平面三角形与空间四面体之间的类比
类比法
类比方法在数学解题中的应用陕西咸阳武功绿野高中 712203 王少华 康娟娟在高中数学学习过程中，类比的方法技巧经常出现在各种练习和考题中，它不仅仅提高了学生的学习效率及灵活性，而且为人类研究其他各类学科的问题提供了非常有参考价值的思路方法。
比如说梯形面积公式()()221n n a a n S n d d h S +=+=项和与等差数列前下上梯形无论从形式上还是推导方法技巧上都有惊人的相似之处，平面向量基本定理及坐标运算与空间向量基本定理及坐标运算一直到N 维柯西不等式的证明，三角形面积由平行四边形的推导，和三棱锥体积由三棱柱拆分求得等，都给人以某种遐思；林林总总的各种习题枚不胜举，下面结合自己在教学中的心得体会和搜集到的题目加以说明，以便帮助广大同学和各位同仁共勉。
一，类比在数列中的应用例1， 等差数列有如下性质：若{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn +∙∙∙++=21是等差数列，类比上述性质：若{}n a 是正项等比数列，则，则数列=n b 也是等比数列。
分析：由等差数列和的性质自然联想到等比数列积的性质评注：本题也可看作“算术平均数”到“几何平均数” 推广，考查的是知识的迁移能力例2， （1）设数列{}n a ，若()N n n n a a n n ∈≥=++,1,21，求证：{}{}122,-n n a a 是等差数列；（2）设数列{}n a ，若,21nn n a a =⋅+()N n n ∈≥,1,类比上述性质你能得到什么类似的结论，并证明你的结论。
（答案：{}{}122,-n n a a 是等比数列） 分析：由数列和的性质作差变形联想到等比数列作商变形评注：“和”对应“差”，“积”对应“商 ”，充分体现了辩证法思想，是类比的典范小结：等差数列往往表现为和的性质，等比数列往往表现为积的性质，二，类比在几何中的应用例3， 在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC 中角A 为直角，则有三边长的等量关系：222BC AC =+AB ，拓展到空间，研究以A 为顶点的三棱锥A-BCD ，当三条侧棱AB,AC,AD 彼此相互垂直时，三个侧面的面积与低面BCD 面积的关系如何呢？ 经过类比分析可以得出的结论应该是?（答案：2BCD 2ABD 22ABC S S S ∆∆∆∆=++ACD S ）分析：由“线”到“面”，由“长度”到“面积”，从二维到三维空间是我们学习中最常见的类比方法评注：形式上的平方和不变例4， 已知三角形ABC 中三边长分别为a,b,c 内切球半径为r ，则三角形ABC 面积()r c b a s ++=21，请你在三棱锥中写出一个类似的结论？答案是：设三棱锥A-BCD 四个面的面积分别为r s s s s 内切球半径为4321,,,，则有等量关系()r S S S S V BCD A 432131+++=- 例5， 在平面几何里设三角形ABC 中角A 为直角，于是有直角三角形的射影定理BC,DC AC BC BD AB D D,BC AD 22⋅=⋅=⊥且是垂足，则于类似的在空间立体几何学习中，在四面体ABCD 或者说三棱锥A-BCD 中，若有已知条件为：在底面内，为垂足，且底面平面O O BCD AO ABC AD ,,⊥⊥则你能由此得到什么类似的结论呢？解答 ：有结论为 BCDBOD ABD BCD COD ACD BCDBCO ABC S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅=222（证明从略）练习：1、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则232,,.....n n n n n S S S S S --成等差数列，类比得等比数列{}n a 前n 项和为n S ()0n S ≠，则232,,.....n n n n n S S S S S --2、矩形的一对角线长的平方和等于相邻边长平方和，那么长方体中有类似结论：例6， 在ABC t ∆R 中两直角边分别为a,b 斜边c 上的高为h ，则有结论：222111ba h +=如图，在正方体的一个角上截取三棱锥P-ABC,其中PO 爲棱锥的高，记2PO 1M =,记2221PB 1PA 1N PC ++=,那么M 与N 的大小关系为？答案：M=N三，类比法在向量中的应用在教材中平面向量一章有结论：“点P 在直线AB 上的充要条件是：对直线外任一点O 存在实数()st λλλ-+=1”，空间向量一章有结论：“点P 在ABC 面内的充要条件是：对空间任一点O 存在三个实数OC OB OA OP st 321321,,,λλλλλλ++=，其中三个实数满足条件：1321=++λλλ”练习1.当012,,a a a 成等差数列时，有01220a a a -+=；当0123,,,a a a a 成等差数列时，有0123330a a a a -+-=，当01234,,,,a a a a a 成等差数列时，有012344640a a a a a -+-+=由此归纳：当0123,,,a a a a ......n a 成等差数列时，有 （答案：()012012...10nn n n n n n C a C a C a C a -+++-=）；类比得：当0123,,,a a a a ......n a 成等比数列时，有 （答案：()0121012...1n nnnn nC C C C na aa a --=）2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式：()121219......19,n n a a a a a a n n N *-++=++<∈成立，类比上述结论，相应的在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式 答案：()121217......17,n n b b b b b b n n N*-=<∈3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。
三角形的性质定理在四面体中的推广_黄继芳
四面体 : 如图 1 , 在四面体 A - BCD 中, 设 S1, S 2, S 3, S 4 分别为 v ADC, v ADB, v BDC 和 v ABC 面积 . 又二面角 B - AD - C = A , A - BD - C = BA - DC -B = C , 则有 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 - 2S 1 S2 cosA - 2S2 S 3 cosB 2S 1 S 3 cosC .
图 1
图 2
于是问题得证 . 设面 DBC, 面 DA C, 面 DAB 与面 ABC 所成的角分别
图 3
四面体 : 如图 2 , 四面体 V - ABC 中 , 棱 VB 与面 ABC 和面 A VC 成的角分别为 A , B则 S v ABC S v A VC = . sinB sinA
16
为 A , B , C , 作 DO L 面 ABC 于 O, 过 O 作 OE L BC 于 E, 连 DE, 则 DE L BC ( 三垂线定理 ), N DEO = A . 在 R tv DOE 中, OE = DE # co sA .
[ 1]
252000 252000 ( 4 ) 三角形
黄继芳 魏清泉
[ 2]
: 三角形有外接圆, 其圆 心为外
心, 外心是各边的中垂线的交点. 外心到三角形各顶 点的距离相等 , 都等于外接圆的半径. 四面体: 四面体有外接球 , 其球心为外心, 外心 是各棱的中垂面的交点. 外心到四面体的各顶点的 距离相等 , 都等于球的半径. [ 2] ( 5 ) 三角形 : 三角形有内切圆, 其圆 心为内 心, 内心是各角的平分线的交点. 内心到各边的距离 相等 , 三角形面积 S = 1 ( a + b + c) @ r, 其中 a、 b、 2 c 为各边边长, r 为内切圆的半径 . 四面体: 四面体有内切球 , 其球心为内心, 内心 是各二面角的平分面之交点 . 内心到各面的距离相 1 等, V = ( S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ) @ r, 其中 V 为四面体 3 的体积, S 1, S 2, S 3, S 4 为各面面积 , r 为内切球半径. 以上的推广是比较普遍的, 也是大家所比较熟 悉的 , 但有关三角形的性质定理不止这些, 三角形的 其他性质定理是否也能类 比的推广到四面 体中去 呢, 答案是肯定的, 下面我们来研究三角形的其他性 质定理类比推广到四面体中 . 定理 1 . 1 三角形两边之和大于第三边 , 两边 之差小于第三边. [ 3] 定理推广 1 . 1 四面体三个面面积的和大于
盘点平面到空间的类比推理问题
角形 中的边 与 高 的 关 系 式 类 比 空 间 中两 两 垂 直 的棱 的 三棱 锥 中边 与高 的关 系 即可．
题 型 ３ 特殊 点 、 线、 面 关 系 类 比
为 斜边 上 的高 ， 则 一 ＋ ， 由此 类 比： 三 棱 锥
， ￡ “ Ｕ
ＡＢ Ｃ 中的 ３ 条侧棱 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两 两 垂 直 ， 且 长 度 分
例 ３ 设 Ｐ 是 Ａ ＡＢＣ 内 别 为 ｈ 、 ｈ Ｂ 、 ｈ ㈡ Ｐ 到 ３边
ｃ
的距离 依 次 为 ｌ 。 、 ｚ 、 ｌ ， 则
平 面 图形 与 空 间 图形 之 间 在 概 念 与性 质 上 有 些
类 似 的知识 与方 法 ， 许 多平 面几 何 中 的命 题 可 以推 广 成 立体 几何 中 的相 应 命 题 ， 它们往往将数学 知识、 方
则 ＋ 一 ３ ， 由 平 面 图 形 类 比到 空 间 图 形 ， 如 图
如图 １ ， 因为 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两两垂直 ， 且 长 度 分别 为 口 、 ｂ 、 ｆ ， 所以 Ｓ Ａ Ｌ面 Ｓ Ｂ Ｃ， 作 Ｓ Ｄ上
ｏ，
Ｂ ｃ ， 则ｓ Ａ Ｊ ＿ Ｓ Ｄ 且Ｓ Ｄ－ － 雨 ｂ ｃ ， 作Ｓ Ｏ ￣ Ａ Ｄ于
｝
法 和原 理 融 于一 体 ， 突 出对 数 学 思想 方 法 的 考 查 ， 体 现数学 的思维价 值 ． 以下 举例 说 明．
题型 １ 边 角关 系的 类 比
一 Ｊ －
去 ＾ Ａ ＋ 。 急 Ｂ ＋ 。 去 （ 一
类 比到 空 间 ， 设 Ｐ 是 四 面
③， 各个 面都 是 全 等 的正 三 角 形 ， 所 以各 面都 是 面 积 相等的三角形 ， 同一 顶 点 上 的 任 ２条 棱 的夹 角 都 相
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定 其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯 机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导 果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然 后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析 由已知中的图形可以得到： 当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4， 当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5， 当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6， 当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析 由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验 法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数 列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运 算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问 题，应当首先明确什么是大前提和小前提.
三角形到四面体性质的类比推广
外接球半径 ：
证明： 显然 ｓ ｉ ｎ ０ ｌ ＝ 旦
，
ｓ ｉ ｎ
， ｉ ｎ ０ ３ ： ，
Ｒ ＿ 争 争 ‘
内切圆半 径 ：
一
Ｒ ＝ ｝ ‘
内切球半径 ：
— —
。 ｉ ｎ ２ ０ ￣ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋ ｉ ｎ ２ ０ ３ ： （ 生） ＋ （ ） ： ＋ （ 生） ：
作者简介 ： 马建萍（ １ ９ ７ ２ 一 ） ， 女。 土族 ， 青海 乐都人 。青海师范大学数学 系 教授 。 王冉４ １ １ － （ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女。 河北衡 水人 。河北衡水市枣强县马屯 中学教师。
９１
马建萍
王冉冉 ： 三角形到 四面体性质的类 比推广
一Hale Waihona Puke 外接圆半径 ： 且满足 ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ １
直角侧 面与底 面的关系 ：
设面 Ｐ Ａ Ｂ、 Ｐ Ｂ Ｃ、 Ｐ ＡＣ与底面 ＡＢ Ｃ所 成的二面角依 次为 ａ 、 ７ ， 那么 ：
设 三棱 锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｃ的三 个 侧 面 Ｐ Ａ Ｂ 、 Ｐ Ａ Ｃ 、 Ｐ Ｂ Ｃ两两互相垂直 ，点 Ｐ在平面 Ａ Ｂ Ｃ上的射影
四面体 类比 推广
面体 的一 些类似结论 ， 并给 出部分性质的证明．
关键词 ： 三 角形
１ 引言
从直角三角形的性质出发 ， 通过类 比得到直
类 比法就是根据不同的两个对象之 间在某
角四面体的一些类似结论 ， 如下表所示：
直角三 角形 射影定理
ｄ ＝ ｃ ・ Ｂ Ｄ－ ｂ ・ Ａ Ｄ
已知直 角边求斜边 ：
已知直角棱求底 面积 ：
三角形类比四面体的相关结论
三角形类比四面体的相关结论近几年来高考数学命题的类比问题也已经从幕后走到前台，成为考查学生学习潜能的良好素材，在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用。
本文对三角形的性质在空间中类比推广做了进一步的探究，以期对大家有所启发，起抛砖引玉的作用。
题目.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想并证明。
（教74页例3）分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有三个面两两垂直的四面 体，作为直角三角形的类比对象，将直角三角形中的三边关系与四面体中的四个面的面积关系进行类比。
解：在Rt ▲ABC 中由勾股定理得222b a c +=，类比直角三角形的勾股定理可知：在四面体P －ABC 中，PA PC PC PB PB PA ⊥⊥⊥,,，则2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，证明：设c PC b PB a PA ===,,，则ab S PAB 21=∆，ac S PAC 21=∆，bc S PBC 21=∆，故PAB S ab ∆=2，PAC S ac ∆=2，PBC S bc ∆=2， 222222221a c b c b c b S ABC+++=∆22222221a c b a c b ++= 23222144421S S S ++=.232221S S S ++= 故2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++= 点评：从平面几何到空间几何，从二维平面到三维空间，应注意其相应的度量元素的变化，其次是从问题解决的办法寻找相似点作为问题解决的突破口．变式一。
在平面几何中有命题：“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？解：平面几何中该命题的证明方法：面积分割法，即将该点与三角形的三个顶点连接所得的3个小三角形面积的和等于正三角形的面积，化简可得PD ＋PE＋PF 为定值，即正三角形的高度。
三角形与四面体之间的类比关系探究
于点Ｅ， ＥＢ ＝ △ｃ ｓ Ｂ 如 图２ ． 则Ａ ，Ｅ ｓ Ｄ △ｃ ／ Ｄ（ ）
３在 四 面体 Ａ Ｃ ． Ｂ Ｄ中 ， Ｆ Ｇ分别 是 Ａ Ａ ， Ｄ 中点 ， Ｅ， ， Ｂ， Ｃ Ａ 的 则
Ｏ Ｂ Ｄ ＆ Ｃ ‘
：
—
—
过 程 中 ， 师 可 利 用 “ 何 画 板 ” 件 工 圆 教 教 几 软 具 ， 着 动 点 在 圆 周 上 反 复 运 动 ， 学 生 观 察 同 一 条 弧 所 拖 让 对 的 圆周 角 与 它 所 对 的 圆 心 角 的 大 小 关 系 ， 现 并 证 明 圆 发 周 角定理 。 三 、 过 小 组 合 作 的课 外 实 验 。 通 多角 度 探 究解 题 思路 问 题 是 数学 的心 脏 ，例 题 教 学 是 数 学 课 堂 教 学 的 基 本 组 成 部 分 。 果 在 例 题教 学 时 仅 仅 为 了结 论 而 讲 解 ． 略 解 题 思 如 忽 路 的形 成 过程 ， 么 学 生 对 知识 的 理解 就不 会 深 刻 。 因此 ， 那 教 师 应 鼓 励 学 生 大 胆 尝 试 ， 极 参 与 数 学 实 验 ， 多方 位 、 角 积 从 多 度 去 思 考 和 探索 。 比如 ， “ 量 建 筑 物 的高 度 ” 在 测 教学 过 程 中 ． 可 首 先 让 学 生分 小 组 讨 论 测 量 方 案 ： 自 己小 组 选 的 方 法 要 用
五 、 过 直观 模 拟 实验 ， 证 和 发 现 数 学 规律 通 验 数 学 新 课 程 内 容 更 注 重形 象 直 观 的 实 验 。 在课 堂教 学 中 。 教 师应 适 宜 地 将 教 学 环 节 设 计 为 模 拟 发 现 的 过 程 ，注 重 合 情 推理 。模 拟 发 现 的 教 学 模 式 一 般 包 括 以 下 四个 环 节 ： 设 “ 创 生 活一 数 学 ” 情 境 、 造 “ 手 一 操 作 一 实 验 ” 空 间 、 主 探 的 创 动 的 自 究 与 合作 交 流 、 想 与 验 证 。 比如 在 “ 纸 中 的学 问— — 经 验 猜 折 公式 的推 导 ” 教学 中 ， 让 学 生 用 正 方 形 薄 纸 片 、 度 尺 、 算 可 刻 计 器 和小 刀 ． 过重 复地 将 纸 片对 折 后 一 分 为二 的操 作 ， 学 生 通 让 计算 扔 掉 的第 ｎ 纸 片 的 面 积 和 余下 的 纸 片 面 积 ， 把 扔 掉 的 块 并
高二北师大数学选修22第一节归纳与类比1.2类比推理教学设计
第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。
会进行简单的类比推理。
3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。
提高归纳、类比联想的能力。
重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。
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平面三角形与空间四面体之间的类比
山西原平一中任所怀
“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。
新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。
虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。
如今总算可以放开手脚，大胆应用了。
在教学中，我进行了多种对象的类比。
在我的启发下，学生也主动进行了研究。
平面三角形与空间四面体是一组典型的类比对象。
现把我和学生的一些研究总结如下，希望能与更多的同仁进行探究。
首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。
二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。
一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。
二、三角形的任意两边之和大于第三边。
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。
三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。
任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。
四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。
任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。
且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为。
五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为
，高为
，外接圆半径为
，内切圆半径为。
外接圆半径是内切圆半径的2倍。
正四面体棱长为a时，表面积为
，高为
，外接球半径为
，
内切接球半径为。
外接球半径是内切球半径的3倍。
六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）如图1所示：G为
的重心。
且
任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。
（重心定理的推广）
如图2所示： E，F分别为
的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。
七、三角形中三个顶点的坐标分别为
，则它的重心坐标为。
向量证明
四面体中四个顶点的坐标分别为
，
，则它的重心坐标为。
八、三角形中有余弦定理：。
在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为
；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为。
则有。
余弦定理证明如下：
证明：在
中利用射影定理有
由上面三式得：
命题得证。
空间中的余弦定理类比证明如下：
证明：由空间的射影定理知
H为点A在平面BCD中的射影，则
同理有：
于是有
=
+
+
所以：。
点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。
充分体现了类比的“引路人”作用。
九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。
于是可利用余弦定理证明。
在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。
这是推广的勾股定理，它也正好是前面推扩的余弦定理的特殊情形。
于是它可利用推广的余弦定理证明。
十、三角形中有正弦定理：
证明：在
中，有
于是有
即：。
同理可证：。
而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为
，则。
证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。
则
就是AB与平面BCD所成角。
所以AH=AB。
所以
同理：
所以
即。
十一、已知点O是
内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于A’，B’，C’，则。
证明：如图5所示，
因为
与
同底，所以
同理：
；
所以
而在空间四面体ABCD中也可有类似命题：已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A’，B’，C’，D’, 则。
证明：如图6所示，
因为三棱锥O-BCD与三棱锥A-BCD同底; 所以
同理：
；
所以。