2012年浙江省高考数学(理科)试卷(含答案)

2012年浙江省高考数学(理科)试卷(含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。 1．设集合{}|14A x x =<<，集合{}

2

|230B x x x =--≤，则

()R

A C

B ?=

A ．(14)，

B ．(34)，

C ．(13)，

D ．(12)(34)?，，

2．已知i 是虚数单位，则31i i

+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1

l ：210ax y +-=与直

线2

l ：(1)40x a y +++=平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．把函数cos21

=+的图像上所有点的横坐标伸长

y x

到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

5．设a，b是两个非零向量

A．若||||||

a b a b，则⊥a b

+=-

B．若⊥a b，则||||||

a b a b

+=-

C．若||||||

a b a b，则存在实数λ，使得λ=b a

+=-

D．若存在实数λ，使得λ=b a，则||||||

a b a b

+=-6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65

种 D ．66种

7．设n

S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n

a 的

前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若0d <，则数列{}n

S 有最大项

B ．若数列{}n

S 有最大项，则0d <

C ．若数列{}n

S 是递增数列，则对任意*n N ∈，

均有0

n

S

>

D ．若对任意*n N ∈，均有0

n

S >，则数列{}n

S 是递

增数列

8．如图，1

F ，2

F 分别是双曲线C ：

22

221(0)x y a b a b

-=>，的

左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1

F B 与C 的

两条渐近

线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点

M

．若1

12

||||MF F F =，则C 的离心率是

A ．

3 B ．2

C ．

D

9．设0a >，0b > A ．若2

223a

b a b

+=+，则a b > B ．2

223a

b a b

+=+若，则a b < C ．若2

223a

b a b

-=-，则a b > D ．若

2223a b a b

-=-，则a b <

10．已知矩形

ABCD ，1AB =，BC =ABD ?沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与

CD

”，“AD 与BC ”均不垂直

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥 的体积等于

3

cm ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．

13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n

a 的前n 项和为n

S ．

若2

232

S

a =+，4

432

S

a =+，则q = ．

14．若将函数5

()f x x =表示为

2345

012345()(1)(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x a x =++++++++++++，

其中0

a ，1

a ，2

a ，…，5

a 为实数，则3

a = ． 15．在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =， 则

AB BC ?=

u u u r u u u r

．

16．定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线1

C ：2

y x

a

=+到直线l ：y x =的距离

等于曲线

2C ：2

2(4)2

x

y ++=到直线l ：y x =的距离，则实数

a =

．

17．设a R ∈，若0x >时均有()()2

1110

a x x ax ----≥????，

则a = ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sin 5cos B C

=

．

（Ⅰ）求tan C 的值；

（Ⅱ）若2a =，求ABC ?的面积．

19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． （Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）求X 的数学期望()E X ．

20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，

底面是

边长为23的菱形，120

BAD

∠=?，且PA⊥平面ABCD，26

PA=，M，N分别为PB，PD的中点．

（Ⅰ）证明：MN⊥平面ABCD；

（Ⅱ）过点A作AQ PC

⊥，垂足为点Q，求二面角A MN Q

--的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）如图，椭圆C：22

221(0)

x y

a b

a b

+=>>的

离心率为1

2，其左焦点到点(2,1)

P的距离为10，不．

过原点

．．．O的

直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求ABP

?面积取最大值时直线l的方程．

22．（本题满分14分）已知0

a>，b R∈，函数

3

()42

f x ax bx a b

=--+．

（Ⅰ）证明：当01

x

≤≤时，

（i）函数()f x的最大值为|2|

a b a

-+；

（ii）()|2|0

f x a b a

+-+≥；

（Ⅱ）若1()1f x -≤≤对[01]x ∈，恒成立，求a b +的取值范围．

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．B 2．D 3．A 4．A 5．C

6．D 7．C 8．B 9．A 10．B

二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．1 12．1

120 13．32 14．10 15．-16 16．94 17．32

三、解答题：本题共小题，满分72分。 18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。 （Ⅰ）因为0A π<<，2cos 3A =，得

sin 3

A ==

又

sin sin()C B A C ==+

sin cos cos sin A C A C =+

2

cos sin 33

C C =

+

所以tan C =

（Ⅱ）由tan C =，得

sin C =

，cos C =

于是

sin B C ==

．

由a =sin sin a c

A C

=

，得

c =

设ABC ?的面积为S ，则

1sin 22

S ac B =

=．

19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。 （Ⅰ）由题意得X 取3，4，5，6，且 3

5395

(3)42

C P X C ===

， 12453

910

(4)21

C C P X C ?===，

2

2453

95

(5)14C C P X C ?===，

4

4391

(6)21

C P X C ===

．

所以X 的分布列为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

13

()3(3)4(4)5(5)6(6)3

E X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?==

．

20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。 （Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ?的中位线，所以

//MM BD 又因为MN ?平面ABCD ，所以 //

MM 平面ABCD ．

（Ⅱ）方法一：

连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示

在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得

AC AB ==6

BD =

=．

又因为PA ⊥平面ABCD ，所以

PA AC

⊥．

在直角

PAC ?中，AC =PA =，AQ PC ⊥，

得

2

QC =，4PQ =．

由此知各点坐标如下，

(0,0)A ，(0,3,0)B -，

0,0)

C ，(0,3,0)

D ，

(0,P

，3

(,,22

M -

-，

3

(,,22N -

，,0,33Q ． 设(,,)x y z =m 为平面AMN 的法向量．

由

3,,22

AM =-u u u u r

，

3(,,22

AN =u u u r 知

3

0223

022

x y x y -=???+=??

取1x =-，得

,0,1)=-m

设(,,)x y z =n 为平面QMN 的法向量．

由

3(,,2QM =-u u u u r

，

3(,,2QN =u u u r 知

30623302x y z x y z ?--+=???

?++=??

取5z =，得

,0,5)=n

于是

cos ,|||?<>=

=

?m n m n m n |．

所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值

．

方法二：

在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得

AC AB BC DA

===，BD =

，

有因为PA ⊥平面ABCD ，所以

PA AB

⊥，PA AC ⊥，PA AD ⊥，

所以PB PC PD ==． 所以PBC PDC ???．

而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以

MQ NQ

=，且11

22

AM PB PD AN ===． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则

AE MN

⊥，QE MN ⊥，

所以AEQ ∠为二面角A MN Q --的平面角． 由

AB =PA =，故

在AMN ?中，3AM AN ==，1

32

MN BD ==，得

2

AE =

．

在直角PAC ?中，AQ PC ⊥，得

AQ =2QG =，4PQ =，

在PBC ?中，2225

cos 26

PB PC BC BPC PB PC +-∠==

?，得

MQ ==

在等腰MQN ?

中，MQ NQ ==3MN =，得

2

QE ==

．

在AEQ ?

中，AE =

，2

QE =

，AQ =

222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==

?．

所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值

．

21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。 （Ⅰ）设椭圆左焦点为(0)F c -，，则由题意得

12

c a =?=??，

得1

2

c a =??

=?

所以椭圆方程为

22

143

x y +=．

（Ⅱ）设1

1

()A x y ，

，2

2

()B x y ，，线段AB 的中点为M ． 当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为0x =，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为

(0)

y kx m m =+≠，

由

22

3412

y kx m

x y =+??+=?消去y ，整理得

222(34)84120

k x kmx m +++-=， （1）

则

2222644(34)(412)0

k m k m ?=-+->，1222

12283441234km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

所以AB 线段的中点

222

8412(,)

3434km m M k k --++，

因为M 在直线OP 上，所以

22

323434m km

k k -=

++，

得

m =（舍去）或32

k =-， 此时方程（1）为2

2330

x

mx m -+=，则

23(12)0

m ?=->，

1221233x x m

m x x +=???-=

??

所以

12||||6

AB x x =-=

设点P 到直线AB 距离为d ，则

d =

=

，

设ABP ?的面积为S ，则

1||26

S AB d =

?=，

其中

((0,m ∈-?，

令

2

2

()(12)(4)u m m m =--，[m ∈-

2'()4(4)(26)4(4)(11u m m m m m m m =----=----+，

所以当且仅当

1m =-()u m 取到最大值， 故当且仅当

1m =S 取到最大值． 综上，所求直线

l 方程为3220

x y ++=．

22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。

（Ⅰ）（i ）2

2'()12212()6b

f x ax

b a x a

=-=-

当0b ≤时，有'()0f x ≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增

所以当01x ≤≤时，

max 3,2()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a

f x f f a b a b a b a

a b b a

-≤?==-+-==-+?-+>?

（ii ）由于01x ≤≤，故 当2b a ≤时，

333()|2|()34224422(221)

f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+

当2b a >时，

333()|2|()42(1)244(1)22(221)

f x a b a f x a b ax b x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+--=-+

设3

()221,01

g x x

x x =-+≤≤，则

2'()626(33

g x x x x =-=-

+，

于是

所以，min

()(

1039

g x g ==->，

所以

当

01

x ≤≤时，

3

2210x x -+>

故

3()|2|()2(221)0

f x a b a f x a b a x x +-+=-+≥-+≥

（Ⅱ）由（i ）知，当01x ≤≤，max

()|2|f x a b a

=-+，

所以

|2|1

a b a -+≤

若|2|1a b a -+≤，则由（ii ）知 ()(|2|)1f x a b a ≥--+≥- 所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是

|2|10

a b a a -+≤??

>?，

即

20310a b a b a -≥??

-≤??>?

，或2010a b b a a -

-≤??>?

（1）

在直角坐标系aOb 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC ，

作一组平行直线()a b t t R +=∈，得 13

a b -<+≤．

所以的取值范围是(1,3]-．