空间图形的基本关系与公理 PPT
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空间图形的公理(公理1,2,3)
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
空间图形的基本关系与公理
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
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2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
空间图形的基本关系与公理(2)
符号语言 公理作用
P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面
P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面
P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
空间图形基本位置关系的认识 PPT
(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的 相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地 用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换 为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所 代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
置关系
点 B 在平面 α 外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 异面 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a∩_b_＝_O____ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩_α_＝_A____
__a_∥_α _
平面与平面的 位置关系
【例】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 线 AB 上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的 相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地 用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换 为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所 代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
置关系
点 B 在平面 α 外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 异面 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a∩_b_＝_O____ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩_α_＝_A____
__a_∥_α _
平面与平面的 位置关系
【例】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 线 AB 上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. 2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
3. A 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC. ∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a， b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
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(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. 2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
3. A 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC. ∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a， b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相