空间图形的基本关系与公理(2)

符号语言 公理作用

P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上 二、判定点在线上的依据 . 9
3
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
公理 2 经过不在同一直线上的 文字语言 三点，有且只有一个平面.
图形语言 B A C
符号语言 不在同一条直线上的三点A、B、C⇒
有且只有一个平面α，使 A∈ 面α，B∈ 面 α ，C ∈ 面α 一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
7
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面

P
a
8
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言

P 且P
24
知识探究ห้องสมุดไป่ตู้平面的基本性质4
问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
文字语言 平行公理 平行. 图形语言
公理4平行于同一条直线的两条直线
a
b
c
符号语言 a // b, b // c a // c 公理作用
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
证明 ∵AB∩α＝P，
点评∴P证明多点共线的方法：利用公理 3，只需说 ∈AB，P∈平面 α. 明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面 ∴由公理 3 可知： 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 的交线上．
同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P、Q、R 三点共线．
22
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
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当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?
它体现了什么样的数学思想?
18
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线， 1 所以 FG//BD，FG BD . A H
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P， AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC 内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
D、相交成60°
C
C A D B
A
B(D)
20
当堂练习1：根据下列条件作图：
，A∈a； (1) A∈，a≠ ，b ，c，且a∩b＝A， (2) a≠ ≠ ≠
b∩c＝B，c∩a=C.
21
当堂练习 2 ：判断下列命题的真假，真的打“ √ ”， 假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）两条相交直线可以确定一个平面 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ） A、三角形 C、梯形 B、菱形 D、四边相等的四边形
12
又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
§4
空间图形的基本关系与公理 4.2空间图形的公理
1
知识探究：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
A
B
2
知识探究：平面的基本性质1 文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言 符号语言
A
B
l
公理作用
一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平 一、判定线在面内 面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是 判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内、点 或点在面内的依据 在直线上，则点在平面内. 二、检验平面 二是检验平面的方法
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注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b， 直线 l 与 a、 b 都相交， 求证： 过 a、b、l 有且只有一个平面．
分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
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知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
17
思考：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置
有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?
2
E
又因为EH是ΔABD的中位线
1 B 所以 EH // BD ，EH BD 。 2
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。 所以，四边形EFGH是平行四边形。
D
F G
C
19
理论迁移
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线
公理作用
5
思考交流 （1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定 一个平面吗？ B α LA C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ α A B Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
6
公理2 的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.
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如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
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空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
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知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明