备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，

∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，

∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

设AF=x，则CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即点B到AC的距离为4．

考点：切线的判定

3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2

15

-+

；（3

758

+

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，

设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，

∴AB BC BD CD =

，即11

1x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，

解得：x 1=15

-+，x 2=15--（负值，舍去），

则x=

15

-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，

∵BD=CD ，

∴E 为CD 中点，即DE=CE=

15

4

-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=15

1514151AE AB -++

+==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=15

15414

EC BC -+-+==

， 则cos36°-cos72°=51+=

15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．

4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．

(1)求证：PA是☉O的切线；

(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.

【解析】

试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.

易证，所以,解得，

则，在中，.

考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．

5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

BE

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3

【解析】

【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3

得出结果．

【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示，

②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，

连接BG，如图2所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EG⊥AC，

∴∠EGC ＝90°，

∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，

在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =??

∠=∠??=?

，

∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，

∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，

∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.

（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2

在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 3

323

6，

∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()

2

2436-3

∴BE ＝CF ＝3．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．

(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；

(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；

(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）60°；（2）PQ＝7

2

；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33

【解析】

【分析】

（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3

=∠A'BC=90°，可得

cos∠A'CB

3

'

BC

A C

==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB

3

=

3

2

=，依据

tan∠Q=tan∠A

3

2

=BQ=BC

3

=2，进而得出PQ=PB+BQ7

2

=；

（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3

-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最

小，而S△PCQ

1

2

=PQ×BC3

=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结

论． 【详解】

（1）由旋转可得：AC =A 'C =2． ∵∠ACB =90°，AB 7=

，AC =2，∴BC 3=．

∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3

'BC A C ==

，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；

（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=

，∴PB 3

=

BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=

，∴BQ =BC 3?=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=

PQ ×BC 3

=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 1

2

=

PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形

PA 'B 'Q =3

3-；

【点睛】

本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合） （1）如果∠A ＝30°，

①如图1，∠DCB 等于多少度；

②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段

DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝

2DE?tanα．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，

（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．

【详解】

（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠DCB＝60°．

②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，

∴△CDB为等边三角形.

∴∠CDB＝60°

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，

∵∠PDF＝60°，DP＝DF，

∴∠FDB＝∠CDP，

在△DCP和△DBF中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF.

（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．

理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α， ∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，

∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ， ∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α， ∵∠PDF ＝2α，

∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，

∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP ＝DF ， 在△DCP 和△DBF 中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF ， 而 CP ＝BC+BP ， ∴BF ﹣BP ＝BC ，

在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，

∴tan ∠CDE ＝

CE

DE

， ∴CE ＝DEtanα，

∴BC ＝2CE ＝2DEtanα， 即BF ﹣BP ＝2DEtanα． 【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．

9．如图，正方形ABCD

+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ， （1）求证：△ABF ∽△ACE ； （2）求tan ∠BAE 的值；

（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．

22

【解析】

【分析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；

（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；

（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，

∴△ABF∽△ACE．

（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．

∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，

∴BE＝EB，

∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝∠HEC＝45°，

∴HC＝EH，

∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，

∵BC2+1，

∴x+x2+1，

∴x＝1，

在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，

∴tan ∠EAB ＝

1221

BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．

作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝

2

2

， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2， ∴OA ＝OC ＝OB ＝

12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA?tan ∠OAF ＝OA?tan ∠EAB ＝222+ ?（2﹣1）＝2

2

， ∴HM ＝OH+OM ＝

22

2

+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2

2

22222EM HM 22????

+++

? ? ? ?????

＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．． 【点睛】

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角

是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距

离(如图②)．

【答案】1．5米． 【解析】

试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出

在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3

米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD?CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．

试题解析：延长OA交BC于点D.

∵AO的倾斜角是，

∴

∵

在Rt△ACD中, (米)，

∴CD=2AD=3米，

又

∴△BOD是等边三角形，

∴(米)，

∴BC=BD?CD=4.5?3=1.5(米).

答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.