空间图形的基本关系与公理课件[优质PPT]
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空间图形的基本关系与公理(2) ppt课件
内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
PPT课件
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
PPT课件
7
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面 P 墙面
P
a
PPT课件
8
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上．
∴P、Q、R 三点共线．PPT课件
12
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形；
（2）四个点中的各个点叫做空间四边形
的顶点；
（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空
间四边形的边；
（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间
符号语言 公理作用
空间图形的基本关系与公理 PPT
ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
高三数学总复习《空间图形的基本关系与公理》课件
A.不存在
B.有且只有两条 C.有且只有三条
D.有无数条
答案:D
解析:本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查学
生的空间想象能力. 如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个 平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同 的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直 线都有交点.
解析:因AC⊥平面BB1D1D,所以AC⊥BE,选项A正确;因 B1D1∥平面ABCD,所以EF∥平面AC,选项B正确;因点A到平 面BB1D1D的距离为定值,△BEF的面积也为定值,所以三棱锥
A—BEF的体积也为定值,选项C正确;因点A、B到直线B1D1
的距离不等,所以选项D错误.
答案:D
4.(2009·全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余 弦值为( )
题型二 空间两条直线的位置关系 例2(2009·安徽模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称 这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点 的所有直线中,“黄金异面直线对”共有_________对.
答案:24
解析:如图,与A1C1成黄金对的直线有D1C,AB1,AD1,B1C.而 A1C1这样的直线有12条,再消去顺序为 12 4 24(对).
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有
且只有一条通过这个点的公共直线. 用符号表示:P∈α,P∈β,则α∩β=l且P∈l. 公理3的作用:①可以确定两个平面的交线,只要找到两个平面 的两个公共点,就能找到它们的交线,②还可以判断点在直线
上,即若某个点是两个相交平面的公共点,则这个点在两个平
空间图形的基本关系与公理PPT精品课件
• 生态系统是生物与环境之间形成的统一整 体，生物之间形成的统一整体，生物之间 存在着既相互依存又相互制约的关系。人 类的各种活动必需尊重生态系统，爱护生 物，保护生物的多样性，是人类与自然界 能和谐发展。
3 食物链和食物网
几条食物链？怎么数？ 假如蛇大量减少，哪些生 物的数量会发生变化？
4 生态系统具有一定的自动调节能力
• 2.分析过度放牧对草原生态系统的影响。 • （1）在草原上湿度放牧，草原会由于牧草
的不断生长而基本维持原状。如果放养的 牲畜太多了，草原会发生什么变化呢？ • （2）这个例子又说明什么问题？
2 生态系统的组成
• 4.在生态系统中，除了有各种生物以外，还 有哪些组成成分？它们各自有什么作用？
• 生态系统中，除了生物以外，还有非生物 部分，如阳光、空气、水、土壤等，它们 也是生态系统中不可缺少的成分。无机环 境为生物提供生存空间、阳光、空气等。
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称
图形Βιβλιοθήκη 公理1公理2 公理3 公理4
文字语言
符号语言
如果一条直线上 有两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内
经过________的 三个点确定一个 平面
若P∈α，P∈β， 则α∩β＝a，且 ______
平行于同一条直 线的两条直线互 相平行
3 食物链和食物网
• 这些食物链为什么会出现交叉？
2 生态系统的组成 思考？
1、树与昆虫幼虫之间，
资料分析（书20页） 昆虫幼虫与啄木鸟之 间是什么关系？
吃与被吃的关系(捕食)
2、腐烂的树桩最终会 消失吗？
会消失
啄木鸟在树 上找虫子吃
3 食物链和食物网
几条食物链？怎么数？ 假如蛇大量减少，哪些生 物的数量会发生变化？
4 生态系统具有一定的自动调节能力
• 2.分析过度放牧对草原生态系统的影响。 • （1）在草原上湿度放牧，草原会由于牧草
的不断生长而基本维持原状。如果放养的 牲畜太多了，草原会发生什么变化呢？ • （2）这个例子又说明什么问题？
2 生态系统的组成
• 4.在生态系统中，除了有各种生物以外，还 有哪些组成成分？它们各自有什么作用？
• 生态系统中，除了生物以外，还有非生物 部分，如阳光、空气、水、土壤等，它们 也是生态系统中不可缺少的成分。无机环 境为生物提供生存空间、阳光、空气等。
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称
图形Βιβλιοθήκη 公理1公理2 公理3 公理4
文字语言
符号语言
如果一条直线上 有两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内
经过________的 三个点确定一个 平面
若P∈α，P∈β， 则α∩β＝a，且 ______
平行于同一条直 线的两条直线互 相平行
3 食物链和食物网
• 这些食物链为什么会出现交叉？
2 生态系统的组成 思考？
1、树与昆虫幼虫之间，
资料分析（书20页） 昆虫幼虫与啄木鸟之 间是什么关系？
吃与被吃的关系(捕食)
2、腐烂的树桩最终会 消失吗？
会消失
啄木鸟在树 上找虫子吃
空间图形的基本关系与公理.完整版PPT资料
空间图形的基本关系与公理
1
知识探究：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
2
知识探究：平面的基本性质1
文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
Al，Bl，且A，B，
l .
当堂练习1：根据下列条件作图： 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
A二、、三判角定形点在解线上B答的、依菱本据形 题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内． 例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
知识探究（二）：平面的基本性质2 （1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面，
再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
6
公理2 的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
1
知识探究：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
2
知识探究：平面的基本性质1
文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
Al，Bl，且A，B，
l .
当堂练习1：根据下列条件作图： 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
A二、、三判角定形点在解线上B答的、依菱本据形 题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内． 例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
知识探究（二）：平面的基本性质2 （1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面，
再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
6
公理2 的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
1.4.1空间图形的基本关系和公理 课件
空间图形的基本关系和 公理
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
空间图形基本关系的认识-课件ppt
∴B、Q、D1三点共线.
忽视平面的确定性致误 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B， C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一 定共面吗？
【错解】 ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
忽视平面的确定性致误 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B， C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一 定共面吗？
【错解】 ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
《空间图形的基本关系和公理》课件
八、课堂小结
1.空间点、线、面的位置关系并会用符号表示。
2.基本公理四条及三条推论
公理1 面。 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平
公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条经过这个点的公共直线。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.
延伸练习：
2.如图所示，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点． 求证：O1、M、A三点共线．
【证明】 ∵A1C1∩B1D1＝O1. 又B1D1 平面B1D1A，A1C1 平面AA1C1C，
公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？有一个公共点，那么它 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.
（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）
图形语言：
P 符号语言： P
l且P l
BACK
NEXT
一、创设情景，导入新课:
观察上述图片及模型你能否得出空间点、线、面 有怎样的位置关系？
二、学习目标：
1、通过图片及模型直观认识和理解空间点、线、面的位置 关系。 2、会用符号语言表述空间点、线、面的位置关系。 3、掌握并会应用空间基本公理。
三、自学要点：
1.概括空间点、线、面的位置关系并用符号语言表 示出来。 2.空间图形的基本公理有哪些？画出图形并用符号 语言表示出来。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.
图形语言：
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使a , b
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D A
C B
平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形 的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面 的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称．
D
A
C B
存在平面，能使a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （C ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
例3 下图长方体中 说出以下各对线段的位置关系? ① EC 和BH是 相交 直线 ② BD 和FH是 平行 直线 ③EB和HG是 异面 直线
H E
D A
G
OF
C B
BACK
NEXT
2.判别异面直线的方法: 方法一 （利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内. 方法二（特点） :两条直线 既不相交、又不平行.
3. 两条直线的位置关系有三种：平行、相交 和异面；
4. 直线与平面的位置关系有三种：包含、相 交和平行；
5. 平面与平面的位置关系有两种：相交和平 行。
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．（斜二测画法）
记作：平面
平面ABCD 平面AC或平面BD
D
FC
A
E
B
记作：平面 平面
1.点与平面的位置关 系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在 平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不 属于符号来表示．
B
A
点A在平面 内，记作 A．
读作
点B在平面 外，记作 B．
读作
2.点与直线的关系
l
l A
BACK
NEXT
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线所有的点都在这个平面内．（即直线在此
平面内）
在生产、生活中，人
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
思考题
• 过一条直线和直线外的一点 可以确定几个平面？
• 过两条相交直线？ 可以确定几个平面
• 过两条平行直线 可以确定几个平面？
公理2的推论1
• 过一条直线和直线外的一点
有且只有一个平面
A
l
BC
l
A B
们经过长期观察与实践， 总结出的一些公认为正确 的规律，我们把它作为公 理．这些公理是进一步推
理的基础．
A l,B l,A ,B l
作用：
判定直线是否在平面内．
生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什么？
存在性
公理2 个平面．
过不在同一条直线上的三点，有且只有一
B
A C
唯一性
分别在两个平面内的两条直线一定异面。 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
M
ab
a
b
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
注2
在不同平面内的两条直线不一定异面。
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例2
1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面 且a∩b=Φ, ③ a 平面，b 平面 , ④ 不
D C
A
B
D C
A
B
长方体由上下、前后、 左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面 是相交的；有些棱所在直线 与面平行，有些棱所在直线 与面相交，棱所在的直线有 些平行有些相交，还有些异 面，等等．
空间图形的基本关系：
1. 点与直线的位置关系有两种：点在直线上 和点不在直线上；
2. 点与平面的位置关系有两种：点在平面内 和点在平面外；
在（2）中， l ,a ,b ,a l P ,b l P .
随堂训练
•
•
•
A l 有 且 只 有 一 平 面 ,使 A ,l
平面的性质
推论2
• 过两条相交直线 有且只有一个平面
aB
•
b
C
•
A
•
即：两条相交直线确定一个平面
平面的性质
推论3
• 过两条平行直线 有且只有一个平面
a
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
b
C
•
B
•
即：两平行直线确定一个平面
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
理解：
a
D
b
A
（1）已知直线a、b、c， c
且a∥b，b∥c，则a∥c
G
（2）空间平行直线具有传递性 E （3）互相平行的直线表示空间
里的一个确定的方向
C B
G F
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
B
A l
al
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中， l,a A ,a B .
空间图形的 基本关系与公理
提出问题：
1.用两个合页和一把锁就可以将一扇 门固定，Why?
2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏 光就能检测桌面是否平整，Why?
3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子 本身的问题？
4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑 脚？
空间点、直线、平面的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所 在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行
怎么画异面直线呢？
o
有一个背景作为衬托 －－直观，空间立体
感更强！
D' A'
D A
C' B'
C B
异面直线的作图方法 1
•A
•B
l
异面直线的作图方法 2
a
b
4.例题
例1.判断题1
1.平面内的一条直线和平面外的一条 直线是异面直线。
• 答：错。
b
a
判断题2
B
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面相交于一条直线，为什么？
平
面
的
无
限
可
延
B
展 性
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l,且 P l
l
P
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
A
点A在直线l上． Al
3.直线与平面的位置关系
点A在直线l外． Al
l
A
直线l在平面 外．
l
l
A B 直线l在平面 内．
平面 经过直线l．
l l
4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线
空间两条直线的位置关系
共面直线
相交 有且只有一个公共点 平行 没有公共点
异面直线 不同在任一平面，无公共点