湖南省株洲市2020届高三数学一模考试试题理
湖南省株洲市2020届高三数学一模考试试题 理
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。
【1】若复数
i
i
b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21- （C ）3
1
（D ）1-
【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2
x y x A -==，}4|{2
-==x y y B ，则=
)(B C A R I （ ）
（A ）)01(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）
]01(，-
【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018
++⋅⋅⋅++=x x x
x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，
在M 处应填的执行语句是（ ）
（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）
2+=i n
【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布
)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（
附
：
X ⁓
)
,(2σμN ，则
6827
.0)(=+≤<-σμσμX P ，
9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。
）
（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移
6
π
个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x
g 的图象，下面四个结论正确的是（ ） （A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1 （B ）将函数)(x g 的图象向右平移6
π
个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3
(
π
是函数)(x g 图象的一个对称中心
（D ）函数)(x g 在区间]3
2,
0[π
上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤1
12
y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ）
（A ）11)31( （B ）3)3
1( （C ）3 （D ）
4
【7】在ABC ∆Rt 中，ο90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（ ） （A ）2
1
-
（B ）0 （C ）4 （D ）1-
【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）
（A ）
2545π （B ）2
5135π
（C ）π5180 （D ）π590
【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯
函数。
例如：3]1.2[-=-，3]1.3[=，已知函数1
2
13
2)(+++=x x x f ，则函数)]([x f y =的值域为（ ）
（A ）)3,2
1
( （B ）]2,0( （C ）}2,1,0{ （D ）}3,2,1,0{
【10】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若双曲线上存在点
P 使
c
a F PF F PF 2sin sin 1221=∠∠，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
（A ）
21732173+<<-e （B ）2
7
32+<<e （C ）21731+<
<e （D ）2
17
32+<<e 【11】在ABC ∆中，已知32=AB ，62=BC ，ο45=∠ABC ，D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥BCD A -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M
在线段BC 上，设x BM =，则x 的取值范围是（ ）
（A ）)32,0( （B ）)6,3( （C ）)32,6( （D ）
)62,32(
【12】已知抛物线C ：x y 42
=的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于B A ,两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点)05(，T ，则=∆AOB S （ ）
（A ）22 （B ）3 （C ）6 （D ）
63
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【13】已知等比数列}{n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22=a ，73=S ，则5
a
的值为 。
【14】已知534cos )3
cos(=
+-
απ
α，则=-)6
cos(απ。
【15】二项式6
)6
3(+
ax 的展开式中5x 的系数为3，则=⎰dx x a 0 。
【16已知函数),(2
1)(2
R ∈--
=b a b x ae x f x ，若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21
2
≥x x ，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。
【17】（本小题满分12分）已知数列}{n a 中，11=a ，0>n a ，前n 项和为n S ，若
1-+=n n n S S a
,(*N ∈n 且)2≥n 。
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n a
n n a c 2⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T 。
【18】（本小题满分12分）如图，等腰直角ABC ∆中，ο90=∠B ，平面⊥ABEF 平面ABC ，
BE AB AF ==2，ο60=∠FAB ，BE AF //。
（Ⅰ）求证：BF BC ⊥；
（Ⅱ）求二面角B CE F --的正弦值。
【19】（本小题满分12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度。
新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目。
若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定。
例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案。
某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有9.99％把握认为选历史是否与性别有关？
（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量
⎩⎨
⎧=名男生选考方案相同
名男生选考方案不同2,12,0ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE 。
【20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：)0(2
2
2
>=+r r y x 与直线0l ：
22+=x y 相切，点A 为圆1C 上一动点，x AN ⊥轴于点N ，且动点满足
ON AM OM =+，设动点M 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设Q P ,是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OQ OP ,的斜率分别为21,k k ，且
4
1
21-=k k ，求OT 的取值范围。
【21】（本小题满分
12
分）已知函数
ax x
x x x f -+=1
ln
)()(2，b ax x a x x g +--+=
2)1(3
2)(23
，R ∈b a ,。
（Ⅰ）求函数)(x g 的单调区间；
（Ⅱ）若)()(x g x f ≤恒成立，求a b 2-的最小值。
【22】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程为12sin 3cos 2
222=+θρθρ，直线l 的参数方程为t t y t x (2222
2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+
-=为参数
)。
直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。
（Ⅰ）若点P 的极坐标为),2(π，求PN PM ⋅的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值。
【23】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f ，x x x g -=2
)(。
（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x f x g ≥的解集； （Ⅱ）已知2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。
理科数学参考答案一、单项选择题
二、填空题。
2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若全集U={0,1，2，3}，A={0,1，2}，B={0,2，3}，则A∪(∁U B)=()A. ⌀B. {1}C. {0,1，2}D. {2,3}2.复数5i的虚部是()1+2iA. iB. −iC. 1D. −13.若a=log0.31.2，b=(0.3)1.2，c=1.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c4.如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是()A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门5.函数f(x)==e x−e−x的图象大致为()x2A. B.C. D.6.数列1，−3，5，−7，…的第10项是()A. 10B. −19C. −10D. 197.已知(1−2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1−2x)n(1+x)展开式中含x2项的系数为()A. 71B. 70C. 21D. 498.执行如图所示的程序框图，若输入n=1，S=0，则输出的结果为()A. 7B. 9C. 8D. 119.已知点A(0,0)，B(2,0).若椭圆W： x22+y2m=1上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是()A. 12B. √22C. √63D. √3210.函数y=2−sinx的最大值及取最大值时x的值分别为()A. y=3,x=π2B. y=1,x=π2+2kπ(k∈Z)C. y=3,x=−π2+2kπ(k∈Z) D. y=3,x=π2+2kπ(k∈Z)11. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定12. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面a//平面AMN ，则平面a 截该正方体所得截面的面积为( )A. √2B. 98 C. √3D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 3=32，则a 6=____________． 14. 已知f(x)=xln(x −1)，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是__________．15. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________． 16. 已知M 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，且|MF|=|AF|，若∠MFA =60°，则双曲线的离心率e 的值为______ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =bcosC +√3csinB ．(1)求B ；(2)若b =1，求△ABC 面积的最大值．18.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，已知∠B1C1A1=90°，异面直线AB1⊥A1C，且AA1=AC．(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1=AA1=B1C1=2，求A1C1与平面AA1B1B所成角的正弦值．19.已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在点A处的切线平行，点M为BD的中点．(1)证明：AM与y轴平行；(2)求△ABD面积S的最小值．20.为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表，其中a>0)．(1)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(2)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40,45]的产品的概率；(3)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．21.已知函数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点x 1,x 2，求实数k 的取值范围，并证明：x 1+x 2>2√−2k ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(−1,2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|−|2x −2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x ∈R 时，f(x)<−x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：通过已知条件求出∁U B，然后求出A∪∁U B即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．解：因为全集U={0,1，2，3}，B={0,2，3}，所以∁U B={1}，又A={0,1，2}．所以A∪∁U B={0,1，2}．故选C．2.答案：C解析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i的虚部为1.故选C.3.答案：A解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a=log0.31.2<0，b=(0.3)1.2∈(0,1)，c=1.20.3>1．∴a<b<c．故选：A．。
湖南省株洲市2020届高三一模考试数学(理)试卷 Word版含答案
湖南省株洲市2020届高三一模考试理科数学试题卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。
【1】若复数i i b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21- （C ）31 （D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （ ）（A ）)01(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）]01(，-【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：X ⁓),(2σμN ，则6827.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。
）（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ） （A ）11)31( （B ）3)31( （C ）3 （D ）4【7】在ABC ∆Rt 中， 90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（ ）（A ）21- （B ）0 （C ）4 （D ）1-【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）（A ）2545π （B ）25135π （C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。
2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则A. B. C. D. 3，2.复数的虚部为A. B. C. D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量，是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标，图示为我国年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图，根据统计图分析，下列说法错误的是A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降5.函数的图象大致为A. B.C. D.6.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第16项为A. 98B. 112C. 144D. 1287.二项式的展开式中含x的项的系数是A. B. C. 10 D.8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年年开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有割圆密率捷法一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值其中P表示的近似值若输入，输出的结果P可以表示A.B.C.D.9.已知椭圆W：的离心率为，两点、若椭圆W上存在点C，使得为正三角形，则椭圆W方程为A. B. C. D.10.对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正数a满足，则a的值为A. 或B.C.D. 或11.在中，已知，，M、N分别是BC边上的三等分点，则的值是A. 5B.C. 6D. 812.在长方体中，，，，M为线段不含端点上的动点，过B、M、的平面截长方体所得截面记为，设在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S，则S可能的值为A. 9B. 10C. 12D. 18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等比数列的前n项和，若，，则______．14.曲线在点处的切线经过原点，则______．15.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用．若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为______．16.在双曲线中，为左焦点，M，N为双曲线上关于原点对称的两点，且，若，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．求A；若，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，，O为AC的中点，且，连接求证：面面ABC；若，连接，求与面所成角的正弦值．19.已知F为抛物线C：的焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB．证明：点M在一条定直线上；记点M所在定直线为l，l与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求的面积的取值范围．20.某银行推销甲、乙两种理财产品每种产品限购30万每一件产品按照订单金额不同划分为：订单金额不低于20万为大额订单，低于20万为普通订单．银监部门随机调取购买这两种产品的客户各100户，对他们的订单进行分析，得到如图的频率分布直方图：将此样本的频率估计视为总体的概率．购买一件甲产品，若是大额订单可盈利2万元，若是普通订单则亏损1万元：购买一件乙产品，若是大额订单可盈利万元，若是普通订单则亏损万元．记X为购买1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的数学期望；假设购买4件甲产品和4件乙产品所获得的利润相等．这4件甲产品和4件乙产品中各有大额订单多少件？这4件甲产品和4件乙产品中大额订单的概率哪个大？21.已知函数，其中．当时，求函数的单调区间；当时，是否存在实数M，使得对于任意的实数x，都有成立？并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中直线的参数方程为为参数；以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为．求圆C的直角坐标方程；过直线上一点M作一条倾斜角为的直线与圆C交于A、B两点，求的最小值．23.已知函数．解不等式？当时，不等式恒成立，求的最小值？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：全集3，5，，集合，，3，则，故选：B．直接求出即可．考查集合的并补运算，基础题．2.答案：B解析：解：复数的虚部为．故选：B．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：，，故选：A．利用指数函数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：结合条形统计图可得从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升，正确，故A正确，从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元，正确，故B正确，从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大，正确，故C正确，从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率，有增有减，故D错误，故选：D．观察条形统计图可得答案．本题考查了统计图的识别和应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：函数的定义域为，，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当，排除C，D，故选：B．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．6.答案：D解析：解：奇数项为：，，，，，，偶数项为：，，，，，，依次规律有：第16项为：．故选：D．根据前10项的奇数项和偶数项的规律可得．本题考查了进行简单的合情的推理，属中档题．7.答案：B解析：解：二项式展开式中通项公式为：，令，；含x的项的系数为：令，，无解，故无常数项；二项式的展开式中含x的项的系数是：故选：B．先求出二项式展开式中通项公式，求得含x的项的系数和常数项；再根据二项式展开式中含x的项的系数可分类解决：第一类，第一个括号提供x，第二个括号提供常数项；第二类，第一个括号提供1，第二个括号提供含x的项，两类相加可得答案．本题考查二项式定理，分类计算是关键，属于基础题．8.答案：C解析：解：，，若输入，第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第七次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第八次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；故输出，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：C解析：解：因为、，且为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点或，又点C在椭圆W上，，，解得：，椭圆W的方程为：，故选：C．由点A，点B的坐标，结合正三角形的性质可得点C的坐标，代入椭圆方程，再利用条件离心率和，列出方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆W的方程．本题主要考查了椭圆方程，是中档题．10.答案：D解析：解：当时，，，，由，得，此时；当时，，，，由，得，此时；当时，，，，由，得，无解，舍去；当时，，，，不合题意．综上，a的为或．故选：D．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．11.答案：C解析：解：如图，设BC的中点为O，由，得，，，由此可得：，而，由已知，，．故选：C．取BC边的中点O，由向量加法的三角形法则，把转化为，再由求得，则可求，把转化为，再由已知求得，则答案可求．本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.答案：C解析：解：在上取点N，使得，则平面为截面，在上取点P，Q，使得，，设，则，则平面在上下底面上的正投影面积均为平行四边形的面积，，平面在前后面上的正投影面积均为平行四边形的面积，，平面在左右侧面上的正投影面积均为长方形的面积，，，又，．故选：C．作出平面，设，分别计算平面在正方体6个面上的投影，从而得出S的范围．本题考查了面面平行的性质，正投影的计算，属于中档题．13.答案：解析：解：，，，解可得，，则．故答案为：．由已知结合等比数列的通项公式可求公比，然后结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．14.答案：e解析：解：的导数为，可得在点处切线的斜率为，由切线经过原点，可得，化为，即，故答案为：e．求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得所求值．本题考查导数的几何意义，直线的两点的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用．若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为：．故答案为：．利用相互独立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：连接，由双曲线的对称性可得，且，即，设，则可得，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得，由，，所以两式相加：，即两式相减：，可得：，即，整理可得，所以可得离心率，故答案为：．将连接，由双曲线的性质可得：，且，在在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得，两式相加，相减可得代数式，再由双曲线的定义可得可得a，c之间的关系，进而求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．17.答案：解：，，得，则．，，由正弦定理得，，则，，，，得，由余弦定理得，即，得，得，则的面积．解析：根据正弦定理和余弦定理进行求解即可．根据正弦定理，余弦定理，结合三角形的面积公式进行化简计算．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，难度中等．18.答案：证明：，在底面上的射影为底面三角形ABC的外心，在底面三角形ABC中，由O为AC的中点，且，得O为三角形ABC的外心，则O为在底面ABC上的射影，底面ABC，而面，面面ABC；解：，O为AC的中点，则，以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则0，，2a，，，0，，2a，，a，，a，．设平面的一个法向量为y，．由，取，得，与面所成角的正弦值为．解析：由，得在底面上的射影为底面三角形ABC的外心，再由已知可得O为三角形ABC的外心，得到底面ABC，再由面面垂直的判定可得面面ABC；由，O为AC的中点，则，以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出2a，及平面的一个法向量为，由可得与面所成角的正弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．19.答案：解：证明：设，，所以在A点处的切线方程为：，即，令可得：，所以，由FA、FB为邻边作平行四边形FAMB可得，，设则，所以可得，，即，所以可证得：M点在直线为定直线．由可得M在定直线，即M在抛物线的准线上，可得，设，，，，则直线MF为：，代入抛物线的方程可得：，，，，，所以的面积的取值范围为：．解析：设A的坐标，求导可得A处的导数，即A处切线的斜率，进而求出A处的切线方程，由以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，可得，进而可得M的纵坐标为，即证了M 在定直线上；由可得M在抛物线的准线上，可得N的坐标，设M的坐标，进而求出直线MF，与抛物线联立求出PQ的纵坐标两根之和及两根之积，可得面积的值域．考查抛物线的性质，属于中档题．20.答案：解：由频率分布直方图可知，购买1件甲产品盈利的概率为，亏损的概率为，购买1件乙产品盈利的概率为，亏损的概率为，随机变量X的可能取值为，，，，，，，，故随机变量X的数学期望为．设4件甲产品和4件乙产品中有大额订单分别为x件和y件，则普通订单分别为件和件，因为购买4件甲产品和4件乙产品所获得的利润相等，所以，化简整理得，因为x，且x，，所以，，故4件甲产品和4件乙产品中各有大额订单2件．由可知，4件甲产品和4件乙产品中各有2件大额订单．甲产品中大额订单的概率为，乙产品中大额订单的概率为，因为，所以这4件甲产品和4件乙产品中大额订单的概率甲大．解析：由频率分布直方图可知，购买1件甲产品盈利的概率为，亏损的概率为，而购买1件乙产品盈利的概率为，亏损的概率为；随机变量X的可能取值为，，，，再分别求出每个X值对应的概率即可得数学期望；设4件甲产品和4件乙产品中有大额订单分别为x件和y件，则普通订单分别为件和件，再根据利润相等，列出等量关系，即可得解；由可知，4件甲产品和4件乙产品中各有2件大额订单，再利用独立事件的概率分别求出甲、乙产品中大额订单的概率，进行比较即可得解．本题考查频率分布直方图、随机变量的数学期望、独立事件的概率等知识点，考查学生综合运用知识的能力和理解能力，属于基础题．21.答案：解：函数的定义域为，，设，则，又，故，则，，函数的减区间为；存在实数M，使得对于任意的实数x，都有成立，理由如下：当时，函数的定义域为R，，令，解得，，函数在，上单增，在上递减，又，当时，，当时，，时，，当时，，则存在实数，满足题设要求．解析：求出函数的定义域，求导，可知导函数小于0，进而求得单调区间；当时，利用导数可得函数的单调性及取值情况，从而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：圆C的极坐标方程是转换为直角坐标方程为，整理得．直线的参数方程是为参数，转换为直角坐标方程为．则过圆心且垂直于直线的直线方程为．由于在直线上的一点M作一条倾斜角为的直线与圆C交于A、B两点，由于要求出的最小值，所以首先求出圆心到直线上的一点M的最小值，进一步求出的最小值．则直线与直线的交点坐标为，故：，解得，则过点且倾斜角为的直线得参数方程为为参数．如图所示：把直线的参数方程代入圆的方程得到，整理得，所以，即的最小值为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线间的位置关系求出直线的参数方程，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：函数，当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，解得，；当时，不等式可化为，解得，；所以不等式的解集为或；当时，画出函数的图象如图所示，则的图象与y轴的交点纵坐标为4，各部分所在直线的斜率的最大值为3，所以当且仅当且时，满足，不等式恒成立，所以的最小值为12．解析：利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集；画出时函数的图象，结合图象求出时不等式恒成立的a、b满足条件，从而求得的最小值．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020湖南省株洲市高考数学考试试题
即
故选：C
【点睛】
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据 的关系即可求解，属于简单题目.
7．B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m ，n 时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
【解析】
【分析】
（1）先求得曲线 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线 的直角坐标方程.
（2）求得曲线 的圆心和半径，计算出圆心 到直线 的距离，结合图像判断出存在 符合题意，并求得 的值.
【详解】
（1）曲线 的普通方程为 ，纵坐标伸长到原来的2倍 ，得到曲线 的直角坐标方程为 ，其极坐标方程为 ，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将 代入上式
化简可得 ，所以
则直线方程为 ，
所以直线过定点 ，
所以可知点 不在直线上.
（2）设
线段 的中点为
线段 的中点为
则直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为
可知线段 的中垂线的方程为
由 ，所以上式化简为
即线段 的中垂线的方程为
同理可得：
线段 的中垂线的方程为
则
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应 的取值.
14．2
【解析】
【分析】
首先求出 的展开项中 的系数，然后根据 系数为 即可求出 的取值.
2020年湖南省株洲市示范性普通高级中学高三数学理联考试题含解析
2020年湖南省株洲市示范性普通高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对任意的，函数满足，则= ( ）A．1 B．-1 C．2012 D．-2012参考答案：C2. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间大于10分钟的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间大于10分钟的事件包含的时间长度是50，代入数据，得到结果【解答】解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间大于10分钟的事件包含的时间长度是50，由几何概型公式得到P=，故选：B．3. 李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．4. 平面直角坐标系中，已知两点，若点C满足（O为原点），其中，且，则点C的轨迹是A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线参考答案：A因为，所以设,则有，即，解得，又，所以，即，所以轨迹为直线，选A.5. 已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．4参考答案：A考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=﹣3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答：解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=﹣3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=?=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．6. 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1化解求解最小值，求出θ，带入化解计算即可．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+φ）+，其中tanφ=，可得cot=2．当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=，那么：2θ=φ+2kπ．则====．故选D．7. 已知平面向量，则实数等于A． B．C． D．参考答案：A8. 已知在上是单调增函数，则的最大值是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：D略9. 已知函数f（x）＝x3＋ ax＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（）A. －2B.－C.－2或一D.不存在参考答案：B10. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. B.8- C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图的程序框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是____．参考答案：【知识点】程序框图L1解析：由程序框图可知其功能是求分段函数的函数值，若x≤1，则舍去，若x＞1，则，所以x=.【思路点拨】先由所给的程序框图判断其功能，再由分段函数的函数值推导其对应的自变量的值即可.12. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是_____________．参考答案：略13. 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上的一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,设CP=x,△PCD的面积为,则的最大值为 .参考答案：.略14. 已知命题．若命题是假命题，则实数的取值范围是参考答案：略15. 不等式的解集为 .参考答案：16. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__________________________.参考答案：【知识点】函数的图象．B10【答案解析】解析：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴0＜a＜，∴a的取值范围是（0，），故答案为：（0，）【思路点拨】由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）的图象和性质，得到h（0）=﹣lna＞0，继而得到答案．17. 如图中,已知点D在BC边上,AD AC,则的长为_______________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考数学(理)试题及参考答案
湖南省湘东七校2019年下期高三联考理科数学总分：150分时量：120分钟考试时间2019年12月8日姓名_______ 考号___________第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数．则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，则（）A. B. C. D.3．已知,,则的大小关系为（）A. B. C. D.4．已知数列为等比数列，首项为，数列满足，且，则为（）A．9 B．27 C．81 D．2435．函数的图象大致是（）A． B． C． D．6．《九章算术》卷七﹣﹣盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”．翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”．为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）A．k＞20 B．k＞21 C．k＞22 D．k＞237. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知平面区域D1=，D2=，在区域D1内随机选取一点M，则点M恰好在区域D2内的概率为（）A． B． C． D．9．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为4，圆M:，过F 的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为（）A．9 B．11 C．13 D．1511．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（）A．（，）B．（，﹣1]C．（，1）∪（1，）D．（，1）∪（1，﹣1]12．已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD, 于E，EC=1，，BC=3， PE=2，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数在处的切线方程是__________．14．已知二项式展开式中各项系数和为243，则的展开式中含项的系数为_______．15. 数列通项公式为，若为数列的前项和，则______．16．已知双曲线C:右焦点为F,直线与双曲线C交于A,B两点，AF、BF的中点依次为M，N,若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_________．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD＝，∠ADC＝．（1）求的最大值；（2）若BD＝1，cos＝，求△ABD的面积．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面⊥平面，点为棱的中点．（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19.（12分）有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.20. （12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，点是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．21.（12分）已知函数（是自然对数的底数），是函数的一个极值点．（1）求函数的单调递增区间；（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．23.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.湖南省湘东七校2019年下期高三联考理科数学参考答案及解析总分：150 时量：120 考试时间2019年12月8日一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
湖南省株洲市林方中学2020年高三数学理测试题含解析
湖南省株洲市林方中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等于(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2参考答案：A2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：D点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．3. 已知，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B4. 若m＞0且m≠1，n＞0，则“＜0”是“（m－1）（n－1）＜0”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记，截面下面部分的体积为，则函数的图像大致为（）参考答案：A略6. 函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于( )A．πB．2πC．3πD．4π参考答案：B【考点】函数的零点；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标，由于函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，故有得x1+x4=π，x2+x3=π，由此求得所有的零点之和 x1+x2+x3+x4的值．【解答】解：函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标．由于函数y=tanx 的图象关于点（，0）对称，函数y=的图象也关于点（，0）对称，故函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，如图所示：设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，则由对称性可得 x1+x4=π，x2+x3=π，∴x1+x2+x3+x4=2π，故选 B．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．7. 若，则cos2α+2sin2α=（）A．B．1 C．D．（0，0，1）参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故选A．8. 设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为18，则a的值为（）A．3 B．5 C．7 D．9参考答案：A根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为当直线过点时，有最大值，将点代入得到故答案为：A.9. 已知等差数列( )A.420B.380C.210D.140参考答案：C略10. 下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 全集求集合.参考答案：略12. 设函数由方程确定,下列结论正确的是(请将你认为正确的序号都填上)①是上的单调递减函数；②对于任意，恒成立；③对于任意，关于的方程都有解；④存在反函数，且对于任意，总有成立．参考答案：①②③④13. 设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，]∪[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．【解答】解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；∴4﹣3a≥0，a≤；∴a≤；②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；∴2a﹣9≥0，a≥；∴a≥；综上得a的取值范围为：（﹣∞，]∪[，+∞）．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．14. 若关于x的不等式有解，则实数的取值范围是：.参考答案：15.在中，“”是“”▲的条件．参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】充要条件若sinA＞sinB成立，由正弦定理=2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故答案为：充要条件．【思路点拨】由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．16. （几何证明选讲选做题）如图，平行四边形中，, 的面积为6,则的面积为 .参考答案：略17. （5分）直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为．参考答案：﹣1考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．解答：解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【附加15套高考模拟试卷】湖南省株洲市2020届高三教学质量统一检测(一)数学(理)试卷含答案
湖南省株洲市2020届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B ．42C ．6D ．2102．若双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．71,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ 3．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．()20-，B ．()42-， C ．()()20-∞-⋃+∞，，D ．()()42，，-∞-⋃+∞4．如图，在边长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，P 为平面ABCD 内的一动点，PH BC ⊥于H ，若22'||4PA PH -=，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,36．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。
据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。
在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a n a a n 为偶数为奇数---⎧=⎨+⎩，则解下4个环所需的最少移动次数为（ ）A．7 B．10 C．12 D．227．函数223()2xx xf x--=的大致图象为A．B．C．D．8．为了检验设备M与设备N的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则（）设备M设备N生产出的合格产品48 43生产出的不合格产品 2 7附：()2P K k>0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.A．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性B．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性D．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是A．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．已知实数x ，y 满足不等式组21035328x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，若(>0)z ax y a =-的最小值为9，则实数a 的值等于（ ） A ．3B ．5C ．8D ．911．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于（ ）A ．28πB ．20πC ．7πD ．5π12．已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过12,F F 分别作垂直于x 轴的直线交双曲线于,,,A B C D 四点，顺次连接这四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A． B．12 C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省株洲市2020届高三数学教学质量统一检测试题一理含解析
所以 .
故答案为: .
【点睛】此题主要考查事件概率的计算,考查互斥事件和相互独立事件在求解概率中的应用,难度一般.
， 为左焦点，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，且 ，假如 ，如此该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ,由双曲线的定义可知 与余弦定理列出方程 , ,化简即可求得结果.
的离心率为 ，两点 、 .假如椭圆W上存在点C，使得 为正三角形，如此椭圆W方程为〔 〕
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 为正三角形求出点C坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出 ,得出结果.
【详解】由点 、 且 为正三角形解得 ,因为点C在椭圆上,代入可得:
因为 , ,所以 ,代入 即可解得 ,故椭圆方程为 .
F为抛物线 焦点，A为抛物线C上的一动点，抛物线C在A处的切线交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB.
〔1〕证明：点M在一条定直线上；
〔2〕记点M所在定直线为l，与y轴交于点N，MF与抛物线C交于P，Q两点，求 的面积的取值X围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1) 设 ,求导可得切线斜率,即可求出切线方程 ,得出点 坐标,求出 的中点为 ,由 又为 的中点可得 ,即证得结论;
A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升
B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元
C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大
D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降
【答案】D
【解析】
湖南省株洲市第二中学2020届高三数学下学期线上自主测评试题理含解析
湖南省株洲市第二中学2020届高三数学下学期线上自主测评试题 理（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.回答第Ⅰ卷时，在星光易学公众号上点击正确选项.3.回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答题卡上，拍照上传到星光易学公众号上.★祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}|21,xM y y x R -==+∈，MN N =，则集合N 不可能是（ ）A. ∅B. MC. 13|1x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D. {1,2}-【答案】D 【解析】 【分析】集合M 是数集，求出函数21,xy x R -=+∈值域，MN N =，N 是M 的子集，根据选项可得. 【详解】21,x y x R -=+∈,1y ∴> 即(1,)M =+∞M N N =，N M ∴⊆,又{1,2}M -⊄故选：D【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.2. 设复数的共轭复数为z 且满足关系2z z i +=+，那么z 等于A. 34i +B. 34i -C. 34i -+D. 34i -- 【答案】A 【解析】 【分析】先设,z x yi =+根据题意得到方程组，求解，即可得出结果. 【详解】设,z x yi =+则222,z z x yi x y i +=++=+.2232411x x x y y y ⎧⎧=⎪⎪+=∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩z ∴=34i +. 故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数模的计算公式，以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.3. 等比数列{}n a 的各项和均为正数，11a = ，1237a a a ++=,则345a a a ++=（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 63【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比q ，再根据3524123)(a a a a a q a ++=++即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为q ， ∵11a =，1237a a a ++=， ∴212(1)17q q a qq ++=+=+，即260q q +-=，解得2q或3q =-，又0n a >， ∴2q，∴3451232()4728a a a a a a q ++=+=⨯=+．故选C ．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．4. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．5. 如图，CD ，BE 分别是边长为4的等边ABC ∆的中线，圆O 是ABC ∆的内切圆，线段OB与圆O 交于点F .在ABC ∆中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A.3π B.18π C.3π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【详解】在BOD ∆中，90ODB ∠=︒，30OBD ∠=︒，因为122BD AB ==，所以232tan30OD =︒=，即圆O 的半径为23，由此可得图中阴影部分的面积等于2132639ππ⎛⨯⨯= ⎝⎭，ABC ∆的面积为433943P π==⨯.故选A. 【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题. 6. 已知等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，则BG CG ⋅=（ ） A. 2 B. 14-C. 23-D. 3【答案】C 【解析】 【分析】以BC 中垂线为y 轴建立坐标系，利用重心求出G 点坐标，再求出向量坐标，运用向量数量积坐标进行计算【详解】如图所示建立平面直角坐标系.则(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ， 重心为G ，∴ 点G的坐标为3(0,3. 则3(1,BG =，3()CG =-，所以332113BG CG ⋅=-⨯=-.故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积的运算(1)根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.(2)利用坐标计算数量积的方法：先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；再根据数量积的坐标公式进行运算即可．7. “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西嶽，一人去云南.回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏.” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山.” 丙：“甲去了云南，乙去了泰山.”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半. 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A. 甲去了西藏 B. 乙去了泰山 C. 丙去了西藏 D. 甲去了云南 【答案】D 【解析】 【分析】对甲：“我去了泰山，乙去了西藏.” 的陈述进行判断，验证甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半的事实是否成立，可得答案【详解】若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山” 错误，则“乙去了西藏” 正确，则甲去了云南，丙去了泰山，验证乙丙的陈述都说对了一半，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题考查逻辑推理能力. 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．8. 已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia==∑（ ） A.20181010B.20191010C.20192018D.20202019【答案】B 【解析】【分析】赋值，令1m = ，得到递推式11n n a a a n +=++，累加法求出通项n a ，对1na 裂项求和可得.【详解】令1m =，则11n n a a a n +=++，又11a =，11n n a a n +=++，11n n a a n +-=+，累加法求和得：213231423+++4+n n a a a a a a a a n -⋅⋅⋅----=+++⋅⋅⋅+(+1)2n n n a =， 1211=2()(1)1n a n n n n =-++ 11111111122(1)=2233411i inn a n n n ==-+-+-+⋅⋅⋅-++∑ 201911220192019=201911010i ia =⨯=+∑ 故选：B ．【点睛】本题考查赋值法研究数列递推公式、累加法、裂项求和. 用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 9. 已知21()sin sin f x x ax x =++，若()22f ππ=+，则()2f π-=（ ） A. 2π- B. 2π-C. 2D. π【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中条件求出4a π=，再将2x π=-代入解析式，即可得出结果. 【详解】因21()sin sin f x x ax x =++，()22f ππ=+， 所以2()11224af πππ=++=+，因此24aππ=，故4a π=；所以24()11224f ππππ-=--+⨯=-+.故选B【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型.10. 已知函数231,0()2,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数()g x mx =，若函数()2()y f x g x =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11(,)62B. 1(,1)3-C. 1(,)6-+∞D. 1(,)2-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据所给函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，画出函数图象，根据()g x mx =及()()2y f x g x =-恰有三个零点，即可根据图象判断m 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩的图象如下图所示：()()2y f x g x =-恰有三个零点即()()2f x g x =有三个不同交点，即()2f x mx =有三个不同交点 由图象可知，当直线斜率在OA k ,OB k 之间时，有三个交点 即2OA OB k m k << 所以1213m -<< 可得1162m -<< 所以选A【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 11. 如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为（ ）A.12B.2 C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在四棱锥D ABCE '-中AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '，可证得AB ⊥平面D MN '．然后作MH D N '⊥于H ，可得MH 即为点C 到平面ABD '的距离．在D MN '∆中，根据等面积法求出MH 的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ABCE '-中，底面ABCE 为边长是1的正方形，侧面D EA '中，D E AE '⊥，且1D E AE '==．∵,,AE D E AE CE D E CE E ''⊥⊥=，∴AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '， 则由AE ⊥平面D CE '，可得D M AE '⊥，∴D M '⊥平面ABCE ． 又AB 平面ABCE ，∴D MAB '⊥．∵MN AB ⊥，D M MN M '=，∴AB ⊥平面D MN '．在D MN '∆中，作MH D N '⊥于H ，则MH ⊥平面ABD '． 又由题意可得CE平面ABD '，∴MH 即为点C 到平面ABD '的距离． 在Rt D MN '∆中，,1D M MN MN '⊥=，设D M x '=，则01x D E '<≤=，∴D N'=．由D M MN D N MH ''⋅=⋅可得x MH =，∴2MH ==≤，当1x =时等号成立，此时D E '⊥平面ABCE ，综上可得点C 到平面ABD '． 故选B ．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．12. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）． A. 4(2)9(3)f f -< B. 4(2)9(3)f f -> C. 2(3)3(2)f f >- D. 3(3)2(2)f f -<-【答案】A 【解析】设()()()()()()()()22'2'20g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞ 上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先()()()()()()()()22'2'20x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞ 上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数81()ln(1)1x f x x x -=--+，则函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为_______. 【答案】5y =- 【解析】 【分析】函数求导，21()19(1)f x x x '=--+，计算(2)k f '=，点斜式方程写出切线方程.【详解】21()19(1)f x x x '=--+,(2)=0k f '=, 点(2,5)-点斜式方程000())(yy f x x x ＝写出切线方程：2)5(y x ＝05y ＝-故答案为：5y ＝-【点睛】本题考查求“在”曲线上一点处的切线方程.其方法：求“在”曲线()y f x ＝上一点00(,)P x y 处的切线方程：点00(,)P x y 为切点，切线斜率为0()k f x ＝，有唯一的一条切线，对应的切线方程为000())(y y f x x x ＝14. 已知二项式((0)n x a+>的展开式中，二项式系数之和为64，含3x 的项的系数为154，则a =_______. 【答案】2 【解析】【分析】利用二项式系数之和为64，求出n ，利用二项展开式得到3x 求出参数a . 【详解】二项式系数之和为64,264n,6n =6()(0)x a a x∴+>得36216k k kk TC a x，3x 的项的系数为154， 令3632k ，2k = 22615=4C a ，2a =故答案为：2【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．15. 如图，点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点,A B 分别在抛物线C 和圆22(1)4x y +-=的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则AFB △周长的取值范围是_______.【答案】(4,6) 【解析】 【分析】求出抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，1,A AFy 三角形周长转化为++3+B FB AF ABy ，求出B y 范围可解.【详解】抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)F ，2R =2,1,A B A FB AFy ABy y∴ 三角形周长为：++2+1+=3+A B A B FB AF ABy y y y13B yAFB △周长的取值范围是(4,6)故答案：(4,6)【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．16. 三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是边长为3的等边三角形，侧面ACD ∆为等腰三角形，2AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是__________． 【答案】16π 【解析】 【分析】根据题意，将题中所述三棱锥在直三棱柱中进行截取，再求三棱柱的外接球半径，即为所求外接球的半径，结合球的表面积公式即可求得结果.【详解】∵三棱锥A BCD ﹣中，底面△BCD 是边长为3的等边三角形， 侧面三角△ACD 2AB =， ∴222AB BC AC +=，222AB BD AD +=，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，∵BC BD B ⋂=，∴AB ⊥平面BCD ， ∴将三棱锥还原成三棱柱AEF BCD ﹣，则上下底面中心12,O O 的连线的中点O 为三棱锥A BCD ﹣外接球的球心， 如图，222333332BO BF ==⨯⨯=212112O O O O ==，BO =2222BO O O +=2，∴三棱锥A BCD ﹣外接球表面积244416S r πππ==⨯=． 故答案为：16π．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法()1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．()2若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA a ＝，PB b ＝，PC c ＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】 【分析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ； （2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围； 【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =， 而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=， 解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c +∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18. 如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ACD ∆是边长为2的等边三角形，且2AB BC ==，2PA =，点M 是棱PC 上的动点.（I ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）3010． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由PA ⊥底面ABCD 可得PA BD ⊥．取AC 的中点O ，连接,OB OD ，根据等腰三角形的性质可得AC BD ⊥，于是得到BD ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取CP 中点E ，连接OE ，可证得,,OC OD OE ，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点M 的坐标，再根据线段MB 最短得到点M 的位置，进而得到BM ．求出平面PBD 的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求． 【详解】（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PA BD ⊥．取AC 的中点O ，连接,OB OD ，∵ACD ∆是等边三角形，AB BC =， ∴AC OB ⊥，AC OD ⊥，∴点,,O B D 共线，从而得AC BD ⊥， 又PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PAC ⊥平面PBD .（Ⅱ）解：取CP 中点E ，连接OE ，则//OE PA ， ∴EO ⊥底面ABCD ， ∴,,OC OD OE 两两垂直．以O 为原点如图建立空间直角坐标系Oxyz ，则()()()()0,1,0,1,0,0,,1,0,2B C D P --， ∴()()0,31,0,1,1,2BD BP =+=-, 设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =，由()31020n BD y n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得02y x z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()2,0,1n =．设()01CM CP λλ=≤≤，则()12,1,2BM BC CM λλ=+=-， ∴(142BM ==⎝⎭∴当14λ=时，BM 有最小值，且min2BM =，此时11,1,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设直线MB 与平面PBD 所成角为θ，则11||2sin cos<,>|3|||BM n BM n BM n θ+====⨯⋅， ∴直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值为10． 【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,，离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）设点,A F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点）.【答案】（1）22143x y +=；（2）3 【解析】 【分析】（1）点(0,代入椭圆方程，离心率12c a = 与222a b c =+ 联立求解椭圆方程； （2）设直线CD 方程1x ky =+，与椭圆联解，利用根与系数关系及三角形面积公式得四边形面积，再利用换元法和对勾函数单调性求出四边形面积的最大值.【详解】点(0,代入椭圆方程22031a b+=，23b = 又离心率12c a = 与222a b c =+，则24a = 椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设直线CD 方程为1x ky =+ , 1122(,),(,)C x y D x y221431x y x ky ⎧+=⎪∴⎨⎪=+⎩ 化简得：22(34)690k y ky ++-= 22163+=,4ky y k 122934y y k =-+， 四边形OCAD 面积：1211=2222OCAODAS SSy y2121212()4y y y yy y 2=34k 令21(1)t k t212121313t St tt， 1t ≥13y t t=+ 在[1,)+∞上单增，4y ∴≥12313S tt，当且仅当1t =即0k =时等号成立. 四边形OCAD 面积的最大值为3【点睛】与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．20. 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若 ()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=.（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973kkk P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=，所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 21. 已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．（2）(]0,1 【解析】 【分析】（1）求出导数()22x af x x='+，对a 分类讨论，明确函数函数()f x 的单调性； （2）对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，等价于()max e 1f x ≤-．()()1b b x f x x-'=，函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max f x 为1e e bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．再利用导数求解不等式即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x a f x x x x='+=+．当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增．当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．（2）因为对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．当0a b +=即=-a b 时，()ln bf x b x x =-+，()()11b b b x b f x bx x x---=='+． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()220b b g b e e -=+->='，所以()g b 在()0,∞+上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e e 1b b -+≤-即e e 10b b --+≤．设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 10bb ϕ'->．所以()b ϕ在()0,∞+上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤． 因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），()2,0A ，P 为曲线C 上的一动点.（I ）求动点P 对应的参数从3π变动到23π时，线段AP 所扫过的图形面积； （Ⅱ）若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）6π；（Ⅱ）存在点P 满足题意，且7,8P ⎛± ⎝⎭. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先判断出线段AP 所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设()cos ,sin Pθθ，由题意得()2cos 2,2sin Q θθ-，然后根据点Q 在曲线C 上求出cos ,sin θθ后可得点的坐标． 【详解】（Ⅰ）设3πθ=时对应的点为2,3M πθ=时对应的点为N ，由题意得MN x 轴， 则线段AP 扫过的面积211236AMN OMN OMN S S S S S ππ∆∆=+=+==⨯⨯=弓形弓形扇形.（Ⅱ）设()cos ,sin Pθθ，()2,0A ，∵P 为线段AQ 的中点，∴()2cos 2,2sin Qθθ- ，∵Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y +=， ∴()()222cos 22sin 1θθ-+= ，整理得8cos 7θ=， ∴7cos 8θ=，∴sin θ==±∴存在点P 满足题意，且点的坐标为7,8P ⎛ ⎝⎭．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题． 选修4—5：不等式选讲23. 已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-.（1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}10x x -≤≤；（2）9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解集； （2）作出函数()f x 的图象和函数()g x 的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得a 的取值范围.【详解】（1）若1a =，则不等式()f x +()g x 3≥化为2−2x 13x +-≥． 当x ≥1时，2−2x 1x +-≥3，即2x −20x +≤，因为不等式对应的一元二次方程180=-<，故不等式无解；当1x <时，2213x x --+≥，即2x 0x +≤，解得10x -≤≤． 综上，不等式()f x +()g x ≥3的解集为{|10}x x -≤≤．（2）作出y =()f x 的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示，由22y x a y x=-⎧⎨=-⎩，得2x 20x a +--=， 若相切，则()1420a ∆=++=，得a =94-， 数形结合知，当a ≤-94时，不等式无负数解，则−940a <<． 当0a =时，满足()f x >()g x 至少有一个负数解． 当0a >时，()g x 的图象如折线②所示， 此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知， 当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<． 综上所述，若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解， 则实数a 的取值范围是(−94，2)． 【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题.。