北师大版数学高一必修二第一章几何体综合练习题
北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤ B ．12sin sin 1θθ+≥ C ．122πθθ+≤ D ．122πθθ+≥2．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行；②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直；③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面；④一定存在过AB 且与α垂直的平面β.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB//α；D ．直线OA 与平面α17.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ）A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π 6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ）A ．[322，5]B ．[5，22]C ．[324，6]D ．[6，22] 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为53 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105 D ．直线1AC 与平面BDM 相交8．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1410．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323πD ．该四面体内切球的表面积为2π11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．212．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =+m n α，其中m ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.15．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．16．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____17．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________． 18．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.19．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.20．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题21．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，22AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.22．如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．23．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.24．如图，在三棱锥M 中，M 为BC 的中点，3PA PB PC AB AC =====，26BC =.（1）求二面角P BC A --的大小；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值.25．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积. 26．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项.【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 2．C解析：C【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误；对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确．故真命题的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．3．C解析：C【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ．∴ PBCM 是平行四边形，∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===， ∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 4．C解析：C【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB//α，得C 错误；设AB a ，结合题意知AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确.【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所22OA OB AB =+，又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB//α，故C 不正确；设AB a ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+=，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α所成角的正弦值为171717a =，故D 正确. 故选:C.【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.5．B解析：B【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =，故1//EF D C ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点，所以DF CF ===，故3cos 5DFC ∠==，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDO O 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDO O 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD=故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.6．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM ===同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.7．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan 2AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =，不满足勾股定理，不是直角三角形C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.8．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 3310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.9．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.10．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===,所以222(22)2,3R R =+∴= 所以外接球的体积为34(23)3233ππ⨯=，所以选项A 错误； 所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误； 由题得22(42)(22)210AC AD ==+= 所以△ACD △24026-=，设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以22r， 所以内切球的体积为3422)323ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()22ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .11．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.12．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误． 故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径． 【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=．设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ， 则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6． 6 【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====可得111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112A C B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '==，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O B O C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=，由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=，所以球心恰好为点O ，所以球的半径为22，所以该三棱台外接球的表面积为24(22)32ππ=. 故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积. 【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===， ,CD AD CD BD ∴⊥⊥，22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥， ,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.16．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A 解析：[3,3]【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案． 【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝3|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值， 于是，有63ACB ππ≤∠≤，∴sin6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤3而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝3∠ACB ． ∴33S ≤≤．故答案为：[3,3] 【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键.17．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==， 设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【分析】取PA的中点E连接EBEC推出PA⊥平面BCE故点M的轨迹为线段CE解出即可【详解】取PA的中点E连接EBEC因为几何体是正四面体P﹣ABC所以BE⊥PAEC⊥PAEB∩EC＝E∴PA⊥平面解析：3【分析】取PA的中点E，连接EB，EC，推出PA⊥平面BCE，故点M的轨迹为线段CE，解出即可．【详解】取PA的中点E，连接EB，EC，因为几何体是正四面体P﹣ABC，所以BE⊥PA，EC⊥PA，EB∩EC＝E，∴PA⊥平面BCE，且动点M在正四面体侧面PAC上运动，总保持MB PA⊥，∴点M的轨迹为线段CE，正四面体P﹣ABC的棱长为2，在等边三角形PAC中求得CE＝323⨯=.故答案为：3【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．19．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.20．【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形且两条直线边长为长接下来利用勾股定理即可求出AB 的长然后利用直角三角形的性质进行解答即可【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得为直角三角形且两条直 解析：732【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形，且两条直线边长为长3,8AC BC ==，接下来利用勾股定理即可求出AB 的长，然后利用直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得ABC ∆为直角三角形，且两条直角边的长3,8AC BC ==， 由勾股定理可得73AB =故三角形AB 边上的中线长为732， 故答案是732. 【点睛】本题是一道关于平面几何图形的直观图的题目，解答本题的关键是熟练掌握斜二测画法的相关知识.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）823. 【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算， 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =， 所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且22AD =∴1182422333PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．22．（1）见详解；（2）见详解；（3）107 【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP ⊥平面PBC ，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC . (3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积. 【详解】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD 平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MDAP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝， 所以BC ⊥平面APC . (3)因为AP ⊥平面PBC ，MDAP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高. 因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形， 所以310,53PB MB MD ==== 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得221PC ＝ 于是1114221221222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝112215310733D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝【点睛】关键点睛：三棱锥的体积直接求不便时，常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.23．（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）可由PD BD ⊥，PA BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，故BD AD ⊥，再由BD BC ⊥和PD BC ⊥可得BC ⊥平面PBD ，从而面PBC ⊥面PBD （2）可利用1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===，进行转化求体积. 【详解】解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 又PA BD ⊥，PAPD P =，平面PD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥.在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，所以BD BC ⊥.由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 而BDPD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）可知，BD AD ⊥，而45DAB ∠=，则ADB △为等腰直角三角形，又4AB =，所以22PD BD AD ===，连接AC ，由点,M N 分别是,PA PC 的中点，所以PMN PAC 且12MN AC =， 所以14PMNPAC SS =，则1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===， 在平行四边形ABCD 中，1222242ABCABDSS==⨯=， PD 为三棱锥P ABC -的高，所以1182422333P ABC ABCV SPD -=⨯=⨯⨯=， 所以三棱锥P MBN -的体积为1224P MBN P ABC V V --==。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(有答案解析)(5)
一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A 5B ．2C 3D 22．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．903．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且,,PA PB PC 的长分别为,,a b c ，又2()2a b c +=，侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．10πB ．40πC ．20πD ．18π4．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A 3B 6 C 5 D ．236．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．167．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ）A ．23+B ．223+C ．63D ．68．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的表面积（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π9．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．4310．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE11．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43 B ．83C ．3D ．412．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11B C CB 所成角的正弦值是______.14．已知ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且1AC BC ==，2AB =，S 是球面上异于A ､B ､C 的一点，且SA ⊥平面ABC ，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面ABC 的距离为____________.15．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．16．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3APD BAD π∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．19．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．20．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________. 三、解答题21．在如图所示几何体中，平面PAC ⊥平面ABC ，//PM BC ，PA PC =，1AC =，22BC PM ==，5AB =．若该几何体左视图（侧视图）的面积为34．（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S ； （2）求出多面体PMABC 的体积V ．22．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.23．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=，已知2PB PD ==，6PA =，E 为PA 的中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）求二面角B PC E --的余弦值； （3）求三棱锥P BCE -的体积.24．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.25．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.26．在三棱锥P ABC -中，G 是底面ABC 的重心，D 是线段PC 上的点，且2PD DC =.（1）求证：DG//平面PAB ；（2）若PAB △是以PB 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG 与PB 所成角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出AO OE ===13OE CE ==x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知AB AC AD ===45AEC ∠=，设底面边长为2x ，则DE x =，则AE =则在等腰直角三角形AOE 中，AO OE ===，O 是底面中心，则133OE CE ==，3=，解得x =则1AO =，底面边长为2=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．A解析：A 【分析】将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和2()a b c +=a b =，进而得到c =，带入体积公式求得2,a b c ===24S R π=求出外接球的表面积. 【详解】解：211166()643V abc ab ab a b ab ==⋅⋅=+，当且仅当a b =时取等号， 因为侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，则2PC a c ==，21623V a a ∴=⨯=2,a b c ∴===所以2222410R a b c =++=， 故外接球的表面积为10π. 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可.【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==，4AN =，故()224232R =+=2441872S R πππ==⨯=.故选:D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法. 5．B解析：B【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d .【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBD S BD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EB C S =⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B.【点睛】方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法：（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长； （2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离； （3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a nd n ⋅=.6．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1(64)4323V =⨯⨯⨯=. 故选C ．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 7．A解析：A【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==，2AC =，222BD BE DE =+=，所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=， 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=， 等边ABD △的面积为()233242⨯=， 等边BCD △的面积为()2332⨯=， 所以该几何体的表面积是331123+++=+， 故选：A. 8．C解析：C【分析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积.【详解】设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -的棱长为22222⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为23R =3R =，该球的表面积为2412S R ππ==.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 9．D解析：D【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得3BCD S ≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅ 因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin120223BCD S BC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60， 所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCD V S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.10．C解析：C【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.11．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】-，由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】 方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解.【详解】如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则2BE ==，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，AB =2AE BE ==，由余弦定理可得222cos 2AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅.因此，异面直线AB 与CD 故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11B C CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，进而可得答案.【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B A C ==，111A D B C ∴⊥，又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11B C CB ，1A B ∴在平面11B C CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B A C 中，1112212122B C A D ===， 1Rt A BD ∴中，1112102sin 5A D A BD AB ∠=== 10 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 14．【分析】根据题中的垂直关系确定球心再根据球的表面积公式计算再求点到平面的距离【详解】由并且平面平面且平面是直角三角形和的公共斜边取的中点根据直角三角形的性质可知所以点是三棱锥外接球的球心设则则三棱锥 解析：142【分析】根据题中的垂直关系，确定球心O ，再根据球的表面积公式计算SA ，再求点O 到平面ABC 的距离.【详解】由222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，并且SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，SA BC ∴⊥，且AC SA A ⋂=BC ∴⊥平面SAC ，BC SC ∴⊥，SB ∴是直角三角形SBC 和SAB 的公共斜边，取SB 的中点O ，根据直角三角形的性质可知OA OB OC OS ===，所以点O 是三棱锥S ABC -外接球的球心，设SA x =，则211222r SB x ==+， 则三棱锥S ABC -外接球的表面积2416S r ππ==，()21264x +=，解得：14x =, 点O 到平面ABC 的距离11422d SA ==.故答案为：142【点睛】 方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.15．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案.【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CDS A B Sh '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.16．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平 6【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ，∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥， 又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以2BO =，2AO EO ==，22AE =，//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,22EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，22222cos 4542242102OD AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 22222cos135********OF EF EO EF EO =+-⋅︒=++⨯⨯⨯=， 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅6621222==-⨯⨯， 所以异面直线BD 和AE 所成角的余弦为6． 故答案为：66.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．【分析】根据棱锥的性质证明的中点就是三棱锥的外接球球心得出半径后可求表面积【详解】取中点中点连接则因为底面所以平面是菱形则所以是的外心又底面平面所以所以到四点距离相等即为三棱锥的外接球球心又所以所以解析：16π． 【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求表面积． 【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心． 又2PD =，3APDπ∠=，所以24cos3PA π==，所以2MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=． 故答案为：16π．【点睛】结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，113333PO BO ==， 设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得233R =，故21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为解析：①②③ 【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错. 【详解】 ①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP ⊂平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥， 又因为AC BD ⊥且1DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确； ③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC B C C ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ， 又因为PC ⊂平面1AB C ，所以1BD PC ⊥，故③正确， 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.20．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、解答题21．（1）主视图（正视图）见解析，33S =；（2）3V =. 【分析】（1）根据侧视图计算出PAC △的边AC 上的高，进而可作出几何体PMABC 的主视图，利用梯形的面积公式可求得几何体的主视图的面积；（2）分别取AC 、PC 的中点O 、N ，连接PO 、AN ，推导出AN ⊥平面BCPM ，计算出AN 和梯形BCPM 的面积，利用锥体的体积公式可求得多面体PMABC 的体积V . 【详解】（1）在几何体PMABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，设PAC △的边AC 上的高为h ，则该几何体的侧视图的面积为1324AC h ⋅=，得32h =， 又因为22BC PM ==，所以，该几何体的主视图（正视图）如下图所示：由图可知，该几何体的主视图为直角梯形，其面积为()1233322S +⨯==⨯； （2）分别取AC 、PC 的中点O 、N ，连接PO 、AN ，如下图所示：PA PC =，O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，由（1）可知，32PO h ==，1122AO CO AC ===，由勾股定理可得221PC PA AO PO ==+=，所以，PAC △为等边三角形，N 为PC 的中点，AN PC ∴⊥，且3sin 602AN AC ==. 1AC =，2BC =，5AB =222AC BC AB ∴+=，BC AC ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面PAC ，AN 、PC ⊂平面PAC ，BC AN ∴⊥，BC PC ⊥， PC BC C =，AN ∴⊥平面BCPM ， //PM BC ，PM PC ∴⊥，所以，梯形BCPM 的面积为()322BCPM BC PM PC S +⋅==梯形，因此，11333332BCPM V S AN =⋅=⨯=梯形.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．22．（1）200π（2）80 【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=， 即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ，则R =24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ， 所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEFS A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△ 11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.23．（1）证明见解析；（2）5；（3）12.【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，推导出BD ⊥平面PAC ，进而可得出。
北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面 2．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A 5B ．2C 3D 23．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A 13B 3C 33 D ．1164．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142C ．714D ．1475．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ） A ．33-B ．32-C ．33D ．326．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263-8．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．29．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．410．平行六面体1111ABCD A BC D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =12．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11BC CB 所成角的正弦值是______.14．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．15．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.16．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =P ABC -的外接球的体积为_________.17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，23PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为_______.18．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）19．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.20．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题21．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ；（2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .22．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAC ∠=，沿BD 将三角形BCD 向上折起到PBD 位置，E 为PA 中点，若F 为三角形ABD 内一点（包括边界），且//EF 平面PBD .（1）求点F 轨迹的长度；（2）若EF ⊥平面ABD ，求证：平面PBD ⊥平面ABD ，并求三棱锥P ABD -的体积. 23．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.24．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC .25．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积. 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AMC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，3BAD π∠=，求点B 到平面AMC 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN =3EF =知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF △中，1EG =，222GF AG AF =+=，则2222123EF EG GF =+=+=，所以12MN EF ≠，故排除A 、C 连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D =又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C 又11//A D B C ，所以//MN ED ， 又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===， O 是底面中心，则1333xOE CE ==，则25323x x-=，解得3x =， 则1AO =，底面边长为23， 则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.3．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，3DE DF ==∴在等腰三角形DEF中，113 24cos3EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE所成角的余弦值为36．故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，72cos4214ABC∠==14sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则22543OD=-=，1111421427377332O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯=故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.5．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角， 因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以122FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，2216122EG EF FG =+=+=，所以cosFG EGFEG ∠==2326=.所以二面角11B A B E--的余弦值为3.故选：C【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.6．D解析：D【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，l与m不一定平行，有可能相交；在C中，m⊥β或m∥β或m与β相交；在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m∥α．【详解】由直线m、n，和平面α、β，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若//,//,//l mαβαβ，l与m不一定平行，有可能相交，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．7．A解析：A【分析】先求出'A FDE-外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =，2241625DE DF AD AE ==+=+=2222EF BE BF =+ 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 3310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.8．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.9．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1AO ⊥平面11AB D ， 所以2222221111111111,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+， 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11AO ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.11．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫==⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.12．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-2DC =， ∴1cos 3233θ==⨯⨯，22333AO CO CE ===，∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥， 又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒，∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的 10 【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11BC CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B AC ==，111A D B C ∴⊥， 又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11BC CB ，1A B ∴在平面11BC CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B AC 中，111212122B C A D === 1Rt A BD ∴中，1112102sin 105A D A BD AB ∠===， 10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.14．【分析】取的中点连接证明平面平面平面即平面然后分别取的中点证明平面平面可得可得异面直线与所成的角即与所成的角由余弦定理可得答案【详解】由直四棱柱的所有棱长均相等所以是菱形连接且所以因为平面平面所以且 解析：910【分析】取AD 的中点F ，连接1A F ，证明平面1A EF ⊥平面11A ACC ，平面1A EF 即平面α，然后分别取1111BC DC 、的中点M N 、，证明平面1//A EF 平面MNC ，可得//CM 1l ，//CN 2l ，可得异面直线1l 与2l 所成的角即CM 与CN 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】由直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，所以ABCD 是菱形，连接AC BD 、，1111AC B D 、，且ACBD O =，11111AC B D O ⋂=，所以BD AC ⊥，1111B D AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，且1AA AC A =，所以BD ⊥平面11A ACC ，取AD 的中点F ，连接1A F ，连接EF 交AC 与G ，所以//EF BD ，且G 是AO 的中点，所以EF ⊥平面11A ACC ，所以平面1A EF ⊥平面11AACC ， 又1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1A EF 即平面α， 分别取1111BC DC 、的中点M N 、，连接MN 交11AC 与H 点，H 即为11O C 的中点， 所以1A H GC =，且1//A H GC ，所以四边形1AHCG 是平行四边形，所以1//AG HC ， 1AG ⊄平面CMN ，CH ⊂平面CMN ，所以//A G 平面CMN ， 又因为11//////EF BD B D MN ，EF ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以//MN 平面CMN ，又1AG EF G =，所以平面1//A EF 平面MNC ，且平面11B C CB ⋂平面MNC MC =， 平面11D C CD平面MNC NC =，所以//CM 1l ，//CN 2l ，所以异面直线1l 与2l 所成的角即CM 与CN 所成的角，设2AB =， 则直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为2，由3BAD π∠=，所以112BD AB B D ===，11112MN D B ==，且CM CN ====，由余弦定理得222551922510CM CN MN MCN CM CN +-+-∠===⨯⨯.故答案为：910.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平面α及找出异面直线所成的角，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.15．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯=故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．16．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥． 设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．17．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是 解析：64π【分析】首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是PAB △外接圆的圆心，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥MN ∴⊥平面PAB ，过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心，可知四边形MNEO 是矩形，右图，23PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==， 点E 是PAB △外接圆的圆心，sin303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，23PE =， 2333NE ∴=-=，3MO ∴=，2211641322MC AC ==+=， 223134R OC MO MC ∴==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==故答案为：64π 【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.18．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④ 【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确. 【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =；∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴+，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角， 在Rt ABC 中, tan 2ACABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE AD ⊥，又BDAD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCEV V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确. 故答案为：①③④． 【点睛】 思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明.19．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.20．【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形且两条直线边长为长接下来利用勾股定理即可求出AB 的长然后利用直角三角形的性质进行解答即可【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得为直角三角形且两条直 解析：73 【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形，且两条直线边长为长3,8AC BC ==，接下来利用勾股定理即可求出AB 的长，然后利用直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得ABC ∆为直角三角形，且两条直角边的长3,8AC BC ==， 由勾股定理可得73AB = 故三角形AB 73故答案是73. 【点睛】本题是一道关于平面几何图形的直观图的题目，解答本题的关键是熟练掌握斜二测画法的相关知识.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD . 【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD == ∴AO BD ⊥∴221AO AB BO -=，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则3OC = 又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥ 由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD . 【点睛】 思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．22．（1）3；（2）证明见解析，三棱锥P ABD -的体积为3. 【分析】（1）取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，证明出平面//PBD 平面EMN ，可得出点F 的轨迹为线段MN ，求出BD 的长，可求得线段MN 的长，即可得解； （2）连接AF 延长交BD 于点O ，利用面面平行的性质定理可得出//EF PO ，可得出PO ⊥平面ABD ，利用面面垂直的判定定理可证得平面PBD ⊥平面ABD ，可得出三棱锥P ABD -的高为PO ，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，则点F 在线段MN 上，证明如下：连接EM 、EN ，因为E 为PA 中点，M 为AB 中点，所以//EM PB ，EM ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，//EM ∴平面PBD ，同理可证//EN 平面PBD ，又EMEN E =，所以平面//PBD 平面EMN ，EF ⊂平面EMN ，所以//EF 平面PBD ，所以点F 的轨迹为线段MN ，因为60BAC ∠=，所以120BAD ∠=，2sin 23BD AB BAC ∴=∠= 所以132MN BD ==F 3 （2）连接AF 延长交BD 于点O ，因为平面//PBD 平面EMN ， 且平面APO平面EMN EF =，平面APO平面PBD PO =，所以//EF PO ，因为EF ⊥平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD ， 又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD ，可得PO 为三棱锥P ABD -的高，且cos 1PO AO AB BAC ==∠=，1113231332P ABD ABD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．23．（1）200π（2）80 【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=， 即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ， 则225552R =+=24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由DE EC ⊥，AE DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面ACE ，再由//DE CB ，利用面面垂直的判定定理证明.（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ ，由三角形中位线可得.//OQ DE ，//OP AC ，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ， 则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=， 所以DE ⊥平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点， 所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ，。
高中数学 第一章 立体几何初步章末综合测评(含解析)北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
章末综合测评(一) 立体几何初步(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是( ) A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒lαB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．lα，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，lα⇒A ∈αC [若直线l ∩α＝A ，显然有l α，A ∈l ，但A ∈α，故C 错．]2．下列说法中，正确的是( )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行C [A 中，可能有无数个平面；B 中，两条直线还可能平行、相交；D 中，两个平面可能相交．]3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C.32 D.34A [由题图可知，原△ABC 的高为AO ＝3， ∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12×2×3＝3，故选A.]4．下列四个命题判断正确的是( ) A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α B ．若a ∥α，bα，则a ∥bC ．若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线D ．若a ∥α，a ∥b ，b α，则b ∥αD [A 中b 可能在α内；B 中a 与b 可能异面；C 中a 可能与α内的直线异面；D 正确．] 5．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3 B.2π3 C.2π3D.3π A [因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.] 6．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于()A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1 B [CE平面ACC 1A 1，而BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE .]7．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是() A.12 B.32 C.63 D.62C [连接BD 1，则BD 1∥EF ，∠BD 1A 是异面直线AD 1与EF 所成的角．∵AB ⊥AD 1，∴cos∠BD 1A ＝AD 1BD 1＝63.] 8．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12A [由三视图得几何体为四棱锥， 如图记作S ABCD ，其中SA ⊥平面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A.]9．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若α∥β，lα，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中正确的说法个数是( ) A ．3B ．2 C ．1D ．0B [垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．]10．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316 B.916 C.38 D.932A [如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R .∴S 截面＝πr 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＝3π4R 2.又S 球＝4πR 2，∴S 截面S 球＝3π4R24πR 2＝316.] 11．如图，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°D [由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC (图略)，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．]12．在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BDD ．AC ⊥BC 且AD ⊥BDD [A 项，∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ， ∵CD平面BCD ，∴AB ⊥CD .B 项，设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ， ∴O 为△BCD 的垂心， 连接BO ，则BO ⊥CD . 又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ， ∴CD ⊥平面ABO ， ∵AB平面ABO ，∴AB ⊥CD .C 项，取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ， ∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ，∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ， ∵AB平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________ cm 2. 16π [圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2)．]14．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AD 的位置关系是________．垂直 [由平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ， 知MN ⊥平面ABCD . ∴MN ⊥AD .]15．已知一个圆台的下底面半径为r ，高为h ，当圆台的上底面半径r ′变化时，圆台体积的变化X 围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ，πr 2h [V 圆台＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h,0＜r ′＜r . 当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V 圆锥＝13πr 2h ；当上、下底面面积相等时，圆台变为圆柱，V 圆柱＝πr 2h .所以圆台体积的变化X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ，πr 2h .]16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，则异面直线AB 与CD 所成的角等于________．60° [如图所示，分别取BC ，AC 的中点G 、F ， 连接EG ，GF ，EF ， 则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的角． 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°.]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，四棱锥V ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积．[解] 连接AC ，BD 相交于点O ，连接VO ， ∵AB ＝BC ＝2 cm ， 在正方形ABCD 中， 求得CO ＝ 2 cm ， 又在直角三角形VOC 中， 求得VO ＝14 cm ，∴V V ABCD ＝13S ABCD ·VO ＝13×4×14＝4314(cm 3)．故这个正四棱锥的体积为4314 cm 3.18．(本小题满分12分)如图所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在PA ，BD 上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD .求证：EF ∥平面PBC .[证明] 连接AF 延长交BC 于G ，连接PG . 在▱ABCD 中， 易证△BFG ∽△DFA ， ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA， ∴EF ∥PG . 而EF平面PBC ，PG平面PBC ，∴EF ∥平面PBC .19．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 20．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .[证明] 由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， 又BM平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BM .又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，所以C 1M ＝CM ＝1. 在Rt△B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2， 同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2，又B 1B ＝2， 所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M . 又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1M ， 因为BM平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)是否存在点E 使得二面角A DE P 为直二面角？并说明理由． [解] (1)证明：∵PA ⊥底面ABC ，BC 底面ABC ，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角ADEP的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角．22．(本小题满分12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′ABCE的体积；(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ， 且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，D ′F 平面D ′AE ，∴D ′F ⊥平面ABCE ，∴V D ′ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24.(3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面PAC ，连接PQ .∵D ′B平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面PAC ＝PQ ，∴D ′B ∥PQ ， ∴在△EBD ′中，EP PD ′＝EQQB. ∵在梯形ABCE 中，EQ QB ＝EC AB ＝12，∴EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， ∴在棱ED ′上存在一点P ，且EP ＝13ED ′时，使得D ′B ∥平面PAC .。
高中数学 第一章 立体几何初步水平测试 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
第一章立体几何初步水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是( )A．圆台 B．棱锥C．圆锥 D．圆柱答案 A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案 A解析 根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.40003 cm 3 B.80003cm 3C ．2000 cm 3D ．4000 cm 3答案 B解析 由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V ＝13×20×20×20＝80003cm 3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3 B.2π3 C.2π3D.3π 答案 A解析 由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析 该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝422＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22π D．42π 答案 B解析 由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1如下图所示，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 答案 D解析 对于A ，由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；对于B ，连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；对于C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于D ，因为BC ∥AD ，所以∠B 1CB 即AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．8．如下图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30° 答案 D解析 取BC 的中点H ，连接EH 、FH ，则∠EFH 为所求的角，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，∴sin ∠EFH ＝EH FH ＝12，∴∠EFH ＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断 答案 A解析 取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF 平面EFH ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则PA ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34 答案 D解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝949，所以PA ′PA ＝37，所以PA ′AA ′＝34，故选D. 11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC ；④若PA ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥AC ，同理，PA ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以PA ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，PA ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HB ＝HC ，即点H 是△ABC 的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长． 答案④解析 本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案 6解析 设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE 平行、相交的平面个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.答案 5解析CE 与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m ＝1，n ＝4，因此m ＋n ＝5.16．如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案①④解析①中，记点B 正上方的顶点为C ，连接AC ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1.求证：直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．证明 如图，连接PQ .由B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1， 得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1.又BC 綊B 1C 1，∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ . 又BP 平面AA 1B 1B ，CQ 平面AA 1C 1C ， ∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1， ∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．解 (1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1.又CC1∥BB1，D是BB1的中点，∴EF∥DB，且EF＝DB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BF，而DE⊆/平面A1BC，BF平面A1BC，∴DE∥平面A1BC.(2)证明：∵AA1⊥BC，AB⊥BC，AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B.又A1B⊥AC，AC∩BC＝C，∴A1B⊥平面ABC.(3)由(2)的结论，得A1B⊥AB，∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A1BC.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1BC.由B1C1∥BC，可知B1C1∥平面A1BC.∵A1B1＝AB＝1，BB1＝2，∴A1B＝1，∴三棱锥A1－BCC1的体积V A1－BCC1＝V C1－A1BC＝V B1－A1BC＝13S△A1BC·A1B1＝13×12×BC×A1B×A1B1＝13×12×1×1×1＝16.20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，BC＝BB1，M，N分别是A1B1，AC1的中点．求证：(1)MN∥平面BCC1B1；(2)平面MAC1⊥平面ABC1.证明(1)取BC1的中点D，连接B1D，ND，∵D ，N 分别是BC 1，AC 1的中点，∴ND ∥AB ，ND ＝12AB . 又M 为A 1B 1的中点，AB ∥A 1B 1，∴ND 綊B 1M ，∴MNDB 1为平行四边形，∴MN ∥B 1D .又B 1D 平面BCC 1B 1，MN ⊆/ 平面BCC 1B 1， ∴MN ∥平面BCC 1B 1.(2)由题可知AB ⊥B 1D ，B 1D ⊥BC 1.又AB 平面ABC 1，BC 1平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1D ⊥平面ABC 1.又B 1D ∥MN ，∴MN ⊥平面ABC 1.又MN 平面MAC 1，∴平面MAC 1⊥平面ABC 1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解 (1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设，知△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)，知AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α－MN －β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32. 连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．解 (1)证明：如图，连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，而AO ∩BO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO .由于AB 平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34. 由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12. 由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。
北师大版数学高一必修二练习 第一章《立体几何初步》能力
第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行 D过P 点平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．2．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题，其中错误命题有( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm α⇒m ∥β； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m αnβ⇒m 、n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个D①对，②、③、④错．3．(2014·四川文，4)某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) (锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)A ．3B ．2C ． 3D ．1D本题考查了三视图及体积计算公式等．由图知平面PAB ⊥平面ABC ，PD ⊥AB ，PD⊥平面ABC ，底面是边长为2的正三角形，∴V ＝13Sh ＝13×3×3＝1.由三视图找出垂直关系是关键．4．底面是菱形的直棱柱的两条体对角线长为8cm 和12cm ，侧棱长为4cm ，则它的底面边长为( )A ．11cmB ．22cmC ．211cmD ．222cmC由题意，可求出两底面菱形的两对角线的长分别为82－42＝43cm ，122－42＝82cm ，则底面边长为12＋32＝211cm.5．(2014·陕西理，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3D本题考查空间几何体的结构特征，球的体积计算． 如图，根据正四棱柱的特点，球心也是正四棱柱的中心O .∵AB ＝1，∴O 1A 1＝22， ∵AA 1＝2，∴OO 1＝22， ∴r ＝OA 1＝1，∴V 球＝43π.6．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B与平面BCDE 垂直的平面有2个，与平面ABC 垂直的平面有2个，(含平面ABE ，不含平面BCDE )．与平面ABE 垂直的平面有2个(含平面ABC ，不含平面BCDE )，∴2＋2＋2－1＝5.7． (浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3B结合三视图可得几何体的直观图如图所示，其体积V ＝VABCD －A 1B 1C 1D 1－VD 1－A 1EF ，由三视图可得VABCD －A 1B 1C 1D 1＝6×6×3＝108cm 3，VD 1－A 1EF ＝13×12×4×4×3＝8cm 3，所以V ＝100cm 3，选B.8． 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA设原圆锥的体积是x ，则x －52x ＝⎝⎛⎭⎫133， ∴x ＝54.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D本题主要考查线线垂直、线面平行、三棱锥的体积等知识，考查学生的推理论证能力． 对于选项A ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ，∴AC ⊥B 1B ， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE 面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE .对于选项B ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1D 1∥BD ， B 1D 1⃘面ABCD ，BD 面ABCD ， ∴B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD . 对于选项C ，V A －BEF ＝13×22×12×1×12＝224.∴三棱锥A －BEF 的体积为定值．对于选项D ，因线段B 1D 1上两个动点E ，F ，且EF ＝12，在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等．10．一圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短为( )A ．30cmB ．40cmC ．50cmD ．60cmC如图所示，把圆台侧面展开，显然绳子的最短路线是由B 到M 的线段．其中展开图的圆环圆心角为θ＝π2，上底周长为2πR 上＝10πcm ，＝14×2πOA ′， ∴OA ′＝20cm.又A ′M ＝MB ′＝202＝10cm ，∴OM ＝30cm ，OB ＝40cm ， ∴MB ＝OM 2＋OB 2＝50cm.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．3π3设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ，由⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以h ＝l 2－r 2＝ 3.于是，圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝3π3.12．如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为4，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长等于________．17取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH＝4，FH＝1.由正三棱柱的性质知△EFH为直角三角形．所以EF＝FH2＋EH2＝17.13．一个正方体的各顶点均在同一个球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．24设正方体的棱长为a，球的半径为r，则2r＝3a，∴a＝233r.∵4πr3＝43π，∴r＝3，∴a＝2.3∴正方体的表面积为6a2＝24.14．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．菱形∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥AC.∴四边形ABCD为菱形．15．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．②④⑤本题考查了空间几何体中点线面的位置关系．依题意，该四面体可看作是一个长方体截掉四个顶角后剩余部分，所以可以确定②④⑤正确．对于①，只有四面体ABCD是正四面体时才成立．对于③，取特例正四面体知夹角和为60°＋60°＋60°＝180°知③错．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断这个几何体是什么几何体；(2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．(1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．(2)该几何体的左视图如图所示．其中两腰为斜高，底边长为3a，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为3a.所以该左视图的面积为123a·3a＝32a 2.17．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，D、E分别是BB1、CC1上的点，且EC＝2BD＝a.求证：平面ADE⊥平面ACC1A1.取AE的中点O，AC中点F，连接OF、BF、OD，则AD＝52a.∵四边形BDEC为直角梯形，且EC＝2BD＝a，∴DE＝52a.则△DAE为等腰三角形，故DO⊥AE.又∵OF∥EC，且OF＝12EC＝12a，∴OF綊BD，OF⊥BF.∴四边形BDOF是矩形，∴DO⊥OF.又OF∩AE＝O，∴DO⊥平面AA1C1C.又DO平面ADE，∴平面ADE⊥平面AA1C1C.18．(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．(1)求证：平面AB1D1∥平面EFG；(2)求证：平面AA1C⊥平面EFG.(1)连接BD，∵E、F分别为BC、CD的中点，∴EF∥BD.∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1.又E F⃘平面AB1D1，B1D1平面AB1D1∴EF∥平面AB1D1，同理EG∥平面AB1D1.∵EF∩EG＝E，∴平面AB1D1∥平面EFG.(2)∵AA1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴AA1⊥EF.又EF⊥AC，AA1∩AC＝A，∴EF⊥平面A1AC，又EF平面EFG，∴平面AA1C⊥平面EFG.19．(本小题满分12分)(2014·安徽文，19)如图，四棱锥P－ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．思路分析：(1)依据线面平行性质求得BC∥GH，进而证明GH∥EF.(2)由(1)知四边形GEFH是梯形，则须求出上底、下底和高．EF＝8易知．根据平面GEFH ⊥平面ABCD，可作出高GK，这里GK⊥平面ABCD，GK⊥EF.通过三角形中比例关系求出K为OB中点，并求得GH、GK.解：(1)∵BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，∴GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，∴GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于一点O ，BD 交EF 于K ，连接OP 、GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可证PO ⊥BD ，又∵BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，∴PO ⊥平面ABCD ， 又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .又∵平面GEFH ∩平面PBD ＝GK ， ∴PO ∥GK ，且GK ⊥平面ABCD ， ∴GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高． ∵AB ＝8，EB ＝2，∴EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，∴KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，又∵PO ∥GK ，∴GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.又由已知得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6.∴GK ＝3.∴四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20．(本小题满分13分)(北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为B E⃘平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .21．(本小题满分14分)正三棱锥高为1，底面边长为26，内有一球与四个面都相切． (1)求棱锥的全面积； (2)求球的半径及表面积． (1)设底面中心为O ，D 为AB 中点，则VD 为斜高，OD ＝36AB ＝2，在Rt △VOD 中，VO ＝1，VD ＝1＋2＝ 3. ∴S 全＝34(26)2＋3×26×12×3＝63＋9 2. (2)解法一：设球的半径为R ，由△VO 1E ∽△VDO 有O 1E OD ＝VO 1VD ⇒R 2＝1－R 3⇒R ＝6－2， 故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π.解法二：V V －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13(S △ABC ＋S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC )R ，而S △ABC ＝34·(26)2＝6 3. S △VAB ＋S △VCB ＋S △VAC ＝3S △VAB ＝3·12·26·3＝9 2.故63·1＝(63＋92)R ⇒R ＝6－2， 故S 球＝4πR 2＝4π(6－2)2＝8(5－26)π.。
高一北师大版数学必修2第一章 立体几何初步练习题含答案解析 双基限时练11
双基限时练(十一)一、选择题1．如果一条直线与一个梯形的两腰所在的直线垂直，那么这条直线与这个梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．平行C．直线在平面内D．不确定解析梯形的两腰所在的直线为相交直线．答案A2．直线l与平面α垂直，则()A．l与平面α内的某几条直线垂直B．l与平面α内的一条直线垂直C．l与平面α内的无数条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直答案D3．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是()①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；由于AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥面CB1D1，故①②③全正确，答案为A.答案A4．如图△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()A．AD⊥面BDC B．BD⊥面ADCC．DC⊥面ABD D．BC⊥面ABD解析由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面BDC，又△ABD 与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝AC，BD＝DC＝22AB.又∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝2BD，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.∴BD⊥面ADC，同理DC⊥面ABD.∴A、B、C项均正确．答案D5．在四面体P—ABC中，P A＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥面PDF B．DF⊥面P AEC．BC⊥面P AE D．AE⊥面APC解析∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面P AE，又DF∥BC，∴DF⊥面P AE，故B、C项正确，由于AE与AP 不垂直，故AE与面APC不垂直．答案D6.下列说法中错误的是()①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线与某一平面的垂线平行，那么该直线垂直于这个平面；③如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线；④若一条直线与平面的垂线垂直，则该直线一定在这个平面内．A．①②B．①④C．①③④D．②④解析因为当直线与平面平行时，平面内仍存在直线与该直线垂直，故①不正确，②显然正确，根据线面垂直的定义可知，③正确；当一条直线与平面的垂线垂直时，这条直线可能在平面内也可能与平面平行，故④不正确．答案B二、填空题答案①②⑥8．在三棱锥P—ABC中，最多有________个直角三角形．解析不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案49．如图，在四面体ABCD中，BC＝CD，AD⊥BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与面CEF的位置关系是________．解析∵E，F为AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊥BD，∴EF⊥BD.又BC＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD，又EF∩CF＝F，∴BD⊥面CEF.答案BD⊥面CEF三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点．求证：CF⊥面EAB.证明在平面B1BCC1中，∵E，F分别是B1C1，B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE.又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.11．如图所示，空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD.作BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD.证明取AB的中点F，连接CF，DF，∵BC＝AC，∴CF⊥AB.∵BD＝AD，∴DF⊥AB.又CF∩DF＝F，∴AB⊥面CDF.又CD面CDF，∴AB⊥CD.又BE⊥CD，AB∩BE＝B，∴CD⊥面ABE.∵AH面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，又BE∩CD＝E，∴AH⊥面BCD.12．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.证明设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.而AN平面PAM，∴BM⊥AN.又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.思维探究13．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，F为BB1的中点，M为线段AC1的中点，求证：(1)直线MF ∥面ABCD ；(2)MF ⊥面A 1ACC 1.证明 (1)取AC 的中点O ，连接MO ，∵M ，O 为AC 1，AC 的中点，∴MO 綊12CC 1.又F 为BB 1的中点，ABCD—A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴BF 綊12CC 1.∴MO 綊BF.∴四边形MOBF 为平行四边形．∴MF ∥BO ，又MF ⃘面ABCD ，BO 面ABCD ， ∴MF ∥面ABCD.(2)∵F 为BB 1的中点，∴AF ＝C 1F ，又M 为AC 1的中点，∴MF⊥AC1.又ABCD为菱形，∴BO⊥AC.又MF∥BO，∴MF⊥AC.又AC1∩AC＝A，∴MF⊥面A1ACC1.。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(有答案解析)
一、选择题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A ．25B ．5C ．155D ．1052．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．221B ．221C ．47D ．47 3．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π5．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π6．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ）A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π 7．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π 8．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）．A ．[10,19]B ．[11,19]C ．[10,25]D ．[11,25] 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．211．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．77B ．142C ．714D ．14712．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1AB 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题13．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．14．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.15．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为______. 16．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.17．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 18．在正三棱锥A BCD -中，5AB AC AD ===，6BC BD CD ===.点M 是线段BC 上的点，且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为______.19．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值（2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DE AC ⊥（4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题21．如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，//BC AD ，22AD AB BC ==（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC . 22．将棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -沿平面11ABCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.23．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C D ，的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P 的位置．24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//AB EF ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF .25．如图，ABC 中，2AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ；（2）求证：AC ⊥平面EBC ．26．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ；（Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可.【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 5OD OED DE ∠===． 故选：D.【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 2．A解析：A【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离.【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 的高为7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯⨯=A BC S △，12332ABC S =⨯⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h ==. 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.3．C解析：C【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ．∴ PBCM 是平行四边形，∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===，∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．4．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.5．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．6．B解析：B 【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC DC =，故1//EF DC ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点，所以DF CF ==，故3cos 5DFC ∠==，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDOO 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDOO 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD4=， 故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.7．D解析：D 【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62xIE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =.设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-= 所以()(2222322RR =+，解得3R =， 所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）.故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.8．C解析：C 【分析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得． 【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．9．A解析：A 【分析】由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，所以////GK FE DC ，且11222GK FE DC ===， 所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高， 最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，1222EO ED ==， 作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，112KH PO ==，且H 是EO 的中点，122EH EO ==32DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12CD KGCJ -==， 所以3DJ =， 由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=， 所以2221910KJ KH HJ =+=+=，10KJ =，22211819DK EH HD =+=+=，19DK =，故选：A. 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.10．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.11．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ， 在ABC 中，72cos 214ABC ∠==14sin 4ABC ∴∠=， 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，11114214273773324O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.12．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确； 设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP xx x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <时，1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD S AB S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.14．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥，又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以BO =AO EO ==AE =//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，OD ==OF == 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅==，所以异面直线BD 和AE故答案为：6.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：254π【分析】先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果. 【详解】根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为()221333 3322S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，ABC 外接圆的半径为1312sin 60r =⨯=，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==； 由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ⋅=，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即2221(2)R R =+-，54R ∴=， 则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：254π. 【点睛】思路点睛：求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解. 16．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩 解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，12633DM ⨯==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 2232DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）． DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．17．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值.【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.18．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面 13 【分析】证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得．【详解】先证一个命题：平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．如图AO ⊥平面BCD 于点O ，OE BC ⊥于E ，Q 是BC 上任一点，则AO BC ⊥，而AO OE O =，则BC ⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，∴AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角， 显然sin AO AEO AE∠=，sin AO AQO AQ ∠=，又AQ AE ≥，∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠，,AEO AQO ∠∠都是锐角，∴AQO AEO ∠≤∠，,Q E 重合时等号成立．由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．由已知363EO =⨯=，22534AE =-=，2213AO AE EO =-=， 13sin AEO ∠=， ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠， ∴sin θ的最大值为13． 故答案为：13． 【点睛】结论点睛：在二面角A BC D --（为锐二面角）中，AEO ∠是A BC D --二面角的平面角，Q 是棱BC 上任一点，则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角，AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4）【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE AC ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）.【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠所以MB 是定值，故（1）正确； B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =， 则2DE CE ==若存在某个位置,使1DE AC ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1ACE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾， 故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】 解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积.【详解】正四面体的棱长为：a ， 33a =，棱锥的高为：22236()32a a a -⨯⨯=， 设外接球半径为R ， 22263()()33R a R a =-+，解得64R a =， 所以外接球的表面积为：226342a a ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：232a π． 【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.【详解】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，则EF 为△MAD 中位线，∴ 1//2EF AD 且1=2EF AD ， 又四边形ABCD 是直角梯形，22AD AB BC ==1//2BC AD ∴，1=2BC AD //BC EF ∴且=BC EF ，∴四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，因为BE ⊄面MCD ，CF ⊂面 MCD ，所以//BE 面MCD .（2）在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222AD AB BC ===，90ABC BAD ∠=∠=， 22112AC CD ∴==+=222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，设为点H ， MH ∴⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，MH CD ∴⊥，又AC CD ⊥，AC MH H ⋂=，CD 面MAC .【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A AAC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．23．（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P 为AM 中点．【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM ⊥平面ADM ；（2）首先作辅助线，连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，，在ACM △中，利用中位线，证明线线平行，说明线面平行，同时得到点P 的位置.【详解】连结CM ，（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，AD ∴⊥半圆面,CMD AD ∴⊥平面MCD ．CM 在平面MCD 内，AD CM ∴⊥，又M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，CM MD ∴⊥．又,AD DM D CM ⋂=∴⊥平面ADM CM ，在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM ．（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是。
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必修二第一章几何体综合练习题 一、选择题：
1．不共面的四点可以确定平面的个数为（ ）
A ． 2个
B ． 3个
C ． 4个
D ．无法确定
2．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的是 （ ）
A ．①②
B ． ①
C ．③④
D ． ①②③④
3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（ ）
A ．1∶1
B ．1∶1
C ．2∶3
D ．3∶4
4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（ ）
A ．正方体
B ．正四棱锥
C ．长方体
D ．直平行六面体
5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥
β的是 （ ）
A ．a ⊥α且a ⊥β
B ．α⊥γ且β⊥γ
C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b
D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β
6．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A
B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A
C ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂ n
D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈n
7．下列四个说法①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α④a //α，b //α，则a // b 错误的说法的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（ ）
A ．279cm 2
B ．79cm 2
C ．32
3cm 2 D ．32cm 2
9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（ ）
A ．3∶ 4
B ．9∶16
C ．27∶64
D ．都不对
10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 体积为（ ）
A ．63a
B ．12
3
a C ．312
3a D ．3122a 二、填空题：（每小题6分，共24分）． 11．螺母是由 _________和 两个简单几何体构成的．
12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________．
13．如图，将边长为a 的正方形剪去阴影部分后，围成一个正三棱锥，
则正三棱锥的体积是 ．
14．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是
； ②若AC BD ，则四边形EFGH 是
． 三、解答题：
16．（12分）正四棱台的侧棱长为3cm ，两底面边长分别为1cm 和5cm ，求体积．
17．（12分）四棱柱的底面是菱形，两个对角面面积分别为21Q Q ，，求四棱柱的侧面积．
18．（14分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．
19．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．
（1）求证C1D⊥平面A1B；
（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并
证明你的结论．。