空间图形的基本关系与公理

6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
[思路点拨]
[课堂笔记]
(1)不是异面直线．
理由：
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C， A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A，M，N，C在同一个平面内， 故AM和CN不是异面直线．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C，
1．给出下列命题： ①和已知直线都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线在同一个平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是 ( A．0 C．2 ) B．1 D．3
解析：①中两直线可能异面；②中三条直线可能确 定三个平面；③中两平面可能相交；④三直线可能 共面． 答案：A
判定两直线异面的常用方法有
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)反证法：反证法是证明异面直线的常用方法；另外，
判断两直线异面还可以用以下结论：过平面外一点与
平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线．
2．异面直线所成角
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法 一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成角的步骤：
如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延
长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的 延长线交于K. 求证：M、N、K三点共线.
[思路点拨]
[课堂笔记]
⇒
M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三 点共线.
在四面体ABCD中，E、F、
G、H分别是AB、AD、BC、
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据.
2.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况，其
常用方法如下：
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线
在此平面内. (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再 证明其余元素确定平面β，最后证明平面α与c相交；
④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线； ⑤若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的命题是________．
解析：①正确；②时中，a与c可以相交、平行或异面； ③中，a与c可以相交、平行或异面；④中，a α，b β并不能说明a与b不同在任何一个平面内； ⑤中，a与b可以相交、平行或异面． 答案： ①
1.直线与直线的位置关系
平行于同一条直线的两条直线平行 (2)平行公理：

2
(3)异面直线所成角的范围
(0,

[思考探究]
垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？ 提示：可能平行、相交或异面.
2.直线和平面的位置关系
3.平面与平面的位置关系
4、空间图形的公理
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条
)
B.3 D.0
解析：如图所示，可知确定3个平面.
答案：B
4.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α
的关系是 .
解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；
当这两点在α的异侧时，l与α相交. 答案：平行或相交
5．a，b，c是空间中的三条直线，下面五个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
5、等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，并且方向相同， 那么这两个角相等或互补。
结论1：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，并且对应边的 方向都相反，那么这两个角相等。 结论2：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，并且一组对应 边方向相同，另一组对应边的方向相反，那么这两个角互补。
直线上 公理2：过
所有的点 都在这个平面内（即直线在平面内）．
不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线． 公理4：(平行公理)平行于 同一直线 的两直线互相平行．
(1)经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一 个平面吗？ (2)经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ (3)经过两条平行直线可以确定一个平面吗？ 提示：(1)可以 (2)可以 (3)可以
可证M与M′重合，从而FE与DC相交.
[课堂笔记] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 又BC AD. AD，∴GH BC，
∴四边形BCHG是平行四边形.
(2)法一：由BE
AF，G为FA中点知BE
GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.
A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A，M，N，C在同一个平面内， 故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC 平面CC1D1， 这与BC是正方体的棱相矛盾， ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
法二：如图，延长FE、DC分别
与AB交于点M，M′，
∵BE AF，∴B为MA的中点，
∵BC
AD，∴B为M′A的中点，
∴M与M′重合，即EF与CD相交于点M(M′)，
∴C、D、E、F四点共面.
1.公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个 平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
2.已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b ( A.一定是异面直线
)
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析：c与b不可能是平行直线，否则c∥b，又c∥a， 则有a∥b，与a，b异面矛盾.
答案：C
3.直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线
的平面的个数为(
A.1 C.6
CD上的点，且EF∩GH＝P， 求证：B、D、P三点共线.
证明：∵E∈AB，F∈AD， ∴EF 平面ABD， 平面BCD，又EF∩GH＝P，
同理，GH
∴P∈平面ABD，P∈平面BCD， 而平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈直线BD，即B、D、P三点共线.
1.证明共线问题的理论依据 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它
①作：通过作平行线，得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角．