北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章441 空间图形基本关系的认识42 空间图形的公理一 含

§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理(一)1．空间图形的基本位置关系的认识(1)空间图形的基本关系主要指的是：空间中点与直线，点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．(2)空间点与直线的位置关系点与直线的位置关系图形表示符号表示点在直线上B∈l点在直线外B∉l(3)空间点与平面的位置关系点与平面的位置关系图形表示符号表示点在平面内B∈α点在平面外A∉α2.空间图形的公理(1)公理1①文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．②图形语言：③推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．④结论：公理1及其推论给出了确定平面的依据．(2)公理2①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．②图形语言：③符号语言：若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα.④直线与平面的位置关系：直线AB在平面α内，即AB平面α；直线AB与平面α相交于点B，即直线AB∩平面α＝B；直线AB与平面不相交，即平行，表示为AB∥平面α.(3)公理3①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．②图形语言：③符号语言：若点P∈α，且P∈β，则存在直线l，使得α∩β＝l，且P∈l.④平面与平面的位置关系：两个平面重合，两个平面相交于一条直线(相交平面)，两个平面不相交(称这两个平面平行)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)四边形一定是平面图形．()(2)两条相交直线确定一个平面．()(3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.()(4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共点．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．点P在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为()A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα答案：D3．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案：D4．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A__________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC__________平面ACD＝AC.答案：∈∉⊆/∩1．从集合角度认识点、线、面之间的关系点、线、面之间的关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用,⊆/表示．2．公理1的意义及推论(1)意义：公理1及三个推论是空间里确定一个平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，是立体几何中解决一部分问题的主要的思想方法．(2)三点注意：①“确定”的含义和“有且只有”的含义是一样的，“有”表示“存在”，“只有”表示“唯一”．②推论1和2实际上是公理1的等价形式，是由公理1直接推出来的．③推论3要结合初中已学过的平行线的概念和公理1来得出．3．公理2的意义及作用(1)意义：公理2说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它是判断直线在平面内的依据．(2)作用：公理2常常与公理1结合起来证明多线共面问题．应用时，先用公理1确定一个平面，再用公理2证明其他的线也在这个平面内．4．公理3的意义及作用(1)意义：公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法，结合公理2我们知道两个平面只要有了2个交点，就可以确定交线了．(2)作用：公理3也常常用来作为证明“多点共线问题”和“多线共点问题”的依据．即证明“点”在“直线”上时，常常要说明“点”是两个平面的“交点”，而“直线”是两个平面的“交线”．空间图形的基本关系观察长方体ABCD-A′B′C′D′，回答下列问题．(1)直线B′C′和BC；直线AB和BC；直线AB和B′C′，分别是什么关系？(2)直线AB和平面ABCD；直线A′A和平面ABCD；直线A′B′和平面ABCD，分别是什么关系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C，分别是什么关系？[解](1)直线B′C′和BC在同一个平面内，但没有公共点，所以B′C′∥BC；直线AB和BC只有一个公共点，所以直线AB和BC相交；直线AB和B′C′不同在任何一个平面内，所以直线AB和B′C′既不平行也不相交．(2)直线AB和平面ABCD有无数个公共点，所以AB平面ABCD；直线A′A和平面ABCD 只有一个公共点，所以A′A与平面ABCD相交；直线A′B′和平面ABCD没有公共点，所以A′B′∥平面ABCD.(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C没有公共点，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C；平面ABCD 和平面BB′C′C不重合，但有公共点，所以平面ABCD和平面BB′C′C相交．(1)空间的两条直线有如下三种关系：①共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；②异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作l⊆/α.(3)两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．1.(1)下列说法正确的是()A．线段AB在平面α内，直线AB不在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面(2)①根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：a．A∈α，B∉α；b．lα，m∩α＝A，A∉l.②将“直线l不在平面α内，过l的平面β与平面α交于直线a”表示为符号语言，并画出相应的图形．解：(1)选D.线段AB在平面α内，直线AB一定在α内，故A错；平面α和β若有一个公共点，则平面α和β要么重合，要么相交，故公共点有无数个，B错；若三点共线，则此三点可确定无数个平面，C错，故选D.(2)①a.点A在平面α内，点B不在平面α内，如图所示．b．直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图所示．②符号语言：l⊆/α，lβ，α∩β＝a.图形如图：点、线共面问题已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．[解]根据公理1的推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面．若本例中条件改为“直线a，b，c两两平行”，则经过其中2条直线的平面有多少个？解：若三条平行线在同一个平面内，则经过其中2条的平面只有一个；若三条平行线不共面，则经过其中2条直线的平面有3个，故有1个或3个．解决点、线共面问题的基本方法2.已知：如图，直线a ∥b ，直线l ∩a ＝A ，直线l ∩b ＝B .求证：直线a ，b ，l 共面．证明：法一：(纳入法)：⎭⎪⎬⎪⎫直线a ∥b ⇒a ，b 确定平面αl ∩a ＝A ⇒A ∈a l ∩b ＝B ⇒B ∈b⇒⎭⎪⎬⎪⎫A ∈α，B ∈αA ∈l ，B ∈l ⇒lα⇒a ，b ，l 共面．法二：(重合法)：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b ⇒a ，b 确定平面αa ∩l ＝A ⇒a ，l 确定平面βα，β都经过点B 和直线a ，点B ∉a ⇒平面α，β重合⇒a ，b ，l 共面．多点共线、多线共点问题如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、E 、F 分别是棱CD 、AB 、DD 1、AA 1上的点，若MN 与EF 交于点Q ，求证：D 、A 、Q 三点共线．[证明] 因为MN ∩EF ＝Q ， 所以Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又因为M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD平面ABCD ，AB平面ABCD .所以M、N∈平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．(1)证明多点共线问题的两种常用方法①首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在直线上．(2)空间中证明三线共点的两种方法①先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，从而该点在它们的交线上，得到三线共点．②先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于一点，再证这两点重合，从而得到三线共点．3.(1)已知P在平面α外，A，B，C在平面α内且不共线，A′，B′，C′分别在P A，PB，PC上，若直线A′B′，B′C′，A′C′与平面α分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上(2)如图，α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l交于一点．解：(1)选D.如图，设平面A′B′C′∩平面α＝l，有D∈l，E∈l，F∈l，故D，E，F三点共线．(2)证明：如图，在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E，因为ABα，CDβ，所以E∈α，E∈β.又α∩β＝l，所以E∈l，即AB，CD，l交于一点．思想方法分类讨论思想在确定平面问题中的运用两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[解](1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，a，b，c，d在同一平面内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示：因为这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，所以cα.同理可证dα.所以a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．(1)分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类标准，多级分类讨论时，注意分类的层次．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则．1．下列叙述中错误的是()A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈lB．一点和一条直线只能确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．圆上三点可以确定一个平面答案：B2．对不重合的平面α，β，下列结论错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l⊆/α，A∈l，则A∉αD．若A∉α，A∈l，则l⊆/α解析：选C.C错误，当l∩α＝A时，l⊆/α，A∈l，A∈α.3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．解析：由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．答案：14.如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：FE，HG，DC三线共点．证明：连接HE，C1B，由题意知HC1═∥EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，故GF═∥12C1B，所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交．设交点为K，因为K∈HG，HG平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD.因为K∈EF，EF平面ABCD，所以K∈平面ABCD.因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC.所以K∈DC，所以FE，HG，DC三线共点．,[学生用书P93(单独成册)])[A基础达标]1．若直线aα，直线bα，M∈l，N∈l，且M∈a，N∈b，则()A．lαB．l⊆/αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.由M∈a，N∈b，aα，bα知M∈α，N∈α，由公理2知lα.故选A.2．三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．给出以下三个命题：①若直线a平面α，直线b平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；②若α∩β＝l，直线a平面α，直线b平面β，且a∩b＝P，则P∈l；③若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①②B．②③C．③D．②解析：选D.对于①，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，a与b 异面；对于②，正确；对于③，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故③错．所以正确的是②.6．文字语言叙述“平面内有一条直线a，则这条直线上一点A必在这个平面内α”用符号表述是________．解析：点与线或面之间的关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合之间的关系，用“”表示．故应表示为⎭⎪⎬⎪⎫aαA ∈a ⇒A ∈α.答案：⎭⎬⎫aαA ∈a ⇒A ∈α7．在空间中：①球面上任意三点可以确定一个平面； ②圆心和圆上任意两点确定一个平面； ③平行四边形是平面图形．正确的说法是________(将你认为正确的说法的序号都填上)．解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，①正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，②错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，③正确．答案：①③ 8．给出下列说法：①和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a 都相交的两直线不一定在同一个平面内，故①错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；对于④可以证明，只有④正确．答案：④ 9.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝a ，γ∩α＝b ，若直线a 和b 不平行，求证：a ，b ，c 三条直线必过同一点．证明：因为α∩γ＝b ，β∩γ＝a ，所以aγ，bγ.由于直线a 和b 不平行，所以a ，b 必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为aβ，bα，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线必过同一点．10．如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA，交A1D1于点M；连接GC，交C1D1于点N；连接MN，AC.则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．图①(2)画法：连接EF交DC延长线于点P，交DA延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1即为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．图②[B能力提升]11.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l，又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均错解析：选C.因为C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，所以R∈γ.而C∈β，lβ，R∈l，所以R∈β，所以点C，点R为γ与β的公共点，所以β∩γ＝CR.故选C.12．平面α，β的公共点多于两个，则以下三个判断中不成立的有________个．①α，β至少有三个公共点；②α，β至少有一条公共直线；③α，β至多有一条公共直线．解析：由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①成立；②成立；③不成立．故不成立的有1个．答案：113．如图，已知有公共边AB的两个全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，M，N分别是对角线AC，BF上的点，求证：A，C，M，N四点共面，并作出它们所确定的平面与平面CBE的交线．解：连接AN，CN.由题意可知AC∩AN＝A，所以直线AC与直线AN确定平面ACN.又M∈AC，所以M∈平面ACN，即A，C，M，N四点共面，该平面即为平面ACN.要确定两个平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到．延长AN交BE的延长线于点G.因为G∈BE，BE平面CBE，所以G∈平面CBE.又G∈AN，AN平面ACN，所以G∈平面ACN，即G为平面ACN和平面CBE的公共点．又C∈平面CBE，C∈平面ACN，所以CG为两个平面的交线．14．(选做题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，BB1的中点，试作出过M，N，P三点的截面．解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线，如图所示，NQ是平面α与平面A1B1C1D1的交线．设MP∩A1A＝F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD＝H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线，HN是平面α与平面A1D1DA的交线．综上可知，平面PMHNQ就是过M，N，P三点的截面．。