信号与系统第2章信号的复数表
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统中的复数信号问题
信号与系统复数信号物理意义我看的是奥本海姆的《信号与系统》，P185的例3.1，有两个信号的例子，第一个为复信号x（t）=e^j2t，第二个为实信号x（t）=cos4t+cos7t，我的感觉是感觉现实中的信号都应该是实数的，比如，弹簧振子振动块位移与时间的关系，就是x（t）=sinwt，再复杂一点的信号或许会包含很多不同的频率成分，比如方波信号，含有丰富的频率成分，但不管这些信号是什么，我的理解是它们都应该是以实数方式出现的，我很不明白当一个信号以复数方式出现时，应该怎样理解他的物理意义。
我明白，当信号做傅里叶变换成为频谱时，在频率域中，肯定会有实部和虚部，实部为幅度信息，虚部为相位信息，这个物理意义很明显。
我就是不明白，不做傅里叶变换，仅仅就在时间域中，那个复信号应该怎么理解，感觉虚部的存在很影响我对信号的理解，我很难想象出这个物理意义。
交流电路中，当电信号以“相量”形式表示时，会出现复数的情况，难道这个东西就要那么去理解吗？但这还是有问题，因为电信号的相量表示法也仅仅是一种表示而已，真正的电信号其实也是一些不同频率是信号的线性组合，要分析其频谱的话，也不会用其相量来做傅里叶变换，而是时间域的信号（最终会用实信号表示），所以我不明白，为什么会有复信号。
希望高手高手高高手们能够帮我解开这个疑惑，真的很好奇啊，期待着大家的回复，现在这里谢过了。
问题补充：呵呵，我发现我对频域的理解有问题，上面叙述错了，频域中幅度信息由实部与虚部的模决定，相位信息由复数的幅角决定，当时昏头了，大家别介意哈。
刚刚写了一大堆，竟然发送失败！就发到这里吧！1.实际得到了这种双边频谱，e^jwt与e^-jwt的幅度正好是cos(wt)幅度的一半[幅度谱是偶函数]；即Acos(wt)=0.5A[e^jwt+e^-jwt];合成即用欧拉公式，不是平方后求和。
2.正负频率分量的能量各占实际频率分量的一半。
【你再看看傅里叶变换的帕斯瓦尔能量守恒定理，就知道所有w<0的分量和所有w>0的分量的能量是相等的，能量谱是偶函数】3.实际中不应该分开来看，而是合成来看，只谈某w>0的频率分量是多大，不谈w<0我也说两句：1.之所以引入复信号[有虚部]，并不是因为实际存在复信号；如同δ函数一样，实际并不存在，但是作为数学分析的角度，引入后能方便分析信号。
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
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第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
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第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
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第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
信号与系统第2章信号的复数表示
对于需要进行高性能计算的应用场景，可以使用C/C语言编写程序，实现信号复数表示的仿真。例如，可 以使用FFTW库进行快速傅里叶变换的计算。
信号复数表示的计算误差分析
截断误差
在进行数值计算时，由于计算机 只能处理有限长度的数据，因此 需要对信号进行截断。截断操作 会引入误差，影响计算结果的准 确性。
信号与系统第2章信号的复数 表示
• 信号与系统的基本概念 • 复数的基本概念与运算 • 信号的复数表示方法 • 信号复数表示在信号处理中的应用 • 信号复数表示的数值计算与仿真
01
信号与系统的基本概念
信号的定义与分类
信号的定义
信号是传递信息的函数，它可以是时 间的函数，也可以是空间位置的函数。 在信号处理中，通常将信号表示为时 间的函数，即s(t)。
信号频谱分析中的复数表示
频谱分析
频谱分析是研究信号在频率域上的特性的过 程。通过复数表示，可以将信号分解为不同 频率的正弦波分量，从而得到信号的频谱分 布。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域 的数学工具。在傅里叶变换中，复数表示用 于描述信号的频谱分量，包括幅度和相位信 息。
信号滤波中的复数表示
THANKS
感谢观看
实部与虚部
在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为复数的实部，$b$ 称为复数的虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复数为 $z^* = a - bi$。
复数的四则运算
加法
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
乘法
$(a + bi) times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
信号与系统第二章
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
信号与系统——泛函分析初步
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
(完整版)信号与系统知识要点.doc
信号与系统知识要点第一章信号与系统, t 01,t 0(t )0, t 0单位阶跃信号(t) u(t )0 单位冲激信号0,t(t ) 1d (t ) (t )dtt( )d (t )(t ) 的性质：f (t ) (t ) f (0) (t )f (t ) (t t 0 )f (t 0 ) (t t 0 )f (t ) (t)dtf (0)f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )(t ) ( t )(tt 0 ) [ (t t 0 )]1 (t)(at )a(at t 0 )1 (t t)aa 单位冲激偶信号(t)(t )d (t )dt(t ) ( t)(t t 0 )[ (t t 0 )](t )dt 0t( )d (t )f (t ) (t)f (0) (t) f (0) (t)f (t ) (t t 0 )f (t 0 ) (t t 0 ) f (t 0 ) (t t 0 )f (t ) (t) dt f (0)f (t ) (t t 0 ) dtf (t 0 )符号函数 sgn(t )1,tsgn(t )0, t 0 或 sgn(t ) u(t ) u( t ) 2u(t ) 11,t单位斜坡信号r (t)0, t 0 tdr (t) r (t ) tu(t)r (t )u( )du(t)t,tdt门函数 g (t )g (t)1, t2 0, 其他取样函数 Sa(t ) sin ttsin t lim Sa(t)Sa(0) lim 1tt 0t 0当 t k(k1, 2,ggg)时， Sa(t ) 0Sa(t)dtsin t dt lim sin t 0ttt第二章连续时间信号与系统的时域分析1 、基本信号的时域描述（ 1 ）普通信号普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即f (t ) Ke st ，t 式中 sj ， K 一般为实数，也可以为复数。
根据与 的不同情况， f (t ) 可表示下列几种常见的普通信号。
雷达信号分析(第2章)信号分析基础
H (f ) = μ(f ) m
ϕ = −θ(f ) − 2πft
m
0
幅频特性：匹配滤波器对输入信号中较强的频率成分给予较大的加权，对
较弱的频率成分给予较小的加权，因此输入信号中幅度大的频率成分，输
出信号中该频率成分也大。
相频特性：匹配滤波器的相频特性与信号的相位谱互补（除常数相位和线性相 位之外）。不管输入信号有怎样复杂的非线性相位谱，经过匹配滤波器之后，这 种非线性相位都被补偿掉了，而输出信号中只留下了线性的相位谱。
雷达信号分析 Radar Signal Analysis
张劲东 南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系 雷达探测与信号处理实验室
Email: zhangjd@
第2章 雷达信号分析基础
¾2.1 雷达信号的复数表示 ¾2.2 雷达信号的相关特性 ¾2.3 最佳线性滤波器
• 信号在传递过程中不可避免地要受到自然和人为的各种干 扰，信号检测的目的是用一种最优处理的方法，从干扰观察 中获得所传递的信息。
• 这种最优处理的方法，有以下主要的特点： （1）最优处理的标准可能是不同的，例如：最大信噪比，或
最小的判决损失； （2）信号处理的方式与结果、与干扰的形式有关，也与信号
m
0
三、匹配滤波器的频率特性
∫ H (f ) = ∞ μ*(t − t)e−j2πftdt
m
−∞
0
∫ = [ ∞ μ(t − t)e j2πftdt ]*
−∞
0
∫ = [ ∞ μ(t)e j2πf (t0−t)dt ]* −∞
= μ*(f )e−j2πft0
或 也可以写成
H (f ) = μ(f ) e−jθ(f )e−j2πft0 m
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kC ka jkb
| kC| e j k 0
பைடு நூலகம்
kC
|
kC
|
e
j(
)
k 0
共轭：
C* a jb
C* C e j
虚轴 j
C
kC
实轴
虚轴 j
C
实轴
C*
做复数的数乘运算时，复数的实部和虚部均要与乘数 相乘并作为新复数的实部和虚部。
换一种说法，做复数的数乘运算时，复数的模要与乘 数的绝对值相乘，作为新复数的模，而辐角的值要依 据乘数的符号确定，如乘数为非负实数，则辐角不变， 否则辐角要偏移180度。
第二章 信号的复数表示
2.1 欧拉公式
欧拉公式
欧拉公式，定义：
ejwt coswt j sinwt e jwt cos(wt) j sin(wt) coswt j sinwt (e jwt )*
注： X * 表示 X 的共轭
2.2 信号的复数表示
1、复数形式
做复数的共轭运算时，复数的实部不变而虚部取负。
换一种说法，做复数的共轭运算时，复数的模不变， 而辐角取负。
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数，C1 a1 jb1 ，C2 a2 jb2 C1 | C1 | e j1 ，C2 | C2 | e j2 复数加法： C C1 C2 (a1 a2) j(b1 b2) 复数乘法： D C1 C2 a1a2 ja1b2 jb1a2 j2b1b2 ， 复数中定义 j2 1 ，故 D (a1a2 b1b2) j(a1b2 b1a2)
两复数相乘等于两复数的模相乘，作为新复数 的模，两复数的辐角相加作为新复数的辐角。
3、举例
C1 1 j 3 ，C2 1 j
所以又有： C1
j
2e 3
，C2
j
2e 4
C1 C 2 (1 1) j( 3 1) 2 j( 3 1)
j
j
2C1 2 j(2 3) 2 2e 3 4e 3
C1 C 2 1 j 3 j 3 3 (1 3 ) j(2 3 )
j( )
j( 7 )
2 2e 3 4 2 2e 12
| C | sin() a2 b2 sin[arctg(b / a)] b
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴
b
复数C可表示成一个矢量
|C| a
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
换一种形式表示复数的乘法
D C1 C2 C1 e j1 C2 e j2 C1 C2 e e j1 j2 C1 C2 e j(12)
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
虚轴 j
复数乘法 C1C2 虚轴 j
C1 C2
C1+C2
实轴
C1 C2
实轴
两复数相加等于两复数的实部和虚部分别相加 并作为新复数的实部和虚部。