勾股定理之赵爽弦图证法
勾股定理的经典证法
比较 ① ② 二 式 ， 便得０ ２ ＋ ６ ２ ＝ ＝ ｃ ｚ ．
这 一 证 明 由于 用 了梯 形 面 积 公 式 和 三
角 形 面 积公 式 ， 从 而使证明相当简洁． １ ８ ７ ６ 年４ 月１ 日， 伽 菲 尔德 在《 新 英 格兰 教育 日志》
上 发表 了他对 勾 股定 理 的 这一 证 明 ． ５ 年后 ，
着 身 子 用 树 枝 在 地 上 画 着 一 个 直 角 三 角 形， 于是伽菲尔德便问他们在干什么 ， 那个 小 男孩头 也不抬 地说 ： “ 请 问先 生 ， 如果直
角三角形 的两条 直角边分 别为３ 和 ４， 那 么
形 衄牺＝２ Ｓａ ｃ Ａ ，
易 证 △ 日 △Ｃ Ａ （ Ｓ ＡＳ ） ，
的正方 形 和４ 个 直角边 分别 为口 、 ｂ 的 直 于是 ， 伽 菲尔德 不再散 步 ， 立 即 回家 ， 为ｃ 这 两 个 正 方 形 的 面 积 相 潜 心 探 讨 小 男 孩 给他 出 的难 题 ．他 经 过 反 角 三 角 形 拼 成 的 ．
复思 考 与演 算 ， 终 于 弄 清 了其 中 的道 理 ， 并 等 ．
这 种 证 法 潜 藏 着 极 有 价 值 的数 学 思 想 ． 如 图， 有一 直 角三 角形ＡＢ Ｃ， Ｚ ＿ ＡＣ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ，
ＡＣ － ｂ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＢ＝ ｃ， 分 别 ｒ ＸＡＢ、 ＇ ＡＣ、 曰Ｃ为 边
证法如下 ：
左＝ ＋ ＋ ６ ２ ＋ ａ ｂ，
着， 突 然发 现 附近 的一 个 小石 凳 上 ， 有 两 个 小孩正在 热烈地 谈论着 什么 ， 时 而 大 声
勾股定理
2
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么 关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a b c
2 2
2 2
即
a 2 b2 c2 .
方法二：
a b c a
b c
a c b c b a
1 2 S正 a b) 4 ab c ， （ 2
2
化简得：
a b c
2 2
2
方法三：
c b c b-a c
a c
1 2 S正 c 4 ab (b a) ， 2
2
化简得：
∴
F
B
a 2 b2 c 2
D
N
E
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
S正方形c
1 4 3 3 18 2
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A B C 图1 A B
S正方形c
1 62 2
（单位面积） 18
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
探究活动二：
（1）观察右边 两幅图：
C A B B A
C
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左图 右图
4 16
B的面积
9 9
C的面积
数学文化之赵爽弦图
赵爽弦图
中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊.”
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平明百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.
2.弦图的另一种证法（图2）
提示：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.
3.美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法（图3）
提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.。
勾股定理常见证法
勾股定理有多种证明方法，以下是其中一些常见证法：1. 欧几里德证明：通过勾股圆方图证明勾股定理，大正方形的面积等于4个直角三角形加上一个小正方形面积之和。
2. 加菲尔德证明：在梯形中构造三个直角三角形，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，证明勾股定理。
3. 小K证明：通过相似三角形，边长之比相等，证明勾股定理。
4. 辅助圆证明：以点B为圆心，BA为半径作圆，延长BC交圆于点E,D，则三角形DCA相似ACE，从而证明勾股定理。
5. 切割定理证明：直角三角形ABC，以点B为圆心BC为半径作圆，交AB及AB延长线于D,E，则BE=BC=BD=a，从而证明勾股定理。
6. 面积合成证明：利用图形拼接证明勾股定理。
7. 行列式证明：n阶行列式等于以n个向量为边在n维空间中张成的n维体的体积，从而证明勾股定理。
8. 赵爽弦图证法：利用弦图构造直角三角形，利用面积法证明勾股定理。
9. 毕达哥拉斯证法：利用正方形分割法证明勾股定理。
10. 书本证明方法：利用八个全等的直角三角形和三个边长分别为a、b、c的正方形构造两个正方形，从而证明勾股定理。
11. 三角形相似推导：利用三角形相似的性质推导勾股定理。
12. 切割线定理证明：利用切割线定理和相似三角形证明勾股定理。
13. 托勒密定理证明：利用托勒密定理和相似三角形证明勾股定理。
14. 利用切线长定理：利用切线长定理和相似三角形证明勾股定理。
15. 总统证法：美国第20任总统加菲尔德在五年前证明了勾股定理，其方法被称为“总统证法”，具体为梯形面积等于三个直角三角形的面积之和。
16. 射影定理证明：利用射影定理和相似三角形证明勾股定理。
17. 余弦定理证明：当90度角时，利用余弦定理证明勾股定理。
18. 达芬奇的证明：利用几何图形和比例关系证明勾股定理。
19. 高斯公式证明：利用高斯公式（也叫鞋带公式）证明多边形面积，从而证明勾股定理。
以上是常见的勾股定理的证法，其中最常用的是面积法，同时还会结合其他几何知识如相似三角形、切割线定理、射影定理等进行证明。
初中数学辅助线添加技巧：弦图
初中数学辅助线添加技巧：弦图勾股的几个重要证明方法证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．c b aHG F EDCBA∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2b a -． ∴()22142ab b a c ⨯+-= ．∴ 222a b c +=．证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．cb a HGFED CBA∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2a b +． ∴ ()22142a b ab c +=⨯+．∴ 222a b c +=．证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．c b a Ic b a HGF EDCBA∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，∴四边形AHFI 是正方形．∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+，∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：c b a cb ED C BA以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于212c ．又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()212a b +． ∴()221112222a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．证法五（总统证法变形）：如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设,,AB a BC b AC c ===．B'C'D'c b aD C BA∵四边形BCC'D'为直角梯形，∴()()2122'D'a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．∴2211122222ABC CAC'D'AC''D'c abS S S S ab c ab +=++=++=△△△梯形BCC ． ∴()22222a b c ab++=．∴222a b c +=．证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．a b c a b c a bc P cb a HG F E DC BA∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a ． ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形． 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形．设多边形GHCBE 的面积为S ，则222112,222a b S ab c S ab +=+⨯=+⨯∴222a b c +=．勾股定理的证明方法较多，这是其中的几种．方法总结：勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的． 观察上面的证明方法可发现：每个图形中都可以提炼出一个相同的模型——三垂直全等模型．如下图所示．三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型．图a 与图b 是三垂直全等模型经过直角三角形位置变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，在做题时可参考．图b图a典例精析例1．（1）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图1CBA（2）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积是5和11，则b 的面积为 ．b a cCEDBA解：（1）76；（2）16例2如图1——图3，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀，使之拼成一个新的正方形．（1）如图1，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线；（2）如图2，若正方形的边长分别为a 、b （a >b ），请画出剪切线并标出各边的长度； （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图3中画出剪切线．图3图2图1解：（1）、（2）、（3）的剪切线如图a 、图b 、图c 所示：图c图b图a点拨：图c 是证明勾股定理中非常有名的“朱青出入图”． 例3．如图，已知ADBC ，ABE △和CDF △是等腰直角三角形，90,2,5EAB FDC AD BC ∠=∠=︒==，求四边形AEDF 的面积．CFEDBA解：分别过点E 、B 作EN AD ⊥，BM AD ⊥交DA 的延长线于点N 、M ，分别过点F 、C 作FP AD ⊥，CQ AD ⊥，交AD 及AD 延长线于点P 、Q ．NM QP CFEDBAAED ADF EAFD S S S =+△△四边形 ()111222AD EN AD FP AD EN FP =+=+ ∵△AEB 和△FDC 都是等腰直角三角形， ∴90,,EAB FDC AE AB DF CD ∠=∠=︒==． ∵EN AD ⊥，BM AD ⊥，FP AD ⊥，CQ AD ⊥， ∴90BMN ENA FPD DQC ∠=∠=∠=∠=︒． ∴,ENA MBA FPD QCD ∠=∠∠=∠． ∴,ENA AMB FPD DQC △≌△△≌△． ∴,EN AM FP DQ ==．∴EN FP AM DQ MQ AD +=+=-． ∵ADBC ，BM CQ ，且90BMN ∠=︒，∴四边形BMQC 是矩形． ∴BC MQ =． ∵5,2BC AD ==，∴523EN FP +=-=． ∴12332EAFD S =⨯⨯=四边形．例4． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =a ，AC =b ，以其各边向外作正方形，得到一个凸六边形DEFGHI ．（1）求这个六边形的面积；（2）试判断线段EF 、GH 、DI 能否构成三角形，若能，探求该三角形的面积与△ABC 面积的关系；若不能，请说明理由．ZY XW 图3图2图1A B C H ID EF GAB C HI D E FGH P IC GFEDB A解：（1）如上图2，作出正方形ABDE 的内弦图，则易知四个直角三角形全等． 则AZ WB AF ==，那么AWB AZE DYE BXD ABC S S S S S ====△△△△△．又∵,,EAF EAZ DBI DBX GCH ABC S S S S S S ===△△△△△△，且AEF ABC CGH BID S S S S ===△△△△，4ABC AFGC BCHI ABDE DEFGHI S S S S S =+++△正方形正方形正方形六边形 222142a b c ab =+++⨯22222a b ab =++．（2）线段EF 、GH 、DI 能构成三角形． 如图3，过点F 作FPGH 交AC 于点P ，连接EP 、IP ，易证四边形FPHG 是平行四边形，PHI ACB △≌△， ∴四边形PIDE 也是平行四边形． 那么,AFP GCH BID APE △≌△△≌△．∴EF 、GH 、DI 可能构成三角形，即EPF △，面积为3ABC S △．点拨：以三角形三边为边向外分别作正方形的题型，可能构造弦图或者作平行线构造平行四边形，利用弦图的性质，三角形全等或者面积关系来解题．例5． 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °． 问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．AB CEFG PQ图3解：情景观察：AD 或A′D ；90． 问题探究：结论：EP =FQ ． 证明：∵△ABE 是等腰三角形， ∴AB =AE ，∠BAE=90°． ∴∠BAG +∠EAP =90°． ∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP ． ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ． ∴AG =EP ．同理AG =FQ ． ∴EP =FQ ． 举一反三如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于点P ，FQ ⊥l 于点Q ．求证：EP =FQ ．图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'HNM QP Ll CGFEDBA点拨：这两道题图形较复杂，但解题的思路很清晰，仍是构造三垂直全等模型，添加了辅助线问题就迎刃而解了．例6． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P ．求证：2EP +AD =2CD ．M P l CFED BA解：作AH BC ⊥于点H ，延长EP 交AH 于点G ．54321M PlCFEDBA∵l 是AD 的垂直平分线， ∴1,2AM DM AD l AH ==．又∵ABCD 是梯形， ∴90C D ∠=∠=︒． ∴四边形AHCD 是矩形， ∴AH CD =． 又∵PE l ⊥，∴EH AH ⊥，∴四边形AGPM 是矩形， ∴12GP AM AD ==， ∴1290∠=∠=︒． ∴3490∠+∠=︒．在正方形ABFE 中，,90AB AE BAE =∠=︒， ∴4590∠+∠=︒． ∴35∠=∠．∵12∠=∠，35∠=∠，AB EA =， ∴ABH EAG △≌△．∴AH EG =，即CD AH EG ==．∴12CD GP PE AD PE =+=+，即22CD AD PE =+． 例7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设BCD α∠=，以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE ．CEDBA（1）当45α=︒时，求EAD △的面积； （2）当30α=︒时，求EAD △的面积；（3）当090α︒<<︒，猜想EAD △的面积与α的大小有无关系？若有关，写出EAD △的面积S 与α的关系式；若无关，请说明理由．解：（1）当45α=︒时，90BCE ∠=︒．延长AD 交DE 于点G ，则AG CE ⊥，点G 是CE 中点，CG EDBA∴四边形ABCG 是矩形，EG =DG =1． ∴112122EAD S AD EG ==⨯⨯△． （2）当30α=︒时，延长AD 交CE 于点G ，过点E 作EH AG ⊥于点H ．HCG ED BA∵30α=︒，∴30CDG ∠=︒，60EDG ∠=︒，DE CD ==． 在Rt EHD △中，12DH DE ==， ∴1， ∴112122EAD S AD EH ==⨯⨯△． （3）分别过E 、C 两点作AD 的垂线，交AD 延长线于点F 、G ，HCG ED BA∴90EFG AGC ∠=∠=︒， ∵,ADBC AB BC ⊥，∴90B BAD ∠=∠=︒， B BAD AGC ∠=∠=∠，∴四边形ABCG 是矩形． ∴3AG BC ==， ∴321DG =-=， ∵90CDE ∠=︒， ∴90CDG EDG ∠+∠=︒， ∵90CDG DCG ∠+∠=︒，∴DCG EDG ∠=∠， ∵CD DE =， ∴CDG DEF △≌△， ∴1DE DG ==， ∴112122EAD S AD EF ==⨯⨯△． ∴EAD △的面积与α的大小无关． 跟踪训练1．如图，点C 为线段AB 上一点，正方形ADEF 和正方形BCDG 的面积分别为10cm 2和5cm 2，则△EDG 的面积为 cm 2．CGFEDBA2．四边形ABCD 是正方形，直线1l ，2l ，3l 分别通过A 、B 、C 三点，且123l l l ，若1l 与2l 的距离为5，2l 与3l 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为 ．CDBA3．在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作,BE AG DF AG ⊥⊥，垂足分别为E 、F 两点．探究线段EF 、DF 、BE 三者之间的关系，并证明你的结论．CGFEDBA4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S．若12310S S S++=，则2S的值是．5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，—4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化？写出你的结论，并说明理由．例6．如图，Rt △PQR 的直角边为5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？95RQ P FEDCBA7．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图1所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6．5厘米，宽为2厘米的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．图2图1中考前瞻如图1至图3，点C 为定线段AB 外一动点，以AC 、BC 为边分别向外侧作正方形CADF 和正方形CBEG ，分别作1DD AB ⊥、1EE AB ⊥，垂足分别为1D 、1E ．当C 的位置在直线AB 的同侧变化过程中，（1）如图1，当∠ACB ＝90°，AC =4，BC =3时，求11DD EE +的值；（2）求证：如图2，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，11DD EE +的值为定值； （3）求证：如图3，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点．图3图2图1A1E 1GAD 1BE 1E GC FD E 1D 1GFEDC B A。
勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例这个定理在中国又称为商高定理在外国称为 毕达哥拉斯定理或者百牛定理毕达哥拉斯发现了这个定理后即斩了百头牛作 庆祝因此又称百牛定理法国、比利时人又称这个定理为驴桥定理他们发现勾 股定理的时间都比我国晚我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生 学教材的证明方法采用赵爽弦图证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基 本的几何定理它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一是数形结合 的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a、b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a^2+b^2=c^2勾股定理是余弦 定理的一个特例这个定理在中国又称为商高定理在外国称为毕达哥拉斯定理 或者百牛定理毕达哥拉斯发现了这个定理后即斩了百头牛作庆祝因此又称百 牛定理法国、比利时人又称这个定理为驴桥定理他们发现勾股定理的时间都 比我国晚我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生学教材的证明方 法采用赵爽弦图证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基本的几何定理它 是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一是数形结合的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a、b和c分别表示直角 三角形的两直角边和斜边那么a^2+b^2=c^2
A^2+B^2=C^2 ； 即直角
三角形两直角边长的平方和等于 斜边长的平方 古埃及人用这样
的方法画直角
• 如果三角形的三条边ABC满足 A^2+B^2=C^2;还有变形公式 ：AB=根号AC^2+BC^2如：一 条直角边是a另一条直角边是b 如果a的平方与b的平方和等于 斜边c的平方那么这个三角形是 直角三角形称勾股定理的逆定理
古埃及人画直角三 角形
勾股定理的证明
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出
了学简过洁 几的何证的明人平方都行法知．道线勾A股K定和理．B它H是间几何的中距一个离比）较重，要的定理，应用十分广泛．迄今为止，H 关于勾股定理的证明方法已有500F余
种注．:这其一中方，法是第向二∴常十春S任正于总方1统9形9伽4A年菲C3尔H月K德＝2的0日证2构S法△想在A发数B现K学．的史新上法被．传为佳话．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的．
∵即由S正于方矩形形AADDEN由BM＝和此S△正可A方DC得形同ASC底矩H（K形A＋DASD）正N，方M等＝形高CS(B即正F平G方行，形线ACAHD和K ．CN间的距离)，
从∴△右A图D中C≌我△们A可B同K以．看理出可，这证两S个矩正形方M形N的EB边＝长S都正是方a＋形bC，BF所G以．面积相等，即
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a c
A
B
求证：a2 +b2=c2．
D
E
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边
数学八年级上册北师大
数学八年级上册北师大一、勾股定理。
1. 定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。
2. 证明方法。
- 常见的证明方法有赵爽弦图证法。
赵爽通过构造四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c），将它们拼成一个大正方形，中间是一个小正方形。
大正方形的面积可以表示为(a + b)^2，也可以表示为c^2+4×(1)/(2)ab，从而得出a^2+b^2=c^2。
3. 应用。
- 在实际问题中，如已知直角三角形的两边求第三边。
例如，已知一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为5，根据勾股定理可求出另一条直角边为√(5^2)-3^{2}=√(25 - 9)=√(16) = 4。
- 解决一些几何图形中的边长计算问题，如在等腰三角形中，已知底边上的高和底边的一半，利用勾股定理求腰长等。
二、实数。
1. 平方根与算术平方根。
- 平方根：如果x^2=a，那么x叫做a的平方根，记作x=±√(a)(a≥slant0)。
例如，4的平方根是±2，因为(±2)^2=4。
- 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√(a)。
0的算术平方根是0。
例如，4的算术平方根是2。
2. 立方根。
- 如果x^3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。
例如，8的立方根是2，因为2^3=8；-8的立方根是- 2，因为(-2)^3=-8。
3. 实数的分类。
- 实数包括有理数和无理数。
有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数，如√(2)、π等。
- 实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
三、位置与坐标。
1. 确定位置。
- 在平面内确定一个物体的位置需要两个数据。
例如，在电影院中确定一个座位的位置，需要知道排数和座位号这两个数据。