空间图形基本关系的认识(最新课件)

图1－4－4
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， 且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同 一平面内．
【证明】 ∵l1∥l2，
∴l1、l2 确定一个平面记为 α. ∵l1∩l3＝C，∴C∈l1. ∵l1⊂α，∴C∈α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. ∵l2⊂α，∴B∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， 即 l1、l2、l3 在同一平面内.
●教学流程
演示结束
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直 线、平面之间的位置关系(重点)． 课标解读 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关 系(难点)． 3．掌握空间图形的三个公理(重点).
空间图形的基本位置关系
【问题导思】 1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关 系？ 2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 4．六个面之间有哪几种位置关系．
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB， B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一 点．
【证明】 ∵A1B1∥AB，
∴直线 A1B1 与 AB 确定一平面 α. 同理，直线 B1C1 与 BC 确定一平面 β，直线 C1A1 与 CA 确 定一平面 γ.易知 β∩γ＝C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等，∴AA1 与 BB1 相交， 设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β， ∴P 在平面 β 与平面 γ 的交线上．又 β∩γ＝C1C， 根据公理 2 知，P∈C1C，∴直线 AA1、BB1、CC1 交于一点．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
(2)α∩β＝MN，A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN.
1．分析好图形的位置关系是本题的解题关键． 2．三种语言之间转化的基本思路是，观察图形、分析 位置关系、符号表示．
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线 b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确． 【答案】 D
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
3．情感、态度与价值观 培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度，体会推 理论证中反映出的辨证思维的价值观．
●重点难点 重点：空间图形的基本关系及3个公理． 难点：三种语言：文字语言、图形语言和符号语言的 转化． 教学时要注意图形语言、文字语言、符号语言的综合 描述，在用文字和符号描述对象时，要紧密联系图形，使 抽象与直观结合起来，以帮助学生在图形的基础上发展数 学语言．
1．法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是 这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法 二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其 上．
2．证明此类问题的关键是证明这些点是两个相交平面 的公共点．
如图1－4－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段 A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．
文字语言、图形语言、符号语言的互译
根据图形，写出图形中的点、直线和平面之间 的关系．
图1－4－1 (1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________. (2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.
【思路探究】 (1)图中平面α、平面β是什么关系？ (2)图(1)中直线a与平面α，直线b与平面β，直线a、b与 交线AB是什么关系？ (3)图(2)中△ABC的三个顶点满足什么条件？ 【自主解答】 (1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB.
法二 (重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内．∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
1．证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共 面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这 两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此 点，从而得到三线共点．
点共线问题 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝
R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．
图1－4－3
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 关系？
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 系？
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面 α.又 AB⊂平面 ABC，
1．同一法证明直线共面的步骤 (1)证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定 一个平面α； (2)证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线 也在平面α内，也就是证明了这些直线共面． 2．重合法证明直线共面的步骤 (1)证明这些直线确定若干个平面； (2)利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了 这些直线共面．
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确 的是( )
【解析】 点A在直线上用“∈”，直线在平面外用 “ ”．
【答案】 A
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有
()
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
【解析】 画出图形，观察图形可知与AB异面的棱有 CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．
●教学建议 本节知识与学生的生活联系密切，如直线与直线的位 置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系 等都可以在学生的生活世界中找到模型．因此教学时，既 要引导学生多从生活中的实际出发，把所学到的知识同周 围的现象联系起来，同时还要注意让学生经历从实际背景 中抽象出空间图形的过程．另外，还应注意引导学生通过 对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符 号语言．
【错因分析】 在证明共面问题时，必须注意平面是 确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一 定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出 错．
【防范措施】 证明共面问题的理论依据是公理2，注 意平面的确定可以免避上述错误的出现．
【正解】 A，B，C，D，E五点不一定共面． (1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三 点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C， D，E五点共面于α； (2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈ l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l 上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则 A，B，C，D，E五点可能不共面．
点、线共面问题 已知：如图1－4－2所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝
B，l1∩l3＝C.
图1－4－2 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
【思路探究】 先选取两条直线构造一个平面，然后 证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两 个平面重合．
【自主解答】 法一 (同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
综上所述，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题设条件下，A，B，C，D，E五点不一 定共面．
1．空间中点、线、面的位置关系，异面直线的画法及 判定．
2．文字语言、图形语言、符号语言三种语言的转化．
3．公理1，公理2，公理3都是判定点、线、面位置关 系的依据．公理1的作用是证明直线在平面内，公理2是确 定平面的依据，由公理1和公理2可解决点、线共面的证明 问题，公理3是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证 明点共线或三条线交于一点的问题.
∴P∈平面 ABC.
∴由公理3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线．
法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR， 又 Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R 三点共线．