， DE 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE. 又因为 AE 平面 ADE ，所以 AE ⊥BC 1.（10 分 ） 在△ABC 中， AB ＝ AC ，E 是 BC 的中点， 所以 AE ⊥BC.（12 分 ） 因为 AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ， BC 1∩BC ＝ B ，1. {x|1<x<4}2. － 23. 184.316 5. 35 6. －47. y ＝± 3 x 8. 3 9. 410. （ －2， 3） 11. ± 21 12. 13. － 9，1314.2＋1 2（1） 由 a ＋b 与 a － b 互相垂直 ， － 1＝ 0.（2 分） ＝ 1，＝ 0.（4 分 ） 15. 所以 cos 2α＋λ 2sin 2α 又因为 sin 2α＋ cos 2α 所以（λ 2－ 1）sin 2α可得 （a ＋b ）·（a －b ） 22＝a －b ＝BC 1 ，BC 平面 BCC 1B 1， 所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1.（14 分 ）17. 过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝α， 所以 AH ＝20cos α，因此 AB ＝ 2AH ＝40cos α.（4 分 ） 由图可知，点 P 处的观众离点O 最远． （5 分） 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP 2＝OA 2＋ AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 23π （7 分 ）3＝400（6cos 2α＋ 2 3sin α cos α＋ 1）＝ 400（3cos 2 α＋ 3sin 2 α＋ 4） ＝800 3sin 2α＋ π3 ＋1 600.（10 分） ππ π因为 α∈ 0 ，3 ，所以当 2α＝ 6 ，即 α＝ 12时，（OP 2）max＝ 800 3＋1 600 ，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.（12 分 ）因为 20 3＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60米． （13 分）故对于任意 α，上述设计方案均能符合要求． （14 分 ）所以 b 2＝ a 2－ c 2＝1，x2所以椭圆 C 的方程为 2 ＋y 2＝1.（2 分） ①设 AB 的中点为 M （x 0，y 0） ，2x 1＋ x 24k 22k则 x0＝2＝1＋2k2，y0＝k(x 0－2) ＝－1＋ 2k 2.(6 分) 当 k ≠0时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，2 解法一：设直线的方程为 y ＝k （x －2） ，代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得（1 ＋ 2k 2）x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.因为直线 l 交椭圆 C 于两点，所以 Δ＝ （ －8k 2） 2－4（1 ＋2k 2）（8k 2－ 2）>0 ， 解得－ 2 <k< 2 .（4 分 ）设点 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2） ，＝ 400 ＋ (40cos α － 2×20× 40cos α ( － 2cossin αc＝218. (1) 依题意得 a 2c ＝1，8k 8k － 2则 x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2k－1＋2k2－0即 k QM ·k ＝2·k ＝－1.4k1＋2k2－m2k2 解得 m ＝1＋2k 2.（8 分 ）解法二：①设点 A （x 1， y 1） ， B （x 2， y 2） ，AB 中点为 M （x 0，y 0） ． 2x 1 22＋y 21＝ 1， 依题意 22 两式作差，x 2 22＋ y 2＝ 1，得y x 1－－y x 2×y x 0＝－12（x 0≠0）．x 1－ x 2 x 0 2y 1－ y 2 又因为 x 1－x 2＝kAB x 0－221所以 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ． 当 x 0＝0 时， y 0＝ 0，21符合 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ．（ⅰ）（4 分） 又因为 QA ＝QB ，所以 QM ⊥l ，所以（x 0－ m ）（x 0－ 2） ＋ （y 0－ 0）（y 0－ 0） ＝0， 即 y 0＝－ （x 0－ m ）（x 0－2） ．（ ⅱ）（6 分） 由（ⅰ）（ ⅱ） ，解得 x 0＝ 2m ，当 k ＝0 时，可得m ＝0，符合 m ＝1＋2k 22k 2.2k 2 因此 m ＝1＋2k 2k112（1－ m ）<12，解得 0≤m<12.（10 分）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 222＋y ＝ 1， 2消去 y ，得 x －4mx － 4m ＝0，所以 x 1， x 2也是此方程的两个根， 所以 x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－ 4m.（14 分） 8k 2－2 x1x2＝1＋2k 2，由 0≤k 2＝（12 分 ）x 1x 2＝又因为 x 1＋ x 2＝ 2，1＋ 2k22 所以 8k 2＝－8k －21＋2k 2 1＋ 2k 22k 1 所以 m ＝1＋2k2k 2＝ 51.（162， 解得 k 2＝ 1，8分）y 0－0因此 y 02＝ 2m － 2m 2.（8 分 ） 因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以点 M 在椭圆 C 内，2（ 2m ） 221所以 2 ＋ （2m － 2m 2）<1 ，解得 m<2. 22 又 y 20＝ 2m － 2m 2≥0，所以 0≤m ≤1.1综上，实数 m 的取值范围是 0，2 .（10 分 ）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 2 2消去 y ，2 ＋y ＝ 12得 x 2－4mx －4m ＝0.（ ⅲ）（12 分 ）当 y 0≠0时，则直线 l 为 y ＝－ x0 （x －2） ，代入椭圆的方程，2y 0得（2y 02＋ x 02）x 2－4x 02x ＋4x 20－ 4y 20＝0.将（ ⅰ） 代入上式化简得 x 2－2x 0x ＋3x 0－ 2＝0.（ ⅳ）当 y 0＝0 时，此时 x 0＝ 0，x 1＝－ 2， x 2＝ 2也满足上式． （14 分）x2由①可知 m ＝ 2，代入 （ ⅲ） 化简得 x 2－2x 0x －2x 0＝0.（ ⅴ） 因为（ ⅳ）（ ⅴ）是同一个方程， 所以 3x 0－ 2＝－ 2x 0，解得 x 0＝ ，5x 0 1所以 m ＝ 2＝5.（16 分 ）2x － 21 8 119. （1） 当 a ＝2时， f （x ） ＝lnx － x ＋3，f ′（x ） ＝ x －（x ＋3）2，则 f ′（1） ＝ 2.1又因为 f （1） ＝0，所以函数 f （x ） 的图象在 x ＝1处的切线方程为 y ＝ 2（x －1） ， 即 x －2y － 1＝0.（2 分）2x －2（2） 因为 f （x ） ＝ln x －x －1＋2a，1 所以 f ′ （x ） ＝ － 2x （x －1＋ 2a ）2 2 2 2x －2x ＋ 4a －4a ＋ 1 （ x －1） ＋4a －4ax 2＝1＋2 a －a 2∈（1，＋∞ ） ，当x ∈（1， x 2）时， f ′（x ）<0 ，x （x －1＋2a ）2，（4 分）且 f （1） ＝0. 因为 a>0，所以 1－2a<1. ①当 4a 2－ 4a ≥ 0，即 a ≥1时，因为 f ′（x ）>0 在区间 （1 ，＋∞ ） 上恒成立， 所以函数 f （x ） 在区间 （1 ，＋∞ ）上单调递增． 当 x ∈[1 ，＋∞ ）时， f （x ） ≥f （1） ＝ 0， 所以 a ≥1满足条件． （6 分 ）②当 4a 2－4a<0，即 0<a<1 时， 由 f ′（x ） ＝ 0，得 x 1＝1－2 a － a 2∈（0 ， 1） ，4a2x （x －1＋2a ）2则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，所以当x∈（1，x2）时，f（x）<f（1）＝0，这与x∈[1 ，＋∞ ）时，f（x）≥0 恒成立矛盾，所以0<a<1 不满足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1 ，＋∞ ）．（8 分）（3）①当a≥1时，因为函数 f ′（x）≥0在区间（0 ，＋∞ ）上恒成立，所以函数f（x）在区间（0 ，＋∞ ）上单调递增，所以函数f（x）不存在极值，所以a≥1不满足条件；（9 分）1②当2<a<1 时，1－2a<0，所以函数f（x）的定义域为（0 ，＋∞），由f′（x）＝0，得x1＝1－2 a－a2∈（0 ，1），x2＝1＋2 a－a2∈（1，＋∞ ）．列表如下：由于函数f（x）在区间（x 1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不满足条件．（11 分）1 ③当a＝2时，由f′（x）＝0，得x＝2.列表如下：此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，1所以a＝2不满足条件．（12 分）1④当0<a<2时，函数f（x）的定义域为（0 ，1－2a）∪（1－2a，＋∞ ），且0<x1＝1－2 a－a2<1－2a，x2＝1＋ 2 a－a2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x) 存在极大值f(x 1) 和极小值f(x 2)，(14 分)因为0<x1<1－2a<x2，x1所以ln <0，x1－x2<0，x1－1＋2a<0，x2－1＋2a>0，x2所以f(x 1) －f(x 2)<0 ，即f(x 1)<f(x 2) ，1所以0<a<2满足条件．1综上，实数a的取值范围为0，2 .(16 分)2 3 220. (1) 因为(a 1a2) 2＝a31a3，所以a22＝a1a3，因此a1，a2，a3 成等比数列．(2 分) 设公比为t ，因为a1，2a2，3a3成等差数列，a2 a3所以4a2＝a1＋3a3，即4× ＝1＋3× ，a1 a121于是4t ＝1＋3t ，解得t＝1 或t ＝3，a2 1所以a＝ 1 或3.(4 分)a1 3(2) ①因为(a 1a2⋯a n) 2＝a n1＋1a n n＋－11，所以(a 1a2⋯a n a n＋1) 2＝a1n＋2a n n＋2，n2a n＋ 2两式相除得a n＋1＝a1· n－1，a n＋1即a n n＋＋11＝a1a n n＋2，(*)(6 分)2n ＋ 2 n ＋1 n＋ 1即a n＋ 2 ＝a n ＋1a n＋3，所以a n＋2＝a n＋1a n＋3，2* 即a n2＋1＝a n a n＋2，n≥2，n∈N*，(8 分) 由(1) 知a22＝a1a3，所以a2n＋1＝a n a n＋2，n∈N*，因此数列{a n} 为等比数列．(10 分)②当0<q≤2时，由n＝ 1 时，可得0<a1≤1，所以a n＝a1q n－1≤2n－1此时f(x 1) －f(x 2) ＝ln x1 4a(x1－x2)x1－1＋2a)( x2－1＋2a).2x1－2 2x 2－ 2x1－1＋2a －ln x2 ＋x2－1＋2alnx1x2由(*) ，(*)(**)n＋ 2 n＋ 1得a n＋2＝a1a n＋3，两式相除得n＋2 n ＋1a n＋2 a n＋ 3n ＋1＝n a n＋1 a n ＋2因此 a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ≤1＋ 2＋⋯＋ 2n －1＝2n －1， 所以 0<q ≤2满足条件． （12 分） 当 q>2 时，n由 a 1＋a 2＋⋯＋ a n ≤2－1，a 1（1－ q ） n 得 1 1－q ≤2n －1，整理得 a 1q n ≤（q － 1）2 n ＋ a 1－ q ＋ 1.（14 分） 因为 q>2，0<a 1≤1，所以 a 1－ q ＋1<0，由于q >1，因此 n<log qq －1，与任意 n ∈N *恒成立相矛盾，2 2 a 1所以 q>2 不满足条件．综上，公比 q 的取值范围为 （0 ，2] ．（16 分）2b21. A. （1） 因为 A ＝， B ＝a32－b ＝1，b ＝ 1，所以 a ＝ 4， 即 （4 分 ）a ＝ 4.a － 3＝1， （2） 因为 |A |＝2×3－1×4＝ 2，（6 分）312.（10 分 ）π＋ 4 ＝ 1，此时 d 取最大值， 所以距离 d 的最大值为 62 2.（10 分 ）1C. 当 x ≥2时，由 2x － 1－x ≥2，得 x ≥3.（4 分）11当 x<2时，由 1－2x －x ≥2，得 x ≤－ 3.（4 分） 231 综上，原不等式的解集为 {x|x ≥3 或 x ≤－3} ． （10 分）22. （1） 设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ，B. 直线 l 的参数方程为x ＝ t ，y ＝ 3t （t 为参数 ） ，化为普通方程为 ＋23x －y ＋2＝ 0.（2 分）设点 P （cosθ，3sin θ），则点 P 到直线 l的距离| 3cos θ－ 3sin θ＋ 2| 6cos d ＝（ 3） 2＋1π θ＋ ＋ 242，（6分 ）因此 a 1q n<（q －1）2 n，即2qn<q －a 1112－1， AB ＝ 4所以 A －1＝取 θ＝－ 4 时， cos θ11甲选中间的路的概率为 3，在前面从岔路到达点 C 的概率为 2，这两个事件相互独立，所 32 111以选择从中间一条路走到点 C 的概率为 P 1＝ × ＝ .（2 分）3 2 6 111 同理，选择从最右边的道路走到点 C 的概率为 P 2＝ × ＝ .326因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，111所以 P （M ） ＝P 1＋P 2＝ ＋ ＝ .6631故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.（4 分） （2） 随机变量可能的取值 X ＝0，1，2，3， 4，（5 分） 01 02 4 16则 P （X ＝0） ＝C 40× 3 × 3 ＝81，P （X ＝1） ＝C 14×1 123 32 × ＝ ，3 3 81 P （X ＝2） ＝C 24× 1 2 2 2 24 3 × 3 ＝ 81，P （X ＝3） ＝C 34× 1 3 2 1 83 × 3 ＝ 81，P （X ＝4） ＝C 44× 1 4 2 0 113 × 23 ＝811，（8 分）概率分布为：8181813×881＋4×811＝43.（10 分） 23. （1） 当 n ＝3 时，共有 6 个点，因此 T 的最小值为 2.（3 分）（2） 首先证明：任意 n ，k ∈ N *，n ≥k ，有 C k n ＋1>C k n .若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 63＝20； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 53＝10； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 43＝4； 若染红色的点的0或 6， 1或 5， 2或 4，3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；证明：因为 C k n ＋ 1－ C k n ＝C k n －1>0，所以 C k n ＋1>C k n .设这 2n 个点中含有 p （p ∈ N ，p ≤2n ）个染红色的点， ①当 p ∈{0 ， 1， 2} 时， 3 3（ 2n －2）（ 2n － 3）（ 2n －4） T ＝C 2n － p ≥C 2n －2＝ 6 ＝4×（n －1）（n －2）（2n －3） 因为 所以 6 n ≥ 4，所以 2n － 3>n ， n (n －1)(n － 2) 3 3 T>4× ＝ 4C 3n >2C 3n .(5 分) 6 p ∈{2n －2，2n －1，2n} 时， 32n －2， ②当 T ＝C 3p ≥C 同理可得 T>2C 3n .(6 分 ) ③当 3≤p ≤2n － 3 时， T ＝C p ＋ C 2n －p ， 设 f(p) ＝ C p 3＋ C 23n －p ，3≤p ≤2n － 3， 当 3≤ p ≤ 2n － 4 时， f(p ＋1) －f(p) ＝ C p ＋1＋ C 2n －p －1－C p －C 2n －p ＝ C p － C 2n －p －1， 显然 p ≠2n － p －1， 当 p>2n － p － 1 即 n ≤p ≤2n － 4时， f(p ＋1)>f(p) ， 当 p<2n － p － 1 即 3≤p ≤n － 1 时， f(p ＋1)<f(p) ， 即 f(n)<f(n ＋1)<⋯<f(2n － 3) ；f(3)>f(4)> ⋯>f(n) ； 因此 f(p) ≥f(n) ＝ 2C 3n ，即 T ≥ 2C n 3. 综上，当 n ≥4时， T ≥2C n 3.(10 分)。