3维坐标转换参数直接计算的严密公式

8 测 绘 通 报 2006 年 第 5 期
2. 数学模型 根据坐标转换的物理过程 ,可得到数学模型
XT
XS + Xm
YT =λR YS + Ym
(1)
ZT
ZS + Zm
可见[ Xm Ym Zm ]T = [ XT1 - XS1 YT1 - YS1 ZT1
b = YT21 - λYS21
λXS21 + XT21 · 0
(9)
c
ZT21 - λZS21
上式只有两个独立方程 ,不能解出 3 个未知数 , 用点
1 ,3 可得一组方程 ,和式 (9) 联合 ,取 3 个
0 - w2
v3
Leabharlann Baidu
- w2 0 u3
- v2 u2 0
a
λXS21 - XT21
b = λYS21 - YT21
Rigorous Formula for Direct Calculating Parameter in 3D Transformation
YAO Ji2li
摘要 :首先对坐标转换的物理意义进行解释 ,又把传统 3 个旋转角参数用反对称矩阵的 3 个元素代替 ,推出用 3 个和 4 个公共点 直接计算转换参数的严密公式 ,在此基础上推导出严密的线性化公式 。由于不用进行三角函数计算 ,只用简单加减乘除 ,也不用 迭代计算 ,所以该模型计算速度快 。 关键词 :3 维坐标转换 ;转换参数 ;转换矩阵 ;反对称矩阵 ;罗德里格矩阵
习惯上称ΔX ,ΔY ,Δ Z ,λ,θ, <,ψ为 7 参数 , 后 3 个 称为旋转参数或角度参数 。
3. 模型参数确定的分析 由数学建模过程可以得出 , 尺度因子 λ最好确 定 ,是刚体对应边长比的平均值 ,平移参数只有在旋 转矩阵 R 确定后方能确定 , 所以旋转矩阵的确定是 参数直接解算的核心 。由式 (4) 可知 , 3 个角度参数 用下式计算
c1 c2 c3
元素中只有 3 个是独立的 。又设反对称矩阵 S =
0 -c -b c 0 - a ,其元素是独立的 。R 由 S 构成罗
ba 0 德里格矩阵[6 ]
R=
1 + a2 - b2 - c2
1 Δ
2 c - 2 ab
2 b + 2 ac
- 2 c - 2 ab 1 - a2 + b2 - c2
- c - 1 a XS
C =Δ2c λΔY - YT
+
2λ Δ
1
- c b YS
2006 年 第 5 期 测 绘 通 报 7
文章编号 :049420911 (2006) 0520007204
中图分类号 : P226 + . 3 文献标识码 :B
3 维坐标转换参数直接计算的严密公式
姚吉利
(山东理工大学 建筑工程学院 ,山东 淄博 255049)
YT2 - YT1 YT3 - YT1
ZT2 - ZT1 ZT3 - ZT1
(14)
XT4 - XT1 YT4 - YT1 ZT4 - ZT1 解出旋转矩阵后 , 由式 (7d) 计算得到反对称矩阵或
其 3 元素公式
S = 2 ( I + RT) - 1 - I
(15)
再按式 (12) 计算平移参数 。
2 a - 2 bc
- 2 b + 2 ac - 2 a - 2 bc 1 - a2 - b2 + c2
(6) 其中 Δ = 1 + a2 + b2 + c2 。本文就是以反对称矩阵 和罗德里格矩阵性质建立直接计算的公式 。
三 、3 点法计算转换参数公式
在已知两坐标系统下 3 个公共点计算 7 个参数
v2 v3 - v3 w2
XT21 - λXS21
u2 w3
v2 w2 · - w2 w2
YT21 - λYS21
(11)
ZT31 - λZS31
式中 ,ΔH = u3 v2 w2 - u2 v3 w2 , 由式 ( 7a) 就可计算出 转换矩阵 ,由式 (2) 可得到平移参数
ΔX
X T1
XS1
ΔY
一 、引 言
3 维直角坐标转换中 ,采用 7 参数 Bursa2Wolf 模 型 、Molodensky 模型和武测模型[1] ,当在两坐标系统 下有 3 个公共点 ,就可惟一解算出 7 个转换参数 ;多 余 3 个公共点时 ,就要进行平差计算 ,转换参数的初 值 (特别是旋转角) 的大小 ,直接影响平差系统稳定 性和计算速度 ,有时使得解算的参数均严重偏离其 值[2] 。随着移动测图系统 (Mobile Mapping System ,简 称 MMS) 技术的成熟和应用 ,对运动载体 (飞机 、轮 船 、汽 车 等 ) 姿 态 的 测 量 ( GPS + INS) 也 越 来 越 多[3～5] ,任意角度的 3 维坐标转换计算也越来越多 。 在平台上安装 3 台或 4 台 GPS 接收机 ,来确定运动 载体的位置和空间姿态 ,这时的旋转角可以说是任 意的 ,取值范围是 - 180°至 180°,就需要准确计算转 换参数模型 ,适应于任意旋转角的坐标转换 。
c
λZS31 - ZT31
(10)
式中 , u2 = λXS21 + XT21 , v2 = λYS21 + YT21 , w2 = λZS21 + ZT21 , u3 =λXS31 + XT31 , v3 =λYS31 + YT31
a
u2 u3 - u3 v2
b
=
1 ΔH
u2 v3
c
- u3 w2
由公共点 1 ,2 可列两组 6 个方程 , 用点 2 方程减去
点 1 方程 ,消去平移参数 ,并把式 (7c) 代入
2006 年 第 5 期 测 绘 通 报 9
XS2 - XS1
XT2 - XT1
λ( I + S) YS2 - YS1 = ( I - S) YT2 - YT1
0 0 λ ZS/ λ
其中
λΔX - XT
XS
A =Δ2a λΔY - YT λΔZ - ZT
+
2λ Δ
a -b
-b -a
c - 1\ = c
YS ZS
λΔΧ- XT
- b - a - 1 XS
B =Δ2b λΔY - YT +Δ2λ - a b
- c YS
λΔZ - ZT
1 - c - b ZS
λΔX - XT
θ=
-
arctan
b1 b2
ψ=
-
arctan
a3 c3
(5)
< = arcsin b3
但在任意条件下 , 3 个角取值范围是 0°～360°, 具体
大小无法判断 ,由式 (3) 才能判断出具体大小 。实际
应用中 ,只要解出转换矩阵就能达到坐标转换的目
a1 a2 a3
的 。设 R = b1 b2 b3 是一个正交矩阵 , 其 9 个
d XT
d XS
C1 d YT + C2 d YS + C3d H - W = 0 (16)
d ZT
d ZS
X
ΔX
X
式中 , W = Y - λ Δ Y - λR Y , C1 = - I , C2
ZT
ΔZ
ZS
=λR , I 为 3 阶单位阵 ,转换参数的系数为
λ 0 0 XS/λ
C3 = 0 λ 0 YS/ λ A B C
二 、3 维坐标转换的物理意义和数学 模型
1. 物理意义
如图 1 所示 ,在两坐标系统下有 4 个公共点 , 在
不同坐标系统内 , 看成四面的刚体 , 如图 1 (a) , ( b)
图1
坐标转换的物理意义就是通过平移 、旋转和缩放 ,使
两个刚体大小和形状完全相同 。具体过程是 ,设公
收稿日期 : 2005207204 作者简介 : 姚吉利 (19642) ,男 ,陕西蒲城人 ,副教授 ,主要从事摄影测量与遥感数据处理研究 。
(3)
0 - sin < cos <
cosψ 0 - sinψ
所以
R3 = 0 1 0 sinψ 0 cosψ
cosψcosθ- sinψsinθ cosψsinθ+ sinψsin <sinθ - sinψcos <
R=
- cos <sinθ
cos <cosθ
sin <
(4)
sinψcosθ+ cosψsin <sinθ sinψsinθ- cosψsin <cosθ cosψcos <
五 、3 维坐标转换模型的线性化
实用中 ,两坐标系中有多于 3 个公共点 ,以发现 错误和提高精度 。在多余观测条件下 , 根据最小二 乘原理解算参数 。坐标转换目的是解算平移参数 、
尺度参数和转换矩阵 , 3 个旋转参数隐藏在转换矩 阵中 。选择 7 个参数是ΔX ,ΔY ,Δ Z ,λ,θ, <,ψ时 , 旋转角度无法判断和计算 , 若选择 H = [ΔX ,ΔY , Δ Z ,λ, a , b , c ]T 为参数 ,就可计算 ,并且简单 。对式 (2) 的线性化可得
- ZS1 ]T ,进一步变为
X
ΔX
X
Y =λ ΔY +λR Y
(2)
ZT
ΔZ
ZS
式 (2) 左边是目标坐标系统下的坐标 , 右边 (下标为
S) 表 示 原 坐 标 系 统 下 坐 标 ; [ΔX ΔY Δ Z ]T =
R[ Xm Ym Zm ]T 为平移因子 , 其意义是参考点旋
转后的坐标 ;λ为尺度因子 ; R 为坐标转换旋转矩
的方法称为 3 点法 ,其计算过程如下 。
1. 反对称矩阵和罗德里格矩阵性质
1. ST = - S , R = ( I + S) ( I - S) - 1
(7a)
2. ( I - S) T = I + S , ( I + S) T = I - S
(7b)
3. RT = R - 1 = ( I + S) - 1 ( I - S)
(7c)
4.
(
I
+
S)
-1
=
1 2
(
I
+
R - 1)
,
S = 2 ( I + RT) - 1
-I
(7d)
其中 , I 是 3 阶单位阵 。
2. 转换参数直接解算
通过上述可知 , 转换参数的确定关键是旋转矩
阵的确定 ,以下是根据反对称矩阵和罗德里格的性
质 ,由 3 个点计算转换参数的公式推导。由式 (2) ,
=
1 λ
YT1
-R
YS1
(12)
ΔZ
ZT1
ZS1
四 、4 点法计算转换参数公式
当已知两坐标系统下 4 个公共点计算 7 个参数
的方法 (4 点法) 与上述计算旋转矩阵公式不同 , 由 4
个公共点 ,可列 4 组方程为
a1 a2 a3 X
ΔX
X
b1 b2 b3
Y
+ ΔY
-
1 λ
Y
= 0 (13)
c1 c2 c3 Z S Δ Z
ZT
分别用点 2 ,3 ,4 所列方程减去点 1 所列的方程 , 就
消去了平移参数 ,得到 9 个方程
XS2 - XS1 YS2 - YS1 ZS2 - ZS1
XS3 - XS1 YS3 - YS1 ZS3 - ZS1 R =
XS4 - XS1 YS4 - YS1 ZS4 - ZS1
XT2 - XT1 λ1 XT3 - XT1
本文在解释坐标转换的物理意义的基础上 ,导 出 3 维坐标转换 7 参数直接计算的模型 ,以旋转矩 阵的确定为核心 ,导出了 3 点法和 4 点法 (两坐标系 统下公共点数) ,用反对称矩阵和罗德里格矩阵性质 推出的公式严密 ,该模型计算速度快 。
共点 1 为参考点 ,将图 1 ( b) 坐标轴和刚体平移 ,与 对应的图 1 (a) 刚体的点 1 重合 ,如图 1 (c) , 平移量 为[ u v w ]T;然后以点 1 为顶点 , 绕 3 轴旋转 , 使 两坐标系统的坐标轴平行 , 以参考点为顶点的边重 合 ,其他各边平行 ,两刚体是相似体 ,只是大小不同 , 如图 1 ( d) ; 最后进行缩放 , 使两刚体大小也相同。 这样两坐标系统和 3 个轴重合 ,原点统一 ,从而形成 坐标系统转换 。
ZS2 - ZS1
ZT2 - ZT1
XS21
X T21
或 λ( I + S) YS21 = ( I - S) YT21
(8)
ZS21
Z T21
展开整理后得
0
- λZS21 - ZT21 - λYS21 - YT21
- λZS21 - ZT21
0
λYS21 + YT21
λXS21 + XT21
a
XT21 - λXS21
阵 ,或转换矩阵 , R = R3 R2 R1 , R1 是把原坐标绕 Z 轴旋转θ角得到的旋转矩阵 , R2 是绕新的 X 轴旋转 < 得到的旋转矩阵 , R3 是绕新 Y 轴旋转ψ得到的旋 转矩阵 。
cosθ sinθ 0 R1 = - sinθ cosθ 0 ,
0
01
10
0
R2 = 0 cos < sin < ,