指数函数复习专题(含详细解析)
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第 讲 指数函数
时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：
一、 兴趣导入
二、 学前测试
1．在区间
上为增函数的是（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2
．函数是单调函数时，的取值范围 （ A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在
有 （ A ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值 4．函数
，
是（ B ）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．不具有奇偶函数
D ．与有关
5．函数在
和都是增函数，若
，且
那么（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．无法确定
6．函数在区间
是增函数，则
的递增区间是 （ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2
三、方法培养
☆专题1：指数函数的定义
一般地，函数x
y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
例1
指出下列函数那些是指数函数：
（１）4
x
y =（２）x
y 4
=
（３）4
x
y -
= （４）)
4(
-=x
y （５）
π
=y x
（6）x
y 2
4
=（7）x
x
y =
（８）)1,2
1
((
)
12≠>
=-a a y a x
解析：利用指数函数的定义解决这类问题。 解：（１），（５），（８）为指数函数
变式练习1 1函数2
(33)x
y a a a
=-+?是指数函数，则有（ ）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案:C 2. 计算:1054
32)(0625.08
33416
--+++π; 解：(1)1054
32)(0625.08
33416
--+++π =(425)21
+(827)31
+(0.062 5)41
+1-2
1
=(25)2×21+(23)31
3?+(0.5)41
4?+2
1 =
25+23+0.5+2
1 =5;
☆专题2：指数函数的图像与性质
一般地,指数函数y=a x
在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a ＞1
0＜a ＜1
图象
3
性质
①定义域：R ②值域：（0,+∞）
③过点（0,1）,即x=0时y=1
④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;
当x ＞0时,y ＞1
④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;
当x ＞0时,0＜y ＜1
在同一坐标系中作出y=2x
和y=(2
1)x
两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y 轴对称.
图2-1-2-3
例3比较下列各题中的两个值的大小:
（1）1.72.5
与1.73
; (2)0.8-0.1
与0.8-0.2
; (3)1.70.3
与0.93.1
. 利用函数单调性,
①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x
,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数
y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73
；
②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x
,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,
所以函数y=0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2
；
③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1
..
变式练习3
1.已知a=0.80.7
,b=0.80.9
,c=1.20.8
,按大小顺序排列a,b,c.
答案：b 2. 若指数函数y=（2a －1）x 是减函数,则a 的范围是多少？ 答案： 2 1 ＜a ＜1. 3. 设m<1,f(x)=2 44+x x ,若0 (1)f(a)+f(1-a)的值; (2))1001 1000()10013()10012()10011( f f f f ++++ 的值. 活动：学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2)问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决. 解：(1)f(a)+f(1-a)=24424411+++--a a a a =2 4444244+++a a a a =a a a 4244244?+++ 4 =a a a 422244+++=2 42 4++a a =1. (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ =［)]1001 501 ()1001500([)]1001999()10002([)]10011000()10001([f f f f f f ++++++ =500×1=500. ☆专题3：求函数的定义域与值域 例4 求下列函数的定义域 （１）2 4 1 -= x y （2）1 5 -=x y 解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。 解（１）：令ｘ－４≠０，得ｘ≠４， 故定义域为（－∞，４） （４，＋∞） （2）： , 1,01≥∴≥-x x 所以1 5 -=x y 的定义域为}1{≥x x 点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。 变式练习4 求下列函数的定义域和值域: (1)y=( 2 1)22x x -;(2)y=913 1 2--x ;(3)y=a x -1(a>0,a≠1). 答案：(1)函数y=( 21)22x x -的定义域是R ,值域是［21,+∞）;(2)函数y=9131 2--x 的定义域是［2 1-,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0 四、强化练习 1. 下列关系中正确的是( ) A.(21)32<(51)12<(21)31 B.(21)31<(21)32<(51 )32 C.(51)32 <(21)31 <(21)32 D.(51)32 <(21)32 <(2 1)31 答案：D 2.函数y=a x (a>0,a≠1)对任意的实数x,y 都有( ) 5 A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C 3.函数y=a x +5+1(a>0,a≠1)恒过定点________. 答案：（-5,2） 4.比较a 3 1与a 2 1的大小（a ＞0且a≠0）. 答案：分a ＞1和0 1>a 2 1;当a>1时,a 3 1 1. 五、训练辅导 ☆专题4：函数图像的平移 当m>0时,y=a x 的图象向左移动m 个单位得到y=a x +m 的图象; 当m<0时,y=a x 的图象向右移动|m|个单位得到y=a x +m 的图象. 上述规律也简称为“左加右减”. 例4为了得到函数y=2 x -3 -1的图象,只需把函数y=2x 的图象( ) A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 变式练习5 1.已知定义域为R 的函数f(x)=a b x x ++-+122是奇函数. （1）求a,b 的值； （2）若对任意的t∈R ,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2 -k)<0恒成立,求k 的取值范围. 活动：学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基础上求出f(x),转化为关于k 的不等式,利用恒成立问题再转化. （1）解：因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0,即 2 1 +-a b =0?b=1, 所以f(x)=1 221++-x x a ; 又由f （1）=-f （-1）知421+-a =1 21 1+- -a ?a=2. （2）解法一：由（1）知f(x)=1 2221++-x x =21 - +121+x ,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 6 又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t 2-2t)+f(2t 2 -k)<0, 等价于f(t 2-2t)<-f(2t 2-k)=f(k-2t 2 ),因f(x)为减函数,由上式推得： t 2-2t>k-2t 2,即对一切t∈R 有3t 2 -2t-k>0, 从而判别式Δ=4+12k<0, ∴k<3 1- . 2. 已知定义在R 上的函数12()22 x x a f x +-+=+（a 为实常数）是奇函数，2 ()2()g x x x =-； （I ）求a 的值，判断并证明函数()f x 的单调性； （II ）若对任意的[]1,4t ∈-，不等式(()1)(8)0f g t f t m -++<（m 为实常数）都成立，求m 的取值范围； 六、家庭作业布置： 家长签字：_________________ （请您先检查确认孩子的作业完成后再签字） 7 附件：堂堂清落地训练 （坚持堂堂清，学习很爽心） 1.函数y=a |x| （a ＞1）的图象是（ ） 图2-1-2-8 分析：当x≥0时,y=a |x|=a x 的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数. 答案：B 2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（ ） A.y=(3 1)2-x B.y=x 4-1 C.y=1-0.5x D.y=22x +1 分析：因为（2－x ）∈R ,所以y=（3 1）2－x ∈（0,+∞）;y=x 4-1∈［0,1］;y=1-0.5x ∈［0,+∞);y=2 2x +1∈ ［2,+∞). 答案：A 3.已知函数f （x ）的定义域是（0,1）,那么f （2x ）的定义域是（ ） A.（0,1） B.（ 2 1 ,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞） 分析：由题意得0＜2x ＜1,即0＜2x ＜20 ,所以x ＜0,即x∈（－∞,0）. 答案：C 4.若集合A={y|y=2x ,x∈R },B={y|y=x 2 ,x∈R },则（ ） A.A B B.A B C.A =B D.A∩B=? 分析：A={y|y ＞0},B={y|y≥0},所以A B. 答案：A 5. 已知0 +b 的图像必定不经过（ A ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题 1．若a 2 3 2 ,则a 的取值范围是 。0 2．若10x =3,10y =4,则10x-y = 。 4 3 3．化简?5 3 x x 3 5 x x ×2 3 5 x x = 。1 4．函数y=11 51--x x 的定义域是 。(-∞,0)?(0,1) ?(1,+ ∞) ??? ??≠-≠--015011x x x ,联立解得 x ≠0,且x ≠1。 y y 8 5．函数y=3 2 32x -的单调递减区间是 。（0，+∞） 令y=3U ,U=2-3x 2 , ∵y=3U 为增函数，∴y=32 323x -的单调递减区间为[0，+∞）。 6．若f(52x-1)=x-2,则f(125)= . 0 f(125)=f(53)=f(52×2-1 )=2-2=0。 7.对于函数f(x)定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2),有如下的结论: ①f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2);②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2); ③ 2121)()(x x x f x f -->0;④)2 (2 1x x f +< 2121)()(x x x f x f -+. 当f(x)=10x 时,上述结论中正确的是. 分析:因为f(x)=10x ,且x 1≠x 2,所以f(x 1+x 2)=21 10 x x +=211010x x ?=f(x 1)·f(x 2),所以①正确; 因为f(x 1·x 2)=2 110 x x ?≠211010x x +=f(x 1)+f(x 2),②不正确; 因为f(x)=10x 是增函数,所以f(x 1)-f(x 2)与x 1-x 2同号,所以 2 121) ()(x x x f x f -->0,所以③正确. 因为函数f(x)=10x 图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确 . 图2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④ ∵10x 1>0,10x 2 >0,x 1≠x 2,∴2101021x x +>211010x x ?∴2 101021x x +>2110x x +, 即2 101021x x +>2 2110 x x +∴ 2121)()(x x x f x f -+>)2 (2 1 x x f +. 三、解答题 1． 设0 322+-x x >a 5 22-+x x 。 解： ∵0 在（-∞，+∞）上为减函数，∵ a 1 322+-x x >a 5 22-+x x , ∴2x 2-3x+1 +2x-5,解得2 9 2． 已知x ∈[-3,2]，求f(x)=12141+-x x 的最小值与最大值。 解： .f(x)= 43)212(1212412 1412+-=+=+-=+-----x x x x x x , ∵x ∈[-3,2], ∴8241≤≤-x .则当2-x =21,即x=1时,f(x)有最小值4 3；当2-x =8,即x=-3时，f(x)有最大值57。 3.已知函数f(x)=)1(1 1 >+-a a a x x , (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。 解：．（1）∵定义域为x R ∈,且f(-x)=)(),(1111x x f a a a a x x x x ∴-=+-=+---是奇函数； （2）f(x)=,21 20,11,121121<+<∴>++-=+-+x x x x x a a a a a ∵即f(x)的值域为（-1，1）； （3）设x 1,x 2R ∈,且x 1 1)(1(221111212 1221<++-=+--+-x x x x x x x x a a a a a a a a (∵分母大于零，且 a 1x 2 x ) ∴f(x)是R 上的增函数。 8.（1）求函数y=( 2 1)x x 22-的单调区间,并证明. （2）设a 是实数,f(x)=a 1 22 +-x (x∈R ),试证明对于任意a,f(x)为增函数. 活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=(2 1)x 与y=x 2 -2x 的复合函数,（2）函数单 调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写. 解法一：设x 1 2 2222)2 1()21(x x x x --=(21)12212222x x x x ---(21))2)((1212-+-x x x x , 因为x 1 当x 1,x 2∈（-∞,1］时,x 1+x 2-2<0,这时(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)<0, 即 1 2 y y >1,所以y 2>y 1,函数单调递增; 当x 1,x 2∈［1,+∞）时,x 1+x 2-2>0,这时(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)>0, 即 1 2 y y <1,所以y 2 10 所以函数y 在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减. 解法二：（用复合函数的单调性）： 设u=x 2 -2x,则y=( 2 1)u , 对任意的1 1)u 是减函数, 所以y 1 2 1)x x 22-在［1,+∞）是减函数. 对任意的x 1 1)u 是减函数, 所以y 1 x 22-在（-∞,1］上是增函数. 引申：求函数y=(2 1)x x 22-的值域（0 点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”. （2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法. 证明：设x 1,x 2∈R ,且x 1 f(x 1)-f(x 2)=)122()122(21+--+-x x a a =12212212+-+x x =) 12)(12() 22(22121++-x x x x . 由于指数函数y=2x 在R 上是增函数,且x 1 所以2x 1<2x 2,即2x 1-2x 2<0. 又由2x >0得2x 1+1>0,2x 2+1>0, 所以f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1) 因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,f(x)为增函数. 指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51 ）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 11.已知三个实数a,b=a a ,c=a a a ,其中0.9 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数与指数函数 [基础训练] 1．函数f (x )＝a x ＋b －1(其中0 指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－ 2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜． 0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 课时作业8 指数与指数函数 一、选择题 1．化简4a 23 ·b － 1 3 ÷? ?????－2 3a － 13 b 23 的结果为( C ) A ．－2a 3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab 2．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0， x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1， 即? ????12a <8，即? ????12a 因为0<1 2<1，所以a >－3， 此时－3－2)与指数函数y ＝? ?? ??12x 的图象的交点个数是( C ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：因为函数y ＝－x 2 －4x ＝－(x ＋2)2 ＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2 －4x ＝4， y ＝? ????12x ＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝? ?? ??12 x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C. 5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝? ?? ??120.3，b ＝log 12 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关 系是( B ) A ．a 精品文档 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如 图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 例题4（中档题） 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 根式的化简与求值 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(n a )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定． n a ????? n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致 【典例1】化简下列各式： ①4 (x －2)4； ②5 (x －π)5. 【答案】见解析. 【解析】 ①4 (x －2)4 ＝|x －2|＝? ???? x －2，x ≥2， －x ＋2，x <2. ②5 (x －π)5＝x －π. 【典例2】化简下列各式： (1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3 【答案】见解析. 【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3 21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x > ．∴x 的取值范围是14?? + ??? ，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数2 16x y -=-的定义域和值域． 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6 x t -=，则1y t =-， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 指数及指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 结论：当n 是奇数时，a a n n =,当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r s a a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）()r r s ab a a =),0,0(Q r b a ∈>>． （二）指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． （三）指数函数的图象和性质 注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 一、指数 1、化简［32 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、化简1111132168421212121212-----??? ???????+++++ ???????????????????，结果是（ ） A 、1 1 321122--? ?- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、13212-- D 、1 321122-??- ??? 3、211 5 113 3 66 2 2 1()(3)()=3 a b a b a b -÷__________. 二、指数函数 3、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 4、若21 (5 )2x f x -=-，则(125)f = .4.2 指数和指数函数练习题及答案
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