初中数学总复习三角函数

初中三角函数

〖考试要求〗

通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.

度数 sin α cos α tan α

30°

21 23 3

3 45°

2

2 2

2 1

60°

2

3 2

1 3

1．1 正弦和余弦

例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin 2

α+cos 2

α=1； （2）求证：sin α+cos α≥1，讨论在什么情形下等号成立；

（3）已知sin α+cos α=1，求sin 2

α+cos 2

α的值．

证明 （1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sin α=BC/AB ，cos α=AC/AB ，所以在这种情形下

A

B

C

A

B

C

当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有

sin2α+cos2α=1．

（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下

当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有

sinα+cosα≥1，

当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．

（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有

sin2α+cos2α=1．

例2 求证：对于0°≤α≤90°，

1．2 正切和余切

证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，

当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=

（2）α必须满足不等式：

0°＜α＜90°．

如图6-2，

所以tgα·ctgα=1．

例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求

解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而

证明：如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则

所以原式成立．

点评这里α≠0°，90°．

怎样理解锐角三角函数的概念？

答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．

关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，

B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，

∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，

因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．

根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．

这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即

深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：

(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．

只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．

[例] 求出图2中sinD，tgE的值．

(3)“sinA”等是一个完整的符号．

整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．

计算

解答题

3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程5x 2

-14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.

4. q 为三角形的一个角,如果方程10x 2

-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq. 1、 讲解例题 例1

计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）︒-30cos 31；

（3）

︒

-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos ； （4）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 2

2

例2 填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA = 2

1

，则∠A = °，sinA = ；

（2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °； 例3

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。 例4

在Rt △ABC 中，∠C = 90°，c a 32=，求

c

a

，∠B 、∠A 。 〖考点复习〗

1．锐角三角函数

[例1]如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝（ ）

A. 35

B. 45

C. 34

D. 4

3

[例2]如图, △ABC 中∠A=30º, tanB=2

3, AC=32, 则AB=____

2．特殊角的三角函数值

[例3]如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC 为2cm ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 m 。（精确到0.1m ，

可能用到的数据41.12≈，73.13≈）

[例4]

计算：12-0)25(60sin 2+-︒；

3．简单应用

[例5]如图是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= 度，（不考虑青蛙的身高）； 〖考题训练〗

C

B A

B

C

A

A

B

C O

D