高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件
高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理二课件北师大版必修2
【训练 1】 在空间四边形 ABCD 中，如 图所示，AABE＝AAHD，CCFB＝CCGD，则 EH 与 FG 的位置关系是________．
解析 连接 BD，如图． ∵AAEB＝AAHD， ∴EH∥BD， 又∵CCFB＝CCGD， ∴FG∥BD， ∴EH∥FG. 答案 平行
• 答案 D
• 3．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相 异面的有________对．
• 解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四 边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不 可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条 侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异 面直线．
• 答案 8
•由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形． •当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； •当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. •故EF与AB所成的角为15°或75°.
•规律方法 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以 在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成 相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其 中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊 点． •(2)求异面直线所成的角的一般步骤： •①作角：平移成相交直线． •②证明：用定义证明前一步的角为所求． •③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直 线所成的角的范围．
•所以QD綊C1F. •所以四边形DQC1F为平行四边形． •所以C1Q綊FD. •又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD. •所以四边形B1EDF为平行四边形．
•规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义 法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有 公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如 三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性 质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线 都与这条直线平行．
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
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2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第2课时空间图形的公理4及等角定理ppt课件北师大版必修2
4．异面直线所成的角
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，
l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是
异面直线a，b所成的角
取值范围 异面直线所成的角θ的取值范围： 0，π2
特例 当θ＝ π 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 2
思考 2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
合作 探究 释疑 难
公理 4 的应用 【例 1】 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的 边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
[解] (1)证明：如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH∥BD，EH＝21BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， ∴FG∥BD，FG＝21BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
70°或 110° [若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.]
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大 小为________．
45° [∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1 为直线 AA1 与 BC1 所成的角，其 大小为 45°.]
1．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是
() A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[答案] D
2．已知 a，b 是平行直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( ) A．不平行 B．相交 C．平行 D．垂直 C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2ppt课件全省公开课一等奖
答案：D
4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( ) A．0°<α<90° B．0°<α≤90° C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B. 答案：B
5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的 序号为________．
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解．
跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A ＝70°，则∠B＝________.
解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝ ∠B或∠A＋∠B＝180°.
因为∠A＝70°， 所以∠B＝70°或∠B＝110°. 故填70°或110°. 答案：70°或110°
类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分 别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大 小．
由(*)知MD1綊BN， 所以四边形MBND1为平行四边形.
方法归纳
在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
跟踪训练
1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件北师大版必修2
OA OB OA OC 证明： ∵OA1＝OB1，OA1＝OC1，
OA OB OC ∴OA1＝OB1＝OC1. 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB， A1C1∥AC， ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1.
求异面直线所成的角 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角． [思路探究] 找作异面直线的平行线 ―→ 确定所求的角 ―→ 构造找出含该角的三角形 ―→ 解三角形求角
等角定理
空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 条 边 分 别 _对__应___平__行___ ， 那 么 这 两 个 角 __相__等__或__互__补___．
[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐 角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供 了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
符号语言 若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线 平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法 方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内， 二要证两直线没有公共点． 方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第二课时 公理4与等角定理高效测评
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系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分，共20分）1．下列结论正确的是( ）①在空间中,若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析: ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．答案：B2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ）A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：由题意知,这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．答案：B3．如图，α∩β＝l，aα，bβ,且a,b为异面直线，则以下结论正确的是( )A．a,b都与l平行B．a,b中至多有一条与l平行C．a,b都与l相交D．a,b中至多有一条与l相交解析：如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾,故a，b中至多有一条与l平行．答案：B4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点,则下列判断正确的是( ) A．MN≥错误!（AC＋BD）B．MN≤错误!(AC＋BD）C．MN＝错误!(AC＋BD）D．MN＜错误!（AC＋BD）解析：如图，取BC的中点H,据题意有MH＝错误!AC，MH∥AC，HN＝错误!BD，HN∥BD。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定
第2课时 空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)[基础·初探]教材整理1 公理4阅读教材P 25“公理4”部分，完成下列问题. 1.条件：两条直线平行于同一条直线. 2.结论：这两条直线平行. 3.符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .已知a ，b 是平行直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( ) A.不平行 B.相交 C.平行D.垂直【解析】 若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不与b 平行. 【答案】 C教材整理2 等角定理阅读教材P 26“等角定理”部分内容，完成下列问题. 1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行. 2.结论：这两个角相等或互补.空间中一个角A 的两边分别与另一个角B 的两边对应平行，若A ＝70°，则B ＝______. 【解析】 若A 的两边与B 的两边方向均相同或均相反，则B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B ＝110°.【答案】 70°或110° 教材整理3 异面直线所成的角阅读教材P 26有关部分，完成下列问题.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与BC 1所成的角的大小为________. 【解析】 ∵BB 1∥AA 1，∴∠B 1BC 1为直线AA 1与BC 1所成的角，其大小为45°. 【答案】 45°[小组合作型]如图的边AB ，BC ，CD ，DA的中点.图1411(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .【导学号：39292020】【精彩点拨】 (1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明. (2)若四边形EFGH 是矩形，则EH ⊥GH ，从而推知AC ⊥BD . 【自主解答】 (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.[再练一题]1.已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.图1412求证：四边形MNA′C′是梯形.【证明】连接AC(图略).∵M，N为CD，AD的中点，∴MN═∥12 AC.由正方体性质可知AC═∥A′C′，∴MN═∥12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.如图1413，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图1413(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴AD═∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM═∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1═∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1═∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.[再练一题]2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.图1414【证明】取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.[探究共研型]探究1图1415【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角.探究2 a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.如图1416，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小.图1416【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD ，BC 平移到同一平面内解决.【自主解答】 如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点， 所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ， 则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角. 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1， 在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.[再练一题]3.如图1417，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E ，F 分别是BD 1和AD 的中点，则异面直线CD 1，EF 所成的角的大小为________.图1417【解析】 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵E 是BD 1的中点， ∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. 【答案】 90°1.下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A.①②③B.②④C.③④D.②③【解析】 ①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的传递性可知.【答案】 B2.如图1418所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，B 1B ，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )【导学号：39292021】图1418A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1B∥EF，BC1∥GH，所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】 B3.已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，命题正确的是________.【解析】①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.【答案】①4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30°角的异面直线有________条.【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的所有直线都与l成30°角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.【答案】无数5.如图1419，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.图1419(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？【解】(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.4.1 空间图形的基本关系与公理课件 北师大
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那 么直线a与直线c也一定是异面直线. ( ) (2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面必重合. ( ) (3)平面α与平面β会只有一个公共点. ( ) (4)不共线的四点最多可确定4个平面. ( ) (5)两两相交的三条直线必共面. ( )
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五 易错辨析
解析:因为M∈A1C,A1C⫋平面A1ACC1, 所以M∈平面A1ACC1. 因为M∈平面BDC1,且平面A1ACC1∩平面BDC1=C1O,所以 M∈C1O.故选C. 答案:C
探究一
探究二
探究三
探究五公理4的应用
探究四
探究五 易错辨析
【例5】如图所示,点P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是 △PAB和△PBC的重心.求证DE∥AC,DE= 1 AC.
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⫋α,∴B∈α. 同理可证C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l3⫋α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五 易错辨析
方法二:(重合法)
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⫋α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⫋β,∴A∈β.
公 理
如果一条直线上的两 点在一个平面内,那么 这条直线在此平面内
2 (即直线在平面内)
图形语言
符号语言 A,B,C 三点不共线⇒ 有且只有一个平面 α,使 A∈α,B∈α,C∈ α
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3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线中，与AD1成60°角的有________ 条．
解析： 在所有面对角线中，除AD1，A1D，BC1和B1C四条以外，其余8条 均与AD1成60°的角．
答案： 8
数学 必修2
第一章 立体几何初步
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数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
第二课时 公理4与等角定理
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1．在平面几何中我们知道，同一个平面内平行于同一直线的两直线平行，结 合长方体中的棱的关系想一想，这样的结论在空间还成立吗？
[提示] 仍然成立．
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2.如图是一个三棱台 ABC－A′B′C′，对于∠BAC 和∠B′A′C′来说， 它 们 的 两 边 是 什 么 关 系 ？ 这 两 角 的 大 小 有 什 么 关 系 ？ 对 于 ∠ ABC 和 ∠
4．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点，如右图 所示．
求证：BF 綊 ED1.
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证明： 取 BB1 的中点 G，连接 GC1、CE. ∵F 为 CC1 中点， ∴BG 綊 C1F， ∴四边形 BGC1F 为平行四边形， ∴BF 綊 GC1，
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[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐 角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供 了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
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异面直线所成的角
定义
取值范围 特例
过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l1，l2(a∥l1， b∥l2)，这两条相交直线所成的_锐__角___或__直__角__就是异面直线 a、b 所成的角．
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2．两条异面直线不可能( )
A．同垂直于一条直线
B．同平行于一条直线
C．同平行于一个平面
D．与一条直线成等角
解析： 由公理4知，平行于同一直线的两直线平行，故两异面直线不能同
平行于一条直线．
答案： B
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等角定理
空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 条 边 分 别 _对__应___平__行___ ， 那 么 这 两 个 角 __相__等__或__互__补___．
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ห้องสมุดไป่ตู้
[自主练习]
1．空间任意两个角 α，β 且 α 与 β 的两边对应平行，α＝60°，则 β 为( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或 120°
答案： D
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2．理解平行公理(公理 4)和等角定理． 3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三 角形中求简单异面直线所成的角．
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公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
异面直线所成的角 θ 的取值范围_0_°__<_θ_≤_9_0_°_. 当 θ＝_9_0_°_时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
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[强化拓展] 求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线 至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合 运用多种方法，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线； 平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平 行线若在外，补上原体在外边．
又∵EG 綊 A1B1，A1B1 綊 C1D1.
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∴EG 綊 D1C1，
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∴四边形 EGC1D1 为平行四边形， ∴ED1 綊 GC1，
∴BF 綊 ED1.
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符号语言 若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
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[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线 平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法 方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内， 二要证两直线没有公共点． 方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.
A′B′C′、∠ACB 和∠A′C′B′呢？
[提示] ∠BAC与∠B′A′C′的对应边互相平行，∠BAC＝∠B′A′C′，对于另 外两组对应角也是同样的关系．
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1．了解空间中两条直线的三种位置关系．理解两异面直线的定义，会用平面 衬托来画异面直线．