2019年山东省专升本真题及解析

机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102

山东省2019年普通高等教育专升本统一考试

高等数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分100分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 函数()sin f x x x = A. 当x →∞时为无穷大

B. 在()-+∞∞，

内为周期函数 C. 在()-+∞∞，

内无界 D.

当x →∞时有有限极限

2. 已知

2

()sin f x dx x x

C =+⎰，则2()xf x dx =⎰

A.

2cos x x C + B.2sin x x C + C.241cos 2x x C + D.241

cos 2

x x C +

3. 下列各平面中，与平面236x y z +-=垂直的是

A. 2461x y z +-=

B.24612x y z +-=

B.

1123

x y z

++=- D.21x y z -++= 4. 有下列关于数项级数的命题

（1）若lim 0n n u →∞

≠，则

1

n

n u

∞

=∑必发散；

（2）若10,(1,2,3

)lim 0n n n n n u u u n u +→∞

>>==且，则1

n n u ∞

=∑必收敛；

（3）若1n

n u

∞

=∑收敛，则

1

n

n u

∞

=∑必收敛；

（4）若

1

n

n u

∞

=∑收敛于s ，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s.

其中正确的命题个数为

A.0

B.1

C.2

D.3 5. 已知2

2

F(,)ln(1)(,)D

x y x y f x y dxdy =+++

⎰⎰，其中D 为xoy 坐标平面上的有界闭区域

且(,)f x y 在D 上连续，则(,)F x y 在点（1,2）处的全微分为

A.

1233dx dy + B.12

+(1,2)33dx dy f + B.

2133dx dy + D.21

+(1,2)33

dx dy f +

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.

函数1

()ln cos f x x

=

的定义域为__________.

7. 设函数01sin 2,(),x

t

dt f x x t

a ⎧⎪=⎨⎪⎩

⎰00x x ≠=，在0x =处连续，则a =___________. 8. 无穷限积分

x xe dx -∞

=⎰

___________.

9. 设函数2

(,,)x

f x y z e yz =.其中(,)z z x y =是由三元方程0x y z xyz +++=确定的函数，

则(0,1,1=x f '-）____________.

10. 已知函数()y y x =在任意点处的增量2

+1y x

y x

α∆∆=

+，且当0x ∆→时，x α∆是的高阶无穷小，若(0)y π=，则(1)y =____________. 三、解答题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

11. 求极限2

2

ln sin lim

(2)

x x

x π

π→

- 12. 求曲线222

(1)t x y t t ⎧=

⎪⎨⎪=-⎩

在2t =处的切线方程与法线方程. 13. （1）验证直线1225:520x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩

与直线231

:234x y z L +-==

平行； （2）求经过12L L 与的平面方程.

14. 设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中函数()f w 具有二阶导数，(,)g u v 具有二阶连续偏导

数，求z

x ∂∂与2z x y

∂∂∂.

15. 判别级数1

!n

n n n ∞

=∑的敛散性.

16.

已知12()x

y e C C =+（12,C C 为任意常数）是某二阶常系数线性微分方

程的通解，求其对应的方程.

17. 计算二重积分

D

y

d x

σ⎰⎰

，其中D 由222(0),x y a a y x x +≤>=及轴在第一象限所围成的区域.

四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

18. 计算由2

9y x =-，直线21x y ==-及所围成的平面图形上面部分（面积大的那部分）

的面积A.

19. 求二元函数2

2

(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值. 五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 证明当0x >时，arctan ln(1)1x

x x

+>

+.

21. 设函数[]()0,1f x 在上可微，当010()1()1x f x f x '≤≤<<≠时且，证明有且仅有一点

(0,1)x ∈，使得()f x x =.