第十四章 债券投资组合管理-久期和凸性
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券组合管理债券定价理论
第二节 可转换债券定价理论
1. 可转换债券概述
• 可转换债券是一种集债券和股票特点于一体的混 合型证券，它以公司债券的形式发行，持有者可 以在到期日前以一定条件将其转换成公司的股票。 可转换债券的条款主要包括以下项目：票面利率、 转换价格、转换比率、转换期限、赎回条款、回 售条款等。
•
2. 可转换债券定价模型 • 可转债中最核心的就是认股权证价格的确定以及 风险调整。随着布莱克-斯科尔斯期权定价理论的 问世，利用期权定价方法对可转换债券定价模型 的研究已成为主流方向，这些模型可分为单因素 模型和双因素模型两类，又可分为以公司价值为 基础变量的定价模型和以股票价格为基础变量的 定价模型。 • 单因素可转换债券定价模型 模型假设；模型构造；终端条件与约束条件；可 转换债券价格边界。 • 双因素可转换债券定价模型 模型假设；模型构造；终端条件与约束条件；可 转换债券价格边界。
习题
一、名词解释 贴现模型 利率期限结构 凸度 久期 可转换债券自由边界 二、简答题 1. 传统理论对利率期限结构的解释。 2. 凸度对债券投资的作用。 3. 某只新发行的债券，息票率为8%（年末付息一次），期限 为5年。发行者按面值出售该债券。（1）请计算该债券的 凸度和久期。（2）如果投资者期望的到期收益率为10%， 能否按面值发行？如果希望全部发行，则发行价格是多少？ 4. 假设债券市场中，面值100元的1年期零息债券的价格为94 元，2年期零息债券的价格为88元。如果投资者准备按面 值购买新发行的2年期国债，面值100元，年息票率10%。
（1）求2年期零息债券的到期收益率。（2）求第2年的远 期利率。（3）如果无偏预期理论成立，求新发行国债第 1年末的预期价格和预期到期收益率。 5. 休斯在1月初持有一个价值为10万元的债券组合，该组合6 个月的平均久期为9年。如果6月份国债期货的现价是108 元，当期货到期时可以选择交割的债券久期为8.8年。请 问休斯应该如何规避6个月内的利率风险？ 6. 假设2008年3月1日债券市场上存在以下几种不同的债券， 面值均为100元，每半年付息一次。 到期日 2008-09- 2009-03- 2009-09- 2010-03- 2010-0901 01 01 01 01 5 5.5 6 6.5 6 年息票 率（%）
债券久期免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。
例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。
但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。
通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。
它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。
有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。
价格为95.2，当前利率为12%。
求其持续期。
持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。
简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。
在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。
持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。
对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。
持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。
二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。
久期与凸性
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券的久期与债券的凸度(ppt 119页)
2020/7/11
– 5.1.1 债券指数基金
• 主要的债券指数 在美国的股票市场，有很多股票指数基金
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
2020/7/11
2020/7/11
Ct
D T t[ (1 y )t ]
t 1
P
（4-2）
例、息票利率为8％和零息票两种债券 。表4-2给出了这两种债券久期的计算。结 果表明，零息票债券的久期就等于它的到期 期限，而息票债券的久期比它的到期期限短 。
期的价格变化百分比的直线相切于该点。
这说明，对于债券收益的微小变化，久期
可以给出利率敏感性的精确测度。但随着 收益变化程度的增加，对应于债券A和债券 B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔 ”不断扩大，表明久期法则越来越不准确 。
2020/7/11
从图4-3还可以看到，久期近似值总是 在债券实际价格的下方。也就是说，当收益 率下降时，它低估债券价格的增长程度，当 收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度 。
中信国债 指数
交易所
上证国债 指数
交易所
同业中 心银行 间债券 指数
银行间
国债
国债
国债
≥ 1年 ≥ 1年 ≥ 1年
所有上交 所市场国 债（含浮 息券）
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2015年证券从业资格考试内部资料
2015证券投资基金
第十四章 债券投资组合管理
知识点：久期和凸性
● 定义：
久期的性质和凸性计算
● 详细描述：
1.附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限。
对于零
息债券而言，麦考莱久期与到期期限相同。
在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。
对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大(这一特点不适用于长期贴现债券)。
同时，假设其他因素不变，久期越大，债券的价格波动性就越大。
具有相同麦考莱久期的债券，其利率风险是相同的。
2.债券投资者可以选择到期期限与目标投资期不同的债券进行投资，只
要麦考莱久期与目标投资期相同，就可以消除利率变动的风险，这被称为利息免疫。
3. 大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表
示，这条曲线的曲率就是债券的凸性。
由于存在凸性，债券价格随着利率的变化而变化的关系就接近于一条凸函数而不是直线函数。
4.凸性的作用在于可以弥补债券价格计算的误差，更准确地衡量债券价
格对收益率变化的敏感程度。
凸性对于投资者是有利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性更高的债券进行投资。
尤其当预期利率波动较大时，较高的凸性有利于投资者提高债券投资收益。
5.凸性计算，凸性用cv表示。
零息债券凸性cv=N（N+1)/(1+Y)的平方。
非零息债券cv=（P1+P2-2P0）/P0(Δr)的平方
6.流动性较强的债券在收益率上往往有一定折让，折让的幅度反映了债
券流动性的价值。
例题：
1.测算债券价格波动性的方法不包括（）。
A.基点价格值
B.凸性
C.价格变动收益率值
D.到期收益率值
正确答案：D
解析：
测算债券价格波动性的方法包括：基点价格值；价格变动收益率值；久期；凸性。
2.麦考来久期是债券每期产生现金流的时间的加权平均，其权数是每期现金流在债券价格中所占的比重。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：
麦考来久期是债券每期产生现金流的时间的加权平均，其权数是每期现金流的现值在债券价格中所占的比重。
3.假设某债券的麦考莱久期是5，其应计收益率为5.3%,则其修正的麦考莱久期是（）。
A.5
B.4.65
C.4.75
D.4.85
正确答案：C
解析：
根据修正的麦考莱久期的计算公式可知:修正的麦考莱久期=麦考莱久期
/(1+y)，其中y是应计收益率。
则有修正的麦考莱久期=5/（1+5.3%）=4.75 4.凸性的作用在于弥补债券价格计算的误差，更准确的衡量债券价格对收益率变化的敏感程度。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：
凸性的作用在于弥补债券价格计算的误差，更准确的衡量债券价格对收益率变化的敏感程度。
5.对于普通债券而言（非长期贴现债券），当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就（）。
A.越小
B.越大
C.为0
D.不确定
正确答案：B
解析：
对于普通债券而言（非长期贴现债券），当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大。
6.大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表示，这条曲线的曲率就是债券的()。
A.久期
B.凸性
C.风险收益率
D.基点价格值
正确答案：B
解析：
大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表示，这条曲线的曲率就是债券的凸性。
7.当预期利率波动较大时，较高的凸性有利于投资者提高债券投资收益。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：当预期利率波动较大时，较高的凸性有利于投资者提高债券投资收益。
8.计算零息债券的凸性需用到的数据包括（）。
A.预期收益率
B.偿还期限
C.到期收益率
D.剩余期限
正确答案：B,C
解析：可以由零息债券的公式得出。
9.以下关于久期的叙述，正确的是（）。
A.附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限
B.对于零息债券而言，麦考莱久期与到期期限相同
C.对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大
D.假设其他因素不变，久期越大，债券的价格波动性就越大
正确答案：A,B,C,D
解析：考察对久期的理解
10.以下关于久期的叙述，正确的是（ ）
A.久期可以用来衡量债券的信用风险
B.债券的久期愈长，风险愈低
C.其他条件不变，债券的票面利率越高，久期越长
D.附息债券的久期小于其到期期限
正确答案：D
解析：B、债券的久期愈长，风险愈高 C、其他条件不变，债券的票面利率越低，久期越长
11.假设某债券售价为84.26元，收益率上升、下降20个基点的价格分别
82.92元和85.64元，则近似凸性值为（ ）。
A.118.68
B.1.18
C.0.02
D.0.24
正确答案：A
解析：（82.92+85.64-84.26*2）/（84.26*0.002*0.002）=118.68
12.某零息债券的偿还期限为4年，到期收益率为10%，则其凸性为（ ）。
A.4
B.18.18
C.16.53
D.14.00
正确答案：C
解析：4×(4+1)/(1+10%)²=16.53
13.久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。
14.久期是指到期收益率每变化一个基点引起债券价格的绝对变动额。
A.正确
B.错误
正确答案：B
解析：考察久期的概念：
15.还有18个月到期的零息债券的价格为96.72元,其久期为()。
A.18
B.1.5
C.1.8
D.5.37
正确答案：A
解析：零息债券的久期与其期限相等。
16.下列关于债券的凸性的说法，正确的有（）。
A.大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表示，这条曲线的曲率就被称作债券的凸性
B.凸性的作用在于可以弥补债券价格计算的误差，更准确地衡量债券价格对收益率变化的敏感程度
C.凸性对于投资者是有利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性较大的债券进行投资
D.凸性对于投资者是不利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性较小
的债券进行投资
正确答案：A,B,C
解析：考察债券凸性相关内容。
17.债券久期可以衡量利率的变动对债券价格的影响。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：久期可以较准确地衡量利率的微小变动对债券价格的影响，但当利率变动幅度较大时，则会产生较大误差。
18.某10年期、半年付息一次的附息债券的麦考莱久期为8.6，应计收益率4%，则修正的麦考莱久期为（）。
A.8.0
B.8.17
C.8.27
D.8.37
正确答案：C
解析：
修正的麦考莱久期=麦考莱久期/（1+y）；y表示应计收益率。
8.6/（1+4%）=8.27
19.可以用久期乘以利率变化来衡量利率变动对债券基金净值的影响。
A.正确
B.错误
正确答案：A
解析：久期可以较准确地衡量利率的微小变动对债券价格的影响，但当利率变动幅度较大时，则会产生较大的误差。
20.一般来说,其他条件相同的情况下,流动性较差的债券占全收益率( )。
A.无法判断
B.较低
C.没有差异
D.较高
正确答案：D
解析：
流动性较强的债券在收益率上往往有一定折让，折让的幅度反映了债券流动性的价值。
21.基金公司的债券研究主要侧重于（）。
A.债券久期的判断和券种的选择
B.发行债券公司所处行业状况
C.发行债券规模
D.发行债券公司业绩状况
正确答案：A
解析：
债券研究主要侧重于债券久期的判断和券种的选择。
22.某10年期、半年付息一次的付息债券的麦考莱久期为8.6,应计收益率4%,则修正的麦考莱久期为( )。
A.8.6
B.5
C.8.85
D.8.27
正确答案：D
解析：麦考莱久期即截至到期日时的债券现金流量的加权平均期限值除以价格，修正的麦考莱久期=麦考莱久期/（1+y）=8.6/（1+4%）=8.27。
23.一般来说,其他条件相同的情况下,流动性较强的债券的收益率( )。
A.无法判断
B.较低
C.没有差异
D.较高
正确答案：B
解析：
流动性较强的债券在收益率上往往有一定折让，折让的幅度反映了债券流动性的价值。