空间平面与平面位置关系ppt课件
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射线 射线
半平面 半平面
.
10
２、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图 形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角
.
11
３、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出 发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种 定义方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
DH=DGsin600
=CDsin300sin600
D
=100sin300sin600
≈43.3(米)
A
100m
30 0
600 H
.
C
G
B
.
1
一、两平面的位置关系：
位置关系 两平面平行
公共点 符号表示
没有公共点
a //
两平面相交 有一条公共直线
a a
图形表示
a
.
2
二、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1）平 平 面 行于 ，平 记 面 /作 /. ：
(2) 画法：
注意两平面平行的画法
l
O
B
A
α
γ
α
.
ββ
18
例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高 AD为折痕，将其折成一个 60 0 的二面角，求此时B、 C两点间的距离.
a 2
.
19
例2 如图，已知边长为a的等边三角形所在平 面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角
APBC的大小.
P D B
A
C
.
20
例３ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
答：沿直道前进100米，
升高约43.3米
24
例 6 、P 已 A 平 知 A面 ， B S P C B C S ,S AB C S ',
二P 面 B 角 C A 的平 ， 面求 角 Sc证 o 为 s S '：
.
Βιβλιοθήκη Baidu
25
例 7 、 已 A是 B 知 C 正 P 三 A 平 A 角 面 ,B 且 P 形 C A A， B a , 求二 A P面 C B 的 角 大小
过 B作 BN PC ,过 N 作 MN P交 CA于 CM 连 BM ,证 BM A,C 得 M 为 A中 C 点 arct6 an
.
26
一般地，二面角的平面角的取值范围如何？
[0o,180o]
β B
lO
A
α
.
16
４、思考：如图，过二面角α-l-β一个面内一点A， 作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线， 垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？
为什么？
β A
l
O
B
.
α
17
５、思考：如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分 别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的 平面角吗？为什么？
不应该这么画
.
3
2、判定：
探究：
（1）若 内有一条a与 直 平 线行，
则与平行吗？
a
a
（两平面平行） （. 两平面相交） 4
探究：
（ 2）若 内有两a、 条 b分 直 别 线 平 与 ,行
则 与 平行吗？
1.若 a//b时， 与 则 平行吗
a b
a
b
（两平面平行） （两平面相交）
.
5
探究：
2.若 abP时， 与 则 平行吗
C1 B1
D1 A1
C
D
O
B
.
A
21
例４、在300二面角的一个面内有一点，它到 另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm.
过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所 以 ∠ AOH
A
就是 二面角 α-EFβ的一个平面角， ∠ AOH=300 ，
.
14
２、以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角.
β B
lO
A
α
二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；
角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱
垂直.
.
15
３、二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面 角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角.
.
12
二面角的表示
４、一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，
其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都 叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-lβ，或α-AB-β”.
β
棱
A
面
l
α
B
.
13
（二）：二面角的平面角
１、把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相 邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可 得到不同的二面角，如何刻画这些二面角的大小？
α
F
OA=20cm.
βH .
EO 22
例５.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二 面角的度数）是60 ，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿30这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
它就是这个二面 角的平面角
A
C
D
B
αD
. 30 60H
AC
G
B
β
23
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
C1 B1
D
C
A
B
.
8
四、平面的相交
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的 角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点 认识这种现象？
公路
.
9
（一）：二面角的有关概念
１、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分 都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部 分，每一部分叫做半平面
b
Pa
.
6
三、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与
另一个平面平行，则这两个平面平行．
P
符号语言：
.
a
b a b
P
//
a //
b //
7
例 、 在A正 B C 方 A 1D B1 体 C1D 1中 ， 求 证 ： A 1B平 D //平 面 B 面 1D 1C
D1 A1
半平面 半平面
.
10
２、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图 形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角
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３、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出 发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种 定义方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
DH=DGsin600
=CDsin300sin600
D
=100sin300sin600
≈43.3(米)
A
100m
30 0
600 H
.
C
G
B
.
1
一、两平面的位置关系：
位置关系 两平面平行
公共点 符号表示
没有公共点
a //
两平面相交 有一条公共直线
a a
图形表示
a
.
2
二、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1）平 平 面 行于 ，平 记 面 /作 /. ：
(2) 画法：
注意两平面平行的画法
l
O
B
A
α
γ
α
.
ββ
18
例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高 AD为折痕，将其折成一个 60 0 的二面角，求此时B、 C两点间的距离.
a 2
.
19
例2 如图，已知边长为a的等边三角形所在平 面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角
APBC的大小.
P D B
A
C
.
20
例３ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
答：沿直道前进100米，
升高约43.3米
24
例 6 、P 已 A 平 知 A面 ， B S P C B C S ,S AB C S ',
二P 面 B 角 C A 的平 ， 面求 角 Sc证 o 为 s S '：
.
Βιβλιοθήκη Baidu
25
例 7 、 已 A是 B 知 C 正 P 三 A 平 A 角 面 ,B 且 P 形 C A A， B a , 求二 A P面 C B 的 角 大小
过 B作 BN PC ,过 N 作 MN P交 CA于 CM 连 BM ,证 BM A,C 得 M 为 A中 C 点 arct6 an
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26
一般地，二面角的平面角的取值范围如何？
[0o,180o]
β B
lO
A
α
.
16
４、思考：如图，过二面角α-l-β一个面内一点A， 作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线， 垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？
为什么？
β A
l
O
B
.
α
17
５、思考：如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分 别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的 平面角吗？为什么？
不应该这么画
.
3
2、判定：
探究：
（1）若 内有一条a与 直 平 线行，
则与平行吗？
a
a
（两平面平行） （. 两平面相交） 4
探究：
（ 2）若 内有两a、 条 b分 直 别 线 平 与 ,行
则 与 平行吗？
1.若 a//b时， 与 则 平行吗
a b
a
b
（两平面平行） （两平面相交）
.
5
探究：
2.若 abP时， 与 则 平行吗
C1 B1
D1 A1
C
D
O
B
.
A
21
例４、在300二面角的一个面内有一点，它到 另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm.
过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所 以 ∠ AOH
A
就是 二面角 α-EFβ的一个平面角， ∠ AOH=300 ，
.
14
２、以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角.
β B
lO
A
α
二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；
角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱
垂直.
.
15
３、二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面 角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角.
.
12
二面角的表示
４、一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，
其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都 叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-lβ，或α-AB-β”.
β
棱
A
面
l
α
B
.
13
（二）：二面角的平面角
１、把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相 邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可 得到不同的二面角，如何刻画这些二面角的大小？
α
F
OA=20cm.
βH .
EO 22
例５.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二 面角的度数）是60 ，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿30这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
它就是这个二面 角的平面角
A
C
D
B
αD
. 30 60H
AC
G
B
β
23
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
C1 B1
D
C
A
B
.
8
四、平面的相交
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的 角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点 认识这种现象？
公路
.
9
（一）：二面角的有关概念
１、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分 都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部 分，每一部分叫做半平面
b
Pa
.
6
三、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与
另一个平面平行，则这两个平面平行．
P
符号语言：
.
a
b a b
P
//
a //
b //
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例 、 在A正 B C 方 A 1D B1 体 C1D 1中 ， 求 证 ： A 1B平 D //平 面 B 面 1D 1C
D1 A1