高中数学第四章定积分3定积分的简单应用例题与探究北师大版选修2-2资料
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？ (1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f (x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=⎰a bf(x)dx(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰abf(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c);图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a bh(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰abh(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h 1(y),x=h 2(y),然后利用S=⎰a b|h 1(y)-h 2(y)|dy 求出(如图c).图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分. (1)⎰-13(4x-x 2)dx; (2)⎰0221xx +dx ；(3)⎰02π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos 2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)⎰-13(4x-x 2)dx=(2x 2-33x )|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320; (2)⎰0221x x +dx=21x+|2=(221+-1)=5-1;(3)⎰02π(x+sinx)dx=(22x -cosx)|20π=［2)2(2π-cos 2π］-(0-1)=82π+1;(4)⎰-22ππ-2πcos 2xdx=⎰-22ππ22cos 1x +dx=2x |22ππ-+41sin2x |22ππ-=2π.【例2】 求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3x x x x x x 在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和.解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx=⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232xdx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx=44x |10+3223x|21+2ln 2x|32=41+234-32+2ln 42ln 8-=2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx.思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰2πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx=-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π.【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值. 思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值. 解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c,∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31.【例6】 试求曲线y=2a(a xe +a xe -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +axe -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (xa e 2-+2x]′=x a e 2+2+x ae 2-,所以V=π⎰0a y 2dx=π⎰0a 42a(ax e2+2+ax e2-)dx=4πa 2[2a(a x e 2-a xe 2-)+2x]|0a=4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a].【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=⎰0aydx=⎰22πbsintd(acost)=⎰22πbsint·(-asint)dt=ab⎰20πsin 2tdt=2ab (t-22sin t )|20π=4abπ.所以S=4P=πab.【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A′是双曲线的顶点,C 、C′是冷却塔上口直径 的两个端点,B 、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m 3,塔壁厚度不计,π取3.14)思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x 轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x 轴.设双曲线方程为22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0),则a=21AA′=7.又设B(11,y 1),C(9,y 2),因为点B 、C 在双曲线上,所以有22122711by -=1, ① 2222279b y -=1, ② 由题意,知y 2-y 1=20.③由①②③,得y 1=-12,y 2=8,b=72.故双曲线方程为984922y x -=1;(2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则 V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈4.25×103(m 3). 答:冷却塔的容积为4.25×103 m 3. 高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。
高中数学 4.3 定积分的简单应用(二) 教案 北师大选修2-2
4.3 定积分的简单应用教学过程：（一）练习1．求定分3-⎰x ．2．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课（一）例题选讲：例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0（二）变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ． （三）变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰b a dx x F )(． 练习：1．教材练习2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 三、课堂小结：1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积3．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：定积分问题
有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这种题目占有超级重要的地位，它能解决很多实际应用问题。
在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。
题型一 用概念求定积分例1、用概念求dx x 301⎰。
分析：利用概念求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<n n n n n n 。
（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= 。
（因为x 3持续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故咱们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。
）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。
（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n 。
） 因此dx x 301⎰＝41。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。
表现的大体思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分大体定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41x x dx ⎰ 分析：按照求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分大体公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以 ()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
4.2.2 定积分的简单应用 课件(北师大版选修2-2)
【解析】根据定积分的几何意义可知 D 正确.
导.学. 固. 思
2
由 y=x2,x=0 和 y=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所 得的旋转体的体积可以表示为( B ).
A.V=π 0 ( ������ ) ������������ B.V=π C.V=π D.V=π
1 2 2 2 [ 1 -(������ ) ]������������ 0 1 2 2 ( ������ ) ������������ 0 1 2 2 ( 1 ������ )������������ 0 1 2
������
导.学. 固. 思
问题3
如图,当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的平面 ������ 图形的面积 S= ������ [ ������(������)-������(������)]������������..
x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 ������ 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
������
问题2 当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0 ������和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
4.2.2
定积分的简单应用
导.学. 固. 思
1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的
数学模型,并能利用积分公式表进行计算.
2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单 旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表 进行计算. 3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把
高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用教材基础素材 北师大版选修2-2
§3 定积分的简单应用我们可直接用定积分的定义计算有些定积分的值.但对于有些定积分,如 12x1dx,几乎不可能直接用定义计算.那么,有没有更简便的方法求定积分呢?这就是我们本节所要研究的微积分基本定理的主要内容.高手支招1细品教材一、路程与路程函数导数的关系1.条件:运动物体经过的一段路程s关于时间t的函数为s=s(t),且t∈［a,b］;物体从时刻t=a到t=b走过的路程为s(b)-s(a).状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.2.问题:物体经过的一段路程与路程函数导数有何关系？状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.3.推导(1)区间分割a=t0<t1<t2<…<tn=b.(2)物体在区间［a,b］内的路程与各分割区间内的路程的关系s(b)-s(a)=［s(t1)-s(t)］+［s(t2)-s(t1)］+…+［s(tn)-s(tn-1)］=s(t1)-s(t).(3)运动物体在各分割区间上走过的路程与其速度函数如右图所示. 因此得出:s(b)-s(a)≈v(t0)Δt1+(t1)Δt2+…+v(tn-1)Δtn.(4)积分表示:s(b)-s(a)= ⎰a b v(t)dt.(5)推出结论:s(b)-s(a)= ⎰a b s′(t)dt.二、微积分基本定理1.微积分基本定理的内容:设f(x)在区间［a,b］上连续,且F(x)是它在该区间上的一个原函数,则有⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a).状元笔记微积分基本定理建立了积分与导数间的密切关系,可以看出,若要求出某一连续函数的定积分,只需要求出导函数的一个原函数,就可利用牛顿—莱布尼茨公式求出这个函数的定积分,这是求定积分的一个重要方法.2.牛顿—莱布尼茨公式:(1)⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|b a.通常称F(x)是f(x)的一个原函数.(2)在计算定积分时,常常用记号F(x) |b a来表示F(b)-F(a),牛顿—莱布尼茨公式也可写作⎰a b f(x)dx=F(x) |b a=F(b)-F(a).(3)微积分基本定理表明,计算定积分⎰a b f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).只要我们求出f(x)的一个原函数F(x),在区间两端点处的函数值之差F(b)-F(a)就是⎰a b f(x)dx的值.三、定积分的简单应用1.求平面图形的面积定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可以用定积分计算.【示例】如图,求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形的面积.思路分析：从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上、下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标.解：由方程组可得x1=-1,x2=3.故所求图形的面积为S=⎰-13（2x+3-x2）dx=［x2+3x33x-］|3-1=332.2.求简单几何体的体积利用定积分可以求出一些简单的几何体的体积,如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.高手支招2基础整理微积分基本定理不仅揭示了导数和积分之间的内在联系,而且还提供了计算积分的一种有效方法.下面将微积分的意义及常见作用总结如下:。
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：例谈计算定积分的三种方法
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）. （2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （n i 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i nn i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=. 点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx xx 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x . 点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用(2)
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
北师版数学高二选修2-2课件 4.3 定积分的简单应用
解析答案
返回
达标检测
1 234
1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx ①
S＝ʃ80(2 2x－2x＋8)dx ②
1 234
S＝ʃ14f(x)dx－ʃ74f(x)dx S＝ʃ0a[g(x)－f(x)]dx＋ʃ跟踪训练 1 (1)如图，阴影部分由曲线 所围成，则其面积为_23_＋__ln__2_.
y＝1x，y2＝x
与直线
x＝2，y＝0
解析
解方程组y＝1x， y2＝x，
得xy＝ ＝11，.
所以 S＝ʃ01
xdx＋ʃ121xdx＝
2 3
x
3 2
1 0
＋ln x|12＝32＋ln 2.
解析答案
答案
知识点二 简单旋转几何体的体积 设旋转体是由连续曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a<b)及x轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转而成，设在区间[a，b]上点x处垂直x轴的截面面积为A(x)＝ πf2(x)，则体积为V＝ʃabπf2(x)dx.
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求平面图形的面积 例 1 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积.
1 234
解析 解方程组yy＝＝2x2x，，
得xy＝ ＝00， ，
x＝2， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝ʃ02(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20＝(4－83)－0＝43.
解析答案
规律与方法
1.在利用定积分求平面图形的面积时，要经历“画草图→求交点→确定被 积函数、积分上、下限→求定积分得面积”四步曲：在同一积分区间内， 若f(x)>g(x)，则被积函数为f(x)－g(x). 2.用定积分求旋转体的体积时，要注意被积函数为πf2(x).
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用例题与探究北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法.(1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解.(2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”.2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？(1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f (x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围成的曲边梯形的面积:S=⎰a b f(x)dx(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰a b f(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b); ③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积:S ⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c); 图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a b h(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰a b h(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h 1(y),x=h 2(y),然后利用S=⎰a b|h 1(y)-h 2(y)|dy 求出(如图c). 图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分.(1)⎰-13(4x-x 2)dx; (2)⎰0221x x +dx ； (3)⎰02π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos 2xdx. 思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)⎰-13(4x-x 2)dx=(2x 2-33x )|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320; (2)⎰0221x x +dx=21x +|20=(221+-1)=5-1; (3)⎰02π(x+sinx)dx=(22x -cosx)|20π=［2)2(2π-cos 2π］-(0-1)=82π+1; (4)⎰-22ππ-2πcos 2xdx=⎰-22ππ22cos 1x +dx=2x |22ππ-+41sin2x |22ππ-=2π. 【例2】 求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3x x x x x x 在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和.解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx =⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232x dx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx =44x |10+3223x |21+2ln 2x |32=41+234-32+2ln 42ln 8-=2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx. 思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰20πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx =-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值.解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c, ∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31. 【例6】 试求曲线y=2a (a x e +a xe -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +a x e -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (x a e 2-+2x]′=x a e 2+2+x a e 2-,所以V=π⎰0a y 2dx =π⎰0a 42a (a x e 2+2+a x e 2-)dx=4πa 2[2a (a x e 2-a x e 2-)+2x]|0a =4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a]. 【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积. 思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积P=⎰0a ydx=⎰22πbsintd(acost)= ⎰22πbsint·(-asint)dt =ab ⎰20πsin 2tdt=2ab (t-22sin t )|20π=4ab π. 所以S=4P=πab.【例8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A′是双曲线的顶点,C 、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m 3,塔壁厚度不计,π取3.14)思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x 轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x 轴. 设双曲线方程为22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0),则a=21AA′=7. 又设B(11,y 1),C(9,y 2),因为点B 、C 在双曲线上,所以有22122711by -=1, ① 2222279b y -=1, ②由题意,知y 2-y 1=20.③由①②③,得y 1=-12,y 2=8,b=72. 故双曲线方程为984922y x -=1; (2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈4.25×103(m 3).答:冷却塔的容积为4.25×103 m 3.高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。