第十九章随机事件与概率单元测试题及答案
随机事件与概率练习题及答案
随机事件与概率练习题及答案不妨设P(AB)=x，则P(A∩B')=0.6x，P(A'∩B)=0.2x，P(A'∩B')=0.4-0.6x-0.2x=0.4-0.8x。
由全概率公式可知，P(A∪B)=(0.4-0.6x)+(0.8-0.2x)+x=1-0.4x，所以P(A∪B')=0.4x，P(A'∪B)=0.6-0.2x，P(A'∪B')=0.4+0.8x。
而A与B只有一个发生的事件为A∩B'+A'∩B，所以P(A∩B'+A'∩B)=0.6x+0.2x=0.8x。
因此，所求概率为P(A∩B'+A'∩B)-P(AB)=0.8x-x=0.6x=0.6P(A)P(B)。
⒊解共有5个球，其中2个黑球，所以第3次取到黑球的概率为2/5.⒋解要证明A与B相容，只需证明P(A∩B)>0即可。
由于P(A)=1/2，P(B)=3/4，所以P(A∩B)=P(A)P(B)=3/8>0，因此A与B相容。
235.解由于A,B,C相互独立，所以P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)。
又因为(A∪B)与C相互独立，所以P((A∪B)∩C)=P(A∪B)P(C)=(P(A)+P(B)-P(A∩B))P(C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A∩B)P(C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)。
因此，要证明(A∪B)与C相互独立，只需证明P(A∩C)+P(B∩C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)。
由于A,B,C相互独立，所以P(A∩C)=P(A)P(C)，P(B∩C)=P(B)P(C)，代入得证。
6.解由于A与B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)P(B)。
又因为A与B相互独立，所以A'与B相互独立，B'与A相互独立，B'与A'相互独立。
因此，P(A'∩B)=P(A')P(B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A')=P(A'∩B')，同理可得P(A∩B')=P(A'∩B')=P(A'∩B)=P(A')P(B')。
关于概率的单元试题及答案
关于概率的单元试题及答案1.明年国际儿童节是6月1日，这个事件是()A.必然事件B.不确定事件C.随机事件D.可能事件2.下列说法正确的是()A.可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生B.可能性是1%的事件在一次实验中一定不会发生C.可能性是1%的事件在一次实验中有可能发生D.不可能事件就是随机事件3.下列说法错误的是()A.必然发生的事件发生的概率为1B.不可能发生的事件发生的概率为0C.随机事件发生的概率大于0且小于1D.随机事件发生的概率为04.下列事件中是必然事件的是()A.小婷上学一定坐公交车B.买一张电影票.座位号正好是偶数C.刘红期末考试数学成绩一定得满分D.将豆油滴入水中，豆油会浮在在水面5.一个口袋里有1个红球、2个白球、3个黑球，从中任意取出一个球.该球是黑色的，这个事件是()A.随机事件B.必然事件C.不可能事件D.夏上都不对6.从一副扑克中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃，放在一起洗匀岳.从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这个事件是()A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.以上都不对7.如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域.并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是()A.B.C.D.8.气象台预报“本市明天降水概率是80%”.对此信息，下列说法正确的是()A.该市明天将有80%的地区降水B.该市明天将有80%的时间降水C.明天肯定下雨D.明天降水的可能性忧较大9.有五只灯泡，其中两只是次品，从中任取一只恰为合格品的概率为()A.20%B.40%C.50%D.60%10.下列说法正确的是()A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张这种彩票一定会中奖C.天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等11.冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橙汁、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是()A.B.C.D.l2.投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的毹率等于出现“点数为偶数”的概率;②只要连掷6次，一定会“出现一点”;③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大;④连续投掷3次，出爱的点数之和不可能等于19.其中正确的见解有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每题2分，共20分)13.在杰一枚均匀的正方体骰子时，掷得的点数为_________是一件必然事件.14.七年级(3)班有男生24人，女生27人，从中任选1人是男生的事件是________事件.(填“必然”、“不可能”或“随机”)15.从1、3、5、7四个数中任抽一个，抽出的这个数是奇数的事件是_____事件.(填“确定”或“不确定”)16.有同品种工艺品12件，其中一等品8件，二等品3件，三等品1件，从中任意取一件，很可能接到________等品.17.一次数学翻验时，有8道选择题.每道题均给出四个备选答案.其中只有一个是正确的.某同学不假思索任选答案÷那么他_______全部选对正确答案.(填“很可能”、“不可能”或。
概率论与数理统计习题答案1-19章
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321 （2）},,{642ωωωA ； }.,{63ωωB （3）},,{531ωωωA ，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB ，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A ，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB ，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( i ，则},,,{1843ωωω Ω；},,,{181211ωωωA ；}.,,,{1443ωωωB (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A 或CA BC AB(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A 或C B A 或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i 1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121 (4) n A A A 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109 C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62 A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818C 种；这三本书的排列顺序数为!333 A ；故有利事件总数为!3!8!38!7 (亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)( A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812 C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0( i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A 因为V A A 10，所以).()()(10A P A P A P 而0281.0979942347)(5010050950 C C A P 1529.09799447255)(501004995151 C C C A P 故 181.01529.00281.0)( A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416 C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194 C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426 C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0 P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ,，从而V C AB )(可推出0)( ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P 75.043413131313 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)( B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A )(，所以)()()(B A P AB P A P ，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()( B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011 C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511 A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1( i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”973.0)02.01(31)03.01(32（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1( i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ，得60 k ，从而有4.015060150)(2 k A P ，.3.020060200)(3 k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0 （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()( B P故所求为 832.0)(1)( B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0( i ，则2201)(312330 C C A P 22027)(31219231 C C C A P 220108)(31229132 C C C A P 22084)(31239033 C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i146.05324007761611122084447220108551422027552122014 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1( i ，则9.0)(1 A P 8.0)(2 A P 7.0)(3 A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0902.0 ．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0( i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B 且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0 B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1 B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010 B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1 A P 2.0)()(32 A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B 于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P 328.02.02.03.02.02.03.0 ．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)( A P 31)( B P 41)( C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P 6.0413151415141513151413151 ． （另解）52)411)(311)(511()()()()()( C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)( D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1 A P5.0)(2 A P 7.0)(3 A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0( i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210 A P A P A P A A A P B P3213213211 )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0)()(3213213212A A A A A A A A A P B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.014.07.05.04.0)()()()()(3213213 A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0 B A P 2.0)(1 B A P 6.0)(2 B A P 1)(3 B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30 i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)( i A P )9,,2,1( i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0( C C273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(90403.01556.02668.02668.01715.0 901.0 ．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{ 一次都不发生至少发生一次要p p n )1(1，即要p p n 1)1(，从而有.1)1(log )1( p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q 1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164 x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66 x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0( p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300 C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300( np λ168031355.0!43)4(34 e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)( p A P ，5 n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3( X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C16308.000243.002835.01323.0（另解） )2()1()0(1)3(1)3( X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C 16308.0六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)( k k ak X P k；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为1)(k k X P ，即01!k kk λa ，亦即1 λae ，所以.λe a6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x 可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（ ,）；（2）（0, ）．解：（1）设211)(xx F，则1)(0 x F 因为0)(limx F x ，0)(limx F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F，则1)(0 x F 且0)(lim x F x ，1)(lim 0 x F x 因为)0( 0)1(2)('22x x xx F ，所以)(x F 在（0, ）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )( 可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）2,0 ； （2） ,0； （3） 23,0 ．解：（1）因为 2,0πx ，所以0sin )( x x f ；又因为1cos )(2020x dx x f ，所以当2,0πx 时，函数x x f sin )( 可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为 πx ,0 ，所以0sin )( x x f ；但12cos )(0x dx x f ，所以当 πx ,0时，函数x x f sin )( 不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为23,0πx ，所以x x f sin )( 不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是， 3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1( 内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim πB A x F x ，12)(lim πB A x F x ，解得.1,21πB A即)( ,arctan 121)( x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11( F F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f ． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)( dx x f ，得1220 A dx e A dx Ae xx ，解得21 A ，即有 ).( ,21)( x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x(3) 随机变量X 的分布函数为21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率． 解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P638.0287.0287.03287.0332（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33 X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)( e ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~ e X ，所以R x ，有xex F 1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A ，t X B ．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ，从而A AB ．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X Pt st s e e e ]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P )1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ．（２）由题设，知X 的概率密度为．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211 ；（2）2)3(2X X Y． 解：X 的分布律为（1）X Y 211 的分布律为（2）2)3(2X XY 的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为.0,0;0,)1(2)(2x x x x f求随机变量函数X Y ln 的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F 所以随机变量函数X Y ln 的概率密度为)( )1(2)()()()(2'' y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY ，即)( )1(2)(2 y e e y f yyY ．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),( F F F ，得0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ，.12πA （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F 2arctan 1)4(2),()(2 2arctan 121xyx y Y y dy y dx y x f dy x F 3arctan 1)9(3),()(2 3arctan 121yX 及Y 的边缘概率密度分别为0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x 022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y )9(3)2arctan 21()9(122022y x y三、设),(Y X 的联合概率密度为., 00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0 y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(dy dx y x f ，有16132A dy e dx eA y x，解得.6 A （2）),(Y X 的联合分布函数为其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2 e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y 与直线2 x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2( Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212 C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92C ．故有.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(21210)2(92292dx x x xdx 481.02713)322(92922132102x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ．解: (1)X 的概率密度为)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyxy12102212)(21),()(7869.0)1(2221122e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X证明它们的和Y X Z 也服从二项分布． 证明: 设j i k , 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P 22110)()()()( ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C, 有k n n ki in i n C C C21210. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z 由此知Y X Z 也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：.20,;21,2;1,)(yyyyyyyfY或求随机变量YXZ的概率密度．解: X的概率密度为]1,0[,0]1,0[,1)(xxyf . 于是),(YX的联合概率密度为.0,21,1,210,1,),(其它当当yxyyxyyxfYXZ的联合分布函数为}),{(}{}{)(DyxPzYXPzZPzFZ，其中D是zyx与),(yxf的定义域的公共部分.故有322932121233123,0)(222zzzzzzzzzzzFZ从而随机变量YXZ的概率密度为323213213,0)(zzzzzzzzzfZ三、电子仪器由六个相互独立的部件ijL（3,2,1;2,1ji）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布)(e，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ijX的分布函数为,0,1xxeFxX ij先求各个并联组的使用寿命)3,2,1(iYi的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax(21iYiii从而有)3,2,1(iYi的分布函数为,0,)1()(221yyeFFyFyXXY iii设Z"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321YYYZ .从而有Z的分布函数为0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z 故Z 的概率密度为0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430EX 即3.0004.03041.02205.0175.00 EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002 EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222EX EX DX 565.03191.0 DX X二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(2111112Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以 没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为.1, 0;1,11)(2x x x x f 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112dx xx dx x xf X Edx x x dx x x dx x f x X D 1022112221211)()(21]arcsin 2112[2102 x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)( x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y 的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00 EY 72.072.0128.002 EY2016.0)72.0(72.0)(222 EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为 ，则 服从]2,2[ 上的均匀分布，其概率密度为]2,2[,0]2,2[,1)(f ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(R L ，故所有弦的平均长度为22cos 21)()()]([d R d L f L ERR d R4sin 4cos 42020．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1( eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为 ，方差为2．求这些随机变量的算术平均值 ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为 )(i X E ，2)( i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 i ). 则i X 服从"10 "分布. 其中站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是i X 的概率分布为设ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101 i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为. 1,222y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由1),(dxdy y x f . 有1112022222A dr rrd A dxdy y xA解得,1A .(2)011),()(222dx y xxdy dxdy y x xf X E .由对称性, 知 0)( Y E .dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222dx y xx dy 222211022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r rr r dr rr d同理, 有 )(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y Xdxdy y x xyf ),(011),(222dx y xxydy dxdy y x xyf .二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X dxdy y x xyf ),(010xxydy xdx ．(2) 当)1,0( x 时,有x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0( x 时, 有0)( x f X .即)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X , 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov( Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X 的概率．解：91)3()3(2D D DE P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B 且有50005.010000 np E 2500)5.01(5.010000 npq D于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(75.025.011 pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0 n ξD 09.0要使得9.0)10( ξP ，即9.0)10( n ξP ，因为9.0)10( n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0 nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10 n ，所以53 n ，从而有1)3(1,0 n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0 nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0 Φ，故有28.13.0101.0 nn ，解得.146 n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1( X P ；（2）)56.4( X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0 ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ.0402.09973.09625.02二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100 （mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100( X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100( X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2( 9544.019772.02故0456.09544.01 p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(x ex f求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{ ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33于是有86975.013025.01)(1}30{ D P P 米至少有一次绝对值三次测量中 ．四、设随机变量),(~2 N X ，求随机变量函数Xe Y 的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(x ex f x X从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ．当0 y 时，有0)( y F Y ；此时亦有0)( y F Y ． 当0 y 时，有dx ey X P y F yx Yln 2)(2221)ln ()(．此时亦有222)(ln 21)(y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211 N X ，),(~222 N Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z 1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)( X D X E ；222)(,)( Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()( b a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E ； 222212221)()()()()()( b a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D ． (2)212)()()()( Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D212222212221 ．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()( Y E X E ，16)( X D ，25)( Y D ，并且12),cov( Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0 y x ，416 x ，525 y ，53),cov(),(y x Y X Y X r ．从而 2516)53(1122r ，5412 r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x e y x f．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32 Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)( X E ，1)( X D ，1)( Y E ，4)( Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()( E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()( D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z ，故随机变量32 Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(z z Z eez f)( z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设XY Z 根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z ．根据题目假设，我们知道当31 X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31( Z P Z P Z P9544.019772.02 ．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ．808.0100 E ． 16)8.01(8.0100 D ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0 P 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0 （2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0 P P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0 5.015.02 ．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000 EX ． 84.59)006.01(006.010000 DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000( P X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0 ΦΦΦ． 即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1( ． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．15 总体与样本·统计量·几个常用分布一、已知样本观测值为15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.817.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为 17.920.813.217.414.524.2 15.8(121x 44.18)22.616.418.521.019.1样本方差为22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(111s 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22224356.02916.05696.50816.14576.275236.151776.339696.6(1117756.10115312.118 .样本二阶中心矩22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(121u 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22228776.9125312.118 .解：样本均值为14.3)76215204253212 151(1001x 样本方差为 2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[11001s1216.2])14.36(7)14.35(1222样本二阶中心矩为2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[1001~s 1004.2])14.36(7)14.35(1222三、设总体X 的均值与方差分别为 与2 ，n X X X ,,,21 是来自该总体的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，求)(,)(,)(2S E X D X E ．解： ni n i i n i i n x E n x n E x E 1111)(1)1()(n n x D n x n D x D n i n i i n i i 21221211)(1)1()(ni i n i i x nE x E n x n x n E s E 1222122)]()([11)](11[)(ni i i x E x D n Ex x D n 122])()([])()([{110}][][{1112222ni nn n n 四、设总体X 与Y 相互独立且均服从正态分布23 ,0N ，921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别为来自X 与Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U服从什么分布？解：因为)3 0(~2，N X ，)3 0(~2，N Y , 所以)9 , 2 , 1( )3 0(~ )3 0(~22，，，i N Y N X i i . 于是有 9) 2 1( 93 0 0222，，， i S DX S EY EX Y X i i推得292221921Y Y Y X X X U99191919191291291291YY i i i ii i S XE X S X Y X Y X。
数学九年级上册《概率初步》单元测试题(附答案)
二、填空题(每题3分，共24分)
11.从分别标有1，2，3，…，50的50张卡片中抽出2的倍数的卡片的可能性________抽出4的倍数的卡片的可能性(填”大于”“小于”或”等于”)．
12.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
6.如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C，D出口离开的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
20.如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定转动转到一个数（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．
（1）求事件”转动一次，得到的数恰好是0”发生的概率；
（2）写出此情景下一个不可能发生的事件．
（3）用树状图或列表法，求事件”转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等”发生的概率.
【详解】设需要在这个口袋中再放入x个绿球,得： ，
解得：x=2.
所以需要在这个口袋中再放入2个绿球.故选C.
【点睛】本题考查了概率的知识点，解题的关键是熟练掌握求概率的公式：概率=所求情况数与总情况是之比.
9.如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
15.经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是．
人教版九年级数学上随机事件与概率同步练习卷含答案
人教版九年级数学上随机事件与概率同步练习卷含答案一、选择题1．“兰州市改日降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A．兰州市改日将有30%的地区降水B．兰州市改日将有30%的时刻降水C．兰州市改日降水的可能性较小D．兰州市改日确信不降水2．下列说法正确的是（）A．“改日降雨的概率是80%”表示改日有80%的时刻都在降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票确信会中奖D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳固在邻近3．某校学生小亮每天骑自行车内学时都要通过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为（）A．B．C．D．4．掷一枚有正反面的平均硬币，正确的说法是（）A．正面一定朝上B．反面一定朝上C．正面比反面朝上的概率大D．正面和反面朝上的概率差不多上0.55．下列说法正确的是（）A．一个游戏中奖的概率是，则做100次如此的游戏一定会中奖B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采纳普查的方式C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数差不多上1D．若甲组数据的方差S甲2=0.2，乙组数据的方差S乙2=0.5，则乙组数据比甲组数据稳固6．下列说法正确的是（）A．“改日降雨的概率是80%”表示改日有80%的时刻降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次显现正面朝上C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖D．抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0.5“表示假如那个骰子抛专门多专门多次，那么平均每2次就有1次显现朝上面的数为奇数7．世界杯足球赛正在巴西如火如荼地进行，赛前有人推测，巴西国家队夺冠的概率是90%．对他的说法明白得正确的是（）A．巴西队一定会夺冠 B．巴西队一定可不能夺冠C．巴西队夺冠的可能性专门大 D．巴西队夺冠的可能性专门小8．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．9．在一个不透亮的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（）A．B．C．D．10．甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（）A．B．C．D．11．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名理想者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名理想者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（）A．B．C．D．12．将一质地平均的正方体骰子掷一次，观看向上一面的点数，与点数3相差2的概率是（）A．B．C．D．13．一个不透亮的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．14．下列说法正确的是（）A．“改日的降水概率是80%”表示改日会有80%的地点下雨B．为了解学生视力情形，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生C．要了解我市旅行景点客流量的情形，采纳普查的调查方式D．一组数据5，1，3，6，9的中位数是515．下列说法错误的是（）A．必定事件的概率为1B．数据1、2、2、3的平均数是2C．数据5、2、﹣3、0的极差是8D．假如某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖16．某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（）A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格17．抛掷一枚平均的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定18．下列说法正确的是（）A．“改日降雨的概率是50%”表示改日有半天都在降雨B．数据4，3，5，5，0的中位数和众数差不多上5C．要了解一批钢化玻璃的最少承诺碎片数，应采纳普查的方式D．若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数==10，方差s2甲=1.25，s2乙=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳固19．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个平均的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融解．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（）A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）20．2020﹣2020NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（）A．科比罚球投篮2次，一定全部命中B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小二、填空题21．从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程+1=的解为负数的概率为______．22．一个学习爱好小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是______．23．一个不透亮的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是______．24．不透亮的袋子里装有1个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是______．25．掷一枚质地平均的正方体骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），向上一面显现的点数大于2且小于5的概率为______．26．从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为______．27．（2020•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是______．28．（2020•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为______．29．（2020•台州）有四张质地、大小、反面完全相同的不透亮卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是______．三、解答题30．在一个不透亮的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：事件A 必定事件随机事件m的值______ ______（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．随机事件与概率答案一、选择题1．C；2．D；3．D；4．D；5．C；6．D；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．B；13．A；14．D；15．D；16．D；17．B；18．D；19．B；20．A；二、填空题21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；三、解答题30．4；2，3；。
九年级上册数学随机事件与概率练习及答案
九年级上册数学随机事件与概率练习及答案1．向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上，这一事件( )A ．必然发生B ．不可能发生C ．可能发生也可能不发生D ．以上都对2．小刚掷一枚质地均匀的正方体骰子，黑龙江六个面分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上一面点数大于3的概率为( )A.12B.13C.23D.143．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答，在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号、7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是( )A.110B.19C.18D.174．在100张奖券中，有4张中奖，小红从中任抽1张，她中奖的概率是( ) A.14 B.120 C.125 D.11005．下列事件中，不可能事件是( )A ．投掷一枚均匀硬币，正面朝上B ．明天是阴天C ．任意选择某个电视频道，正在播放动画片D ．两负数的和为正数6．下列事件中，不是必然事件的是( )A ．对顶角相等B ．内错角相等C ．三角形内角和等于180°D ．等腰梯形是轴对称图形7．抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1至6的点数的正方体型骰子．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是( )A ．出现的点数是7B ．出现的点数不会是0C ．出现的点数是2D ．出现的点数为奇数8．下列事件中，哪些是确定的事件？哪些是随机事件？在确定的事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？①清明时节雨纷纷；②当x 是实数时，x 2≥0；③今天是小夏同学的生日；④若a ＜b ＜0，则1a ＞1b；⑤跳高可摘星辰．9．“a 是实数，(a －1)2≥0”这一事件是( )A ．必然事件B ．不确定事件C ．不可能事件D ．随机事件10．小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一位数字，只记得号码是284□9456(□表示忘记的数字)．若小刚从0至9的自然数中随机选取一个数放在□位置，则他拨对小东电话号码的概率是___________．11．如图25-1-1，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1 cm ，2 cm,3 cm,4 cm 和5 cm ，口袋外有2张卡片，分别写有4 cm 和5 cm ，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数字分别作为三条线段的长度，回答下列问题：(1)求这三条线段能构成三角形的概率；(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率．图25-1-1答案：1．C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B 8．解：①③是随机事件，②④⑤是确定事件，其中②④是必然事件，⑤是不可能事件．9．A 10.11011．解：(1)取出的卡片可以是写有2 cm,3 cm ，4 cm 和5 cm 的卡片中任一张，P (构成三角形)＝45. (2)取出的是写有3 cm 的卡片才能构成直角三角形，P (构成直角三角形)＝15. 25．2 用列举法求概率【课后巩固提升】1．A 2.A 3.D 4.C5．D 解析：5种图形中除“平行四边形”外都是轴对称图形，翻开图形是轴对称图形的结果有4种，故概率为45. 6.137．解：(1)共有4个球，标号为2的球有1个，所以概率为14.(2)如图D47，共有16种情况，两次摸取的小球的标号的和为5的情况有4种，所以所求的概率为14. 图D47 8．解：(1)如图D48，画树状图得：图D48∴一共有12种等可能的结果，取出的卡片的编号之和等于4的有2种情况．∴取出的卡片的编号之和等于4的概率为：212＝16(2)如图D49画树状图得：图D49∴一共有16种等可能的结果，满足a ＋2＞b 的有13种情况．∴满足a ＋2＞b 的概率为1316. 9．解：(1)用树状图表示(x ，y )所有可能出现的结果如下：－2 －1 1－2 (－2，－2) (－1，－2) (1，－2)－1 (－2，－1) (－1，－1) (1，－1)1 (－2,1) (－1,1) (1,1)(2)∵求使分式x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y有意义的(x ，y )有(－1，－2)，(1，－2)，(－2，－1)，(－2,1)4种情况，∴使分式x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y有意义的(x ，y )出现的概率49. (3)x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y ＝x －y x ＋y， 使分式的值为整数的(x ，y )有(－2，－2)，(1，－2)，(－1，－1)，(－2,1)，(1,1)5种情况．∴使分式的值为整数的(x ，y )出现的概率是59. 10．解：(1)P (翻到黄色杯子)＝13. (2)将杯口朝上用“上”表示，杯口朝下用“下”表示，画树状图如图D50.图D50由树状图可知：所有等可能出现的结果共有9种，∴P (恰好有一个杯口朝上)＝69＝23.。
人教版九年级数学上册《25.1随机事件与概率》同步测试题带答案
人教版九年级数学上册《25.1随机事件与概率》同步测试题带答案1.“明天是晴天”这个事件是( )A.确定事件B.不可能事件C.必然事件D.不确定事件2.下列事件是必然事件的是( )A.抛出的篮球不会下落B.射击运动员射击一次,命中10环C.早晨太阳从东方升起D.任意掷一枚硬币,落地后正面向上3.从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是红球，这个事件是( )A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.以上事件都有可能4.书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为( )A.14B.13C.12D.235.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各5双，混杂在一个黑色的布袋里，要保证从中摸取不同颜色的筷子共两双，则至少要摸出( )只筷子.A.12B.13C.14D.156.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )A.点数的和为1B.点数的和为5C.点数的和大于12D.点数的和小于137.一个不透明口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球2个，红球3个，黄球5个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是( )A.12B.13C.15D.1108.在学校科技宣传活动中,某科技活动小组将3个标有“北斗”,2个标有“天眼”,5个标有“高铁”的小球(除标记外其它都相同)放入盒中,小红从盒中随机摸出1个小球,并对小球标记的内容进行介绍,下列叙述正确的是( )A.摸出“北斗”小球的可能性最大B.摸出“天眼”小球的可能性最大C.摸出“高铁”小球的可能性最大D.摸出三种小球的可能性相同9.“同时抛掷两枚普通的骰子，落地后向上一面的点数之和为11”是___________（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）10.某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，当女生选_________名参加时，男生小强被选中是必然事件.11.小明从《红星照耀中国》,《红岩》,《长征》,《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本,其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______.12.有5张仅有编号不同的卡片,编号分别是1,2,3,4,5.从中随机抽取一张,编号是偶数的概率等于______.13.掷两枚普通的正方体骰子，把两个骰子的点数相加，请问下列事件中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是可能发生的？并说明原因.（1）和为1；（2）和为4；（3）差为6；（4）和小于1414.在一个不透明的盒子里装有6个红球,10个白球,若干个黑球,每个球除颜色外都相同,若从中任意摸出一个白球的概率是1 3 .(1)求任意摸出一个球是黑球的概率.(2)小明从盒子里取出a个黑球(其他颜色球的数量没有改变),使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为14,请求出a的值.参考答案1.【答案】D解析：“明天是晴天”这个事件是随机事件,属于不确定事件故选：D.2.【答案】C解析：A、抛出的篮球不会下落,是不可能事件,故本选项不符合题意；B、射击运动员射击一次,命中10环是随机事件,故本选项不符合题意；C、早晨太阳从东方升起,是必然事件,故本选项符合题意；D、任意掷一枚硬币,落地后正面向上,是随机事件,故本选项不符合题意；故选：C.3.【答案】B解析：从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是红球，这个事件是随机事件故选：B.4.【答案】B解析：一共有3本书,从中任取1本书共有3种结果选中的书是物理书的结果有1种∴从中任取1本书是物理书的概率13=. 故选：B.5.【答案】B解析：如果前面一直摸出某一种颜色的筷子，共10只筷子，此时袋内只有两种颜色的筷子，另外摸出一双即可，如果又摸两只仍为不同颜色，再摸一只便可组成一双，此时共摸出102113++=只，则至少摸出13只筷子.故选：B.6.【答案】B解析：投掷两枚质地均匀的骰子点数之和的范围在212～之间（包括2，12），可知点数的和为5是随机事件.点数的和为1，点数的和大于12是不可能事件，点数的和小于13是必然事件，故B 正确.故选：B.7.【答案】A 解析：从口袋中任意摸出一个球是黄球的概率=512+3+52. 故选A.8.【答案】C解析：盒中小球总量为：32510++=(个) 摸出“北斗”小球的概率为：310摸出“天眼”小球的概率为：摸出“高铁”小球的概率为：因此摸出“高铁”小球的可能性最大.故选C.21105=51102=9.【答案】随机事件解析：同时投掷两枚普通的骰子，落地后向上一面的点数之和可能是11，所以是随机事件.故答案为：随机事件.10.【答案】1解析：当女生选1名时，男生小强被选中是必然事件.故答案为1.11.【答案】14/0.25解析：随机挑选一本书共有4种等可能的结果,其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种∴14 P故答案为：1 4 .12.【答案】25/0.4解析：从编号分别是1,2,3,4,5的卡片中,随机抽取一张有5种可能性,其中编号是偶数的可能性有2种可能性∴从中随机抽取一张,编号是偶数的概率等于2 5故答案为：2 5 .13.【答案】见解析解析：（1）最小的和为2，故和为1属于不可能事件（2）和可能为2和12之间的任意一个数，故和为4属于可能事件（3）差最大为5，故差为6属于不可能事件（4）和最大为12，故和小于14属于必然事件.14.【答案】(1)715(2)6解析：(1)∵红球6个,白球10个,黑球若干个,从中任意摸出一个白球的概率是1 3∴盒子中球的总数为：110303÷=(个)故盒子中黑球的个数为：3061014--=(个)∴任意摸出一个球是黑球的概率为：147 3015=.(2)∵任意摸出一个球是红球的概率为1 4∴盒子中球的总量为：16244÷=(个)∴可以将盒子中的黑球拿出30246-=(个)∴6a=.。
2020年人教版高中数学单元测试-概率初步(附答案)
2020年人教版新课标高中数学模块测试卷概 率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1 200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） A ．高一学生被抽到的概率最大 B ．高二学生被抽到的概率最大 C ．高三学生被抽到的概率最大D ．每名学生被抽到的概率相等2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则（ ） A ．正面朝上的概率为0.6 B ．正面朝上的频率为0.6 C ．正面朝上的频率为6D ．正面朝上的概率接近于0.63．事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A 发生的概率的范围是（ ） A ．()0P A ＞B ．()1P A ＜C ．()01P A ＜＜D ．()01P A ≤≤4．同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(),x y 表示结果，记A 为所得点数之和为8，则事件A 包含的样本点总数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．袋内装有一个黑球与一个白球（除颜色外其他都相同），从袋中取出一球，在100次摸球中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为（ ） A ．49B ．51C ．0.49D ．0.516．把形状、质量、颜色等完全相同，标号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球放入一个不透明的袋子中，从中任意抽取一个小球，记下号码为x ，把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球，记下号码为y ，设“6xy =”为事件A ，则()=P A （ ）A ．118B ．112C ．19D ．167．某校高中三个年级人数统计图如图5-5-1所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（ ）A ．24B ．30C ．32D ．358．假设某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．720B ．14C ．15D ．3209．关于图5-5-2的说法，错误的一个是（ ）A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．2511．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图如图5-5-3所示，两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（ ）A ．x x 乙甲＜，σσ乙甲＜B ．x x 乙甲＜，σσ乙甲＞C ．x x 乙甲＞，σσ乙甲＜D ．x x 乙甲＞，σσ乙甲＞12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D ．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：则（1）该班成绩在[]80,100内的概率为________； （2）该班成绩在[]60,100内的概率为________．14．若一个三位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为________．15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率为________．16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，{}0,1,2,,9b ∈．若||1a b -≤，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的售后调查数据，经分类整理得到下表：使用满意率是指一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值．（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10 000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．18．（12分）为了研究某种理财工具的使用情况，对[]20,70年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70，并整理得到频率分布直方图如图5-5-4： （1）求直方图中a 的值．（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？（3）在（2）中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？19．（12分）已知某种高炮在它的控制区域内击中目标的概率为0.2．（1）假设有5门这种高炮控制某个区域，求目标进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使目标一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？（参考值lg20.301≈）20．（12分）某教育集团为办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（最高110分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低），去年测评的数据如下： 甲校：96，112，97，108，100，103，86，98； 乙校：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数． （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差． （3）根据以上数据，你认为这两所学校哪所学校人民满意度更高？21．（12分）一只口袋内装有形状、大小、质地等都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1，2，3，4．甲、乙、丙三名同学约定： ①每人不放回地随机摸取一个球； ②按照甲、乙、丙的次序依次摸取； ③谁摸取的球的数字最大，谁就获胜．用有序数组(),,a b c 表示这个试验的基本事件，例如：()1,4,3表示在一次试验中，甲摸取的是标记着数字1的小球，乙摸取的是标记着数字4的小球，丙摸取的是标记着数字3的小球． （1）列出基本事件，并指出基本事件的总数； （2）求甲获胜的概率；（3）求出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸球的次序是否有关．22．（12分）某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：现从某企业生产的这种产品中随机抽取100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图5-5-5所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“任取一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10 000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0.01）．2020年人教版新课标高中数学模块测试卷概 率·答案一、 1.【答案】D【解析】由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，故每名学生被抽到的概率相等，故选D 。
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7。
2010—2011学年度第一学期散水头中学八年级数学
第十九章随机事件与概率单元检测
一、选择题
1 •以下事件是不可能事件的是（）
A .一个角和它的补角的和是180 °
B .一个有理数的绝对值是1
C.掷1枚骰子点数是1
D .一个数和它的相反数之和等于2
2. 在下列各事件中，可能性最大的是（）
A .任意买一张电影票，座位号是奇数
B .掷一枚骰子点数小于等于2
C.有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中抽一张就得奖
D .一个袋子中有10个红球，20个白球，从中摸出一个是白球。
3. 若一件事情不发生的机会是99。
99%,那么它是（）
A .很有可能发生
B .必然发生
C.不可能发生 D .不太可能发生
4. 抛掷均匀的正六面体的骰子，正面出现6的机会
约是（）
A . 1/3
B . 1/4 C. 1 /6 D.无法确定
5. 在抛掷一枚硬币的实验中，某一小组作了
500次实验，当出现正面的频数是（
）
时，其出现正面的频率才是49. 6%。
A . 248
B . 250 C. 258 D .无法确定
6. 抛掷两枚普通的骰子，则出现数字之积为奇数的机会是（）
A . 1/4
B . 1 / 2
C . 1/3
D .不能确定
二、填空题
1 .可能发生是指有时（），有时（）或者说发生的机会介于0和（）之间；
不可能发生是指每次都完全没有机会发生，或者说，发生的机会是（）;不太可能发生
是指发生的机会（）;必然发生是指每次（）不可能不发生，或者说发生的机会是100%。
2. 在下面的括号内填上一定” 很可能” 可能” 不太可能”、不可能”
任意掷一枚骰子（）出现6,（）出现偶数，（）出现整数，（）出现
3. 指出下列事件是必然事件，还是不确定事件，还是不可能事件。
有5张卡片上面写有0，2，4，6，8。
从中任意抽取 1 张。
（1）抽取一张卡，上面是奇数是（）；
（2）抽取一张卡，上面是偶数是（）；
（3）抽取一张卡，上面是 4 是（）。
4．有两个完全相同的抽屉和3 个完全相同的白色球，要求抽屉不能空着，那么第一个抽屉中有 2 个球的概率是（）。
5．一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000 尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的概率是31％和42％，则这个水塘里有鲤鱼（）尾，鲫鱼（）尾，链鱼
（）尾。
6．如果有二组牌，每组3 张，牌面上的数字分别是1，2，3，若从每组牌中摸出一张牌，那么两张牌面数字和分别是（）等（）种情况，摸出牌面数字和为 4 的概率是（）。
三、比较下列事件发生的可能性的大小
（1）有两个盒子，一个装有 5 个红球和6个白球，另一个装有 5 个白球和6个红球，分别从中摸一个球，从哪一个盒子中摸到白球的可能性大?
（2）如果把（1）中的两个盒子中的球放在一个盒子里，那么摸到红球的可能性与摸到白球的可能性哪个大?
（3）投掷一枚硬币，出现正面的可能性与出现背面的可能性哪个大?
（4）程露的学号是 2 的倍数的可能性大，还是5的倍数的可能性大?
（5）程露的学号是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大?
四、一个盒子里面放有不同数目的分别标有 1 和2的小球，标有 1 的小球比标有2的小
球多。
（1）摸到标有 1 的球则甲胜，摸到标有2的球则乙胜，为了使比赛对甲、乙公平，摸球以前是否要将盒子里的球摇匀？
（2）甲去摸球，请问甲摸到标有l 的球的可能性大，还是摸到标有 2 的球的可能性大？
（3）两个人去摸球，甲先摸，摸完后把球放人盒子，乙再摸。
请问甲摸到标有 1 的球的可能性大，还是乙摸到标有 1 的球的可能性大?
（4）两个人去摸球，甲先摸，摸完后把球放入盒子，乙再摸。
请问甲摸到标有 1 的球的可能性大，还是乙摸到标有 2 的球的可能性大?
五、如图19-2 所示是两个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若于个扇形，分别计算转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率。
图 19-2
答案：
6. A
_9 =丄
由所列表可知，出现数字之积为奇数的机会为
36 一 4。
二、1.发生，不发生，1； 0 ;比较小；肯定。
2•可能，很可能，一定，不可能。
3. （1）不可能事件，（2）必然事件，（3）不确定事件。
4. 2
5. 310, 420, 270 分析：鲤鱼条数=1 000 31%= 310,鲫鱼条数=1 000 42%= 420,
1
2
2. D 分析：A 、50% B 、3 C 、10 %
D 、3，故选 D 。
3. D
4. C
m
5. A 分析：设出现正面的频数为
m ,则 500 =49。
6%，解得
m=248，故选 A 。
一、1. D 分析：A 是必然事件, 选D
B 是随机事件，
C 是随机事件,
D 是不可能事件，故
白
白 //八、白
蓝 白 白 蓝 蓝
白
白
鲢鱼条边=1 000 - 310 -420=270。
1
6. 2, 3, 4, 5, 6;共5; 3
三、（1）从装有5个红球和6个白球的盒子中摸到白球的可能性大；
（2）把（1）中的两个盒子中的球放在一个盒子里后，盒中白球和红球的个数都是11, 因此摸到红球的可能性与摸到白球的可能性一样大；
（3）一样大；
（4）学号是2的倍数的可能性大；
（5）—样大。
四、（1 ）为了使比赛对甲、乙公平，摸球以前要将盒子里的球摇匀；（2）甲摸到标有1的球可能性大；（3）一样大；（4）甲摸到标有1的球的可能性比乙摸到标有2的球的可能性大。
4 1 ? _丄
五、左图：P （指向蓝色区域）=8一2 ；右图：P （指向蓝色区域）=12 一4。