数学模型之弹簧模型

一个弹簧质量系统

问题

一个弹性系数为k的弹簧左端固定，右端连接一个质量为m的滑块，放在一个光滑的水平面上，给出一定的初始位移后让其运动，求该弹簧质量系统的运动规律。

问题的数学模型为：2

2d x m kx dt

=−22020d x x dt ω+= = ()x t + 62()

cos t

1个弹簧连接1个物体水平运动的动画演示

1个弹簧连接1个物体竖直运动的动画演示

3个弹簧连接2个物体的运动

这里建立一个这样的模型，两个物体之间连有弹簧，两个物体两端又分别连接1个弹簧，两个弹簧的另一端又分别固定在墙上。

将两个物体分别拉伸一段距离后放开物体，弹簧-质量系统就会做往复运动，观察它们的运动情况，列出它们的运动方程。

= ∂∂2

t

2()x1t − + 2()x1t ()

x2t = ∂∂

2t 2()x2t − + 2()x2t ()

x1t 求解系统的微分方程得

= ()x2t + 52()cos t 1

2

()cos 3t = ()x1t − 52()cos t 12()cos 3t

系统的动态演示图

2个弹簧连接2个物体竖直运动

个物体竖直运动动态演示图

6个弹簧连接5个物体水平运动的动画演示

= + + ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟∂∂2t 2()x t 15⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟∂∂t ()x t ()x t

0欠阻尼状态

受到重击的弹簧质量系统示意图

5()t δπ−

3cos(2/5)cos(/8)t e t t ππ−+++周期外力